分数及其巧算(老师版)

分数的基本变化和巧算

一、认识分数

1.单位“1”：一个物体、一个计量单位、许多物体组成的一个整体，都用自然数1表示，通常叫单位“1”。

2.分数意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。

3.分数单位：分数中表示一份的数，叫做分数单位 1

分母

。分母越大,分数单位越小，最大的分数单位是1

2

。

4.分数的分类： 真分数：分子＜分母，真分数＜1。 假分数：分子≥分母，假分数≥1。

带分数：带分数是假分数的一种形式。非零整数与真分数相加所成的分数叫做带分数，带分数一般读作几又几分之几，带分数>1。 5.分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

6.分数与除法的关系：被除数相当于分数的分子，除数相当于分数的分母，除号相当于分数线。

被除数÷除数＝被除数

除数

如果用a 表示被除数，b 表示除数，可以写成a ÷b ＝a

b （b ≠

0）

二、分数的基本变化

分数的变化除了遵循分数的基本性质外,还有两条很有意思的规律：

1.分数被约分多少，分子与分母的和会缩小多少倍.

2.分数被约分多少，分子与分母的差也会缩小多少倍.

例1．1

13的分子、分母同时加上一个什么数后分数可以约分为1

3

？

解析：原分数的分子、分母的差是13-1=12，原分数分子、分母同时加上某个数，分子与分母的差不会发生改变，新分数约分后的分子、分母的差是3-1=2，差缩小了12÷2=6倍，说明约分时分子、分母同时被约去了6，约分前的分数是6/18，对比原分数，就知道原分数分子、分母同时加上了5。

例2．分数97

181的分子、分母都减去同一个数，新分数约分后是2

5

，

那么减去的数是多少？

解析：原分数分子、分母现时减去同一个数，分子、分母的差不会变，仍然是181-97=84，而2/5的分子、分母的差是3，差缩小了84÷3=28倍，说明约分时被约掉了28，那么新分数就是2×28/5×28=56/140，易得出同时减去了41.

例3．一个真分数，分母和分子之和是83，若分母、分子分别加上45和19，则得到的新分数约分后是2

5

，原来的分数是多少？

解析：原分数分子与分母的和是83+45+19=147，新分数分子与分母的和是

2+5=7，和缩小了147÷7=21倍，说明分数被21约后得2/5，约分前的分数是2×21/5×21=42/105，那么原分数就是（42-19）/（105-45）=23/60

例4．有一个分数，分母加上2，得7

9；如果分母加上3，得3

4

，原来

这个分数是多少？

解析：题中只是分数的分母发生了变化，可知两个新分数的分子是一样的，而且是7，3的公倍数，7/9=21/27，3/4=21/28，容易得出原分数是21/25.

例5．有一分数，若分子加上1，则变成1

2；若分子减去1，则变为1

3

，

求该分数。

27107110

510110113

（ ）（ ）（ ）20132014201520162014201520162017

（ ）（ ）（ ）解析：若分子加上1，变成1/2，相当于分子增加了1个分数单位，分子减去1，变成1/3，相当于分子减少了1个分数单位.此时，有两种解题方式.方法一：运用例4的分母不变法.方法二：运用找分数单位法.

三、分数的拓展分类 1. 加成分数

把两个分数的分子之和做分子，分母之和做分母，这个运用加法得到的新分数叫做加成分数。加成分数的大小介于两个分数之间。 例1. 在113

2

和之间写出三个分数，并使大小成立.

1132( )( )<<<( )( )

2. 同增分数

把一个分数的分子和分母同时加上一个自然数，这个新分数叫做同增分数，同增分数比原分数大。

例2. 试比较下列分数的大小，并用“＜”连接起来.

3. 祖冲之分数

说是数学史上的一个奇迹。 4. 阿拉伯分数

埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国。

古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子是1的分

+

11

728

+把分子是1的分数叫做阿拉伯分数. 例3. 请用阿拉伯分数表示下列各数

1111=++（）（）（）

()()()()()

11111112=+=++

11111=14+++（ ）（ ）（ ）（ ）

四、分数的巧算 1.分数的裂项

从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：

11()()()()m n m n N N m n N m n N m n +==++++=11A B

+

10的约数有:1,10,2,5. 例如：选1和2，有：

11(12)1211

1010(12)10(12)10(12)3015

+==+=++++

常见的裂和型运算主要有以下两种形式

（1） （2）

2.循环小数化分数

11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯2222

a b a b a b a b a b a b b a +=+=+

⨯⨯⨯

3.整体换元

解数学题时，如果某个数或式子反复出现，我们就把这个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元

法．换元的实

质是转化，将复杂的式子化繁为简． 一、填空题 1.计算:13

4

71711613122374

⨯+⨯+⨯= .

2.计算:⎪⎭

⎫

⎝

⎛⨯+÷⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-25.15

225

46.79428.09

55= .

3.计算:

4.计算: =

5.计算:222

345567566

345567+⨯⨯+= .

6.计算:3

22131433141544151655161766171⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= .

··

0.99ab

ab =·

0.9

a a =

··

10.09910990

ab ab

ab =⨯=

··0.990

abc a abc -=

1111111111111124610359

⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+⨯+⨯+⨯⋅⋅⋅⨯+⨯-⨯-⨯⋅⋅⋅⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭⎝

⎭

⎝

⎭⎝

⎭⎝

⎭

⎝

⎭

5302536114.44448371113725

÷+÷+⨯=