高考数学导数习题

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高考数学专题：导数大题专练附答案

高考数学专题：导数大题专练附答案一、解答题1．对于正实数a ，b （a b >），我们熟知基本不等式：()()G a b A a b <,,，其中()G a b ,a ，b 的几何平均数，()2a bA a b +=,为a ，b 的算术平均数.现定义a ，b 的对数平均数：(),ln ln a bL a b a b-=-.(1)设1x >，求证：12ln x x x<-，并证明()()G a b L a b <,,；(2)若不等式()()(),,,G a b A a b m L a b +>⋅对任意正实数a ，b （a b >）恒成立，求正实数m 的取值范围.2．直线:l y kx t =+交抛物线24x y =于A ，B 两点，过A ，B 作抛物线的两条切线，相交于点C ，点C 在直线3y =-上． (1)求证：直线l 恒过定点T ，并求出点T 坐标；(2)以T 为圆心的圆交抛物线于PQMN 四点，求四边形PQMN 面积的取值范围．3．已知a R ∈，函数()22e 2xax f x =+． (1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程 (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1201x x ，（ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）当9a <-时，证明：21x x <-<．（注： 2.71828e =…是自然对数的底数） 4．已知函数()ln .f x x x ax a =-+(1)若1≥x 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(2)当1a =，01b <<时，方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12 1.x x <5．函数()3e xf x ax =-，0a >.(1)讨论函数()f x 的极值点个数；(2)已知函数()g x 的定义域为[)0,∞+，且[)0,x ∞∀∈+满足()()()g x xg x xg x '+>.若[)00,x ∃∈+∞，满足不等式()()()22e 22e x x g x xg x --≤，且0x 是函数()f x 的极值点，求a 的取值范围.6．已知：()e xf x mx =+.(1)当1m =时，求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程；(2)当0x ≥时，()2213222m f x x ≥+-成立，求实数m 的范围7．已知函数()ln xf x x=， ()()1g x k x =-． (1)证明： R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线；(2)若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围．8．设函数ln e ()xx f x a x=-，其中a ∈R 且0a ≠，e 是自然对数的底数. (1)设()'f x 是函数()f x 的导函数，若()'f x 在(2,3)上存在零点，求a 的取值范围； (2)若34e a ≥，证明：()0f x <. 9．已知函数()()()2e 1,e 2.718xf x m x m R =-+∈≈.(1)选择下列两个条件之一：①12m =；②1m =，判断()f x 在区间()0,∞+上是否存在极小值点，并说明理由；(2)已知0m >，设函数()()()1ln g x f x mx mx =-+.若()g x 在区间()0,∞+上存在零点，求实数m 的取值范围. 10．设函数3()65f x x x x R =-+∈，. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若关于x 的方程()f x a =有三个不等实根，求实数a 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)证明见解析 (2)02m <≤ 【解析】【分析】（1）令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用导数证明当1x >时，()0f x <，即可得到12ln x x x<-. 用分析法证明()()G a b L a b <,,.（2）把题意转化为1112ln a a b m a b b-⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭恒成立.令)1t t =>，即为1ln 01t m t t -⋅-<+恒成立.令()()1ln 11t g t m t t t -=⋅->+，分2m >和02m <≤两种情况求出正实数m 的取值范围. (1)令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，定义域为()0,+∞.则()()222221111212222x x x f x x x x x ---'=--==-. 所以当1x >时，()0f x '<，()f x 在()1,+∞上单调递减. 又()10f =，所以当1x >时，()0f x <.所以当1x >时，11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，即12ln x x x<-.（*）要证()()G a b L a b <,,ln ln a ba b--，只需证ln a b <令)1t t =>，则由（*），得12ln t t t <-.所以()()G a b L a b <,,.(2)由()()(),,,G a b A a b m L a b +<⋅恒成立，得ln ln 2a b a b m a b -+⋅-恒成立，即1112ln aa b m a b b-⎛⎫⋅<+ ⎪⎝⎭恒成立.令)1t t =>，由()221112ln 2t m t t t -⋅<++恒成立，得()1112ln 2t m t t -⋅<+恒成立. 所以1ln 01t m t t -⋅-<+恒成立. 令()()1ln 11t g t m t t t -=⋅->+，则 ()()()()()()222222121121111mt t t m t g t m t t t t t t-+-+--'=⋅-==++⋅+⋅. （注：()10g =） i.当0∆>，即2m >时，易知方程()22110t m t -+--=有一根1t 大于1，一根2t 小于1，所以()g t 在()11,t 上单调递增.所以()()110g t g >=，不符合题意.ii.当02m <≤时，有()()()222214110mt t t t t -+≤-+=--<，所以()0g t '<，从而()g t 在()1,+∞上单调递减. 故当1t >时，恒有()()10g t g <=，符合题意. 综上可知，正实数m 的取值范围为02m <≤. 【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围. 2．(1)证明见解析，()0,3T ；(2)⎛⎝⎦. 【解析】【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),3C m -，利用点斜式写出直线AC ，BC 的方程，由C 在两直线上，即可知直线AB 的方程，进而确定定点.（2）联立抛物线24x y =和圆T ：()2223x y r +-=，由题设及一元二次方程根的个数求参数r 的范围，由122PQMN QM PNS y y +=⋅-结合韦达定理得到PQMN S 关于r 的表达式，构造函数并利用导数研究区间单调性，进而求范围. (1)设()11,A x y ，()22,B x y ，(),3C m -，则12AC x k =，22BC xk =，直线AC 为：()1111122x x x y y x x y y -=-⇒=-，同理直线BC 为：222x xy y =-，把(),3C m -代入直线AC ，BC 得：11223232x m y x m y⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，∴()11,A x y ，()22,B x y 都满足直线方程32xm y -=-，则32xmy =+为直线AB 的方程，故直线l 恒过定点()0,3T ． (2)如图，设圆T 的半径为r ，()11,M x y ，()22,N x y ，()11,Q x y -，()22,P x y -，把24x y =代入圆T ：()2223x y r +-=，整理得22290y y r -+-=，由题意知：关于y 的一元二次方程有两个不等实根，则()21221244902090r y y y y r ⎧∆=-->⎪⎪+=>⎨⎪=->⎪⎩，可得223r <．(1212121212122222PQMN QM PNS y y y y y y y y y y y y +=⋅-=-=++-()()()2222222944942198r r r r =+---=+--29r t -=，由223r <得：01t <<，则()()2211PQMN S t t =+-令()()()211f t t t =+-且01t <<，则()()()311f t t t '=--+，故在1(0,)3上()0f t '>，()f t 递增；在1(,1)3上()0f t '<，()f t 递减；所以132()()327f t f ≤=，又(0)1f =，(1)0f =，故f t 的取值范围是320,27⎛⎤ ⎥⎝⎦，综上，PQMN S 的取值范围是323⎛ ⎝⎦．【点睛】关键点点睛：第二问，由圆T ：()2223x y r +-=，联立抛物线方程，结合四边形面积公式得到关于参数r 的表达式，再应用函数思想并利用导数求面积的范围. 3．(1)(2e 1y x =-+(2)（ⅰ）(2e 2e ,4e -；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；（2）（ⅰ）原问题等价于12,x xa =-的两根，且1201x x ，从而构造函数())0g x x =>，将问题转化为直线y a =-与函数()g x 的图象有两个交点，且交点的横坐标大于0小于1即可求解；（ⅱ）由1e x x +≤，利用放缩法可得()()1112210x ax f x '++-=，即1x 2114x <<，从而可证21x x -<()21e 011x xx x +<<<-，然后利用放缩法可得()()1201,21i i i ix ax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，最后构造二次函数()(222m x ax a x =-++++21x x ->而得证原不等式. (1)解：因为()22e x f x ax '=+所以()02f '=()01f =，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(21y x =-+； (2)解：（ⅰ）因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，所以12,x x 是关于x 的方程()22e 0x f x ax =+'的两根，也是关于x的方程a =-的两正根，设())0g x x =>，则()g x '=，令())224e 2e 0x x h x x x =->，则()28e xh x x '=，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又104h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，当104x <<时，()0h x <，()0g x '<；当14x >时，()0h x >，()0g x '>，所以函数()g x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又因为1201x x ，所以()114g a g ⎛⎫<-<⎪⎝⎭，即22e a <-<- 所以a的取值范围是22e ,-；22e 9a <<-，因为1e x x +≤，所以()()1112210x ax f x '++-=，所以()142a x +-，所以1x 2114x <<，所以211x x -<= 下面先证明不等式()21e 011x xx x+<<<-，设()()2101e 1xx r x x x -=⋅<<+，则()()2222e 1x x r x x '=-+，所以，当01x <<时，()0r x '<，()r x '在()0,1上单调递减，所以，()()01r x r <=，所以不等式()21e 011xxx x+<<<-成立，因为12,x x ，()1201x x <<<是()22e 0x f x ax '=+=的两个根，所以()()01,2i f x i '==，又()21e 011x xx x+<<<-，所以()()1201,21ii i ix ax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，设函数()(222m x ax a x =-++++x t ==因为((()2224261620a a a ∆=+++-=+-+->，且()00m >，()10m >，102t <<，所以函数()m x 有两个不同的零点，记为α，()βαβ<，且01t αβ<<<<，因为()22616212e 201ta tf t at at t+++'=+-⋅+-=<-，且()00f '>，()10f '>，所以1201x x ，因为()m x 在()0,t 上单调递减，且()()10m x m α>=，所以10x t α<<<；因为()m x 在(),1t 上单调递增，且()()20m x m β>=，所以21t x β<<<；所以1201x x αβ<<<<<，所以21x x βα->-，因为βα-=又()109a -<<<-，所以βα->所以21x x ->综上，21x x <-< 【点睛】关键点点睛：本题（2）问（ii ）小题证明的关键是，利用1e x x +≤，进行放缩可得1x21x x -<；再利用()21e 011x x x x +<<<-，进行放缩可得()()1201,21ii i ix ax f x i x +'⋅+->==-，从而构造二次函数()(222m x ax a x =-++++21x x ->4．(1)(,1].-∞ (2)证明见解析【解析】【分析】(1)1x ≥，()0ln 0a f x x a x ≥⇔-+≥，设()ln (1)ag x x a x x=-+≥，求导得221()a x ag x x x x-'=-=，分1a ≤与1a >两类讨论，即可求得a 的取值范围；(2)当1a =时，方程()f xb =有两个不相等的实数根1x ，2x ，不妨设12x x <，则1201x x <<<，要证121x x ⋅<，只需证2111x x <<，而12()()f x f x =，只需证明111()()f x f x <，再构造函数，设1()()()(01)F x f x f x x=-<<，通过求导分析即可证得结论成立． (1)1x ≥，()0f x ∴≥，即ln 0ax a x-+≥，设()ln (1)ag x x a x x=-+≥，221()a x ag x x x x -'=-=，当1a ≤时，()0g x '≥， ()g x ∴在[1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g ∴≥=，满足条件；当1a >时，令()0g x '=，得x a =，当1x a <≤时，()0g x '<；当x a >时，()0g x '>，()g x ∴在区间[1,]a 上单调递减，在区间[,)a +∞上单调递增，min ()()ln 1g x g a a a ∴==-+，()(1)0g a g ∴<=，与已知矛盾．综上所述，a 的取值范围是(,1].-∞ (2)证明：当1a =时，()ln f x x '=，则()f x 在区间(0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增，由方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，不妨设12x x <，则1201x x <<<，要证121x x ⋅<，只需证2111x x <<， ()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，只需证121()()f x f x < 又()()12f x f x =，∴只需证明111()()f x f x <，设1()()()(01)F x f x f x x =-<<，则22211()ln ln ln 0x F x x x x x x-'=-=>，()F x ∴在区间(0,1)上单调递增，()(1)0F x F ∴<=，1()()0f x f x∴-<，即111()()f x f x <成立， ∴原不等式成立，即121x x ⋅<成立．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用． 5．(1)答案见解析(2)2e e ,123⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求出()'f x ，由()0f x '=知0x ≠，分离参数得2e 3xa x =，引入函数2e ()3x G x x=，由()G x 的导数确定单调性与极值，可作出函数的大致图象，结合图象分类讨论得出零点个数，根据极值定义得极值点个数；（2）令()()e xxg x h x =，求导后得()h x 是增函数，不等式()()()22e 22e x x g x xg x --≤，整理得()()()222eexxx g x xg x ---≤，即()()2h x h x -≤，由单调性得x 的范围，从而得出0x 的范围，结合极值点的要求得0[1,2)x ∈，然后由（1）的函数()G x 的性质得a 的范围． (1)()3e x f x ax =-，则()23e x f x ax '=-，函数的极值点为导函数的变号零点，显然0x =不是()0f x '=的解，当0x ≠时，令()2e 3xG x x=，则()2431e 2e e 233x x x x x x G x x x⋅-⋅-'=⋅=⋅，故()G x 的单调性如表格所示：x(),0∞-()0,22()2,+∞()G x '0>0<0=0>()G x单调递增单调递减极小值单调递增则极小值为()2e 212G =，可得函数()G x 的大致图象如图，故当2e 0,12a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，2e 3xa x =有两个解12,x x (120x x <<)，在1x 两侧()'f x 的符号相等，在2x 两侧，()'f x 不变号，()f x 有1个极值点；当2e ,12a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，2e 3xa x =有三个解123,,x x x ，在这三个解两侧()'f x 均变号，()f x 有3个极值点. (2) 令()()e x xg xh x =，则()()()()1e xx g x xg x h x '-+'=，因为[)0,x ∞∀∈+满足()()()g x xg x xg x '+>，故()()()10x g x xg x '-+>，则()0h x '>，故函数()h x 是一个在定义域上单调递增的函数；又[)00,x ∃∈+∞，满足不等式()()()22e 22e x x g x xg x --≤，整理得()()()222e e x xx g x xg x ---≤，即()()2h x h x -≤，结合定义域有0,20,2,x x x x ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩故0x 的取值范围是[]1,2，又0x 是函数()f x 的极值点，即函数()f x 的变号零点，∴02x ≠，由（1）知，函数()G x 在区间[)1,2上单调递减，故2e e ,123a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查用导数确定函数的极值点，研究不等式恒成立问题，解题关系是问题的转化，极值点的个数问题转化为方程的根的个数，再转化为函数图象交点个数．不等式问题通过引入函数，利用函数单调性化简得出参数范围，本题属于困难题，对学生的逻辑思维能力，运算求解能力要求较高．6．(1)21y x =+(2)ln 3m ⎡∈-⎣【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义直接可得切线方程；（2）()2213222m f x x ≥+-恒成立，可转化为()22130222x m g x e mx x =+--+≥恒成立，利用导数判断函数()g x 的单调性与最值情况.(1)当1m =时，()e x f x x =+，则()e 1x f x '=+，设切点为()()00,x f x ，故()00e 12x k f x '==+=，解得00x =，故()0000e e 01x f x x =+=+=，即切点坐标为()0,1，所以切线方程()120y x -=-，即21y x =+；(2)当0x ≥时，()2213222m f x x ≥+-成立，即2213e 0222xm mx x +--+≥恒成立，设()2213e 222xm g x mx x =+--+， ()e x g x x m '=-+，()e 1x g x ''=-，因为0x ≥，故()e 10x g x ''=-≥恒成立，则()e x g x x m '=-+在()0,∞+上单调递增，所以()()01g x g m ''≥=+，当1m ≥-时，()()010g x g m ''≥=+≥恒成立，故()g x 在()0,∞+上单调递增，即()()2235012222m m g x g ≥=-+=-，所以25022m -≥，解得m ≤≤故1m -≤≤当1m <-时，()010g m '=+<，()e 2m g m m -'-=+，设()e 2m h m m -=+，1m <-，()e 20m h m -'=-+<恒成立，则()h m 在(),1-∞-上单调递减，所以()()120h m h e >-=->，即()e 20m g m m -'-=+>，所以存在()00,x m ∈-，使()00g x '=，即000x e x m -+=，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，故()()02200013e 222x m g x g x mx x ≥=+--+()()00000222000011313e e e e e 022222x x x x x x x x x =+----+=-++≥，解得0ln 3x ≤，即00ln 3x ≤≤，设()e xx m x ϕ==-，0ln3x ≤≤， ()1e 0x x ϕ'=-≤恒成立，故()x ϕ在()0,3上单调递减，故()()3ln33x ϕϕ≥=-，即ln33m ≥-，所以ln331m -≤<-，综上所述，ln 3m ⎡∈-⎣.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．7．(1)证明见解析 (2)e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】【分析】（1）求出()f x 的导数，设出切点，可得切线的斜率，根据斜率相等，进而构造函数()=ln 1h x x x +-，求出导数和单调区间，即可证明；（2）由2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()max ln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，再利用导数法求出()()n 1l x x x x ϕ-=在2e,e ⎡⎤⎣⎦的最大值即可求解.(1) 由题意可知，()f x 的定义域为()()0,11,+∞，由()ln x f x x=，得()()2ln 1ln x f x x -'=，直线y g x 过定点()1,0，若直线y g x 与曲线()y f x =相切于点()00000,01ln x x x x x ⎛⎫>≠ ⎪⎝⎭且，则 ()0002000ln 1ln 1ln x x x k x x --==-，即00ln 10x x +-=① 设()()=ln 1,0h x x x x +-∈+∞，则()1=10h x x '+>，所以()h x 在()0+∞上单调递增，又()1ln1110h =+-=，从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾.所以，R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线.(2)由()()f x g x ≤，得()1ln x x k x ≤-， 22e e ,0e 11e 1x x ∴≤≤∴<-≤-≤-，()l 1n xk x x -∴≥若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()maxln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦即可. 令()()n 1l x x x x ϕ-=，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()()2ln 1ln 1x x x x x ϕ---+'=⎡⎤⎣⎦，令()ln 1t x x x =--+，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()110t x x'=--<，所以()t x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；所以()()e lne e 1e<0t x t ≤=--+=-，故()0ϕ'<x()ϕx 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；当e x =时，()ϕx 取得最大值为()()e e e e 1ln e e 1ϕ==--，即e e 1k ≥-. 所以实数k 的取值范围为e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭ 【点睛】解决此题的关键利用导数的几何意义及两点求斜率，再根据同一切线斜率相等即可证明，对于恒成立问题通常采用分离常数法，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法即可求解.8．(1)32322e e a <<； (2)证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，由()0f x '=分离参数并构造函数，求解其值域作答. （2）将不等式等价转化，构造两个函数，并分别探讨它们的最大、最小值即可推理作答.(1) 依题意，21(1)e ()x x f x ax x -'=-，由()0f x '=得：21(1)e 1(1)e x x x x ax x a x--=⇔=，令1())(e x x x x ϕ-=，23x <<，则22()(1)e 0xx x x xϕ+'-=>，即()ϕx 在(2,3)上单调递增，当23x <<时，(2)()(3)x ϕϕϕ<<，即23e 2e ()23x ϕ<<，由()'f x 在(2,3)上存在零点，则方程1(1)e xx a x-=在(2,3)上有根，因此有23e 12e 23a <<，解得32322e e a <<，所以a 的取值范围是：32322e e a <<. (2) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当34e a ≥时，2ln e e ln ()000x x x a x f x a x x x<⇔-<⇔->，令2e ()x a g x x =，0x >，求导得：3e ())(2x a x x g x'-=，当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，即函数()g x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，当2x =时，22min 3e 4e 1()(2)4e 4ea g x g ==≥⋅=，令ln ()x h x x =，0x >，求导得：21ln ()x h x x -'=，当0e x <<时，()0h x '>，当e x >时，()0h x '<，即函数()h x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，当e x =时，max 1()(e)eh x h ==，因此，0x ∀>，min max 1()()()()eg x g x h x h x ≥≥=≥，而()g x 的最大值与()h x 的最小值不同时取得，即上述不等式中不能同时取等号，于是得：0x ∀>，()()g x h x >成立，即2e ln 0x a x x x ->成立，所以()0f x <.【点睛】思路点睛：证明不等式常需构造辅助函数，将不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性、求最值等解决.9．(1)选择①不存在，理由见解析；选择②存在，理由见解析(2)[)1,+∞【解析】【分析】（1）若选择①，则()1x f x e x '=--，令()1x q x e x =--，由于()q x '在R 上单调递增，且()00f '=，从而可求出求出()f x '的单调区间，进而可求出()f x '的最小值非负，则()f x 无极值；若选择②，则()22x f x e x '=--,令()22x n x e x =--，由()n x '在R 上单调递增，且()ln 20n '=，可得()f x '的单调区间，从而得其最小值小于0 ，进而可判断函数的极值，（2）令()0g x =，则可得()()()1ln 1ln ln 0x x mx e x mx e x mx mx----+=--=⎡⎤⎣⎦，令()ln t x mx =-，即转化为10t e t --=有解，构造函数()1t h t e t -=-，由导数可得()1t h t e t -=-由唯一零点1t =，从而将问题转化为()1ln x mx =-在()0,∞+有解，即1ln ln m x x +=-，再构造函数()ln l x x x =-，利用导数求出函数的值域可得1ln m +的范围，从而可求出实数m 的取值范围(1)若选择①12m =，则()()2112x f x e x =-+，则()1x f x e x '=--. 令()1x q x e x =--，则()1x q x e '=-，由()q x '单调递增，且()00q '=，得()0q x '>在()0,∞+上恒成立，所以()f x '在()0,∞+上单调递增，所以当()0,x ∈+∞时，()()00f x f ''>=，则()f x 在()0,∞+上单调递增，不存在极小值点.若选择②1m =，则()()21x f x e x =-+，则()22x f x e x '=--.令()22x n x e x =--，则()2x n x e '=-，()n x '单调递增，且()ln 20n '=，所以()f x '在()0,ln 2上单调递减，()ln 2,+∞上单调递增.又()ln 22ln 20f '=-<，()2260f e '=->，所以存在()0ln 2,2x ∈，满足()00f x '=.则()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()f x 存在极小值点0x .(2)令()0g x =，则()12ln 0x e mx mx mx --+=.又0mx >，所以()()()()()11ln 1ln ln ln ln 0x x x mx mx e e x mx x mx e x mx mx e-----+=-+=--=⎡⎤⎣⎦. 令()ln t x mx =-，即可转化为10t e t --=有解.设()1t h t e t -=-，则由()110t h t e -'=-<可得1t <，则()h t 在(),1t ∈-∞上单调递减，在()1,t ∈+∞上单调递增.又()10h =，所以()1t h t e t -=-有唯一的零点1t =.若()g x 在区间()0,∞+上存在零点，则()1ln x mx =-在()0,∞+有解.整理得.设()ln l x x x =-，由()11l x x'=-，知()l x 在()0,1x ∈上单调递减，在()1,x ∈+∞上单调递增，又当0x +→时，()l x →+∞，则()()11l x l ≥=，所以1ln 1m +≥，得1m ≥.故实数m 的取值范围是[)1,+∞.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决零点问题，解题的关键是由()0g x =可得()()ln 1ln 0x mx e x mx ----=⎡⎤⎣⎦，令()ln t x mx =-，将问题转化为10t e t --=有解，构造()1t h t e t -=-利用导数讨论其解的情况即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题10．(1)单调递增区间为(2)-∞-，，(2)+∞，；单调递减区间为(22)-， (2)542542a -<<+【解析】【分析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>得增区间，由()0f x '<得减区间；（2）由（1）中所得函数的单调性，得极值，可结合函数的图象得其与直线y a =三个交点时的a 的范围．(1)由已知可得：2()36f x x '=-，令()0f x '=，即2360x -=，解得12x =-，12x =，所以当2x >或2x <-时，()0f x '>，当22x -<<时，()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为(2)-∞-，，(2)+∞，；单调递减区间为(22)-，.(2)由（1）可知()y f x =的图象的大致走势及走向，如图所示，又(2542f -=-2542f =+所以当542542a -<+y a =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，方程()f x a =有三个不等实根.。

高中数学导数练习题

高中数学导数练习题一、基础题1. 求函数 $f(x) = x^3 3x$ 的导数。

2. 求函数 $f(x) = \sqrt{1+x^2}$ 的导数。

3. 求函数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ 的导数。

4. 求函数 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 的导数。

5. 求函数 $f(x) = e^{2x}$ 的导数。

二、应用题1. 已知函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，求 $f'(x)$ 并说明其几何意义。

2. 某物体做直线运动，其位移 $s$ 与时间 $t$ 的关系为 $s =t^2 2t + 1$，求物体在 $t=2$ 时的瞬时速度。

3. 已知函数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$，求曲线在$x=4$ 处的切线方程。

4. 求函数 $f(x) = \sin(x)$ 在区间 $[0, \pi]$ 上的最大值和最小值。

5. 已知函数 $f(x) = \ln(x 1)$，求 $f(x)$ 的单调区间。

三、综合题1. 设函数 $f(x) = (x^2 1)^3$，求 $f'(x)$。

2. 已知函数 $f(x) = \frac{2x + 3}{x 1}$，求 $f'(x)$。

3. 求函数 $f(x) = \sqrt{1 + \sqrt{1 + x^2}}$ 的导数。

4. 已知函数 $f(x) = e^{x^2}$，求曲线在 $x=0$ 处的切线方程。

5. 设函数 $f(x) = \ln(\sin^2 x)$，求 $f'(x)$。

四、拓展题1. 已知函数 $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，求 $f''(x)$。

2. 设函数 $f(x) = (x^3 + 1)^4$，求 $f'''(x)$。

3. 已知函数 $f(x) = \arctan(x)$，求 $f'(x)$。

高考数学专题：导数大题专练(含答案)

高考数学专题：导数大题专练(含答案)一、解答题1．已知函数()ln f x x x x =-，()2ln 1g x a x x =-+. (1)求函数()f x 的最小值；(2)若()0g x ≤在()0,∞+上恒成立，求实数a 的值； (3)证明：1111232022e 2023+++⋅⋅⋅+>，e 是自然对数的底数. 2．已知函数()ln xf x x=． (1)求曲线()y f x =在点11,e e f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程；(2)设()()g x f x k =-有两个不同的零点12,x x ，求证：212e x x >．3．已知函数()ln ex f x x =，()2ln 1g x a x x =-+，e 是自然对数的底数．(1)求函数()f x 的最小值；(2)若()0g x ≤在()0,∞+上恒成立，求实数a 的值；(3)求证：2022202320232023e 20222022⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．4．直线:l y kx t =+交抛物线24x y =于A ，B 两点，过A ，B 作抛物线的两条切线，相交于点C ，点C 在直线3y =-上． (1)求证：直线l 恒过定点T ，并求出点T 坐标；(2)以T 为圆心的圆交抛物线于PQMN 四点，求四边形PQMN 面积的取值范围． 5．已知函数()ln f x x =．(1)当()()sin 1g x x =-，求函数()()()T x f x g x =+在()0,1的单调性； (2)()()12h x f x b x=+-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>． 6．已知函数21()ln (1)()22=+-+++∈R x f x a x a x a a 有一个大于1的零点0x ．(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：对任意的(]01,x x ∈，都有ln 10-+>a x x 恒成立． 7．设函数()1e ln 1xa f x a x -=--，其中0a > (1)当1a =时，讨论()f x 单调性；(2)证明：()f x 有唯一极值点0x ，且()00f x ≥.8．设函数()()2()ln 1f x x a x x =++-，其中R a ∈.(1)1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； (3)若()0,0x f x ∀>成立，求a 的取值范围. 9．求下列函数的导数： (1)2cos x xy x -=； (2)()e 1cos 2x x y x =+-； (3)()3log 51y x =-．10．已知函数2()ln f x a x x =+，其中a R ∈且0a ≠． (1)讨论()f x 的单调性；(2)当1a =时，证明：2()1f x x x ≤+-； (3)求证：对任意的*n N ∈且2n ≥，都有：222111111234⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…211e n⎛⎫+< ⎪⎝⎭．（其中e 2.718≈为自然对数的底数）【参考答案】一、解答题 1．(1)1- (2)2(3)证明见解析【解析】【分析】（1）求导求单调性即可求解；（2）()()220a x g x x x-'=>，分类讨论单调性得到()ln 1222max g x a a a =-+，要使()0g x ≤在()0,∞+恒成立，则()0max g x ≤，即ln 10222a a a -+≤，又由（1）可得到ln 10222a a a -+≥，所以ln 10222a a a -+=，即可求解；（3）由（2）知()22ln 1g x x x =≤-得到22ln 1x x ≤-，所以ln 1t t ≤-，所以e 1xx ≥+，即11e >nn n+，代入证明即可. (1)()f x 的定义域为()0,∞+，()ln f x x '=，当()0,1x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0,f x '>故()f x 在()01,上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. 所以()()11min f x f ==-. (2)()()2220a a x g x x x x x-'=-=>，当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在()0,∞+上单调递减，此时存在()00,1x ∈，使得()()010g x g >=，与题设矛盾.当0a >时，x ∈时，()0g x '>，)x ∈+∞时，()0g x '<，故()g x 在上单调递增，在)+∞上单调递减，所以()1ln 12222max a a a ag g x a ==+=-+，要使()0g x ≤在()0,∞+恒成立，则()0max g x ≤，即ln 10222a a a -+≤又由（1）知()ln 1f x x x x =-≥-，即ln 1x x x -≥-，（当且仅当1x =时，等号成立）.令2a x =有ln 10222a a a -+≥，故ln 10222a a a -+=且12a = 所以2a =. (3)证明：由（2）知()22ln 1g x x x =≤-得22ln 1x x ≤-（当且仅当1x =时等号成立），令)0x t =>，则ln 1t t ≤-（当且仅当1t =时等号成立），令e x t =，所以ln e e 1x x ≤-，即e 1x x ≥+（当且仅当0x =时等号成立），令()*10x n N n =>∈，则111e >1n n n n++=从而有11111320212022223420222023e e e ee>12320212022⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯ 所以111112*********e2023.+++⋯++>【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．2．(1)22e 3e 0x y --=； (2)证明见解析【解析】【分析】（1）求导，计算1e f ⎛⎫⎪⎝⎭'和1ef ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再由点斜式代入写出切线方程；（2）设120x x >>，由题意得()1212ln ln x x k x x +=+，()1212ln ln x x k x x -=-，将证明212e x x >转化为证明()1212122lnx x x x x x ->+，令12x t x =，即证()21ln 1t t t ->+，令()()()21ln 11t h t t t t -=->+，求导判断单调性即可证明. (1)由题意，()21ln x f x x -'=，则212e e f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，1e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =在点11,e e f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为()21e 2e e y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即22e 3e 0x y --=. (2)设120x x >>，由题意，()()120g x g x ==，所以1122ln 0,ln 0x kx x kx -=-=，可得()1212ln ln x x k x x +=+，()1212ln ln x x k x x -=-，要证明212e x x >，只需证12ln ln 2x x +>，即()122k x x +>，因为1212ln ln x x k x x -=-，所以可转化为证明121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即()1212122lnx x x x x x ->+，令12x t x =，则1t >，即证()21ln 1t t t ->+，令()()()21ln 11t h t t t t -=->+，则()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++，所以函数()h t 在()1,+∞上是增函数，所以()()211ln1011h t ⨯->-=+，即()21ln 1t t t ->+得证，所以212e x x >.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用． 3．(1)1- (2)2(3)证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数判断函数()f x 的单调性，进而可得最值；（2）将不等式恒成立转化为求函数()g x 的最大值问题，可得参数取值范围；（3）根据函数()f x 与()g x 的单调性直接可证不等式. (1)函数()ln ln ex f x x x x x ==-的定义域为()0,∞+，()ln f x x '=，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()1,x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 11f x f ==-． (2)函数()2ln 1g x a x x =-+，0x >，则()()2220a a x g x x x x x-'=-=>，当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在()0,∞+上单调递减，此时存在()00,1x ∈，使得()()010g x g >=，与题设矛盾，当0a >时，x ⎛∈ ⎝时，()0g x '>，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0g x '<，故()g x 在⎛⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减，所以()max 1ln 12222a a a ag x g a ==+=-+，要使()0g x ≤在()0,∞+恒成立，则()max 0g x ≤，即ln 10222a a a -+≤，又由（1）知()ln 1f x x x x =-≥-即ln 10x x x -+≥，（当且仅当1x =时，等号成立）．令2ax =有ln 10222a a a -+≥，故ln 1022a a -+=且12a =，所以2a =． (3)由（1）知()l n 1l n x f x x x x ex ==-≥-（当且仅当1x =时等号成立）．令()10t x t t +=>，则1x >，故111ln 1t t t t t t +++->-，即11ln 1tt t ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以11e tt t ++⎛⎫> ⎪⎝⎭令2022t =，则20232023e 2022⎛⎫> ⎪⎝⎭；由（2）知22ln 1x x ≤-在()0,∞+上恒成立，所以22ln 1x x ≤-（当且仅当1x =时等号成立）．令()210m x m m +=>，则21x >，故11ln 1m m m m ++<-，即1ln 1mm m +⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以1e mm m +⎛⎫< ⎪⎝⎭．令2022m =，则20222023e 2022⎛⎫< ⎪⎝⎭综上，2022202320232023e 20222022⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 4．(1)证明见解析，()0,3T ；(2)⎛ ⎝⎦. 【解析】【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),3C m -，利用点斜式写出直线AC ，BC 的方程，由C 在两直线上，即可知直线AB 的方程，进而确定定点.（2）联立抛物线24x y =和圆T ：()2223x y r +-=，由题设及一元二次方程根的个数求参数r 的范围，由122PQMN QM PNS y y +=⋅-结合韦达定理得到PQMN S 关于r 的表达式，构造函数并利用导数研究区间单调性，进而求范围. (1)设()11,A x y ，()22,B x y ，(),3C m -，则12AC x k =，22BC xk =，直线AC 为：()1111122x x x y y x x y y -=-⇒=-，同理直线BC 为：222x xy y =-，把(),3C m -代入直线AC ，BC 得：11223232x m y x m y⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，∴()11,A x y ，()22,B x y 都满足直线方程32xm y -=-，则32xmy =+为直线AB 的方程，故直线l 恒过定点()0,3T ． (2)如图，设圆T 的半径为r ，()11,M x y ，()22,N x y ，()11,Q x y -，()22,P x y -，把24x y =代入圆T ：()2223x y r +-=，整理得22290y y r -+-=，由题意知：关于y 的一元二次方程有两个不等实根，则()21221244902090r y y y y r ⎧∆=-->⎪⎪+=>⎨⎪=->⎪⎩，可得223r <．(1212121212122222PQMN QM PNS y y y y y y y y y y y y +=⋅-=-=++-()()()2222222944942198r r r r =+---=+--29r t -=，由223r <得：01t <<，则()()2211PQMN S t t =+-令()()()211f t t t =+-且01t <<，则()()()311f t t t '=--+，故在1(0,)3上()0f t '>，()f t 递增；在1(,1)3上()0f t '<，()f t 递减；所以132()()327f t f ≤=，又(0)1f =，(1)0f =，故f t 的取值范围是320,27⎛⎤ ⎥⎝⎦，综上，PQMN S的取值范围是⎛ ⎝⎦．【点睛】关键点点睛：第二问，由圆T ：()2223x y r +-=，联立抛物线方程，结合四边形面积公式得到关于参数r 的表达式，再应用函数思想并利用导数求面积的范围. 5．(1)单调递增 (2)证明见解析【解析】【分析】（1）直接求导，判断出导数大于0，即可得到单调性；（2）直接由1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x=+-的两个零点得到1212122ln x xx x x x -=，分别解出1211212ln x x x xx -=，2121212ln x x x x x -=，再换元令12x t x =构造函数()12ln l t t t t=--，求导确定单调性即可求解. (1)由题意，函数()()sin 1ln T x x x =-+，则()()1cos 1T x x x'=--+，又∵()0,1x ∈，∴11x>，()()10,1,cos 11x x -∈-<，∴()0T x '>，∴()T x 在（0，1）上单调递增． (2)根据题意，()()1ln 02h x x b x x =+->， ∵1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x =+-的两个零点，∴111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=．两式相减，可得122111ln 22xx x x =-，即112221ln 2x x xx x x -=，∴1212122ln x x x x x x -=，则1211212ln x x x x x -=，2121212ln xx x x x -=．令12x t x =，()0,1t ∈，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=．记()12ln l t t t t =--，()0,1t ∈，则()()221t l t t-'=．又∵()0,1t ∈，∴()0l t '>恒成立，∴()l t 在()0,1上单调递增，故()()1l t l <，即12ln 0t t t --<，即12ln t t t-<．因为ln 0t <，可得112ln t t t->，∴121x x +>．【点睛】本题关键点在于对双变量的处理，通过对111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=作差，化简得到1212122ln x x x x xx -=，分别得到12,x x 后，换元令12x t x =，这样就转换为1个变量，再求导确定单调性即可求解． 6．(1)1a > (2)证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，分1a ≤和1a >进行讨论，1a >时结合零点存在定理说明存在零点即可；（2）先构造函数()ln 1g x a x x =-+，求导证明函数先增后减，故只要说明两个端点大于0即可，化简得到()()0001()1212g x x x a =--+，由(21)0f a ->借助()f x 的单调性说明021<<-a x a ，即可得到0()0g x >. (1)2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a f x x a x x x-++--=+-+=='，①若1a ≤，则()0f x '>在(1,)+∞恒成立，即()f x 在(1,)+∞上单调递增，当1x >时，()(1)0f x f >=，与()f x 有一个大于1的零点0x 矛盾．②若1a >，令()0f x '>，解得01x <<或x a >，令()0f x '<，解得1x a <<．所以()f x 在(0,1)和(,)a +∞上单调递增，在(1,)a 单调递减．所以()(1)0f a f <=，当x →+∞时，()f x →+∞，由零点存在性定理，()f x 在(,)a +∞上存在一个零点0x ．综上，1a >． (2)令()ln 1,()1'-=-+=-=a a x g x a x x g x x x，由（1）知01<<a x ，令()0g x '>，解得1x a <<，令()0g x '<，解得0a x x <<，故()g x 在(1,)a 单调递增，在()0,a x 单调递减．(1)0g =，()000ln 1=-+g x a x x因为0x 为函数()f x 的零点，故()20001ln (1)022=+-+++=x f x a x a x a ，即20001ln (1)22=-++--x a x a x a ，所以()()220000000011ln 1112222x x g x a x x a x a x ax a =-+=-++---+=-+-+()()0011212=--+x x a ．又因为2(21)1(21)ln(21)(1)(21)ln(21)2222--=-+-+-++=--+a f a a a a a a a a a ，令()ln(21)22=--+h a a a a ，则21()ln(21)2ln(21)12121=-+-=-+-'--a h a a a a a ，令1()ln(21)121m a a a =-+--， 22224(1)()021(21)(21)a m a a a a -'=-=>---恒成立，所以()h a '在(1,)+∞单调递增，()(1)0h a h ''>=，所以()h a 在(1,)+∞单调递增，()(1)0h a h >=，即(21)0f a ->，由（1）可知()0f a <，所以021<<-a x a ，因为0010,210-<-+<x x a ，所以()()()000112102=--+>g x x x a ，所以()0>g x 在(]01,x x ∈恒成立，故对任意的(]01,x x ∈，都有ln 10-+>a x x 恒成立．【点睛】本题关键点在于构造函数()ln 1g x a x x =-+后，如何说明()()0001()1212g x x x a =--+大于0，由(21)0f a ->借助()f x 的单调性说明021<<-a x a ，即可得到0()0g x >，即可得证. 7．(1)()f x 在0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； (2)证明见解析. 【解析】【分析】（1）首先确定()f x 定义域，再应用二阶导数的符号判断f x 的单调性，进而分区间判断f x 的符号，即可确定()f x 的单调性.（2）求()f x 的二阶导，根据其符号知f x 在()0,+∞上单调递增，令0f x 得到ln 1x x a+=，构造()ln 1x h x x a=+-结合其单调性，注意利用导数研究()ln 1x x x ϕ=-+的符号，再用放缩法判断1a h a ⎛⎫⎪+⎝⎭、()1ea h +的符号，即可判断零点0x 的唯一性，进而得到00011ln ln xx a x -==-，结合基本不等式求证()00f x ≥.(1)当1a =时，()1e ln 1xf x x -=--，定义域为()0,+∞，则()11e x f x x -'=-，()121e 0xf x x -+'=>'，所以f x 在()0,+∞上单调递增，又()10f '=，当01x <<时，0f x ，所以()f x 在区间0,1上单调递减；当1x >时，0f x，所以()f x 在区间()1,+∞上单调递增.综上，()f x 在0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. (2)由题意，()11ex af x x -='-，()1211e 0x af x a x-=⋅+'>'，则f x 在()0,+∞上单调递增，至多有一个零点，令()ln 1x x x ϕ=-+，其中1x >，则()111xx x xϕ-'=-=，当()0,1x ∈时，()0ϕ'>x ，()ϕx 单调递增. 当()1,x ∈+∞时，()0ϕ'<x ，()ϕx 单调递减，所以()()10x ϕϕ≤=，即ln 10x x -+≤，于是ln 1≤-x x ，令0f x，则e e x a x ⋅=，两边取自然对数可得ln 1xx a+=，令()ln 1x h x x a=+-，则()h x 在()0,+∞上单调递增.故11ln1111011111a a a h a a a a a ⎛⎫=+-≤-+-=-<⎪+++++⎝⎭，又()11111e eln ee 10a a a a h a a a++++=+⋅-=+>，所以()h x 在()0,+∞上有唯一零点0x ，则f x 有唯一零点0x ，即()f x 有唯一极值点0x .下证()00f x ≥：因为()01001e0x af x x -'=-=，所以0101e x a x -=，可得00011ln ln x x a x -==-，所以()010000e ln 11120x ax a f x a x x a -=--=+--≥=，当且仅当0x a =时等号成立，综上，()f x 有唯一极值点0x 且()00f x ≥，得证. 【点睛】关键点点睛：第二问，利用二阶导数研究一阶导数的单调性，根据零点所得的等量关系构造()ln 1x h x x a=+-，结合单调性、零点存在性定理判断f x 零点的唯一性，进而利用基本不等式证明不等式. 8．(1)322ln230x y -+-=(2)当0a <时，函数()f x 有一个极值点；当809a ≤≤时，函数()f x 无极值点；当89a >时，函数()f x 有两个极值点. (3)0,1 【解析】【分析】（1）将1a =代入函数()f x 中，得出函数()f x 的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件，对a 进行分类讨论，利用导数法求函数极值的步骤及函数极值的定义即可求解；（3）根据()0,0x f x ∀>成立，转化为()min 0,0x f x ∀>即可，再利用第（2）的结论即可求解. (1)当1a =时，()2()ln 1f x x x x =++-()()21ln 1111ln 2f =++-=，所以切点为()1,ln2，()()11321,12111112f x x k f x ''=+-∴==+⨯-=++，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为()312k f ='=，所以曲线()y f x =在点()1,ln2处的切线的斜率切线方程为()3ln212y x -=-，即322ln230x y -+-= (2)由题意知函数()f x 的定义域为()1,-+∞，()()21212111ax ax a f x a x x x +-+=+-='++，令()()221,1,g x ax ax a x =+-+∈-+∞，（i ）当0a =时，()10f x '=>，函数()f x 在()1,-+∞单调递增，无极值点（ii ）当0a >时，()Δ98a a =-，①当809a <≤时，()()Δ0,0,0g x f x '≤≥≥，所以函数()f x 在()1,-+∞单调递增，无极值点； ②当89a >时，Δ0>，设方程2210ax ax a +-+=两根1212,,x x x x ==此时12x x <()121211111,,,110,12444x x x x g x +=-∴---=>-<<∴<->()()121,,,x x x ∴∈-+∞时，()()0,0g x f x '>>，函数()f x 单调递增；()12,x x x ∈时，()()0,0g x f x '<<，函数()f x 单调递减. ∴函数有两个极值点；③当0a <时，()Δ980a a =->，设方程2210ax ax a +-+=两根1212,,x x x x ==此时12x x >()12110,1x g x -=>∴-<<()11,x x ∴∈-时，()()0,0g x f x '>>，函数()f x 单调递增； ()1,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '<<，函数()f x 单调递减.∴函数有一个极值点；综上所述：当0a <时，函数()f x 有一个极值点；当809a ≤≤时，函数()f x 无极值点；当89a >时，函数()f x 有两个极值点. (3)由()0,0x f x ∀>成立等价于()min 0,0x f x ∀>≥即可. ①当809a ≤≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，()()00,0,f x =∴∈+∞时，()0f x >，符合题意；②当819a <≤时，由()00g >，得20x ≤，∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增，又()()00,0,f x =∴∈+∞时，()0f x >，符合题意； ③当1a >时，由()00<g ，得20x >()20,x x ∴∈时， ()f x 单调递减,()()200,0,f x x =∴∈时，()0f x <时，不合题意；④当0a <时，设()()ln 1h x x x =-+，()0,x ∈+∞，时，()()110,11x h x h x x x =-=>∴+'+在()0,+∞上单调递增. ∴当()0,x ∞∈+时，()()00h x h >=，即()ln 1x x +<，可得()()()221f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a>-时，()210ax a x +-<，此时()0f x <，不合题意.综上，a 的取值范围是0,1. 【点睛】解决此题的关键是第一问利用导数的几何意义及点斜式即可，第二问主要是对参数进行分类讨论，再结合利用导数法求函数的极值的步骤即可，第三问主要将恒成立问题转化为最值问题再结合第二问的结论即可求解. 9．(1)'y ()31sin 2cos x x xx --=；(2)'y ()e 1cos sin 2ln 2x xx x =+--；(3)'y ()551ln 3x =-⋅.【解析】【分析】根据导数的运算法则，对（1）（2）（3）逐个求导，即可求得结果. (1)因为2cos x x y x -=，故'y ()()()243sin 12cos 1sin 2cos x x x x x x x x x x------==. (2)因为()e 1cos 2x x y x =+-，故'y ()e 1cos sin 2ln 2x xx x =+--.(3)因为()3log 51y x =-，故'y ()()155?51ln 351ln 3x x =⨯=--⋅. 10．(1)答案见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【解析】【分析】（1）求得()'f x ，对参数a 进行分类讨论，即可求得不同情况下函数的单调性；（2）构造函数()ln 1g x x x =-+，利用导数研究函数单调性和最值，即可证明；（3）根据（2）中所求得2211ln 1n n ⎛⎫+<⎪⎝⎭，结合累加法即可求证结果. (1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，22()2a a xf x x x x'+=+=，①当0a >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；②当0a <时，令()0f x '=，解得x =当0x <<220a x +<，所以()0f x '<，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，当x >220a x +>，所以()0f x '>，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.综上，当0a >时，函数()f x 在(0,)+∞上调递增；当0a <时，函数()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. (2)当1a =时，2()ln f x x x =+，要证明2()1f x x x ≤+-，即证ln 1≤-x x ，即ln 10x x -+≤，设()ln 1g x x x =-+，则1()xg x x-'=，令()0g x '=得，可得1x =，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<．所以()(1)0g x g ≤=，即ln 10x x -+≤，故2()1f x x x ≤+-. (3)由（2）可得ln 1≤-x x ，（当且仅当1x =时等号成立），令211x n =+，1,2,3,n =，则2211ln 1n n ⎛⎫+<⎪⎝⎭，故2211ln 1ln 123⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (222)111ln 123n ⎛⎫++<++ ⎪⎝⎭…21111223n +<++⨯⨯…()11n n +- 1111223⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…11111lne 1n n n ⎛⎫+-=-<= ⎪-⎝⎭，即222111ln[111234⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…211]lne n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，故222111111234⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (2)11e n ⎛⎫+<⎪⎝⎭. 【点睛】本题考察利用导数研究含参函数单调性，以及构造函数利用导数证明不等式，以及数列和导数的综合，属综合困难题.。

高三数学：2024届高考数学导数大题精选30题(解析版)(共31页)

2024届新高考数学导数大题精选30题1(2024·安徽·二模)已知函数f (x )=x 2-10x +3f (1)ln x .(1)求函数f (x )在点(1,f (1))处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间和极值.【答案】(1)y =4x -13；(2)递增区间为(0,2),(3,+∞)，递减区间为2,3 ，极大值-16+12ln2，极小值-21+12ln3.【分析】(1)求出函数f (x )的导数，赋值求得f (1)，再利用导数的几何意义求出切线方程.(2)由(1)的信息，求出函数f (x )的导数，利用导数求出单调区间及极值.【详解】(1)函数f (x )=x 2-10x +3f (1)ln x ，求导得f(x )=2x -10+3f (1)x，则f (1)=-8+3f (1)，解得f (1)=4，于是f (x )=x 2-10x +12ln x ，f (1)=-9，所以所求切线方程为：y +9=4(x -1)，即y =4x -13.(2)由(1)知，函数f (x )=x 2-10x +12ln x ，定义域为(0,+∞)，求导得f (x )=2x -10+12x =2(x -2)(x -3)x，当0<x <2或x >3时，f (x )>0，当2<x <3时，f (x )<0，因此函数f (x )在(0,2),(3,+∞)上单调递增，在(2,3)上单调递减，当x =2时，f (x )取得极大值f (2)=-16+12ln2，当x =3时，f (x )取得极小值f (3)=-21+12ln3，所以函数f (x )的递增区间为(0,2),(3,+∞)，递减区间为(2,3)，极大值-16+12ln2，极小值-21+12ln3.2(2024·江苏南京·二模)已知函数f (x )=x 2-ax +ae x，其中a ∈R ．(1)当a =0时，求曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程；(2)当a >0时，若f (x )在区间[0,a ]上的最小值为1e，求a 的值．【答案】(1)x -ey =0(2)a =1【分析】(1)由a =0，分别求出f (1)及f (1)，即可写出切线方程；(2)计算出f (x )，令f (x )=0，解得x =2或x =a ，分类讨论a 的范围，得出f (x )的单调性，由f (x )在区间[0,a ]上的最小值为1e，列出方程求解即可．【详解】(1)当a =0时，f (x )=x 2e x ，则f (1)=1e ，f (x )=2x -x 2ex，所以f (1)=1e ，所以曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程为：y -1e =1e(x -1)，即x -ey =0．(2)f(x )=-x 2+(a +2)x -2a e x =-(x -2)(x -a )ex，令f (x )=0，解得x =2或x =a ，当0<a <2时，x ∈[0,a ]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,a ]上单调递减，所以f (x )min =f (a )=a ea =1e ，则a =1，符合题意；当a >2时，x ∈[0,2]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,2]上单调递减，x ∈(2,a ]时，f (x )>0，则f (x )在(2,a ]上单调递增，所以f (x )min =f (2)=4-a e2=1e ，则a =4-e <2，不合题意；当a =2时，x ∈[0,2]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,2]上单调递减，所以f (x )min =f (2)==2e 2≠1e ，不合题意；综上，a =1．3(2024·浙江绍兴·模拟预测)已知f x =ae x -x ，g x =cos x . (1)讨论f x 的单调性.(2)若∃x 0使得f x 0 =g x 0 ，求参数a 的取值范围.【答案】(1)当a ≤0时，f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.(2)-∞,1【分析】(1)对f x =ae x -x 求导数，然后分类讨论即可；(2)直接对a >1和a ≤1分类讨论，即可得到结果.【详解】(1)由f x =ae x -x ，知f x =ae x -1.当a ≤0时，有f x =ae x -1≤0-1=-1<0，所以f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，对x <-ln a 有f x =ae x -1<ae -ln a -1=1-1=0，对x >-ln a 有f x =ae x -1>ae -ln a -1=1-1=0，所以f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.综上，当a ≤0时，f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.(2)当a >1时，由(1)的结论，知f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增，所以对任意的x 都有f x ≥f -ln a =ae -ln a +ln a =1+ln a >1+ln1=1≥cos x =g x ，故f x >g x 恒成立，这表明此时条件不满足；当a ≤1时，设h x =ae x -x -cos x ，由于h -a -1 =ae -a -1+a +1-cos -a -1 ≥ae-a -1+a ≥-a e-a -1+a =a 1-e-a -1≥a 1-e 0=0，h 0 =ae 0-0-cos0=a -1≤0，故由零点存在定理，知一定存在x 0∈-a -1,0 ，使得h x 0 =0，故f x 0 -g x 0 =ae x 0-x 0-cos x 0=h x 0 =0，从而f x 0 =g x 0 ，这表明此时条件满足.综上，a 的取值范围是-∞,1 .4(2024·福建漳州·一模)已知函数f x =a ln x -x +a ，a ∈R 且a ≠0．(1)证明：曲线y =f x 在点1,f 1 处的切线方程过坐标原点．(2)讨论函数f x 的单调性．【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】(1)先利用导数的几何意义求得f x 在1,f 1 处的切线方程，从而得证；(2)分类讨论a <0与a >0，利用导数与函数的单调性即可得解.【详解】(1)因为f x =a ln x -x +a x >0 ，所以f (x )=a x -1=a -xx，则f (1)=a ln1-1+a =a -1，f (1)=a -1，所以f x 在1,f 1 处的切线方程为:y -(a -1)=(a -1)(x -1)，当x =0时，y -(a -1)=(a -1)(0-1)=-(a -1)，故y =0，所以曲线y =f (x )在点1,f 1 处切线的方程过坐标原点.(2)由(1)得f (x )=ax -1=a -xx，当a<0时，a-x<0，则f x <0，故f(x)单调递减；当a>0时，令f (x)=0则x=a，当0<x<a时，f (x)>0，f(x)单调递增；当x>a时，f (x)<0，f(x)单调递减；综上：当a<0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减.5(2024·山东·二模)已知函数f x =a2xe x-x-ln x．(1)当a=1e时，求f x 的单调区间；(2)当a>0时，f x ≥2-a，求a的取值范围．【答案】(1)f x 的减区间为0,1，增区间为1,+∞(2)a≥1【分析】(1)当a=1e时，f x =xe x-1-x-ln x,x>0，求导得f x =x+1xxe x-1-1，令g x =xe x-1-1，求g x 确定g x 的单调性与取值，从而确定f x 的零点，得函数的单调区间；(2)求f x ，确定函数的单调性，从而确定函数f x 的最值，即可得a的取值范围．【详解】(1)当a=1e时，f x =xe x-1-x-ln x,x>0，则f x =x+1e x-1-1-1x=x+1xxe x-1-1，设g x =xe x-1-1，则g x =x+1e x-1>0恒成立，又g1 =e0-1=0，所以当x∈0,1时，f x <0，f x 单调递减，当x∈1,+∞时，f x >0，f x 单调递增，所以f x 的减区间为0,1，增区间为1,+∞；(2)f x =a2x+1e x-1-1x=x+1xa2xe x-1，设h x =a2xe x-1，则h x =a2x+1e x>0，所以h x 在0,+∞上单调递增，又h0 =-1<0，h1a2=e1a2-1>0，所以存在x0∈0,1 a2，使得h x0 =0，即a2x0e x0-1=0，当x∈0,x0时，f x <0，f x 单调递减，当x∈x0,+∞时，f x >0，f x 单调递增，当x=x0时，f x 取得极小值，也是最小值，所以f x ≥f x0=a2x0e x0-x0-ln x0=1-ln x0e x0=1+2ln a，所以1+2ln a≥2-a，即a+2ln a-1≥0，设F a =a+2ln a-1，易知F a 单调递增，且F1 =0，所以F a ≥F1 ，解得a≥1，综上，a≥1.6(2024·山东·一模)已知函数f(x)=ln x+12a(x-1)2．(1)当a=-12时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)=f(x)-2x+1有两个极值点x1,x2，且g(x1)+g(x2)≥-1-32a，求a的取值范围．【答案】(1)增区间(0,2)，减区间(2,+∞)(2)[1,+∞)【分析】(1)将a=-12代入求导，然后确定单调性即可；(2)求导，根据导函数有两个根写出韦达定理，代入g(x1)+g(x2)≥-1-32a，构造函数，求导，研究函数性质进而求出a的取值范围．【详解】(1)当a=-12时，f(x)=ln x-14(x-1)2，x>0，则f (x)=1x-12(x-1)=-(x-2)(x+1)2x，当x∈(0,2)，f (x)>0，f(x)单调递增，当x∈(2,+∞)，f (x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,+∞)；(2)g(x)=f(x)-2x+1=ln x+12a(x-1)2-2x+1，所以g (x)=1x+a(x-1)-2=ax2-(a+2)x+1x，设φ(x)=ax2-(a+2)x+1，令φ(x)=0，由于g(x)有两个极值点x1,x2，所以Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0x1+x2=a+2a>0x1x2=1a>0，解得a>0．由x1+x2=a+2a，x1x2=1a，得g x1+g x2=ln x1+12a x1-12-2x1+1+ln x2+12a x2-12-2x2+1=ln x1x2+12a x1+x22-2x1x2-2x1+x2+2-2x1+x2+2=ln1a +12a a+2a2-2a-2⋅a+2a+2-2⋅a+2a+2=ln1a +a2-2a-1≥-1-32a，即ln a-12a-1a≤0，令m(a)=ln a-12a-1a，则m (a)=1a-12-12a2=-(a-1)22a2≤0，所以m(a)在(0,+∞)上单调递减，且m(1)=0，所以a≥1，故a的取值范围是[1,+∞)．7(2024·湖北·二模)求解下列问题，(1)若kx-1≥ln x恒成立，求实数k的最小值；(2)已知a，b为正实数，x∈0,1，求函数g x =ax+1-xb-a x⋅b1-x的极值．【答案】(1)1(2)答案见解析【分析】(1)求导，然后分k≤0和k>0讨论，确定单调性，进而得最值；(2)先发现g0 =g1 =0，当a=b时，g x =0，当0<x<1，a≠b时，取ab=t，L x =tx+1-x-t x，求导，研究单调性，进而求出最值得答案.【详解】(1)记f x =kx-1-ln x x>0，则需使f x ≥0恒成立，∴f x =k-1xx>0，当k≤0时，f x <0恒成立，则f x 在(0,+∞)上单调递减，且在x>1时，f x <0，不符合题意，舍去；当k >0时．令f x =0，解得x =1k，则f x 在0,1k 上单调递减，在1k ,+∞ 上单调递增，所以f x min =f 1k =-ln 1k=ln k ，要使kx -1≥ln x 恒成立，只要ln k ≥0即可，解得k ≥1，所以k 的最小值为1；(2)g (x )=ax +(1-x )b -a x ⋅b 1-x ，x ∈[0,1]，a >0，b >0，易知g 0 =g 1 =0，当a =b 时，g x =ax +a -ax -a =0，此时函数无极值；当0<x <1，a ≠b 时，g (x )=ax +(1-x )b -b ⋅a b x =b a b x +1-x -a b x，取ab=t ，t >0，t ≠1，L x =tx +1-x -t x ，t >0，t ≠1，x ∈0,1 ，则L x =t -1-t x ln t ，当t >1时，由L x ≥0得x ≤ln t -1ln tln t，由(1)知t -1≥ln t ，当t >1时，t -1ln t>1，因为x -1≥ln x ，所以1x -1≥ln 1x ，所以ln x ≥1-1x ，即x >0，当t >1时，ln t >1-1t，所以t >t -1ln t ，则ln t >ln t -1ln t >0，所以ln t -1ln tln t<1，即L x 在0,ln t -1ln t ln t 上单调递增，在ln t -1ln tln t,1单调递减．所以函数g x 极大=gln t -1lntln t，t =ab，a ≠b ，当0<t <1时，同理有ln t -1lntln t∈0,1 ，由Lx ≥0得x ≤ln t -1lntln t，即(x )在0,ln t -1lntln t上单调递增，在ln t -1lntln t,1上单调递减．所以函数g x 极大=gln t -1lntln t，t =a b，a ≠b ，综上可知，当a =b 时，函数g x 没有极值；当a ≠b 时，函数g x 有唯一的极大值g ln t -1lntln t，其中t =ab，没有极小值．【点睛】关键点点睛：取ab=t ，将两个参数的问题转化为一个参数的问题，进而求导解答问题.8(2024·湖北武汉·模拟预测)函数f (x )=tan x +sin x -92x ，-π2<x <π2,g (x )=sin n x -x n cos x ,x ∈0,π2,n ∈N +．(1)求函数f (x )的极值；(2)若g (x )>0恒成立，求n 的最大值．【答案】(1)极小值为f π3 =3(3-π)2，极大值为f -π3 =3(π-3)2；(2)3.【分析】(1)判断函数f (x )为奇函数，利用导数求出f (x )在区间0,π2上的极值，利用奇偶性即可求得定义域上的极值.(2)利用导数证明当n =1时，g (x )>0恒成立，当n >1时，等价变形不等式并构造函数F (x )=x -sin x cos 1nx,0<x <π2，利用导数并按导数为负为正确定n 的取值范围，进而确定不等式恒成立与否得解.【详解】(1)函数f (x )=tan x +sin x -92x ，-π2<x <π2，f (-x )=tan (-x )+sin (-x )-92(-x )=-f (x )，即函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，当0<x <π2时，f (x )=sin x cos x +sin x -92x ，求导得：f(x )=1cos 2x +cos x -92=2cos 3x -9cos 2x +22cos 2x =(2cos x -1)(cos x -2-6)(cos x -2+6)2cos 2x，由于cos x ∈(0,1)，由f (x )>0，得0<cos x <12，解得π3<x <π2，由f (x )<0，得12<cos x <1，解得0<x <π3，即f (x )在0,π3 上单调递减，在π3,π2上单调递增，因此函数f (x )在0,π2 上有极小值f π3 =3(3-π)2，从而f (x )在-π2,π2 上的极小值为f π3 =3(3-π)2，极大值为f -π3 =3(π-3)2.(2)当n =1时，g (x )>0恒成立，即sin x -x cos x >0恒成立，亦即tan x >x 恒成立，令h (x )=tan x -x ,x ∈0,π2 ，求导得h (x )=1cos 2x -1=1-cos 2x cos 2x=tan 2x >0，则函数h (x )在0,π2上为增函数，有h (x )>h (0)=0，因此tan x -x >0恒成立；当n >1时，g (x )>0恒成立，即不等式sin xn cos x>x 恒成立，令F (x )=x -sin x cos 1n x ,0<x <π2，求导得：F (x )=1-cos x ⋅cos 1nx -1n⋅cos1n-1x ⋅(-sin x )⋅sin xcos 2nx=1-cos1+n nx +1n⋅sin 2x ⋅cos1-n nxcos 2nx=1-cos 2x +1n ⋅sin 2xcos n +1nx =cosn +1nx -cos 2x -1n (1-cos 2x )cos n +1nx =cosn +1nx -1n -n -1ncos 2x cosn +1nx令G (x )=cos n +1nx -1n -n -1n cos 2x ，求导得则G (x )=n +1n cos 1nx ⋅(-sin x )-n -1n⋅2cos x ⋅(-sin x )=sin x n (2n -2)cos x -(n +1)cos 1n x =2n -2n ⋅sin x cos x -n +12n -2cos 1n x=2n -2n ⋅sin x ⋅cos 1n x cos n -1n x -n +12n -2，由n >1,x ∈0,π2 ，得2n -2n⋅sin x ⋅cos 1nx >0，当n +12n -2≥1时，即n ≤3时，G (x )<0，则函数G (x )在0,π2上单调递减，则有G (x )<G (0)=0，即F (x )<0，因此函数F (x )在0,π2 上单调递减，有F (x )<F (0)=0，即g (x )>0，当n +12n -2<1时，即n >3时，存在一个x 0∈0,π2 ，使得cos n -1n x 0=n +12n -2，且当x ∈(0,x 0)时，G (x )>0，即G (x )在(0,x 0)上单调递增，且G (x )>G (0)=0，则F (x )>0，于是F (x )在(0,x 0)上单调递增，因此F (x )>F (0)=0，即sin xn cos x<x ，与g (x )>0矛盾，所以n 的最大值为3.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．9(2024·湖北·模拟预测)已知函数f x =ax 2-x +ln x +1 ，a ∈R ，(1)若对定义域内任意非零实数x 1，x 2，均有f x 1 f x 2x 1x 2>0，求a ；(2)记t n =1+12+⋅⋅⋅+1n ，证明：t n -56<ln n +1 <t n ．【答案】(1)a =12(2)证明见解析【分析】(1)求导可得f 0 =0，再分a ≤0与a >0两种情况分析原函数的单调性，当a >0时分析极值点的正负与原函数的正负区间，从而确定a 的值；(2)由(1)问的结论可知，1n -12n2<ln 1n +1 <1n ，再累加结合放缩方法证明即可.【详解】(1)f x 的定义域为-1,+∞ ，且f 0 =0；f x =2ax -1+1x +1=2ax -x x +1=x 2a -1x +1，因此f 0 =0；i.a ≤0时，2a -1x +1<0，则此时令f x >0有x ∈-1,0 ，令f x <0有x ∈0,+∞ ，则f x 在-1,0 上单调递增，0,+∞ 上单调递减，又f 0 =0，于是f x ≤0，此时令x 1x 2<0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；ii .a >0时，f x 有零点0和x 0=12a-1，若x 0<0，即a >12，此时令f x <0有x ∈x 0,0 ，f x 在x 0,0 上单调递减，又f 0 =0，则f x 0 >0，令x 1>0，x 2=x 0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；若x 0>0，即0<a <12，此时令f x <0有x ∈0,x 0 ，f x 在0,x 0 上单调递减，又f 0 =0，则f x 0 <0，令-1<x 1<0,x 2=x 0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；若x 0=0，即a =12，此时fx =x 2x +1>0，f x 在-1,+∞ 上单调递增，又f 0 =0，则x >0时f x >0，x <0时f x <0；则x ≠0时f x x >0，也即对x 1x 2≠0，f x 1 f x 2x 1x 2>0，综上，a =12(2)证：由(1)问的结论可知，a =0时，f x =-x +ln x +1 ≤0；且a =12时x >0，f x =12x 2-x +ln x +1 >0；则x>0时，x-12x2<ln x+1<x，令x=1n，有1n-12n2<ln1n+1<1n，即1n-12n2<ln n+1-ln n<1n，于是1n-1-12n-12<ln n-ln n-1<1n-11-12<ln2<1将上述n个式子相加，t n-121+122+⋅⋅⋅+1n2<ln n+1<t n；欲证t n-56<ln n+1<t n，只需证t n-56<t n-121+122+⋅⋅⋅+1n2，只需证1+122+⋅⋅⋅+1n2<53；因为1n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1，所以1+122+⋅⋅⋅+1n2<1+213-15+15-17+⋅⋅⋅+12n-1-12n+1=53-22n+1<53，得证：于是得证t n-56<ln n+1<t n.【点睛】方法点睛：(1)此题考导数与函数的综合应用，找到合适的分类标准，设极值点，并确定函数正负区间是解此题的关键；(2)对累加结构的不等式证明，一般需要应用前问的结论，取特定参数值，得出不等式累加证明，遇到不能累加的数列结构，需要进行放缩证明.10(2024·湖南·一模)已知函数f x =sin x-ax⋅cos x,a∈R．(1)当a=1时，求函数f x 在x=π2处的切线方程；(2)x∈0,π2时；(ⅰ)若f x +sin2x>0，求a的取值范围；(ⅱ)证明：sin2x⋅tan x>x3．【答案】(1)πx-2y+2-π22=0.(2)(ⅰ)a≤3(ⅱ)证明见解析【分析】(1)令a=1时，利用导数的几何意义求出斜率，进行计算求出切线方程即可.(2)(ⅰ)设g(x)=2sin x+tan x-ax,x∈0,π2,由g x >0得a≤3，再证明此时满足g x >0.(ⅱ)根据(ⅰ)结论判断出F x =sin2x⋅tan x-x3在0,π2上单调递增，∴F(x)>F(0)=0,即sin2x tan x >x3.【详解】(1)当a=1时，f(x)=sin x-x⋅cos x,f (x)=cos x-(cos x-x⋅sin x)=x⋅sin x,fπ2=π2,fπ2=1.所以切线方程为：y-1=π2x-π2,即πx-2y+2-π22=0.(2)(ⅰ)f(x)+sin2x=sin x-ax⋅cos x+sin2x>0,即tan x-ax+2sin x>0,x∈0,π2，设g(x)=2sin x+tan x-ax,x∈0,π2,g (x )=2cos x +1cos 2x -a =1cos 2x(2cos 3x -a cos 2x +1).又∵g (0)=0,g (0)=3-a ,∴g (0)=3-a ≥0是g (x )>0的一个必要条件，即a ≤3.下证a ≤3时，满足g (x )=2sin x +tan x -ax >0,x ∈0,π2,又g (x )≥1cos 2x(2cos 3x -3cos 2x +1)，设(t )=2t 3-3t 2+1,t ∈(0,1),h (t )=6t 2-6t =6t (t -1)<0,h (t )在(0,1)上单调递减，所以h (t )>h (1)=0，又x ∈0,π2 ,cos x ∈(0,1),∴g (x )>0,即g (x )在0,π2 单调递增.∴x ∈0,π2时，g (x )>g (0)=0；下面证明a >3时不满足g (x )=2sin x +tan x -ax >0,x ∈0,π2,，g (x )=2cos x +1cos 2x-a ，令h (x )=g (x )=2cos x +1cos 2x -a ，则h (x )=-2sin x +2sin x cos 3x =2sin x 1cos 3x-1，∵x ∈0,π2 ,∴sin x >0,1cos 3x-1>0，∴h (x )>0,∴h (x )=g (x )在0,π2为增函数，令x 0满足x 0∈0,π2,cos x 0=1a ，则g x 0 =2cos x 0+1cos 2x 0-a =2cos x 0+a -a >0，又g (0)=3-a <0,∴∃x 1∈0,x 0 ,使得g x 1 =0，当x ∈0,x 1 时，g (x )<g x 1 =0，∴此时g (x )在0,x 1 为减函数，∴当x ∈0,x 1 时，g (x )<g (0)=0，∴a >3时，不满足g (x )≥0恒成立.综上a ≤3.(ⅱ)设F (x )=sin 2x ⋅tan x -x 3,x ∈0,π2 ,F (x )=2sin x ⋅cos x ⋅tan x +sin 2x ⋅1cos 2x-3x 2=2sin 2x +tan 2x -3x 2=2(sin x -x )2+(tan x -x )2+2(2sin x +tan x )x -2x 2-x 2-3x 2.由(ⅰ)知2sin x +tan x >3x ,∴F (x )>0+0+2x ⋅3x -6x 2=0,，F x 在0,π2上单调递增，∴F (x )>F (0)=0,即sin 2x tan x >x 3.【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是进行必要性探路，然后证明充分性，得到所要求的参数范围即可．11(2024·全国·模拟预测)已知函数f (x )=ln (1+x )-11+x．(1)求曲线y =f (x )在(0,f (0))处的切线方程；(2)若x ∈(-1,π)，讨论曲线y =f (x )与曲线y =-2cos x 的交点个数．【答案】(1)y =32x -1；(2)2．【分析】(1)求导，即可根据点斜式求解方程，(2)求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性，结合最值求解.【详解】(1)依题意，f x =11+x +121+x 32，故f 0 =32，而f 0 =-1，故所求切线方程为y +1=32x ，即y =32x -1．(2)令ln 1+x -11+x =-2cos x ，故ln 1+x +2cos x -11+x=0，令g x =ln 1+x +2cos x -11+x ，g x =11+x -2sin x +121+x -32，令h x =g x =11+x -2sin x +121+x -32，hx =-11+x2-2cos x -341+x -52．①当x ∈-1,π2时，cos x ≥0,1+x 2>0,1+x-52>0，∴h x <0,∴h x 在-1,π2上为减函数，即gx 在-1,π2 上为减函数，又g 0 =1+12>0,g1 =12-2sin1+12⋅2-32<12-2⋅sin1+12<1-2×12=0，∴g x 在0,1 上有唯一的零点，设为x 0，即g x 0 =00<x 0<1 ．∴g x 在-1,x 0 上为增函数，在x 0,π2上为减函数．又g 0 =2-1>0,g -π4 =ln 1-π4 +2cos -π4 -11-π4=ln 1-π4+2-11-π4<0,g π2=ln 1+π2 -11+π2>0，∴g x 在-1,x 0 上有且只有一个零点，在x 0,π2上无零点；②当x ∈π2,5π6 时，g x <11+x -1+121+x-32<0,g x 单调递减，又g π2 >0,g 5π6 =ln 1+5π6 -3-1+5π6-12<ln4-3<0，∴g x 在π2,5π6内恰有一零点；③当x ∈5π6,π 时，hx =-11+x2-2cos x -341+x -52为增函数，∴hx =h 5π6 =-11+5π62+1-34⋅1+5π6-52>0，∴g x 单调递增，又g π >0,g 5π6 <0，所以存在唯一x 0∈5π6,π ,g x 0 =0，当x ∈5π6,x 0 时，g x <0,g x 递减；当x ∈x 0,π 时，g x >0,g x 递增，g x ≤max g 5π6 ,g π <0，∴g x 在5π6,π内无零点．综上所述，曲线y =f x 与曲线y =-2cos x 的交点个数为2．【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.12(2024·广东佛山·二模)已知f x =-12e 2x +4e x -ax -5.(1)当a =3时，求f x 的单调区间；(2)若f x 有两个极值点x 1，x 2，证明：f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】(1)求导后，借助导数的正负即可得原函数的单调性；(2)借助换元法，令t =e x ，t 1=e x 1，t 2=e x 2，可得t 1、t 2是方程t 2-4t +a =0的两个正根，借助韦达定理可得t 1+t 2=4，t 1t 2=a ，即可用t 1、t 2表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，进而用a 表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.【详解】(1)当a =3时，f x =-12e 2x +4e x -3x -5，f x =-e 2x +4e x -3=-e x -1 e x -3 ，则当e x ∈0,1 ∪3,+∞ ，即x ∈-∞,0 ∪ln3,+∞ 时，f x <0，当e x ∈1,3 ，即x ∈0,ln3 时，f x >0，故f x 的单调递减区间为-∞,0 、ln3,+∞ ，单调递增区间为0,ln3 ；(2)f x =-e 2x +4e x -a ，令t =e x ，即f x =-t 2+4t -a ，令t 1=e x 1，t 2=e x 2，则t 1、t 2是方程t 2-4t +a =0的两个正根，则Δ=-4 2-4a =16-4a >0，即a <4，有t 1+t 2=4，t 1t 2=a >0，即0<a <4，则f x 1 +f x 2 +x 1+x 2=-12e 2x 1+4e x 1-ax 1-5-12e 2x2+4e x 2-ax 2-5+x 1+x 2=-12t 21+t 22 +4t 1+t 2 -a -1 ln t 1+ln t 2 -10=-12t 1+t 2 2-2t 1t 2 +4t 1+t 2 -a -1 ln t 1t 2-10=-1216-2a +16-a -1 ln a -10=a -a -1 ln a -2，要证f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0，即证a -a -1 ln a -2<00<a <4 ，令g x =x -x -1 ln x -20<x <4 ，则g x =1-ln x +x -1x =1x-ln x ，令h x =1x -ln x 0<x <4 ，则h x =-1x 2-1x <0，则g x 在0,4 上单调递减，又g 1 =11-ln1=1，g 2 =12-ln2<0，故存在x 0∈1,2 ，使g x 0 =1x 0-ln x 0=0，即1x 0=ln x 0，则当x ∈0,x 0 时，g x >0，当x ∈x 0,4 时，g x <0，故g x 在0,x 0 上单调递增，g x 在x 0,4 上单调递减，则g x ≤g x 0 =x 0-x 0-1 ln x 0-2=x 0-x 0-1 ×1x 0-2=x 0+1x 0-3，又x 0∈1,2 ，则x 0+1x 0∈2,52 ，故g x 0 =x 0+1x 0-3<0，即g x <0，即f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助换元法，令t =e x ，t 1=e x 1，t 2=e x 2，从而可结合韦达定理得t 1、t 2的关系，即可用a 表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.13(2024·广东广州·模拟预测)已知函数f x =x e x -kx ,k ∈R .(1)当k =0时，求函数f x 的极值；(2)若函数f x 在0,+∞ 上仅有两个零点，求实数k 的取值范围.【答案】(1)极小值为-1e，无极大值(2)e ,+∞【分析】(1)求出导函数，然后列表求出函数的单调区间，根据极值定义即可求解；(2)把原函数有两个零点转化为g x =e x -kx 在0,+∞ 上仅有两个零点，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，列不等式求解即可.【详解】(1)当k =0时，f x =xe x (x ∈R )，所以f x =1+x e x ，令f x =0，则x =-1，x -∞,-1-1-1,+∞f x -0+f x单调递减极小值单调递增所以f (x )min =f -1 =-e -1=-1e，所以f x 的极小值为-1e，无极大值.(2)函数f x =x e x -kx 在0,+∞ 上仅有两个零点，令g x =e x -kx ，则问题等价于g x 在0,+∞ 上仅有两个零点，易知g x =e x -k ，因为x ∈0,+∞ ，所以e x >1.①当k ∈-∞,1 时，g x >0在0,+∞ 上恒成立，所以g x 在0,+∞ 上单调递增，所以g x >g 0 =1，所以g x 在0,+∞ 上没有零点，不符合题意；②当k ∈1,+∞ 时，令g x =0，得x =ln k ，所以在0,ln k 上，g x <0，在ln k ,+∞ 上，g x >0，所以g x 在0,ln k 上单调递减，在(ln k ,+∞)上单调递增，所以g x 的最小值为g ln k =k -k ⋅ln k .因为g x 在0,+∞ 上有两个零点，所以g ln k =k -k ⋅ln k <0，所以k >e.因为g 0 =1>0,g ln k 2 =k 2-k ⋅ln k 2=k k -2ln k ，令h x =x -2ln x ，则h x =1-2x =x -2x，所以在0,2 上，h x <0，在2,+∞ 上，h x >0，所以h x 在0,2 上单调递减，在2,+∞ 上单调递增，所以h x ≥2-2ln2=ln e 2-ln4>0，所以g ln k 2 =k k -2ln k >0，所以当k >e 时，g x 在0,ln k 和(ln k ,+∞)内各有一个零点，即当k >e 时，g x 在0,+∞ 上仅有两个零点.综上，实数k 的取值范围是e ,+∞ .【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：(1)确定f x 的定义域.(2)计算导数f x .(3)求出f x =0的根.(4)用f x =0的根将f x 的定义域分成若干个区间，判断这若干个区间内f x 的符号，进而确定f x 的单调区间.f x >0，则f x 在对应区间上单调递增，对应区间为增区间；f x <0，则f x 在对应区间上单调递减，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，那么需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.14(2024·江苏南通·二模)已知函数f x =ln x -ax ，g x =2ax，a ≠0.(1)求函数f x 的单调区间；(2)若a >0且f x ≤g x 恒成立，求a 的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)2e 3.【分析】(1)求导后，利用导数与函数单调性的关系，对a >0与a <0分类讨论即可得；(2)结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.【详解】(1)f x =1x -a =1-axx(a ≠0)，当a <0时，由于x >0，所以f x >0恒成立，从而f x 在0,+∞ 上递增；当a >0时，0<x <1a ，f x >0；x >1a ，fx <0，从而f x 在0,1a 上递增，在1a,+∞ 递减；综上，当a <0时，f x 的单调递增区间为0,+∞ ，没有单调递减区间；当a >0时，f x 的单调递增区间为0,1a ，单调递减区间为1a ,+∞ .(2)令h x =f x -g x =ln x -ax -2ax，要使f x ≤g x 恒成立，只要使h x ≤0恒成立，也只要使h x max ≤0.h x =1x -a +2ax 2=-ax +1 ax -2 ax 2，由于a >0，x >0，所以ax +1>0恒成立，当0<x <2a 时，h x >0，当2a<x <+∞时，h x <0，所以h x max =h 2a =ln 2a -3≤0，解得：a ≥2e 3，所以a 的最小值为2e3.15(2024·山东济南·二模)已知函数f x =ax 2-ln x -1,g x =xe x -ax 2a ∈R .(1)讨论f x 的单调性；(2)证明：f x +g x ≥x .【答案】(1)答案见详解(2)证明见详解【分析】(1)求导可得fx =2ax 2-1x，分a ≤0和a >0两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性；(2)构建F x =f x +g x -x ,x >0，h x =e x -1x,x >0，根据单调性以及零点存在性定理分析h x 的零点和符号，进而可得F x 的单调性和最值，结合零点代换分析证明.【详解】(1)由题意可得：f x 的定义域为0,+∞ ，fx =2ax -1x =2ax 2-1x，当a ≤0时，则2ax 2-1<0在0,+∞ 上恒成立，可知f x 在0,+∞ 上单调递减；当a >0时，令f x >0，解得x >12a；令f x <0，解得0<x <12a；可知f x 在0,12a 上单调递减，在12a,+∞ 上单调递增；综上所述：当a ≤0时，f x 在0,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在0,12a 上单调递减，在12a,+∞ 上单调递增.(2)构建F x =f x +g x -x =xe x -ln x -x -1,x >0，则F x =x +1 e x -1x -1=x +1 e x -1x，由x >0可知x +1>0，构建h x =e x -1x ,x >0，因为y =e x ,y =-1x在0,+∞ 上单调递增，则h x 在0,+∞ 上单调递增，且h 12=e -20,h 1 =e -1 0，可知h x 在0,+∞ 上存在唯一零点x 0∈12,1 ，当0<x <x 0，则h x <0，即Fx <0；当x >x 0，则h x >0，即F x >0；可知F x 在0,x 0 上单调递减，在x 0,+∞ 上单调递增，则F x ≥F x 0 =x 0e x 0-ln x 0-x 0-1，又因为e x 0-1x 0=0，则e x 0=1x 0,x 0=e -x 0，x 0∈12,1 ，可得F x 0 =x 0×1x 0-ln e -x-x 0-1=0，即F x ≥0，所以f x +g x ≥x .16(2024·福建·模拟预测)已知函数f (x )=a ln x -bx 在1,f 1 处的切线在y 轴上的截距为-2．(1)求a 的值；(2)若f x 有且仅有两个零点，求b 的取值范围．【答案】(1)2(2)b ∈0,2e 【分析】(1)借助导数的几何意义计算即可得；(2)借助函数与方程的关系，可将f x 有且仅有两个零点转化为方程b =2ln xx有两个根，构造对应函数并借助导数研究单调性及值域即可得.【详解】(1)f (x )=ax-b ，f 1 =a -b ，f (1)=a ×0-b =-b ，则函数f (x )=a ln x -bx 在1,f 1 处的切线为：y +b =a -b x -1 ，即y =a -b x -a ，令x =0，则有y =-a =-2，即a =2；(2)由a =2，即f (x )=2ln x -bx ，若f x 有且仅有两个零点，则方程2ln x-bx=0有两个根，即方程b=2ln xx有两个根，令g x =2ln xx，则gx =21-ln xx2，则当x∈0,e时，g x >0，则当x∈e,+∞时，g x <0，故g x 在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，故g x ≤g e =2ln ee=2e，又x→0时，g x →-∞，x→+∞时，g x →0，故当b∈0,2 e时，方程b=2ln x x有两个根，即f x 有且仅有两个零点.17(2024·浙江杭州·二模)已知函数f x =a ln x+2-12x2a∈R．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若函数f x 有两个极值点，(ⅰ)求实数a的取值范围；(ⅱ)证明：函数f x 有且只有一个零点．【答案】(1)答案见解析；(2)(ⅰ)-1<a<0；(ⅱ)证明见解析【分析】(1)求出函数的导函数，再分a≤-1、-1<a<0、a≥0三种情况，分别求出函数的单调区间；(2)(ⅰ)由(1)直接解得；(ⅱ)结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.【详解】(1)函数f x =a ln x+2-12x2a∈R的定义域为-2,+∞，且f x =ax+2-x=-x+12+a+1x+2，当a≤-1时，f x ≤0恒成立，所以f x 在-2,+∞单调递减；当-1<a<0时，令f x =0，即-x+12+a+1=0，解得x1=-a+1-1，x2=a+1-1，因为-1<a<0，所以0<a+1<1，则-2<-a+1-1<-1，所以当x∈-2,-a+1-1时f x <0，当x∈-a+1-1,a+1-1时f x >0，当x∈a+1-1,+∞时f x <0，所以f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减；当a≥0时，此时-a+1-1≤-2，所以x∈-2,a+1-1时f x >0，当x∈a+1-1,+∞时f x <0，所以f x 在-2,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减．综上可得：当a≤-1时f x 在-2,+∞单调递减；当-1<a<0时f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减；当a≥0时f x 在-2,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减．(2)(ⅰ)由(1)可知-1<a<0．(ⅱ)由(1)f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减，所以f x 在x=a+1-1处取得极大值，在x=-a+1-1处取得极小值，又-1<a<0，所以0<a+1<1，则1<a+1+1<2，又f x极大值=f a+1-1=a ln a+1+1-12a+1-12<0，又f-a+1-1<f a+1-1<0，所以f x 在-a+1-1,+∞上没有零点，又-1<a<0，则4a<-4，则0<e4a<e-4，-2<e4a-2<e-4-2，则0<e 4a-22<4，所以f e 4a-2=4-12e4a-22>0，所以f x 在-2,-a+1-1上存在一个零点，综上可得函数f x 有且只有一个零点．18(2024·河北沧州·模拟预测)已知函数f(x)=ln x-ax+1，a∈R．(1)讨论f x 的单调性；(2)若∀x>0，f x ≤xe2x-2ax恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)-∞,2．【分析】(1)利用导数分类讨论判断函数f x 的单调性，即可求解；(2)先利用导数证明不等式e x≥x+1，分离变量可得a≤e2x-ln x+1x恒成立，进而e 2x-ln x+1x≥2x+ln x+1-(ln x+1)x=2，即可求解.【详解】(1)函数f x =ln x-ax+1，a∈R的定义域为0,+∞，且f (x)=1x-a．当a≤0时，∀x∈0,+∞，f (x)=1x-a≥0恒成立，此时f x 在区间0,+∞上单调递增；当a>0时，令f (x)=1x-a=1-axx=0，解得x=1a，当x∈0,1 a时，f x >0，f x 在区间0,1a上单调递增，当x∈1a,+∞时，f x <0，f x 在区间1a,+∞上单调递减．综上所述，当a≤0时，f x 在区间0,+∞上单调递增；当a>0时，f x 在区间0,1 a上单调递增，在区间1a,+∞上单调递减．(2)设g x =e x-x-1，则g x =e x-1，在区间(-∞,0)上，g x <0，g x 单调递减，在区间0,+∞上，g x >0，g x 单调递增，所以g x ≥g0 =e0-0-1=0，所以e x≥x+1(当且仅当x=0时等号成立)．依题意，∀x>0，f x ≤xe2x-2ax恒成立，即a≤e2x-ln x+1x恒成立，而e2x-ln x+1x=xe2x-(ln x+1)x=e2x+ln x-(ln x+1)x≥2x+ln x+1-(ln x+1)x=2，当且仅当2x+ln x=0时等号成立．因为函数h x =2x+ln x在0,+∞上单调递增，h1e=2e-1<0，h(1)=2>0，所以存在x0∈1e,1，使得2x0+ln x0=0成立．所以a ≤e 2x -ln x +1xmin =2，即a 的取值范围是-∞,2 ．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如f x ≥g x 的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令F x =f x -g x ，利用导数求得函数F x 的单调性与最小值，只需F x min ≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a ≥φx 或a ≤φx 恒成立，即a ≥φx max 或a ≤φx min 恒成立，只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数y =f x 的图象在y =g x 的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.19(2024·广东·二模)已知f x =12ax 2+1-2a x -2ln x ,a >0.(1)求f x 的单调区间；(2)函数f x 的图象上是否存在两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 (其中x 1≠x 2)，使得直线AB 与函数f x 的图象在x 0=x 1+x22处的切线平行？若存在，请求出直线AB ；若不存在，请说明理由.【答案】(1)f (x )在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增.(2)不存在，理由见解析【分析】(1)求出导函数，根据导函数的正负来确定函数的单调区间；(2)求出直线AB 的斜率，再求出f (x 0)，从而得到x 1,x 2的等式，再进行换元和求导，即可解出答案.【详解】(1)由题可得f(x )=ax +1-2a -2x =ax 2+(1-2a )x -2x =(ax +1)(x -2)x(x >0)因为a >0，所以ax +1>0，所以当x ∈(0,2)时，f (x )<0，f (x )在(0,2)上单调递减，当x ∈(2,+∞)时，f (x )>0，f (x )在(2,+∞)上单调递增.综上，f (x )在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增.(2)由题意得，斜率k =y 2-y 1x 2-x 1=12ax 22+(1-2a )x 2-2ln x 2 -12ax 21+(1-2a )x 1-2ln x 1 x 2-x 1=12a (x 22-x 21)+(1-2a )(x 2-x 1)-2ln x 2x 1x 2-x 1=a 2(x 1+x 2)+1-2a -2ln x2x 1x 2-x 1，f x 1+x 22 =a (x 1+x 2)2+1-2a -4x 1+x 2,由k =f x 1+x22 得，ln x2x 1x 2-x 1=2x 1+x 2，即ln x 2x 1=2(x 2-x 1)x 1+x 2，即ln x 2x 1-2x2x 1-1 x 2x1+1=0令t =x 2x 1，不妨设x 2>x 1，则t >1，记g (t )=ln t -2(t -1)t +1=ln t +4t +1-2(t >1)所以g(t )=1t -4t +1 2=t -1 2t t +1 2>0，所以g (t )在(1,+∞)上是增函数，所以g (t )>g (1)=0，所以方程g (t )=0无解，则满足条件的两点A ,B 不存在.20(2024·广东深圳·二模)已知函数f x =ax +1 e x ，f x 是f x 的导函数，且f x -f x =2e x ．(1)若曲线y =f x 在x =0处的切线为y =kx +b ，求k ，b 的值；(2)在(1)的条件下，证明：f x ≥kx +b ．【答案】(1)k =3，b =1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据题意，求导可得a 的值，再由导数意义可求切线，得到答案；(2)设函数g x =2x +1 e x -3x -1，利用导数研究函数g (x )的单调性从而求出最小值大于0，可得证.【详解】(1)因为f x =ax +1 e x ，所以f x =ax +a +1 e x ，因为f x -f x =2e x ，所以a =2．则曲线y =f (x )在点x =0处的切线斜率为f 0 =3．又因为f 0 =1，所以曲线y =f (x )在点x =0处的切线方程为y =3x +1，即得k =3，b =1．(2)设函数g x =2x +1 e x -3x -1，x ∈R ，则g x =2x +3 e x -3，设h x =g x ，则h x =e x 2x +5 ，所以，当x >-52时，h x >0，g x 单调递增．又因为g0 =0，所以，x >0时，g x >0，g x 单调递增；-52<x <0时，g x <0，g x 单调递减．又当x ≤-52时，g x =2x +3 e x -3<0，综上g x 在-∞,0 上单调递减，在0,+∞ 上单调递增，所以当x =0时，g x 取得最小值g 0 =0，即2x +1 e x -3x -1≥0，所以，当x ∈R 时，f x ≥3x +1．21(2024·辽宁·二模)已知函数f x =ax 2-ax -ln x .(1)若曲线y =f x 在x =1处的切线方程为y =mx +2，求实数a ,m 的值；(2)若对于任意x ≥1，f x +ax ≥a 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)a =-1，m =-2(2)12,+∞ 【分析】(1)根据导数几何意义和切线方程，可直接构造方程组求得结果；(2)构造函数g x =ax 2-ln x -a x ≥1 ，将问题转化为g x ≥0恒成立；求导后，分别在a ≤0、a ≥12和0<a <12的情况下，结合单调性和最值求得符合题意的范围.【详解】(1)∵f x =2ax -a -1x，∴f 1 =2a -a -1=a -1，∵y =f x 在x =1处的切线为y =mx +2，∴f 1 =a -1=mf 1 =0=m +2 ，解得：a =-1，m =-2.(2)由f x +ax ≥a 得：ax 2-ln x -a ≥0，令g x =ax 2-ln x -a x ≥1 ，则当x ≥1时，g x ≥0恒成立；。

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(导数及其应用)汇编(附答案)

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(导数及其应用)汇编考点01 导数的基本计算及其应用1．（2020∙全国∙高考真题）设函数e ()xf x x a =+．若(1)4e f '=，则a = ．考点02 求切线方程及其应用1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设函数()2e 2sin 1x xf x x +=+，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A ．16B ．13C ．12D ．232．（2023∙全国甲卷∙高考真题）曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（）A ．e4y x =B ．e 2y x =C ．e e 44y x =+ D ．e 3e24y x =+ 3．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为，． 4．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是．5．（2021∙全国甲卷∙高考真题）曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为． 6．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是． 7．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a <<D ．0e a b <<8．（2020∙全国∙高考真题）若直线l 与曲线y x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +129．（2020∙全国∙高考真题）函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+10．（2020∙全国∙高考真题）曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 .11．（2019∙江苏∙高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（‐e ，‐1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 .12．（2019∙全国∙高考真题）已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-13．（2019∙天津∙高考真题）曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为 . 14．（2019∙全国∙高考真题）曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为． 15．（2019∙全国∙高考真题）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=考点03 公切线问题1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a .考点04 利用导数判断函数单调性及其应用1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（） A ．3x =是()f x 的极小值点 B ．当01x <<时，()2()f x f x <C ．当12x <<时，4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时，(2)()f x f x ->2．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()e ln xf x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（）．A ．2eB ．eC ．1e -D ．2e -3．（2023∙全国乙卷∙高考真题）设()0,1a ∈，若函数()()1xx f x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是 .4．（2019∙北京∙高考真题）设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a = ；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是．考点05 求极值与最值及其应用1．（2024∙上海∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合()()(){}0000,,,M x x x x f x f x ∞=∈∈-<R ，在使得[]1,1M =-的所有()f x 中，下列成立的是（） A ．存在()f x 是偶函数 B ．存在()f x 在2x =处取最大值 C ．存在()f x 是严格增函数D ．存在()f x 在=1x -处取到极小值2．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）若函数()()2ln 0b cf x a x a x x =++≠既有极大值也有极小值，则（）． A ．0bc >B ．0ab >C ．280b ac +>D ．0ac <3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（）A ．ππ22-，B ．3ππ22-， C ．ππ222-+，D ．3ππ222-+， 4．（2022∙全国甲卷∙高考真题）当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（） A ．1-B ．12-C ．12D ．15．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）函数()212ln f x x x =--的最小值为 .考点06 利用导数研究函数的极值点及其应用1．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数3()1f x x x =-+，则（） A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线2．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是．3．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设0a ≠，若a 为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（） A ．a b <B ．a b >C ．2ab a <D ．2ab a >考点07 导数与函数的基本性质结合问题1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（） A ．3x =是()f x 的极小值点 B ．当01x <<时，()2()f x f x <C ．当12x <<时，4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时，(2)()f x f x ->2．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点3．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=4．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ． ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．考点08 利用导数研究函数的零点及其应用1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（） A ．当1a >时，()f x 有三个零点 B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心2．（2023∙全国乙卷∙高考真题）函数()32f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),3-∞-C ．()4,1--D ．()3,0-3．（2021∙北京∙高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论： ①若0k =，()f x 恰有2个零点； ②存在负数k ，使得()f x 恰有1个零点； ③存在负数k ，使得()f x 恰有3个零点； ④存在正数k ，使得()f x 恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是．考点09 利用导数研究方程的根及其应用1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为．2．（2021∙北京∙高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论： ①若0k =，()f x 恰有2个零点； ②存在负数k ，使得()f x 恰有1个零点； ③存在负数k ，使得()f x 恰有3个零点； ④存在正数k ，使得()f x 恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是．考点10 构建函数利用导数判断函数单调性比较函数值大小关系1．（2022∙全国甲卷∙高考真题）已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（） A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>2．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c<a<bD ．a c b <<3．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =-．则（） A ．a b c << B ．b<c<aC ．b a c <<D ．c<a<b参考答案考点01 导数的基本计算及其应用1．（2020∙全国∙高考真题）设函数e ()xf x x a =+．若(1)4e f '=，则a = ．【答案】1【详细分析】由题意首先求得导函数的过程解析式，然后得到关于实数a 的方程，解方程即可确定实数a 的值【答案详解】由函数的过程解析式可得：()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++，则：()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++，据此可得：()241aeea =+，整理可得：2210a a -+=，解得：1a =. 故答案为：1.【名师点评】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.考点02 求切线方程及其应用1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设函数()2e 2sin 1x xf x x +=+，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】A【详细分析】借助导数的几何意义计算可得其在点()0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【答案详解】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅+'=，则()()()()()02e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯+'==，即该切线方程为13y x -=，即31y x =+，令0x =，则1y =，令0y =，则13x =-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=. 故选：A.2．（2023∙全国甲卷∙高考真题）曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（）A ．e4y x = B ．e 2y x =C ．e e 44y x =+ D ．e 3e24y x =+ 【答案】C【详细分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.【答案详解】设曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为()e 12y k x -=-，因为e 1xy x =+，所以()()()22e 1e e 11x xxx x y x x =+'+-=+，所以1e|4x k y ='==所以()e e124y x -=- 所以曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为e e 44y x =+. 故选：C3．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为，．【答案】 1ey x =1e y x =-【详细分析】分0x >和0x <两种情况，当0x >时设切点为()00,ln x x ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x ，即可求出切线方程，当0x <时同理可得；【答案详解】[方法一]：化为分段函数，分段求分0x >和0x <两种情况，当0x >时设切点为()00,ln x x ，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x ，即可求出切线方程，当0x <时同理可得；解：因为ln y x =，当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x'=，所以001|x x y x ='=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =；当0x <时()ln y x =-，设切点为()()11,ln x x -，由1y x'=，所以111|x x y x ='=，所以切线方程为()()1111ln y x x x x --=-，又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x --=-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e e y x -=+-，即1ey x =-；故答案为：1ey x =；1e y x =-[方法二]：根据函数的对称性，数形结合当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x'=，所以001|x x y x ='=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =；因为ln y x =是偶函数，图象为：所以当0x <时的切线，只需找到1ey x =关于y 轴的对称直线1e y x =-即可.[方法三]：因为ln y x =，当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x'=，所以001|x x y x ='=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =；当0x <时()ln y x =-，设切点为()()11,ln x x -，由1y x'=，所以111|x x y x ='=，所以切线方程为()()1111ln y x x x x --=-，又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x --=-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e ey x -=+-，即1e y x =-；故答案为：1ey x =；1e y x =-.4．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是．【答案】()(),40,-∞-+∞【详细分析】设出切点横坐标0x ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a 的取值范围. 【答案详解】∵()e x y x a =+，∴(1)e x y x a '=++，设切点为()00,x y ,则()000e x y x a =+,切线斜率()001e xk x a =++, 切线方程为：()()()00000e 1e x xy x a x a x x -+=++-,∵切线过原点，∴()()()00000e1e x x x a x a x -+=++-,整理得：2000x ax a +-=,∵切线有两条，∴240a a ∆=+>,解得4a <-或0a >, ∴a 的取值范围是()(),40,-∞-+∞ ,故答案为：()(),40,-∞-+∞5．（2021∙全国甲卷∙高考真题）曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为．【答案】520x y -+=【详细分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【答案详解】由题，当=1x -时，=3y -，故点在曲线上．求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=．故答案为：520x y -+=．6．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是．【答案】()0,1【详细分析】结合导数的几何意义可得120x x +=，结合直线方程及两点间距离公式可得1A x M =，2B x N ，化简即可得解.【答案详解】由题意，()1011,0,xxx e x f x e e x <=⎧---≥⎪=⎨⎪⎩，则()0,,0x x x f x e e x ⎧-⎪=<>⎨'⎪⎩，所以点()11,1x A x e -和点()22,1x B x e -，12,x xAM BN k e k e =-=,所以12121,0x xe e x x -⋅=-+=，所以()()111111,0:,11x x x xe e x x e AM e y M x -+=---+，所以1x AM ==，同理2B x N =,所以()10,1x e NAM B ===∈=. 故答案为：()0,1【名师点评】关键点名师点评：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件120x x +=，消去一个变量后，运算即可得解. 7．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a << D ．0e a b <<【答案】D【详细分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线x y e =的图象，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线. 【答案详解】在曲线x y e =上任取一点(),tP t e ，对函数x y e =求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()t ty e e x t -=-，即()1t t y e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e =+-上，可得()()11t t tb ae t e a t e =+-=+-，令()()1t f t a t e =+-，则()()tf t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y ft =的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线x y e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选：D.【名师点评】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.8．（2020∙全国∙高考真题）若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D【详细分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【答案详解】设直线l在曲线y =上的切点为(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D.【名师点评】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 9．（2020∙全国∙高考真题）函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（） A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+【答案】B【详细分析】求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.【答案详解】()432f x x x =- ，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B.【名师点评】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题10．（2020∙全国∙高考真题）曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 . 【答案】2y x =【详细分析】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可.【答案详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =.【名师点评】本题考查导数的几何意义，属于基础题.11．（2019∙江苏∙高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（‐e ，‐1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 . 【答案】(e, 1).【详细分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【答案详解】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=，点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1xy x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,>H x H x 单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .【名师点评】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．12．（2019∙全国∙高考真题）已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-【答案】D【过程解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ．【答案详解】答案详解：ln 1,x y ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【名师点评】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 13．（2019∙天津∙高考真题）曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为 . 【答案】220x y +-=【详细分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程．【答案详解】1'sin 2y x =--，当0x =时其值为12-，故所求的切线方程为112y x -=-，即220x y +-=．【名师点评】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组0010010()'()y f x y y f x x x=⎧⎪-⎨=⎪-⎩得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．14．（2019∙全国∙高考真题）曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为．【答案】30x y -=.【详细分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【答案详解】答案详解：/223(21)3()3(31),x x x y x e x x e x x e =+++=++所以，/0|3x k y ===所以，曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点评】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．15．（2019∙全国∙高考真题）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=【答案】C【详细分析】先判定点(,1)π-是否为切点，再利用导数的几何意义求解.【答案详解】当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=- 2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【名师点评】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．考点03 公切线问题1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a .【答案】ln 2【详细分析】先求出曲线e x y x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()00,ln 1x x a ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【答案详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =. 故答案为：ln 22．（2016∙全国∙高考真题）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．【答案】1ln 2-【答案详解】试题详细分析：对函数ln 2y x =+求导得1y x '=，对ln(1)y x =+求导得11y x '=+，设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与曲线ln(1)y x =+相切于点222(,)P x y ，则1122ln 2,ln(1)y x y x =+=+，由点111(,)P x y 在切线上得()1111ln 2()y x x x x -+=-，由点222(,)P x y 在切线上得2221ln(1)()1y x x x x -+=-+，这两条直线表示同一条直线，所以，解得11111,2,ln 211ln 22x k b x x =∴===+-=-. 【考点】导数的几何意义【名师点评】函数f （x ）在点x 0处的导数f ′（x 0）的几何意义是曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，y 0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y 0＝f ′（x 0）（x−x 0）．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．3．（2015∙全国∙高考真题）已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a= ．【答案】8【答案详解】试题详细分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法名师点评】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．考点04 利用导数判断函数单调性及其应用1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（） A ．3x =是()f x 的极小值点 B ．当01x <<时，()2()f x f x <C ．当12x <<时，4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时，(2)()f x f x ->【答案】ACD【详细分析】求出函数()f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数()f x 在()1,3上的值域即可判断C ；直接作差可判断D.【答案详解】对A ，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B ，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x >，错误；对C ，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D ，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.2．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()e ln xf x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（）． A ．2e B ．e C ．1e - D ．2e -【答案】C【详细分析】根据()1e 0xf x a x'=-≥在()1,2上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【答案详解】依题可知，()1e 0xf x a x '=-≥在()1,2上恒成立，显然0a >，所以1e x x a≥，设()()e ,1,2x g x x x =∈，所以()()1e 0xg x x '=+>，所以()g x 在()1,2上单调递增，()()1e g x g >=，故1e a ≥，即11e ea -≥=，即a 的最小值为1e -．故选：C ．3．（2023∙全国乙卷∙高考真题）设()0,1a ∈，若函数()()1xx f x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是 .【答案】1,12⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【详细分析】原问题等价于()()()ln 1ln 10xx f x a a a a '=+++≥恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得()1ln ln 1xa a a a +⎛⎫≥-⎪+⎝⎭，由右侧函数的单调性可得实数a 的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数a 的取值范围.【答案详解】由函数的过程解析式可得()()()ln 1ln 10xx f x a a a a '=+++≥在区间()0,∞+上恒成立，则()()1ln 1ln xxa a a a ++≥-，即()1ln ln 1xa a a a +⎛⎫≥-⎪+⎝⎭在区间()0,∞+上恒成立，故()01ln 1ln 1a a a a +⎛⎫=≥-⎪+⎝⎭，而()11,2a +∈，故()ln 10a +>，故()ln 1ln 01a a a ⎧+≥-⎨<<⎩即()1101a a a ⎧+≥⎨<<⎩，故112a ≤<，结合题意可得实数a 的取值范围是1,12⎫⎪⎢⎪⎣⎭.故答案为：1,12⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 4．（2019∙北京∙高考真题）设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a = ；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是．【答案】 ‐1; (],0-∞.【详细分析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用导函数的过程解析式可得a 的取值范围.【答案详解】若函数()x x f x e ae -=+为奇函数,则()()(),x x x xf x f x e ae e ae ---=-+=-+，()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立.若函数()x x f x e ae -=+是R 上的增函数,则()' 0x xf x e ae -=-≥恒成立,2,0x a e a ≤≤.即实数a 的取值范围是(],0-∞【名师点评】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.考点05 求极值与最值及其应用1．（2024∙上海∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合()()(){}0000,,,M x x x x f x f x ∞=∈∈-<R ，在使得[]1,1M =-的所有()f x 中，下列成立的是（） A ．存在()f x 是偶函数 B ．存在()f x 在2x =处取最大值 C ．存在()f x 是严格增函数 D ．存在()f x 在=1x -处取到极小值【答案】B【详细分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B ，构造函数()2,1,111,1x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩即可判断.【答案详解】对于A ，若存在 ()y f x = 是偶函数, 取 01[1,1]x =∈-, 则对于任意 (,1),()(1)x f x f ∈-∞<, 而 (1)(1)f f -=, 矛盾, 故 A 错误；对于B ，可构造函数()2,1,,11,1,1,x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩满足集合[]1,1M =-，当1x <-时，则()2f x =-，当11x -≤≤时，()[]1,1f x ∈-，当1x >时，()1f x =，则该函数()f x 的最大值是()2f ，则B 正确；对C ，假设存在()f x ，使得()f x 严格递增，则M =R ，与已知[]1,1M =-矛盾，则C 错误；对D ，假设存在()f x ，使得()f x 在=1x -处取极小值，则在1-的左侧附近存在n ，使得()()1f n f >-，这与已知集合M 的定义矛盾，故D 错误；故选：B.2．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）若函数()()2ln 0b cf x a x a x x =++≠既有极大值也有极小值，则（）． A ．0bc > B ．0ab > C ．280b ac +> D ．0ac <【答案】BCD【详细分析】求出函数()f x 的导数()f x '，由已知可得()f x '在(0,)+∞上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.【答案详解】函数2()ln b c f x a x x x =++的定义域为(0,)+∞，求导得223322()a b c ax bx cf x x x x x --'=--=，因为函数()f x 既有极大值也有极小值，则函数()f x '在(0,)+∞上有两个变号零点，而0a ≠，因此方程220ax bx c --=有两个不等的正根12,x x ，于是21212Δ80020b ac b x x a c x x a ⎧⎪=+>⎪⎪+=>⎨⎪⎪=->⎪⎩，即有280b ac +>，0ab >，0ac <，显然20a bc <，即0bc <，A 错误，BCD 正确.故选：BCD3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（） A ．ππ22-，B ．3ππ22-， C ．ππ222-+，D ．3ππ222-+，【答案】D【详细分析】利用导数求得()f x 的单调区间，从而判断出()f x 在区间[]0,2π上的最小值和最大值. 【答案详解】()()()sin sin 1cos 1cos f x x x x x x x '=-+++=+，所以()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x ¢>，即()f x 单调递增；在区间π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<，即()f x 单调递减，又()()02π2f f ==，ππ222f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，3π3π3π11222f ⎛⎫⎛⎫=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间[]0,2π上的最小值为3π2-，最大值为π22+. 故选：D4．（2022∙全国甲卷∙高考真题）当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】B【详细分析】根据题意可知()12f =-，()10f '=即可解得,a b ，再根据()f x '即可解出．【答案详解】因为函数()f x 定义域为()0,∞+，所以依题可知，()12f =-，()10f '=，而()2a b f x x x -'=，所以2,0b a b =--=，即2,2a b =-=-，所以()222f x x x'=-+，因此函数()f x 在()0,1上递增，在()1,∞+上递减，1x =时取最大值，满足题意，即有()112122f =-+=-'．故选：B.5．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）函数()212ln f x x x =--的最小值为 . 【答案】1【详细分析】由过程解析式知()f x 定义域为(0,)+∞，讨论102x <≤、112x <≤、1x >，并结合导数研究的单调性，即可求()f x 最小值.【答案详解】由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+∞，∴当102x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减；当112x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=-≤，此时()f x 单调递减；当1x >时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=->，此时()f x 单调递增；又()f x 在各分段的界点处连续，∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增； ∴()(1)1f x f ≥=故答案为：1.考点06 利用导数研究函数的极值点及其应用1．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数3()1f x x x =-+，则（） A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】AC【详细分析】利用极值点的定义可判断A ，结合()f x 的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D.【答案详解】由题，()231f x x '=-，令()0f x ¢>得3x >或3x <-，令()0f x '<得33x -<<，所以()f x 在(,3-∞-，(,)3+∞上单调递增，(33-上单调递减，所以3x =±是极值点，故A 正确；因(1039f -=+>，10f =>，()250f -=-<，所以，函数()f x 在,⎛-∞ ⎝⎭上有一个零点，当3x ≥时，()03f x f ⎫≥>⎪⎪⎝⎭，即函数()f x 在3⎫∞⎪⎪⎝⎭上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：AC.2．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是．【答案】1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【详细分析】法一：依题可知，方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，构造函数()ln xg x a a =⋅，利用指数函数的图象和图象变换得到()g x 的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【答案详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为()2ln 2e xf x a a x ⋅-'=，所以方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ，即方程ln e x a a x ⋅=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =-的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x ∞-和()2,x ∞+上递减，在()12,x x 上递增，所以当时()1,x ∞-()2,x ∞+，()0f x '<，即e y x =图象在ln x y a a =⋅上方当()12,x x x ∈时，()0f x '>，即e y x =图象在ln x y a a =⋅下方1a >，图象显然不符合题意，所以01a <<．令()ln x g x a a =⋅，则()2ln ,01xg x a a a =⋅<<'，设过原点且与函数()y g x =的图象相切的直线的切点为()00,ln xx a a ⋅，则切线的斜率为()020ln x g x a a ='⋅，故切线方程为()0020ln ln x x y a a a a x x -⋅=⋅-，则有0020ln ln x x a a x a a -⋅=-⋅，解得01ln x a=，则切线的斜率为122ln ln eln a a a a ⋅=，因为函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，所以2eln e a <，解得1e e a <<，又01a <<，所以11ea <<，综上所述，a 的取值范围为1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭．[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导()2ln 2e x f x a a x ⋅-'==0的两个根为12,x x因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =-的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x ∞-和()2,x ∞+上递减，在()12,x x 上递增，设函数()()()g 2ln xx f x a a ex ='=-，则()()22ln 2x x a a e '=-，若1a >，则()x '在R 上单调递增，此时若()00f x '=，则()f x '在()0,x ∞-上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，此时若有1x x =和2x x =分别是函数()22(0x f x a ex a =->且1)a ≠的极小值点和极大值点，则12x x >，不符合题意；若01a <<，则()x '在R 上单调递减，此时若()00x '=，则()f x '在()0,x ∞-上单调递增，在()0,x ∞+上单调递减，令()00x '=，则02(ln )xea a =，此时若有1x x =和2x x =分别是函数()22(0x f x a ex a =->且1)a ≠的极小值点和极大值点，且12x x <，则需满足()00f x '>，()()00002ln 20ln xe f x a a ex ex a ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭'，即001ln 1ln x x a a<>故()002ln ln ln 1ln x e a x a a ==>，所以11e a <<. 【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．3．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设0a ≠，若a 为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（） A ．a b < B ．a b > C ．2ab a < D ．2ab a >【答案】D 【详细分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到,a b 所满足的关系，由此确定正确选项.【答案详解】若a b =，则()()3f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故a b ¹.()f x ∴有a 和b 两个不同零点，且在x a =左右附近是不变号，在x b =左右附近是变号的.依题意，a 为函数的极大值点，∴在x a =左右附近都是小于零的.当a<0时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示：。

高三导数经典例题

导数经典例题1导数的概念， 2导数的几何意义， 3物理意义,4几种常见函数的导数5两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，6利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值例1．⎩⎨⎧>+≤==11)(2x bax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b例2．已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限：（1）0(3)()lim 2h f a h f a h h→+--；（2）20()()lim h f a h f a h →+-例3．（1）求曲线122+=x xy 在点（1，1）处的切线方程；（2）运动曲线方程为2221t tt S +-=，求t=3时的速度。

例4．求下列函数单调区间（1）5221)(23+--==x x x x f y （2）x x y 12-=（3）x xk y +=2)0(>k （4）22ln y x x =-例5．求证下列不等式（1）)1(2)1ln(222x x x x x x +-<+<- ),0(∞+∈x （2）πxx 2sin >)2,0(π∈x例6．求满足条件的a（1）使ax x y +=sin 为R 上增函数（2）使a ax x y ++=3为R 上增函数（3）使5)(23-+-=x x ax x f 为R 上增函数例7．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷，理工农医类19））设0>a ，求函数),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.例8．已知抛物线42-=x y 与直线y=x+2相交于A 、B 两点，过A 、B 两点的切线分别为1l 和2l 。

（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求直线1l 与2l 的夹角。

例9．（2001年天津卷）设0>a ，xx e a a e x f +=)(是R 上的偶函数。

（I ）求a 的值；（II ）证明)(x f 在),0(+∞上是增函数例10．（2000年全国、天津卷）设函数ax x x f -+=1)(2，其中0>a 。

导数高考题(含答案)

导数高考题1．已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．解：（i）f′（x）=3x2+a，设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0，∴，解得，a=．因此当a=﹣时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，∴函数h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，故h（x）在x∈（1，+∞）时无零点．当x=1时，若a≥﹣，则f（1）=a+≥0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=g（1）=0，故x=1是函数h（x）的一个零点；若a＜﹣，则f（1）=a+＜0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=f（1）＜0，故x=1不是函数h（x）的零点；当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．①当a≤﹣3或a≥0时，f′（x）=3x2+a在（0，1）内无零点，因此f（x）在区间（0，1）内单调，而f（0）=，f（1）=a+，∴当a≤﹣3时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，当a≥0时，函数f（x）在区间（0，1）内没有零点．②当﹣3＜a＜0时，函数f（x）在内单调递减，在内单调递增，故当x=时，f （x）取得最小值=．若＞0，即，则f（x）在（0，1）内无零点．若=0，即a=﹣，则f（x）在（0，1）内有唯一零点．若＜0，即，由f（0）=，f（1）=a+，∴当时，f（x）在（0，1）内有两个零点．当﹣3＜a时，f（x）在（0，1）内有一个零点．综上可得：当或a＜时，h（x）有一个零点；当a=或时，h（x）有两个零点；当时，函数h（x）有三个零点．2．设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是[﹣1，1]3．函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1=1，a n+1=ln（a n+1），证明：＜a n≤．解：（Ⅰ）函数f（x）的概念域为（﹣1，+∞），f′（x）=，①当1＜a＜2时，若x∈（﹣1，a2﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，若x∈（a2﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，0）上是减函数，若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．②当a=2时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，③当a＞2时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，若x∈（0，a2﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数，若x∈（a2﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞，（x＞0），又由（Ⅰ）知，当a=3时，f（x）在（0，3）上是减函数，当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜，下面用数学归纳法进行证明＜a n≤成立，①当n=1时，由已知，故结论成立．②假设当n=k时结论成立，即，则当n=k+1时，a n+1=ln（a n+1）＞ln（），a n+1=ln（a n+1）＜ln（），即当n=k+1时，成立，综上由①②可知，对任何n∈N•结论都成立．4．已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估量ln2的近似值（精准到0.001）．解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e x+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x+2﹣2b）．①∵e x+e﹣x＞2，e x+e﹣x+2＞4，∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x知足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即，得，此时，g′（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，按照（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得．当b=2时，由g（x）＞0，得，从而；令，得＞2，当时，由g（x）＜0，得，得．所以ln2的近似值为0.693．5．设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．解：（Ⅰ）函数f（x）的概念域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，∵f（x）＞1，∴e x lnx+＞1，∴lnx＞﹣，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．6．已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1），设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．7．已知函数f（x）=e x﹣ln（x+m）（Ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．（Ⅰ）解：∵，x=0是f（x）的极值点，∴，解得m=1．所以函数f（x）=e x﹣ln（x+1），其概念域为（﹣1，+∞）．∵．设g（x）=e x（x+1）﹣1，则g′（x）=e x（x+1）+e x＞0，所以g（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，又∵g（0）=0，所以当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当﹣1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0．所以f（x）在（﹣1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数；（Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（﹣m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m=2时f（x）＞0．当m=2时，函数在（﹣2，+∞）上为增函数，且f′（﹣1）＜0，f′（0）＞0．故f′（x）=0在（﹣2，+∞）上有唯一实数根x0，且x0∈（﹣1，0）．当x∈（﹣2，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，从而当x=x0时，f（x）取得最小值．由f′（x0）=0，得，ln（x0+2）=﹣x0．故f（x）≥=＞0．综上，当m≤2时，f（x）＞0．8．已知函数．（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；（II）设数列{a n}的通项a n=1+．解：（I）由已知，f（0）=0，f′（x）==，∴f′（0）=0欲使x≥0时，f（x）≤0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上必为减函数，即在（0，+∞）上f′（x）＜0恒成立，当λ≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，为增函数，故不合题意，若0＜λ＜时，由f′（x）＞0解得x＜，则当0＜x＜，f′（x）＞0，所以当0＜x＜时，f（x）＞0，此时不合题意，若λ≥，则当x＞0时，f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上必为减函数，所以当x＞0时，f（x）＜0恒成立，综上，符合题意的λ的取值范围是λ≥，即λ的最小值为（ II）令λ=，由（I）知，当x＞0时，f（x）＜0，即取x=，则于是a2n﹣a n+=++…++====＞=ln2n﹣lnn=ln2，所以。

高考数学专题：导数大题专练含答案

高考数学专题：导数大题专练含答案一、解答题1．已知函数()ln f x ax x =+ (1)讨论()f x 的单调区间；(2)设()2xg x =，若对任意的[]11,100x ∈，存在[]20,1x ∈，使()()12f x g x <成立，求实数a 的取值范围. 2．已知函数()ln f x x =．(1)当()()sin 1g x x =-，求函数()()()T x f x g x =+在()0,1的单调性； (2)()()12h x f x b x=+-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>． 3．已知函数()21si cos n 2f x x x a x x =-++．(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围．4．已知a R ∈，函数()22e 2xax f x =+． (1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程 (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1201x x ，（ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）当9a <-时，证明：21x x <-<．（注： 2.71828e =…是自然对数的底数） 5．求下列函数的导数： (1)2cos x xy x -=； (2)()e 1cos 2x x y x =+-； (3)()3log 51y x =-．6．已知函数()322f x x ax bx =++-在2x =-时取得极值，且在点()()1,1f --处的切线的斜率为3- . (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()y f x λ=-有三个零点，求实数λ的取值范围.7．已知函数()323f x x ax x =-+.(1)若3x =是()f x 的极值点，求()f x 在[]1,a 上的最大值和最小值；(2)若()f x 在[)1,+∞上是单调递增的，求实数a 的取值范围.8．2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”为了进一步了解普通大众对“碳中和”及相关举措的认识，某机构进行了一次问卷调查，部分结果如下：(1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.(2)经调查后，有关部门决定加大力度宣传“碳中和”及相关措施以便让节能减排的想法深入人心.经过一段时间后，计划先随机从社会上选10人进行调查，再根据检验结果决定后续的相关举措.设宣传后不了解“碳中和”的人概率都为()01p p <<，每个被调查的人之间相互独立.①记10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ； ②现对以上的10人进行有奖答题，以①中确定的0p 作为答错的概率p 的值.已知回答正确给价值a 元的礼品，回答错误给价值b 元的礼品，要准备的礼品大致为多少元？（用a ，b 表示即可）9．已知函数()ln 2f x x x ax =++在点()()1,1f 处的切线与直线220x y 相互垂直．(1)求实数a 的值；(2)求()f x 的单调区间和极值．10．已知函数()222(0)e xmx x f x m +-=>. (1)判断()f x 的单调性；(2)若对[]12,1,2x x ∀∈，不等式()()1224e f x f x -≤恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)答案见解析 (2)31a e ≤-【解析】【分析】（1）由()()110ax f x a x xx+=+=>'，按0a ≥，0a <进行分类讨论求解；（2）由已知，转化为()()max max f x g x <，由已知得()()max 12g x g ==，由此能求出实数a 的取值范围． (1)()(]110ax f x a x x x+'=+=>， ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，()0f x '>，所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+；②当0a <时，由()0f x '=，得1x a=-，在区间10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '>，在区间1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)由题目知，只需要()()max max f x g x <即可又因为()()max 12g x g ==，所以只需要()max 2f x <即可()max 2f x <即等价于()2f x <恒成立，由变量分离可知2ln xa x-<，[]1,100x ∈，令()2ln xh x x -=，下面求()h x 的最小值，令()23ln xh x x-+'=，所以()0h x '=得3x e =，所以()h x 在31,e ⎡⎤⎣⎦为减函数，3,100e ⎡⎤⎣⎦为增函数，所以()()33min 1h x h e e -==，所以31a e ≤-. 2．(1)单调递增 (2)证明见解析【解析】【分析】（1）直接求导，判断出导数大于0，即可得到单调性；（2）直接由1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x =+-的两个零点得到1212122ln x xx x x x -=，分别解出1211212ln x xx x x -=，2121212ln xx x x x -=，再换元令12x t x =构造函数()12ln l t t t t=--，求导确定单调性即可求解. (1)由题意，函数()()sin 1ln T x x x =-+，则()()1cos 1T x x x'=--+，又∵()0,1x ∈，∴11x>，()()10,1,cos 11x x -∈-<，∴()0T x '>，∴()T x 在（0，1）上单调递增． (2)根据题意，()()1ln 02h x x b x x =+->， ∵1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x=+-的两个零点，∴111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=．两式相减，可得122111ln22x x x x =-，即112221ln 2x x x x x x -=， ∴1212122ln x x x x x x -=，则1211212ln x x x x x -=，2121212ln xx x x x -=．令12x t x =，()0,1t ∈，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=．记()12ln l t t t t =--，()0,1t ∈，则()()221t l t t-'=．又∵()0,1t ∈，∴()0l t '>恒成立，∴()l t 在()0,1上单调递增，故()()1l t l <，即12ln 0t t t --<，即12ln t t t-<．因为ln 0t <，可得112ln t t t->，∴121x x +>．【点睛】本题关键点在于对双变量的处理，通过对111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=作差，化简得到1212122ln x x x x xx -=，分别得到12,x x 后，换元令12x t x =，这样就转换为1个变量，再求导确定单调性即可求解． 3．(1)10y +=； (2)[)1,+∞. 【解析】【分析】（1）将1a =-代入函数()f x 中，得出函数()f x 的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件可以将问题转化为恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法求函数的最值即可求解. (1)当1a =-时，()2cos 1sin 2f x x x x x =--+()2cos 10000sin 012f =⨯--+=-，所以切点为0,1，()1sin cos x f x x x '=-++，∴(0)01sin 0cos00f '=-++=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为(0)0k f '==，所以曲线()y f x =在点0,1处的切线的斜率切线方程为()()100y x --=⨯-，即10y +=.(2)由()21si cos n 2f x x x a x x =-++，得()s 1co i s n f x x a x x '=--+因为函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，设()()1c s os in g x f x x a x x '==--+，则()cos 1sin g x a x x '=--. 因为si (n 0)001cos00g a =--+=，所以使()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则至少满足()00g '≤，即10a -≤，解得1a ≥. 下证明当1a ≥时，()0f x '≤恒成立，因为3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 0x ≥，因为1a ≥，所以()sin 1cos f x x x x '≤--+.记s ()cos n 1i h x x x x =--+，则π()1sin 14cos h x x x x ⎛⎫'=-=+ ⎝-⎪⎭.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>. 所以函数()h x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在π3π,24⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增.因为ππ(),h h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭33001044，所以()h x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)0h =. 即()()1sin cos 0f x h x x x x '≤=--+≤在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.所以a 的取值范围为[)1,+∞.4．(1)(21y x =-+(2)（ⅰ）22e ,-；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；（2）（ⅰ）原问题等价于12,x xa =-的两根，且1201x x ，从而构造函数())0g x x =>，将问题转化为直线y a =-与函数()g x 的图象有两个交点，且交点的横坐标大于0小于1即可求解；（ⅱ）由1e x x +≤，利用放缩法可得()()1112210x ax f x '++-=，即1x 2114x <<，从而可证21x x -<()21e 011x x x x +<<<-，然后利用放缩法可得()()1201,21i i i ix ax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，最后构造二次函数()(222m x ax a x =-++++21x x ->而得证原不等式. (1)解：因为()22e x f x ax '=+所以()02f '=()01f =，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(21y x =-+； (2)解：（ⅰ）因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，所以12,x x 是关于x 的方程()22e 0x f x ax =+'的两根，也是关于x的方程a =-的两正根，设())0g x x =>，则()g x '=，令())224e 2e 0x x h x x x =->，则()28e xh x x '=，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又104h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，当104x <<时，()0h x <，()0g x '<；当14x >时，()0h x >，()0g x '>，所以函数()g x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又因为1201x x ，所以()114g a g ⎛⎫<-<⎪⎝⎭，即22e a <-<- 所以a的取值范围是22e ,-；22e 9a <<-，因为1e x x +≤，所以()()1112210x ax f x '++-=，所以()142a x +-，所以1x 2114x <<，所以211x x -<= 下面先证明不等式()21e 011x xx x+<<<-，设()()2101e 1xx r x x x -=⋅<<+，则()()2222e 1x x r x x '=-+，所以，当01x <<时，()0r x '<，()r x '在()0,1上单调递减，所以，()()01r x r <=，所以不等式()21e 011x xx x+<<<-成立，因为12,x x ，()1201x x <<<是()22e 0x f x ax '=+=的两个根，所以()()01,2i f x i '==，又()21e 011x xx x+<<<-，所以()()1201,21ii i ixax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，设函数()(222m x ax a x =-++++x t ==因为((()2224261620a a a ∆=+++-=+-+->，且()00m >，()10m >，102t <<，所以函数()m x 有两个不同的零点，记为α，()βαβ<，且01t αβ<<<<，因为()22616212e 201ta tf t at at t+++'=+-⋅+-=<-，且()00f '>，()10f '>，所以1201x x ，因为()m x 在()0,t 上单调递减，且()()10m x m α>=，所以10x t α<<<；因为()m x 在(),1t 上单调递增，且()()20m x m β>=，所以21t x β<<<；所以1201x x αβ<<<<<，所以21x x βα->-，因为βα-=又()109a-<<<-，所以βα-> 所以21x x->综上，21x x <-< 【点睛】关键点点睛：本题（2）问（ii）小题证明的关键是，利用1e x x +≤，进行放缩可得1x 21x x -<；再利用()21e 011x xx x +<<<-，进行放缩可得()()1201,21ii i ixax f x i x +'⋅+->==-，从而构造二次函数()(222m x ax ax =-++++21x x ->5．(1)'y ()31sin 2cos x x xx --=；(2)'y ()e 1cos sin 2ln 2x xx x =+--；(3)'y ()551ln 3x =-⋅.【解析】【分析】根据导数的运算法则，对（1）（2）（3）逐个求导，即可求得结果. (1)因为2cos x x y x -=，故'y ()()()243sin 12cos 1sin 2cos x x x x x x x x x x------==. (2)因为()e 1cos 2x x y x =+-，故'y ()e 1cos sin 2ln 2x xx x =+--.(3)因为()3log 51y x =-，故'y ()()155?51ln 351ln 3x x =⨯=--⋅. 6．(1)()3232f x x x =+-(2)()2,2- 【解析】【分析】（1）由已知可得()()2013f f ⎧-=⎪⎨-=-''⎪⎩，可得出关于实数a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）分析可知，直线y λ=与函数()f x 的图象有3个交点，利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，数形结合可得出实数λ的取值范围.(1)解：因为()322f x x ax bx =++-，则()232f x x ax b '=++，由题意可得()()212401323f a b f a b ⎧-=-+=⎪⎨-=-+=-''⎪⎩，解得30a b =⎧⎨=⎩，所以，()3232f x x x =+-.当3a =，0b =时，()236f x x x '=+，经检验可知，函数()f x 在2x =-处取得极值. 因此，()3232f x x x =+-.(2)解：问题等价于()f x λ=有三个不等的实数根，求λ的范围.由()2360f x x x '=+>，得2x <-或0x >，由()2360f x x x '=+<，得20x -<<，所以()f x 在(),2-∞-、()0,∞+上单调递增，在()2,0-上单调递减，则函数()f x 的极大值为()22f -=，极小值为()02f =-，如下图所示：由图可知，当22λ-<<时，直线y λ=与函数()f x 的图象有3个交点，因此，实数λ的取值范围是()2,2-. 7．(1)最大值为15，最小值为9- (2)3a ≤ 【解析】【分析】（1）由()30f '=可求得实数a 的值，再利用函数的最值与导数的关系可求得函数()f x 在[]1,a 上的最大值和最小值；（2）分析可知()23230f x x ax '=-+≥对任意的1≥x 恒成立，利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数a 的取值范围. (1)解：因为()323f x x ax x =-+，则()2323f x x ax =-+'，则()33060f a '=-=，解得5a =，所以，()3253f x x x x =-+，则()()()23103313f x x x x x '=-+=--，列表如下：所以，min 39f x f ==-，因为11f =-，515f =，则max 515f x f ==. (2)解：由题意可得()23230f x x ax '=-+≥对任意的1≥x 恒成立，即312a x x⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，由基本不等式可得313322x x ⎛⎫+≥⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时，等号成立，故3a ≤.8．(1)列联表见解析，没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关； (2)①0310p =；②()73a b + 【解析】【分析】（1）对满足条件的数据统计加和即可，然后根据给定的2K 计算公式，将计算结果与195%0.05-=所对应的k 值比较大小即可；（2）①利用独立重复试验与二项分布的特点，写出10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，再利用导数求出最值点； ②利用独立重复试验的期望公式代入可求出答案. (1)由题中表格数据完成22⨯列联表如下：()22800125250150275800 3.463 3.841275525400400231K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯.故没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关. (2)①由题得，()()733101f p C p p =-，()0,1p ∈， ∴()()()()()763236321010C 3171C 1310f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦. 令()0f p '=，得310p =，当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>；当3,110p ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f p '<， ∴当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调选增；当3,110p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调递减， ∴()f p 的最大值点0310p =. ②本题求要准备的礼品大致为多少元，即求10个人礼品价值X 的数学期望. 由①知答错的概率为310，则()33101731010E X a b a b ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故要准备的礼品大致为73a b +元. 9．(1)3a =-；(2)增区间为()2e ,+∞，减区间为()20,e ，极小值22e -，无极大值.【解析】【分析】（1）根据()1112f '⨯=-，代值计算即可求得参数值；（2）根据（1）中所求参数值，求得()f x '，利用导数的正负即可判断函数单调性和极值. (1)因为()ln 1f x x a '=++，在点()()1,1f 处的切线斜率为()11k f a '==+，又()f x 在点()()1,1f 处的切线与直线220x y 相互垂直，所以()1112f '⨯=-，解得3a =-. (2)由（1）得，()ln 2f x x '=-，()0,x ∈+∞，令()0f x '>，得2e x >，令()0f x '<，得20e x <<，即()f x 的增区间为()2e ,+∞，减区间为()20,e ．又()22222e e ln e 3e 22ef =-+=-，所以()f x 在2e x =处取得极小值22e -，无极大值．【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和极值，属综合中档题.10．(1)单调增区间为2,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减区间为[)2,,2,m ∞∞⎛⎤--+⎥⎝⎦ (2)20,4e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后由导数的正负可求出函数的单调区间，（2）由函数()f x 在[]1,2上为增函数，求出函数的最值，则()()max min 24e 2()()e m g m f x f x -+=-=，然后将问题转化为()224e 24e e m -+≥，从而可求出实数m 的取值范围. (1)()()()()221422(0)e e xxmx m x mx x f x m -+-+-+-=>'=令()0f x '=，解得2x m =-或2x =，且22m-< 当2,x m ∞⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦时，()0f x '≤，当2,2x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当[)2,x ∞∈+时，()0f x '≤即()f x 的单调增区间为2,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减区间为[)2,,2,m ∞∞⎛⎤--+⎥⎝⎦(2)由（1）知，当[]0,1,2m x >∈时，()0f x '>恒成立所以()f x 在[]1,2上为增函数，即()()max min242()2,()1e em mf x f f x f +====. ()()12f x f x -的最大值为()()max min 24e 2()()e m g m f x f x -+=-=()()1224e f x f x ⎡⎤≥-⎣⎦恒成立()224e 24e e m -+∴≥ 即24em ≤-，又0m > 20,4e m ⎛⎤∴∈ ⎥-⎝⎦ 故m 的取值范围20,4e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦。

高中数学高三导数大题精选(附详细解答)

高中数学高三导数大题精选一、选择题1.函数的单调递增区间是（）A．（0，+∞）B．（-3,1）C．（1，+∞）D．（0,1）2.如图是定义在（a，b）上的函数f（x）的导函数的图象，则函数f（x）的极值点的个数为A．2B．3C．4D．53.曲线在点（0,2））处的切线方程为（）．A．y=2B．y=x+2C．y=2x+2D．y=-2x+24.函数在处有极值10，则点（a ，b）为（）A．（3,-3）B．（-4,11）C．（3,-3）或（-4,11）D．不存在5.函数f(x)＝x(ex－1)＋ln x的图象在点(1，f(1))处的切线方程是( ) A．y＝2ex－e－1B．y＝2ex－e＋1C．y＝2ex＋e－1D．y＝2ex＋e＋16.已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A. B.C. D.7.已知x=2 是函数的极小值点，那么函数f（x）的极大值为（）A.15B.16C.17D.188.已知函数y=f（x）是R上的可导函数，当x≠0时，有，则函数的零点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 39.若函数f（x）=在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为A．a=3 B．a≤3C．a≥3 D．0＜a＜310.函数的导数是A． B．C． D．二、填空题11.已知函数，则过点可以作出________条图象的切线三、解答题12.设函数，．（1）当时，函数取得极值，求的值；（2）当时，求函数在区间[1，2]上的最大值；（3）当时，关于的方程有唯一实数解，求实数的值．13.已知函数（1）若x=2为的极值点，求实数a的值；（2）若在上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当时，方程有实根，求实数b的最大14.求下列函数的导数（1）（2）（3）15.已知函数．若函数在处有极值-4．（1）求的单调递减区间；（2）求函数在上的最大值和最小值．参考答案一、选择题1、【答案】D解：函数的定义域为，且，解不等式，即，由于，解得.因此，函数的单调递增区间为，故选：D.2、【答案】B3、【答案】C4、【答案】B解：，则，解得或，当时，，此时在定义域上为增函数，无极值，舍去.当,,为极小值点.5、【答案】A解：f(1)＝e－1，f′(x)＝ex(1＋x)＋－1，f′(1)＝2e，∴在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e－1)＝2e(x－1)，即为y＝2ex－e－1.6、【答案】A7、【答案】D8、【答案】B9、【答案】C10、【答案】B二、填空题11、【答案】2解：设切点的坐标为：，，因此切线方程为：，把的坐标代入切线方程中，化简得：或，所以过点可以作出二条的切线.故答案为：2三、解答题12、13、【答案】(1)解：因为x= 2为f(x)的极值点，所以即，解得：a=0又当a = 0时，，从而x=2为f(x)的极值点成立．(2)解：∵f(x)在区间[3，+∞)上为增函数，∴在区间[3，+∞)上恒成立．①当a = 0时，在[3，+∞)上恒成立，所以f (x)在[3，+∞)上为增函数，故a = 0符合题意．②当a≠0时，由函数f (x)的定义域可知，必须有2ax + 1 > 0对x≥3恒成立，故只能a > 0，所以在区间[3，+∞)上恒成立令，其对称轴为∵a > 0，∴，从而g (x)≥0在[3，+∞)上恒成立，只要g (3)≥0即可，由，解得：∵a > 0，∴．综上所述，a的取值范围为[0，](3)解：时，方程可化为，．问题转化为在(0，+∞)上有解令，则当0 < x < 1时，，∴h (x)在(0，1)上为增函数当x > 1时，，∴h (x)在(1，+∞)上为减函数故h (x)≤h (1) = 0，而x > 0，故即实数b的最大值是0．14、15、解：（1）∵，∴，依题意有即，解得∴，由，得，∴函数单调递减区间由知∴，令，解得．当变化时，的变化情况如下表：由上表知，函数在上单调递减，在上单调递增．故可得又．∴综上可得函数在上的最大值和最小值分别为和．。

导数高中试题及解析答案

导数高中试题及解析答案1. 计算函数 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x $ 在 $ x = 1 $ 处的导数。

解析：首先，我们需要找到函数 $ f(x) $ 的导数。

根据导数的定义，我们有：\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x) \]对每一项分别求导，我们得到：\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]现在，将 $ x = 1 $ 代入 $ f'(x) $ 得到：\[ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 \]答案：函数 $ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处的导数为 $ -1 $。

2. 已知函数 $ g(x) = \sin(x) $，求 $ g'(x) $。

解析：根据三角函数的导数规则，我们知道 $ \sin(x) $ 的导数是$ \cos(x) $。

因此，我们可以直接写出 $ g(x) $ 的导数：\[ g'(x) = \cos(x) \]答案：函数 $ g(x) $ 的导数是 $ \cos(x) $。

3. 计算复合函数 $ h(x) = (x^2 - 1)^4 $ 的导数。

解析：这是一个复合函数，我们可以使用链式法则来求导。

首先，设$ u = x^2 - 1 $，那么 $ h(x) = u^4 $。

对 $ u $ 求导得到：\[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \]然后，对 $ h(x) $ 求导：\[ h'(x) = \frac{d}{dx}(u^4) = 4u^3 \cdot u' = 4(x^2 - 1)^3\cdot 2x \]答案：复合函数 $ h(x) $ 的导数是 $ 8x(x^2 - 1)^3 $。

高三数学导数大题20道训练

高三数学导数大题20道训练II）若函数f(x)在[0,1]上单调递增，求a的取值范围；III）若函数f(x)的最小值为-2，求a的取值范围.10.已知函数f(x)=x3-3x2+2x+1.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,1]上单调递增，求函数在[0,1]上的最小值.11.已知函数f(x)=x2e-x.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,1]上单调递减，求函数在[0,1]上的最大值.12.已知函数f(x)=x3-3x2+3x-1.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,2]上单调递增，求函数在[0,2]上的最小值.13.已知函数f(x)=x3-6x2+9x-2.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[1,3]上单调递减，求函数在[1,3]上的最大值.14.已知函数f(x)=x3-3x+2.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,2]上单调递增，求函数在[0,2]上的最小值.15.已知函数f(x)=x3-3x2+4.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,2]上单调递减，求函数在[0,2]上的最大值.16.已知函数f(x)=x3-6x2+12x-8.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[1,3]上单调递增，求函数在[1,3]上的最小值.17.已知函数f(x)=x3-9x2+24x-16.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[2,4]上单调递减，求函数在[2,4]上的最大值.18.已知函数f(x)=x3-2x2-5x+6.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[1,3]上单调递增，求函数在[1,3]上的最小值.19.已知函数f(x)=x3-3x2+3.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,2]上单调递减，求函数在[0,2]上的最大值.20.已知函数f(x)=x3-3x+1.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,2]上单调递增，求函数在[0,2]上的最小值.Ⅱ) 当 $a>0$ 时，若过原点与函数 $f(x)$ 的图像相切的直线恰有三条，求实数 $a$ 的取值范围。

高考数学专题：导数大题专练附答案

高考数学专题：导数大题专练附答案一、解答题 1．已知函数()()2ln 0f x a x ax a =+-> (1)求()f x 的最大值(2)若()0f x ≤恒成立，求a 的值 2．已知函数()1ln f x ax x =--，a R ∈． (1)讨论函数()f x 在区间()1,e 的极值；(2)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围．3．已知函数1()2ln f x x x x=+-． (1)求函数的单调区间和极值；(2)若12x x ≠且()()12f x f x =，求证：121x x <．4．已知a R ∈，函数()22e 2xax f x =+． (1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程 (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1201x x ，（ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）当9a <-时，证明：21x x <-<．（注： 2.71828e =…是自然对数的底数）5．设函数()()2()ln 1f x x a x x =++-，其中R a ∈.(1)1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； (3)若()0,0x f x ∀>成立，求a 的取值范围. 6．求下列函数的导数： (1)2cos x xy x -=； (2)()e 1cos 2x x y x =+-； (3)()3log 51y x =-．7．已知函数()e xf x kx =-，()()28ln ag x x x a R x=--∈.(1)当1k =时，求函数()f x 在区间[]1,1-的最大值和最小值；(2)当()0f x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，求实数k 的取值范围；(3)当函数()g x 有两个极值点1x ，()212x x x <，且11x ≠时，是否存在实数m ，总有()21221ln 51a x m x x x >--成立，若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.8．已知函数()e (1)()x f x a x a -=++∈R ． (1)当1a =时，求函数()y f x =的极值；(2)若函数()()ln e g x f x x =-+-在[1,)+∞有唯一的零点，求实数a 的取值范围． 9．已知函数()()1ln f x x x =+ (1)求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若m Z ∈，()()1m x f x -<对任意的()1,x ∈+∞恒成立，求m 的最大值. 10．已知函数2()e 1)(x f x ax x =-+.(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程； (2)若函数()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围； (3)若函数()f x 存在最小值，直接写出a 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)22ln 2ln 2a a --+ (2)2a = 【解析】【分析】（1）求导求解单调性即可求出最值；（2）要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln 20a a a ϕ=--+≤，求单调性求解即可. (1)因为()()2ln 0f x a x ax a =+->，所以()()20axf x a x-'=>，由()0f x '>得20x a <<；()0f x '<得2x a>；所以()f x 在20,a⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()222ln 2ln 2max f x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭，即()()22ln 2ln 20a a a a ϕ=--+>.(2)要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln 20a a a ϕ=--+≤，因为()2a a aϕ-'=，所以当02a <<，()0a ϕ'<；当2a >时，()0a ϕ'>. 所以()a ϕ在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增. 所以()()20min a ϕϕ==，所以满足条件的a 只有2，即2a =. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式； (3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 2．(1)答案见解析 (2)211e b ≤-【解析】【分析】（1）先讨论()f x 的单调性再确定()f x 在()1,e 上的极值（2）利用极值点处的导数为求出1a =，代入恒成立的不等式中，用分离参数法求b 的取值范围 (1)在区间()0,∞+上， ()11ax f x a xx-'=-=，当0a ≤时， ()0f x '<恒成立， ()f x 在区间()1,e 上单调递减，则()f x 在区间()1,e 上无极值；当0a >时，令()0f x '=得1x a=，在区间10,a⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，函数()f x 单调递减，在区间1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，函数()f x 单调递增.若11e a <<，即11e a<<，则()f x 在区间()1,e 上极小值1ln f a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭若1a ≥或10ea <≤，即11a≤或1e a≥，则()f x 在区间()1,e 上无极值 (2)因为函数()f x 在1x =处取得极值，所以()10f '=，解得1a =，经检验可知满足题意由已知()2f x bx ≥-，即1ln 2x x bx --≥-，即1ln 1+xb xx-≥对()0,x ∀∈+∞恒成立，令()1ln 1x g x xx =+-，则()22211ln ln 2x x g x x x x-='---=，当()20,e x ∈时，()0g x '<；当()2e ,x ∈+∞时，()0g x '> 所以()g x 在()20,e 上单调递减，在()2e ,+∞上单调递增，所以()()22min 1e 1e g x g ==-，即211e b ≤-. 3．(1)减区间()0,1，增区间()1,+∞，极小值3， (2)证明见解析【解析】【分析】（1）依据导函数与原函数的关系去求函数的单调区间和极值即可；（2）构造新函数利用函数单调性去证明121x x <即可. (1)1()2ln (0)f x x x x x =+->，则()()2221111()2(0)x x f x x x x x +-'=--=> 由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<，即()f x 减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，在1x =时()f x 取得极小值(1)2103f =+-=，无极大值. (2)不妨设12x x <且()()12f x f x a ==，则101x <<，21>x ，3a >，2101x << 令1()()2ln (0)h x f x a x x a x x=-=+-->，则()()120h x h x ==()()2221111()2x x h x x x x +-'=--=，则当1x >时()0h x '>，()h x 单调递增；当01x <<时()0h x '<，()h x 单调递减由()222212ln 0x x h x a x +=--=，得22212ln a x x x =+- 则2222222222211ln 2ln 2ln 1x x x x x h x x x x x ⎛⎫++-+-=-+ ⎪⎛⎫=⎪⎝⎝⎭⎭令21t x =，则222112ln 2ln (01)x x t t t x t -+=--<< 令()12ln (01)t m t t t t --<=<，则()()22211210t t tt m t -'=+-=> 即()12ln (01)t m t t t t--<=<为增函数，又()11100m =--=，则()12ln 0m t t tt --<=在(0,1)上恒成立.则222212ln 10x x x h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-<恒成立，则()211h h x x ⎛⎫⎪< ⎝⎭，又01x <<时()h x 单调递减，101x <<，2101x <<则211x x >，故121x x <4．(1)(21y x =-+(2)（ⅰ）22e ,-；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；（2）（ⅰ）原问题等价于12,x xa =-的两根，且1201x x ，从而构造函数())0g x x =>，将问题转化为直线y a =-与函数()g x 的图象有两个交点，且交点的横坐标大于0小于1即可求解；（ⅱ）由1e x x +≤，利用放缩法可得()()1112210x ax f x '++-=，即1x 2114x <<，从而可证21x x -<()21e 011x xx x +<<<-，然后利用放缩法可得()()1201,21i i i ix ax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，最后构造二次函数()(222m x ax a x =-++++21x x ->而得证原不等式. (1)解：因为()22e x f x ax '=+所以()02f '=()01f =，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(21y x =-+； (2)解：（ⅰ）因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，所以12,x x 是关于x 的方程()22e 0x f x ax =+'的两根，也是关于x的方程a =-的两正根，设())0g x x =>，则()g x '=，令())224e 2e 0x x h x x x =->，则()28e xh x x '=，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又104h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，当104x <<时，()0h x <，()0g x '<；当14x >时，()0h x >，()0g x '>，所以函数()g x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又因为1201x x ，所以()114g a g ⎛⎫<-<⎪⎝⎭，即22e a <-<- 所以a的取值范围是22e ,-；22e 9a <<-，因为1e x x +≤，所以()()1112210x ax f x '++-=，所以()142a x +-，所以1x 2114x <<，所以211x x -<= 下面先证明不等式()21e 011x xx x+<<<-，设()()2101e 1xx r x x x -=⋅<<+，则()()2222e 1x x r x x '=-+，所以，当01x <<时，()0r x '<，()r x '在()0,1上单调递减，所以，()()01r x r <=，所以不等式()21e 011xxx x+<<<-成立，因为12,x x ，()1201x x <<<是()22e 0x f x ax '=+=的两个根，所以()()01,2i f x i '==，又()21e 011x xx x+<<<-，所以()()1201,21ii i ixax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，设函数()(222m x ax a x =-++++x t ==因为((()2224261620a a a ∆=+++-=+-+->，且()00m >，()10m >，102t <<，所以函数()m x 有两个不同的零点，记为α，()βαβ<，且01t αβ<<<<，因为()22616212e 201ta tf t at at t+++'=+-⋅+-=<-，且()00f '>，()10f '>，所以1201x x ，因为()m x 在()0,t 上单调递减，且()()10m x m α>=，所以10x t α<<<；因为()m x 在(),1t 上单调递增，且()()20m x m β>=，所以21t x β<<<；所以1201x x αβ<<<<<，所以21x x βα->-，因为βα-=又()109a -<<<-，所以βα-> 所以21x x-> 综上，21x x <-< 【点睛】关键点点睛：本题（2）问（ii ）小题证明的关键是，利用1e x x +≤，进行放缩可得1x 21x x -<；再利用()21e 011xx x x +<<<-，进行放缩可得()()1201,21ii i ix ax f x i x+'⋅+->==-，从而构造二次函数()(222mx ax a x =-++++21x x ->5．(1)322ln230x y -+-=(2)当0a <时，函数()f x 有一个极值点；当809a ≤≤时，函数()f x 无极值点；当89a >时，函数()f x 有两个极值点. (3)0,1【解析】【分析】（1）将1a =代入函数()f x 中，得出函数()f x 的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件，对a 进行分类讨论，利用导数法求函数极值的步骤及函数极值的定义即可求解；（3）根据()0,0x f x ∀>成立，转化为()min 0,0x f x ∀>即可，再利用第（2）的结论即可求解. (1)当1a =时，()2()ln 1f x x x x =++-()()21ln 1111ln 2f =++-=，所以切点为()1,ln2，()()11321,12111112f x x k f x ''=+-∴==+⨯-=++，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为()312k f ='=，所以曲线()y f x =在点()1,ln2处的切线的斜率切线方程为()3ln212y x -=-，即322ln230x y -+-= (2)由题意知函数()f x 的定义域为()1,-+∞，()()21212111ax ax a f x a x x x +-+=+-='++，令()()221,1,g x ax ax a x =+-+∈-+∞，（i ）当0a =时，()10f x '=>，函数()f x 在()1,-+∞单调递增，无极值点（ii ）当0a >时，()Δ98a a =-，①当809a <≤时，()()Δ0,0,0g x f x '≤≥≥，所以函数()f x 在()1,-+∞单调递增，无极值点； ②当89a >时，Δ0>，设方程2210ax ax a +-+=两根1212,,x x x x ==此时12x x <()121211111,,,110,12444x x x x g x +=-∴---=>-<<∴<->()()121,,,x x x ∴∈-+∞时，()()0,0g x f x '>>，函数()f x 单调递增；()12,x x x ∈时，()()0,0g x f x '<<，函数()f x 单调递减. ∴函数有两个极值点；③当0a <时，()Δ980a a =->，设方程2210ax ax a +-+=两根1212,,x x x x ==此时12x x >()12110,1x g x -=>∴-<<()11,x x ∴∈-时，()()0,0g x f x '>>，函数()f x 单调递增； ()1,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '<<，函数()f x 单调递减.∴函数有一个极值点；综上所述：当0a <时，函数()f x 有一个极值点；当809a ≤≤时，函数()f x 无极值点；当89a >时，函数()f x 有两个极值点. (3)由()0,0x f x ∀>成立等价于()min 0,0x f x ∀>≥即可. ①当809a ≤≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，()()00,0,f x =∴∈+∞时，()0f x >，符合题意；②当819a <≤时，由()00g >，得20x ≤，∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增，又()()00,0,f x =∴∈+∞时，()0f x >，符合题意； ③当1a >时，由()00<g ，得20x >()20,x x ∴∈时， ()f x 单调递减,()()200,0,f x x =∴∈时，()0f x <时，不合题意；④当0a <时，设()()ln 1h x x x =-+，()0,x ∈+∞，时，()()110,11x h x h x x x =-=>∴+'+在()0,+∞上单调递增. ∴当()0,x ∞∈+时，()()00h x h >=，即()ln 1x x +<，可得()()()221f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a>-时，()210ax a x +-<，此时()0f x <，不合题意.综上，a 的取值范围是0,1. 【点睛】解决此题的关键是第一问利用导数的几何意义及点斜式即可，第二问主要是对参数进行分类讨论，再结合利用导数法求函数的极值的步骤即可，第三问主要将恒成立问题转化为最值问题再结合第二问的结论即可求解. 6．(1)'y ()31sin 2cos x x xx --=；(2)'y ()e 1cos sin 2ln 2x xx x =+--；(3)'y ()551ln 3x =-⋅.【解析】【分析】根据导数的运算法则，对（1）（2）（3）逐个求导，即可求得结果. (1)因为2cos x x y x -=，故'y ()()()243sin 12cos 1sin 2cos x x x x x x x x x x ------==. (2)因为()e 1cos 2x x y x =+-，故'y ()e 1cos sin 2ln 2x xx x =+--.(3)因为()3log 51y x =-，故'y ()()155?51ln 351ln 3x x =⨯=--⋅. 7．(1)最大值为e 1-，最小值为1；(2)21e,?e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦； (3)(],1-∞-. 【解析】【分析】（1）求得'()f x ，利用导数研究函数在区间上的单调性，再利用单调性求其最值即可；（2）分离参数并构造函数()e xh x x=，求其在区间上的值域即可求得参数的范围；（3）根据12,x x 是()g x 的极值点，求得12,,x x a 的等量关系以及取值范围，等价转化目标不等式，且构造函数()()212ln ,02m x m x x x x-=+<<，对参数进行分类讨论，利用导数研究其值域，即可求得参数范围.(1)当1k =时，()e xf x x =-，'()f x e 1x =-，令'()f x 0=，解得0x =，当()1,,0x ∈-时，()f x 单调递减，当()0,1x ∈时，()f x 单调递增；又()()()111,01,1e 1ef f f -=+==-，且()()11f f >-，故()f x 在[]1,1-上的最大值为e 1-，最小值为1. (2)令()e xf x kx =-0=，因为1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0x ≠，故e xk x =，令()e 1,,22x h x x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则'()h x ()2e 1 x x x-=，故当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()h x 单调递减，当()1,2x ∈，()h x 单调递增，又()()2111e,2e 22h h h ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，且()122h h ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故()h x 的值域为21e,?e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则要满足题意，只需21e,?e 2k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.即()h x 的取值范围为：21e,?e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(3)因为()28ln a g x x x x =--，'()g x 2228282a x x a x x x -+=+-=，因为()g x 有两个极值点12,x x ，故可得12126480,4,02a a x x x x ->+==>，也即08a <<，且12124,2ax x x x +==. 因为11x ≠，12x x <，故()()10,11,2x ∈⋃，则()21221ln 51a x m x x x >--，即()()()211111124ln 5441x x x m x x x -⎡⎤>---⎣⎦-，因为140x ->，故上式等价于()11112ln 11x x m x x >+-，即()21111112ln 01m x x x x x ⎡⎤-⎢⎥+>-⎢⎥⎣⎦，又当()0,1x ∈时，1101x x >-，当()1,2x ∈时，1101xx <-，令()()212ln ,02m x m x x x x-=+<<，则'()m x 222mxx mx ++=，当0m ≥时，'()m x 0>，故()m x 在()0,2单调递增，又()10m =，故当()0,1x ∈时，()0m x <，当()1,2x ∈时，()0m x >，故不满足题意；当0m <时，令()22n x mx x m =++，若方程()0n x =对应的2440m =-≤时，即1m ≤-时，'()m x 0≤，()m x 单调递减，又()10m =，故当()0,1x ∈时，()0m x >，当()1,2x ∈时，()0m x <，满足题意；若2440m =->，即10m -<<时，又()y n x =的对称轴11x m=->，且开口向下，又()1220n m =+>，不妨取1min ,2b m ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，故当()1,x b ∈，'()m x 0>，()m x 单调递增，又()10m =，故此时()0m x >，不满足题意，舍去；综上所述：m 的取值范围为(],1-∞-. 【点睛】本题考察利用导数研究函数值域，有解问题，以及利用导数处理恒成立问题；其中第三问中，合理的处理12,,x x a 以及m 多变量问题，以及构造函数，是解决本题的关键，属综合困难题. 8．(1)()f x 的极小值为2，无极大值； (2)(,e 1]-∞+ 【解析】【分析】（1）当1a =时，求导分析()f x 的单调性，即可得出答案．（2）由题意可得()()ln e e ln e(1)x g x f x x ax a x x =-+-=-++-，求导得()g x '，从而可推出()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，分两种情况讨论：①当e 10a +-，②当e 10a +-<，分析()g x 的单调性，即可得出答案．(1)当1a =时，()(1)xf x e x -=++，1()1xxxe f x e e --+'=-+=，令1e 0x -+>，得0x >，令1e 0x -+<，得0x <，则()f x 单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞， ∴()f x 存在极小值为()02f =，无极大值； (2)()()ln e e (1)ln e e ln e(1)x x g x f x x a x x ax a x x =-+-=+-++-=-++-，则1()xg x e a x'=-+，令1()xh x e a x =-+，则221()x x e h x x -'=，由1x >得，21x >，210x x e ->，则()0h x '>，故()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，①当e 10a +-，即e 1a +时，即(1,)x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0g =， ∴当1x >时，函数()g x 没有零点， ②当e 10a +-<，即e 1a >+时，由e e (1)x y x x =->，得e e 0x y '=->， ∴e e x x >，∴11()e e xg x a x a x x '=+->+-，e e e 0e e a a g a a a ⎛⎫'>⋅+-=> ⎪⎝⎭，又∵e 1e ea >=，∴存在01,e a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，当()01,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，又∵(1)0g =，∴当0(]1,x x ∈时，()0g x <，在()01,x 内，函数()g x 没有零点，又∵()0,x x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 单调递增，又∵22e )e 1(ln e a a g a a a a a +-+>-=-+，令2()e 1(1)>x k x x x =-+，()()e 2x s x k x x '==-，()e 2e 20x s x '=->->，∴()k x '在(1,)+∞上单调递增，又∵(1)0k '>，∴1x >时，()0k x '>，()k x 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0k a k >>， ∴()0g a >，又∵0eaa x >>， ∴由零点的存在定理可知存在()()101,,0x x a g x ∈=， ∴在()0,x a 内，函数()g x 有且只有1个零点，综上所述，实数a 的取值范围是(,e 1]-∞+.9．(1)递增区间为2(e ,)-+∞，递减区间为2(0,e )-，极小值为2e --，没有极大值 (2)3 【解析】【分析】（1）由导数分析单调性后求解（2）参变分离后，转化为最值问题求解 (1)函数()()1ln f x x x =+的定义域为(0,)+∞，由()=ln 2f x x '+，令()=0f x '可得2e x -=，当2(0,)e x -∈时，()0f x '<，函数()()1ln f x x x =+在2(0,e )-上单调递减，当2(e ,)x -∈+∞时，()0f x '>，函数()()1ln f x x x =+在2(e ,)-+∞上单调递增， ∴ 函数()()1ln f x x x =+的递增区间为2(e ,)-+∞，递减区间为2(0,e )-，函数()()1ln f x x x =+在2e x -=时取极小值，极小值为2e --，函数()()1ln f x x x =+没有极大值 (2)当()1,x ∈+∞时，不等式()()1m x f x -<可化为ln 1x x xm x +<-，设ln ()1x x xg x x +=-，由已知可得[]min ()g x m <，又()()()22ln 2(1)ln 2'ln 11()x x x x g x x x x x x +---==----，令()ln 2(1)h x x x x =-->，则1'()10h x x=->，∴ ()ln 2h x x x =--在()1,+∞上为增函数，又(3)1ln30h =-<，(4)2ln 40h =->， ∴ 存在0(3,4)x ∈，使得0()0h x =，即002ln x x -= 当()01,x x ∈时，()0g x '<，函数ln ()1x x xg x x +=-在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，函数ln ()1x x xg x x +=-在0(,)x +∞上单调递增， ∴ []20000000min 00ln ()=()==11x x x x x g x g x x x x +-=--， ∴ 0m x <， ∴ m 的最大值为3. 10．(1)1y = (2)1(,)2-∞ (3)10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）先求导后求出切线的斜率'(0)0f =，然后求出直线上该点的坐标即可写出直线方程；（2）根据函数的单调性和最值分类讨论；（3）分情况讨论，根据函数的单调性和极限求解. (1)解：由题意得：22'e 121)e 2)()((x x ax x a f x ax x x ax =-++-=+- '(0)0f =，(0)1f =故曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程1y =. (2)由（1）得要使得()f x 在0x =处取得极大值，'()f x 在0x <时应该'()0f x >，'()f x 在0x >时应该'()0f x <，'e 2(1)()x x x ax f a =+-故①0a <且120aa-<，解得0a < ②0a >且120a a->，解得102a <<当0a =时，'()e x f x x =-，满足题意；当12a =时，'21(e )2x f x x =，不满足题意；综上：a 的取值范围为1(,)2-∞. (3)可以分三种情况讨论：①0a ≤②102a <<③12a ≥ 若0a ≤，()f x 在12(,)a a --∞上单调递减，在12(,0)aa-单调递增，在(0,)+∞上单调递减，无最小值；若102a <<时，当0x <时，x 趋向-∞时，()f x 趋向于0；当0x > ，要使函数取得存在最小值121221212112()[(41)0e ()]e a aaa a a a f a a a a a a -----=-=-≤+，解得104a <≤，故 12a x a -=处取得最小值,故a 的取值范围10,4⎛⎤⎥⎝⎦. 若12a ≥时，()f x 在x 趋向-∞时，()f x 趋向于0，又(0)1f =故无最小值；综上所述函数()f x 存在最小值， a 的取值范围10,4⎛⎤⎥⎝⎦.。

高三导数及应用练习题

高三导数及应用练习题导数是微积分中非常重要的概念，对于高中生来说，学习导数是必不可少的一部分内容。

导数的概念以及其应用能力的培养对于高三学生来说具有重要的意义，因此在这篇文章中，我将为大家提供一些导数及应用的练习题，希望能够帮助大家提升自己的学习水平。

【练习题一】1. 求函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1 在点 x = 2 处的导数。

解: 首先，我们可以利用导数的定义来求解该题目。

导数的定义是函数 f(x) 在某一点 x 附近的变化率。

对于给定的函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，我们可以通过求函数在 x = 2 处的变化率来求解该导数值。

根据定义，我们可以得到如下结果:f'(2) = lim(h→0) [f(2+h) - f(2)] / h代入 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，得到:f'(2) = lim(h→0) [(3(2+h)^2 - 2(2+h) + 1 - (3(2)^2 - 2(2) + 1)] / h化简上述表达式，我们可以得到:f'(2) = lim(h→0) [(12h + 9)] / h进一步简化，我们得到:f'(2) = lim(h→0) [12h + 9] / h利用极限的性质，我们可以得到:f'(2) = 12因此，函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1 在点 x = 2 处的导数为 12。

2. 求函数 g(x) = sin(2x) 在点x = π/4 处的导数。

解: 对于函数g(x) = sin(2x)，我们需要利用链式法则来求解其导数。

根据链式法则的定义，我们可以得到如下结果:g'(x) = cos(2x) * 2代入x = π/4，我们可以得到:g'(π/4) = cos(2 * π/4) * 2化简表达式，我们可以得到:g'(π/4) = cos(π/2) * 2利用三角函数的性质，我们可以得到:g'(π/4) = 0 * 2因此，函数 g(x) = sin(2x) 在点x = π/4 处的导数为 0。

高考文科数学导数真题汇编(带答案)

高考文科数学导数真题汇编(带答案)高考数学文科导数真题汇编答案一、客观题组4.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。

5.设函数f(x)=x^2-2x，则f(x)的单调递减区间为。

7.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=2处取得极大值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。

8.设函数f(x)=1/(2x-lnx)，则x=2为f(x)的极小值点。

9.函数y=1/(2x-lnx)的单调递减区间为(0,1]。

11.已知函数f(x)=x^2+bx+c的图象经过点(1,2)，且在点(2,3)处的切线斜率为4，则b=3.12.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象过点(1,1)，且在点(2,3)处的切线斜率为5，则a=2.二、大题组2011新课标】21.已知函数f(x)=aln(x/b)+2，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1) 求a、b的值；(2) 证明：当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)。

解析】1) f'(x)=a/(xlnb)+2/x，由于直线x+2y-3=0的斜率为-1/2，且过点(1,f(1))，解得a=1，b=1.2) 由(1)知f(x)=ln(x)+1，所以f(x)-2ln(x/b)=ln(x/b)+1>0，当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)成立。

2012新课标】21.设函数f(x)=ex-ax-2.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 若a=1，k为整数，且当x>0时，(x-k)f'(x)+x+1>0，求k的最大值。

解析】1) f(x)的定义域为(-∞,+∞)，f'(x)=ex-a，若a≤0，则f'(x)>0，所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增。

高考数学专题：导数大题专练含答案

高考数学专题：导数大题专练含答案一、解答题1．已知函数()ln f x ax x =+ (1)讨论()f x 的单调区间；(2)设()2xg x =，若对任意的[]11,100x ∈，存在[]20,1x ∈，使()()12f x g x <成立，求实数a 的取值范围.2．已知函数1()2ln f x x x x=+-． (1)求函数的单调区间和极值；(2)若12x x ≠且()()12f x f x =，求证：121x x <． 3．已知函数()ln .f x x x ax a =-+(1)若1≥x 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(2)当1a =，01b <<时，方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12 1.x x <4．设函数()()2()ln 1f x x a x x =++-，其中R a ∈.(1)1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； (3)若()0,0x f x ∀>成立，求a 的取值范围.5．已知函数1()(1)(0)x f x x e x x=+->，()ln ()x g x xe a x a R =+∈，且1()0f x = (1)若1a =，且0()0g x =，试比较0x 与1x 的大小关系，并说明理由； (2)若1a =-，且222(1)()()x f x g x +=，证明：（i ）25593x e <<；（ii ）12213232x x x ex -->-.（参考数据：1ln3 1.098,ln5 1.609,0.368e≈≈≈） 6．已知函数()ln f x x =(1)过原点作()f x 的切线l ，求l 的方程；(2)令()()f x g x x=，求()g x a ≥在4⎤⎦恒成立，求a 的取值范围 7．已知函数2()2ln f x x x =-+，()()ag x x a x =+∈R . (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 与()g x 有相同的极值点，求函数()g x 在区间1[,3]2上的最值.8．已知函数()322f x x ax bx =++-在2x =-时取得极值，且在点()()1,1f --处的切线的斜率为3- . (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()y f x λ=-有三个零点，求实数λ的取值范围. 9．已知函数2()ln (2)(R)f x a x x a x a =+-+∈. (1)若1a =，求()f x 在区间[]1,e 上的最大值； (2)求()f x 在区间[]1,e 上的最小值()g a .10．已知函数()e 2x f x ax =-，()22sin 1g x a x x =-+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)试判断函数()f x 的单调性与极值点个数；(2)若关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根，求实数a 的最小值.【参考答案】一、解答题1．(1)答案见解析 (2)31a e ≤-【解析】【分析】（1）由()()110ax f x a x xx+=+=>'，按0a ≥，0a <进行分类讨论求解；（2）由已知，转化为()()max max f x g x <，由已知得()()max 12g x g ==，由此能求出实数a 的取值范围． (1)()(]110ax f x a x x x+'=+=>， ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，()0f x '>，所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+； ②当0a <时，由()0f x '=，得1x a=-，在区间10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '>，在区间1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)由题目知，只需要()()max max f x g x <即可又因为()()max 12g x g ==，所以只需要()max 2f x <即可()max 2f x <即等价于()2f x <恒成立，由变量分离可知2ln xa x-<，[]1,100x ∈，令()2ln xh x x -=，下面求()h x 的最小值，令()23ln xh x x-+'=，所以()0h x '=得3x e =，所以()h x 在31,e ⎡⎤⎣⎦为减函数，3,100e ⎡⎤⎣⎦为增函数，所以()()33min 1h x h e e -==，所以31a e ≤-. 2．(1)减区间()0,1，增区间()1,+∞，极小值3， (2)证明见解析【解析】【分析】（1）依据导函数与原函数的关系去求函数的单调区间和极值即可；（2）构造新函数利用函数单调性去证明121x x <即可. (1)1()2ln (0)f x x x x x =+->，则()()2221111()2(0)x x f x x x x x +-'=--=>由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<，即()f x 减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，在1x =时()f x 取得极小值(1)2103f =+-=，无极大值. (2)不妨设12x x <且()()12f x f x a ==，则101x <<，21>x ，3a >，2101x <<令1()()2ln (0)h x f x a x x a x x=-=+-->，则()()120h x h x ==()()2221111()2x x h x x x x +-'=--=，则当1x >时()0h x '>，()h x 单调递增；当01x <<时()0h x '<，()h x 单调递减由()222212ln 0x x h x a x +=--=，得22212ln a x x x =+-则2222222222211ln 2ln 2ln 1x x x x x h x x x x x ⎛⎫++-+-=-+ ⎪⎛⎫=⎪⎝⎝⎭⎭ 令21t x =，则222112ln 2ln (01)x x t t t x t -+=--<< 令()12ln (01)t m t t t t --<=<，则()()22211210t t tt m t -'=+-=>即()12ln (01)t m t t t t--<=<为增函数，又()11100m =--=，则()12ln 0m t t tt --<=在(0,1)上恒成立.则222212ln 10x x x h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-<恒成立，则()211h h x x ⎛⎫⎪< ⎝⎭，又01x <<时()h x 单调递减，101x <<，2101x <<则211x x >，故121x x <3．(1)(,1].-∞ (2)证明见解析【解析】【分析】(1)1x ≥，()0ln 0a f x x a x ≥⇔-+≥，设()ln (1)ag x x a x x=-+≥，求导得221()a x ag x x x x-'=-=，分1a ≤与1a >两类讨论，即可求得a 的取值范围；(2)当1a =时，方程()f xb =有两个不相等的实数根1x ，2x ，不妨设12x x <，则1201x x <<<，要证121x x ⋅<，只需证2111x x <<，而12()()f x f x =，只需证明111()()f x f x <，再构造函数，设1()()()(01)F x f x f x x=-<<，通过求导分析即可证得结论成立． (1)1x ≥，()0f x ∴≥，即ln 0ax a x-+≥，设()ln (1)ag x x a x x=-+≥，221()a x ag x x x x -'=-=，当1a ≤时，()0g x '≥， ()g x ∴在[1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g ∴≥=，满足条件；当1a >时，令()0g x '=，得x a =，当1x a <≤时，()0g x '<；当x a >时，()0g x '>，()g x ∴在区间[1,]a 上单调递减，在区间[,)a +∞上单调递增，min ()()ln 1g x g a a a ∴==-+，()(1)0g a g ∴<=，与已知矛盾．综上所述，a 的取值范围是(,1].-∞(2)证明：当1a =时，()ln f x x '=，则()f x 在区间(0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增，由方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，不妨设12x x <，则1201x x <<<，要证121x x ⋅<，只需证2111x x <<，()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，只需证121()()f x f x < 又()()12f x f x =，∴只需证明111()()f x f x <，设1()()()(01)F x f x f x x=-<<，则22211()ln ln ln 0x F x x x x x x-'=-=>，()F x ∴在区间(0,1)上单调递增，()(1)0F x F ∴<=，1()()0f x f x∴-<，即111()()f x f x <成立， ∴原不等式成立，即121x x ⋅<成立．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用． 4．(1)322ln230x y -+-=(2)当0a <时，函数()f x 有一个极值点；当809a ≤≤时，函数()f x 无极值点；当89a >时，函数()f x 有两个极值点. (3)0,1 【解析】【分析】（1）将1a =代入函数()f x 中，得出函数()f x 的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件，对a 进行分类讨论，利用导数法求函数极值的步骤及函数极值的定义即可求解；（3）根据()0,0x f x ∀>成立，转化为()min 0,0x f x ∀>即可，再利用第（2）的结论即可求解. (1)当1a =时，()2()ln 1f x x x x =++-()()21ln 1111ln 2f =++-=，所以切点为()1,ln2，()()11321,12111112f x x k f x ''=+-∴==+⨯-=++，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为()312k f ='=，所以曲线()y f x =在点()1,ln2处的切线的斜率切线方程为()3ln212y x -=-，即322ln230x y -+-= (2)由题意知函数()f x 的定义域为()1,-+∞，()()21212111ax ax a f x a x x x +-+=+-='++，令()()221,1,g x ax ax a x =+-+∈-+∞，（i ）当0a =时，()10f x '=>，函数()f x 在()1,-+∞单调递增，无极值点（ii ）当0a >时，()Δ98a a =-，①当809a <≤时，()()Δ0,0,0g x f x '≤≥≥，所以函数()f x 在()1,-+∞单调递增，无极值点； ②当89a >时，Δ0>，设方程2210ax ax a +-+=两根1212,,x x x x ==此时12x x <()121211111,,,110,12444x x x x g x +=-∴---=>-<<∴<->()()121,,,x x x ∴∈-+∞时，()()0,0g x f x '>>，函数()f x 单调递增；()12,x x x ∈时，()()0,0g x f x '<<，函数()f x 单调递减. ∴函数有两个极值点；③当0a <时，()Δ980a a =->，设方程2210ax ax a +-+=两根1212,,x x x x ==此时12x x >()12110,1x g x -=>∴-<<()11,x x ∴∈-时，()()0,0g x f x '>>，函数()f x 单调递增； ()1,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '<<，函数()f x 单调递减.∴函数有一个极值点；综上所述：当0a <时，函数()f x 有一个极值点；当809a ≤≤时，函数()f x 无极值点；当89a >时，函数()f x 有两个极值点. (3)由()0,0x f x ∀>成立等价于()min 0,0x f x ∀>≥即可. ①当809a ≤≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，()()00,0,f x =∴∈+∞时，()0f x >，符合题意；②当819a <≤时，由()00g >，得20x ≤，∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增，又()()00,0,f x =∴∈+∞时，()0f x >，符合题意； ③当1a >时，由()00<g ，得20x >()20,x x ∴∈时， ()f x 单调递减,()()200,0,f x x =∴∈时，()0f x <时，不合题意；④当0a <时，设()()ln 1h x x x =-+，()0,x ∈+∞，时，()()110,11x h x h x x x =-=>∴+'+在()0,+∞上单调递增. ∴当()0,x ∞∈+时，()()00h x h >=，即()ln 1x x +<，可得()()()221f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a>-时，()210ax a x +-<，此时()0f x <，不合题意.综上，a 的取值范围是0,1. 【点睛】解决此题的关键是第一问利用导数的几何意义及点斜式即可，第二问主要是对参数进行分类讨论，再结合利用导数法求函数的极值的步骤即可，第三问主要将恒成立问题转化为最值问题再结合第二问的结论即可求解. 5．(1)01x x >，理由见解析(2)（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）由0x →时，(),()0f x g x →，1()02f >，1()02>g 可得011,(0,)2x x ∈，构造1()ln (0)1m x x x x =+>+，求导分析单调性，由1112()()()ln 2023g x m x m =<=-<，故10()()g x g x <，分析即得解；（2）（i ）由题意，22ln 222222(1)(1)(ln )0x x x x e x x x +++-++=，先证明1x e x ≥+，代入分析可得22ln 0x x +=，构造()ln (0)x x x x ϕ=+>，求导分析单调性，结合而5()09ϕ<，5()03eϕ>即得解；（ii ）构造1()(1)(2)t x x x x e=---，可得21(1)()f x f x -<，再构造()(32)(0)x h x x e x =->，()()(1)H x h x h x =--，分析即得解(1)对函数()f x ，()g x 求导得：21()(2)0x f x x e x '=++>，1()(1)0xg x x e x'=++> 当0x →时，(),()0f x g x →.而1()22f ，1()ln 22g .由21.5e >，13ln 2ln1644=<知1()02f >，1()02>g因此0x ，1x 唯一且011,(0,)2x x ∈ 由1111(1)0x x ex +-=知1111(1)x e x x =+，1111()ln 1g x x x =++. 构造1()ln (0)1m x x x x =+>+，则221()0(1)x x m x x x ++'=>+. 故()m x 在(0,)+∞单调递增；因此1112()()()ln 223g x m x m =<=-，由12ln 2ln833=>知1()0g x <. 故10()()g x g x <，结合()g x 单调性知01x x >. (2)（i ）证明：由题意得22ln 222222(1)(1)(ln )0x x x x e x x x +++-++=.构造()1x r x e x =--，则'()1x r x e =-，()(0)0r x r ≥=. 因此1x e x ≥+.因此22ln 22222222220(1)(1)(ln )(1)(ln )x x x x e x x x x x x +=++-++≥++.故22ln 0x x +≤.因此2222ln ln 2222222220(1)(1)(ln )(1)(1)x x x x x x e x x x x x e ++=++-++≥++-故22ln 0x x +≥.因此22ln 0x x +=.构造()ln (0)x x x x ϕ=+>，则1()10x x ϕ'=+>. 而55()ln52ln3099ϕ=+-<，55()ln5ln31033e e ϕ=+-->，因此25593x e<<. （ii ）由22ln 0x x +=知221xe x =. 因此222222221(1)(2)(2)1(1)1(1)xx x x e x e f x e x e x -----=-=--.构造1()(1)(2)t x x x x e=---，则2()362t x x x '=-+. 因此()t x在(1上单调递减. 因此251()()0.3609t x t e<<-<，故2(1)0f x -<.因此21(1)()f x f x -<，结合()f x 单调性知211x x -<，故211x x >-. 构造()(32)(0)x h x x e x =->，()()(1)H x h x h x =--，则()(12)x h x x e '=-. 因此()h x 在1(0,)2上单调增，1(,1)2上单调减.而当102x <≤时，1()(12)()0x x H x x e e -'=--≤，()H x 单调减. 因此11()()02H x H >>，11()(1)h x h x >-.而121112x x <-<<，因此21()(1)h x h x <-，因此12()()h x h x >. 因此12213232x x x ex --<-.6．(1)1ey x =； (2)4e 4a ≤. 【解析】【分析】（1）设切线的方程为y kx =，设切点为(,ln )t t ,求出e t =即得解；（2）利用导数求出函数()g x在4⎤⎦上的单调区间即得解. (1)解：设切线的方程为y kx =，设切点为(,ln )t t , 因为()1f x x '=，则()1k f t t'==所以切线方程为()1ln y t x t t-=-即1ln 1y x t t =+-由题得ln 10t -=则e t = ∴切线l 的方程为1ey x =． (2) 解：()21ln xg x x -'=，e x <<时，()0g x '>；4e e x <<时，()0g x '<，所以函数()g x 在单调递增，在4(e,e )单调递减，∵g =，()44e e 4g =，因为44e <=所以最小值()44e e 4g =． 4e 4a ∴≤. 7．(1)单增区间为(0,1)，单减区间为(1,)+∞(2)min ()2g x =，max 10()3g x =【解析】【分析】（1）求导之后，分别令()0f x '>，()0f x '<即可求出()f x 的单调区间；（2）由有相同的极值点求出a 的值，再利用对勾函数的单调性求出()g x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值. (1)()f x 的定义域：()0,∞+()()22122x f x x x x--'=-+=，由()0f x '>得01x <<，由()0f x '<得1x >， ∴()f x 的单增区间为()0,1，单减区间为()1,+∞. (2)()21ag x x ='-，由（1）知()f x 的极值点为1. ∵函数()f x 与()g x 有相同的极值点， ∴()10g '=，即10a -=，∴1a =，从而()1g x x x =+，()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,3上递增,又1522g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1033g =, ∴在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()()min 12g x g ==，()max 103g x =. 8．(1)()3232f x x x =+-(2)()2,2-【解析】【分析】（1）由已知可得()()2013f f ⎧-=⎪⎨-=-''⎪⎩，可得出关于实数a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）分析可知，直线y λ=与函数()f x 的图象有3个交点，利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，数形结合可得出实数λ的取值范围. (1)解：因为()322f x x ax bx =++-，则()232f x x ax b '=++，由题意可得()()212401323f a b f a b ⎧-=-+=⎪⎨-=-+=-''⎪⎩，解得30a b =⎧⎨=⎩，所以，()3232f x x x =+-. 当3a =，0b =时，()236f x x x '=+，经检验可知，函数()f x 在2x =-处取得极值.因此，()3232f x x x =+-.(2)解：问题等价于()f x λ=有三个不等的实数根，求λ的范围.由()2360f x x x '=+>，得2x <-或0x >，由()2360f x x x '=+<，得20x -<<，所以()f x 在(),2-∞-、()0,∞+上单调递增，在()2,0-上单调递减，则函数()f x 的极大值为()22f -=，极小值为()02f =-，如下图所示：由图可知，当22λ-<<时，直线y λ=与函数()f x 的图象有3个交点，因此，实数λ的取值范围是()2,2-.9．(1)2e 3e 1-+(2)()()221,2ln ,22e 241e e 2e,2ea a a a g a a a a a a --≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-+-≥⎪⎩ 【解析】【分析】（1）利用导数求得()f x 在区间[]1,e 上的最大值.（2）由()'f x 对a 进行分类讨论，由此求得()f x 在区间[]1,e 上的最小值()g a .(1)当1a =时，()()2ln 31e f x x x x x =+-≤≤，()()()'123123x x f x x x x--=+-=，所以()f x 在区间()()'31,,0,2f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭递减；在区间()()'3,e ,0,2f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭递增. ()()212,e e 3e 10f f =-=-+>，所以()f x 在区间[]1,e 上的最大值为2e 3e 1-+.(2)2()ln (2)(R,1e)f x a x x a x a x =+-+∈≤≤，()()()()'1222x x a a f x x a x x --=+-+=，当1,22aa ≤≤时，()f x 在区间()()()'1,e ,0,f x f x >递增，所以()f x 在区间[]1,e 上的最小值为()()1121f a a =-+=--. 当1e,22e 2a a <<<<时，()f x 在区间()()'1,,0,2a f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭递减；在区间()',e ,02a f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()f x 递增. 所以()f x 在区间[]1,e 上的最小值为()22ln 2ln 222224a a a a a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫=+-+⋅=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当e,2e 2a a ≥≥时，()f x 在区间()()()'1,e ,0,f x f x <递减，所以()f x 在区间[]1,e 上的最小值为()()()22e e 2e 1e e 2e f a a a =+-+=-+-.所以()()221,2ln ,22e 241e e 2e,2e a a a a g a a a a a a --≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-+-≥⎪⎩. 【点睛】利用导数求解函数的单调性、最值，若导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论标准的制定，可以考虑利用导函数的零点分布来进行分类. 10．(1)答案见解析(2)e π--【解析】【分析】（1）求出()f x '，分类讨论，分0a ≤和0a >讨论()f x 的单调性与极值；（2）利用分离参数法得到sin 1e x x a -=，令()()sin 10e xx h x x π-=≤≤，利用导数判断 ()h x 的单调性与最值，根据直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点，求出实数a 的最小值.(1)()e 2x f x ax =-，则()e 2x f x a '=-.①当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增，此时函数()f x 的极值点个数为0；②当0a >时，令()20e x f x a '=-=，得()ln 2x a =，当()ln 2x a >时，()0f x '>，则()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增，当()ln 2x a <时，()0f x '<，则()f x 在()(),ln 2a -∞上单调递减，此时函数()f x 的极值点个数为1.综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，极值点个数为0；当0a >时，()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增，在()(),ln 2a -∞上单调递减，极值点个数为1.(2)由()()0af x g x +=，得sin 1x x a e -=. 令()()sin 10x x h x x eπ-=≤≤，因为关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根，所以直线y a =与函数()sin 1xx h x e -=的图像在[]0,π上有两个交点.()1cos sin 14x xx x x h x e e π⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭'==，令()0h x '=，则sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭[]0,x π∈，所以2x π=或x π=，所以当02x π<<时，()0h x '>；当2x ππ<<时，()0h x '<，所以()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 02h x h π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 又()01h =-，()e h ππ-=-， e 1π-->- 所以当)e ,0x a -⎡∈-⎣时，直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点，所以实数a 的最小值为e π--.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；(4)利用导数研究零点问题，考查数形结合思想的应用．。

高中数学导数专题常考练习题

高中数学导数专题常考练习题高考数学中，导数是一个常考的题型。

下面介绍几道典型的导数题目。

1.已知函数$f(x)$的导函数$f'(x)$满足以下条件：①当$f'(x)>0$时，$x2$；②当$f'(x)<0$时，$-1<x<2$；③当$f'(x)=0$时，$x=-1$或$x=2$。

则函数$f(x)$的大致图象是什么？2.已知直线$2x-y+1=0$与曲线$y=ae^{x}$相切（其中$e$为自然对数的底数），则实数$a$的值是多少？3.已知函数$f(x)=ax+(1-a)x^3$是奇函数，则曲线$y=f(x)$在$x=1$处的切线的倾斜角为多少？4.已知函数$f(x)=x+ax+bx^2+a$在$x=1$处的极值为10，则数对$(a,b)$为什么？5.函数$f(x)=x^3-4x^2+mx$在$[0,3]$上的最大值为4，则$m$的值为多少？6.已知函数$f(x)=x-mx^3+4x^2-3$在区间$[1,2]$上是增函数，则实数$m$的取值范围为什么？7.已知偶函数$f(x)(x\neq0)$的导函数为$f'(x)$，且满足$f(1)=0$。

当$x>0$时，$xf'(x)0$成立的$x$的取值范围是什么？8.已知曲线$y=x+\ln x$在点$(1,1)$处的切线与曲线$y=ax^2+(a+2)x+1$相切，则$a$等于多少？9.若函数$f(x)=x^3+x^2-3$在区间$(a,a+5)$上存在最小值，则实数$a$的取值范围是什么？10.已知$f'(x)$是函数$f(x)$的导函数，$f(1)=e$，$x\in\mathbb{R}$，且$2f(x)-f'(x)>0$。

则不等式$f(x)<e^{2x}-1$的解集是什么？11.已知函数 $f(x)=2x^3-ax^2+b$，讨论 $f(x)$ 的单调性。

高考导数大题30道

导数大题1 ．已知函数()b ax x x f ++=23的图象在点P (1,0)处的切线与直线03=+y x 平行｡ (1)求常数a 、b 的值;(2)求函数()x f 在区间[]t ,0上的最小值和最大值(0>t )｡2 ．已知函数R a ax x x f ∈+-=,)(3 (1)假设)(x f 在),1[+∞上为单调减函数,求实数a 取值范围;(2)假设,12=a 求)(x f 在[-3,0]上的最大值和最小值｡3 ．设函数x e x x f 221)(=. (1)求函数)(x f 的单调区间;(2)假设当]2,2[-∈x 时,不等式m x f <)(恒成立,求实数m 的取值范围.4 ．已知函数.),2,1()(3)(3l P P x f y x x x f 作直线过点上一点及-=-= (1)求使直线)(x f y l =和相切且以P 为切点的直线方程;(2)求使直线)(x f y l =和相切且切点异于P 的直线方程)(x g y =｡5 ．已知函数3()31,0f x x ax a =--≠ ()I 求()f x 的单调区间;()II 假设()f x 在1x =-处取得极大值,直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点,求m 的取值范围｡7 ．已知函数2()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为22ln 23++-=x y . (Ⅰ)求b a ,的值;(Ⅱ)假设方程()f x m +=求m 的取值范围(其中e 为自然对数的底数);8 ．已知函数212()()ln f x a x x =-+.(R a ∈) (1)当a =1时,求()f x 在区间[1,e ]上的最大值和最小值;(2)假设在区间(1,+∞)上,函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方,求a 的取值范围。

10．已知函数2()sin 2(),()()2f x x b x b R F x f x =+-∈=+,且对于任意实数x ,恒有(5)(5)F x F x -=-｡ ⑴求函数)(x f 的解析式;⑵已知函数()()2(1)ln g x f x x a x =+++在区间(0,1)上单调,求实数a 的取值范围;⑶讨论函数21()ln(1)()2h x x f x k =+--零点的个数?12．已知函数b ax x x x f +++=23)(. ( I )当1-=a 时,求函数)(x f 的单调区间;( II )假设函数)(x f 的图象与直线ax y =只有一个公共点,求实数b 的取值范围.13．已知函数).()(2a x x x f += (1)当a =1时,求)(x f 的极值;(2)当0≠a 时,求)(x f 的单调区间.14．(本小题共13分)已知函数))0(,0(31)(23f d cx bx x x f 在点++-=处的切线方程为.2=y (I)求c 、d 的值;(II)求函数f (x )的单调区间｡15．已知函数2()(1)f x x x =+ . (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间与极值;(Ⅱ)设2()g x ax =,假设对于任意(0,)x ∈+∞,()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围.16．已知函数c bx ax x x f +++=23)(,412)(-=x x g , 假设0)1(=-f ,且)(x f 的图象在点))1(,1(f 处的切线方程为)(x g y =.(Ⅰ)求实数c b a ,,的值;(Ⅱ)求函数)()()(x g x f x h -=的单调区间.17．设函数x x a ax x f 12)36(2)(23++-=()R a ∈.(Ⅰ)当1=a 时,求函数)(x f 的极大值和极小值;(Ⅱ)假设函数)(x f 在区间)1,(-∞上是增函数,求实数a 的取值范围.18．已知函数32()(,f x x ax b a b =-++∈R). (Ⅰ)假设a =1,函数()f x 的图象能否总在直线y b =的下方?说明理由;(Ⅱ)假设函数()f x 在(0,2)上是增函数,求a 的取值范围;(Ⅲ)设123,,x x x 为方程()0f x =的三个根,且1(1,0)x ∈-,2(0,1)x ∈,3(,1)(1,)x ∈-∞-+∞,求证:||1a >.23．已知32()f x ax bx cx =++在区间[01]，上是增函数，在区间(0)(1)-+，，，∞∞上是减函数，又1322f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭．〔Ⅰ〕求()f x 的解析式；〔Ⅱ〕假设在区间[0](0)m m >，上恒有()f x x ≤成立，求m 的取值范围．24．已知函数32()2f x x ax bx =+++与直线450x y -+=切于点P 〔1-，1〕．〔Ⅰ〕求实数,a b 的值；〔Ⅱ〕假设0x >时，不等式2()22f x mx x ≥-+恒成立，求实数m 的取值范围．27．已知函数()32f x x ax bx c =+++，在(-∞，-1)，(2，+∞)上单调递增，在(-1，2)上单调递减，当且仅当x>4时，()()245f x x x g x >-+=．〔Ⅰ〕求函数f(x)的解析式；〔Ⅱ〕假设函数y m =与函数f(x)、g(x)的图象共有3个交点，求m 的取值范围．。

导数综合强化训练(45题)(解析版)—2025年新高考数学一轮复习

导数综合强化训练一、单选题1．已知函数()e 2(0)1'x f x f x =++，则'(2)f 的值为（）A ．1-B ．2-C ．2e 1-D ．2e 2-【答案】D【详解】根据题意，()()()()()()0e 201e 200e 20x xf x f x f x f f f ¢¢¢¢=++Û=+Û=+¢Û()()()201e 22e 2x f f x f ¢¢¢=-Û=-Û=-.故选：D.2．已知12023ln 20242024a =+，12024ln 20252025b =+，12025ln 20262026c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】A【详解】构造函数()ln 1f x x x =+-，11()1x f x x x-=¢-=，当01x <<时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以111202420252026f f f æöæöæö>>ç÷ç÷ç÷èøèøèø，a b c >>.故选：A.3．设曲线e ax y =在点(0,1)处的切线与直线230x y -+=平行，则a =（）.A ．1B ．2C ．12D ．12-【答案】B【详解】由函数e ax y =，可得e ax y a ¢=，则0|x y a =¢=，因为直线210x y -+=的斜率为2，可得2a =.故选：B.4．若对任意的1x ，(]21,3x Î，当12x x <时，1212ln ln 22a ax x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[)3,+¥B ．()3,+¥C ．[)6,+¥D ．()6,+¥【答案】C【详解】当12x x <时，1212ln ln 22a a x x x x ->-恒成立，即当12x x <时，1122ln ln 22a ax x x x ->-恒成立，设()(]ln ,1,32af x x x x =-Î，则()f x 单调递减，而()102af x x¢=-£在(]1,3上恒成立，即2a x ³在(]1,3上恒成立，所以6a ³.故选：C.5．已知函数()()e xf x x a =+，a ÎR 有大于1-的极值点，则a 的取值范围为（）A ．21,e æö-+¥ç÷èøB ．21,e æö-¥-ç÷èøC ．()0,¥+D ．(),0-¥【答案】D【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()e e 1e x x xf x a x x a ¢=++=++，令()0f x ¢=，可得()1e xx a +=-，构建()()1e xg x x =+，由题意可知：()y g x =与y a =-在()1,-+¥有交点，则()()2e 0xg x x =+>¢对任意()1,x Î-+¥内恒成立，可知()y g x =在()1,-+¥内单调递增，则()()10g x g >-=，可得0a ->，即0a <，所以a 的取值范围为(),0-¥.故选：D.6．已知函数()2xf x ax x =-+，[1,)x Î+¥，()f x ¢是()f x 的导函数，且()0f x ¢£，则a 的最小值为（）A ．23B ．29C ．13D ．19【答案】B【详解】由题意得220(2())a x f x =-£+¢，则22max22(2)(2)a a x x éù³Û³êú++ëû．注意到()22y x =+在[1,)+¥上单调递增，()212y x =+在[1,)+¥上单调递减.则()()22max 2229212x éù==êú++êúëû，所以29a ³,即a 的最小值为29.故选：B7．如果()e xf x ax =-在区间()1,0-上是单调函数，那么实数a 的取值范围为（）A ．1(,][1,)e -¥+¥U B ．1[,1]eC ．1(,e-¥D ．[1,)+¥【答案】A【详解】由已知()()e ,e x xf x ax f x a ¢=-=-，因为()()e ,1,0xf x ax x =-Î-是单调函数,所以()()1,0,e 0x x f x a =-¢Î-³恒成立或()()1,0,e 0xx f x a =-¢Î-£恒成立，所以e x a ³恒成立或e x a £恒成立，所以0e =1a ³或11e =ea -£,所以1a ³或1ea £.故选：A.8．已知直线2y x a =-+与函数()24ln f x x x =-的图象有两个不同的交点，则实数a 的取值范围为（）A ．()3,+¥B ．[)3,+¥C ．1,32æöç÷èøD ．()2,3【答案】A【详解】因为()()22242x f x x x x=¢-=-，所以()f x在(上单调递减，在)¥+上单调递增．令()2f x ¢=-，得1x =，所以直线2y x a =-+与()f x 的图象相切时的切点为()1,1，此时3a =，所以当3a >时，直线2y x a =-+与()f x 的图象有两个不同的交点．故选：A.9．已知函数32()3f x x ax ax b =+++的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为12y x m =-+.若函数()f x 至少有两个不同的零点，则实数b 的取值范围是（）A ．(5,27)-B ．[5,27]-C ．(1,3]-D ．[1,3]-【答案】B【详解】由题意，得2()323f x x ax a ¢=++，(1)3512f a ¢\=+=-，3a \=-，32()39f x x x x b \=--+.令2()3690f x x x ¢=--=，得11x =-，23x =.当1x <-或3x >时，()0f x ¢>，()f x \在(,1)¥--，(3,)+¥上单调递增；当13x -<<时，()0f x ¢<，()f x \在(1,3)-上单调递减\当1x =-时，()f x 有极大值(1)5f b -=+；当3x =时，()f x 有极小值(3)27f b =-.若要使()f x 至少有两个不同的零点，只需50270b b +³ìí-£î（等号不同时成立），解得527b -££.故选：B10．已知函数()f x 的导函数是()f x ¢，且311(),ln 3,log 3f x x p q ¢===，则下列命题正确的是（）A ．()()f p f q -<B ．()(2)f p f q >C ．11()()f f p q >D ．11(1)(f f p q+>【答案】B【详解】依题意，41()4f x x c =+（c 为常数），()f x 是偶函数，且在(0,)+¥上单调递增，又ln 31p =>，110log 31q <=<，则01q p <<<，对于A ，()()()f p f p f q -=>，A 错误；对于B ，1111112ln 32log 3ln 3log 9ln e log 110p q -=-=>-=，20p q >>，()(2)f p f q >，B 正确；对于C ，110q p >>，11()()f f q p>，C 错误；对于D ，3333113e1log e 1log 11log log 1011p q +-=+-=<=，111p q +<，11(1)()f f p q +<，D 错误.故选：B11．已知函数()2e x bf x x =×-有三个零点，则b 的取值范围是（）A ．220,e æöç÷èøB ．240,e æöç÷èøC ．24,e æö-¥ç÷èøD ．220,e éùêúëû【答案】B【详解】因为()2e xf x x b =×-有三个零点，所以20e x b x ×-=有三个根，所以y b =和()2e x g x x =×有三个交点，而()(2)e xg x x x +¢=，令()0g x ¢<，(2,0)x Î-，令()0g x ¢>，(,2)(0,)x Î-¥-È+¥，所以()g x 在(,2),(0,)-¥-+¥上分别单调递增，在(2,0)-上单调递减，所以()g x 极小值为()00g =，()g x 极大值为()242e g -=，当x ®+¥时，()g x ¥®+，x ®-¥时，()0g x ®，所以240,e b æöÎç÷èø，故B 正确.故选：B12．设函数()()sin f x x a ax =-，若存在0x 使得0x 既是()f x 的零点，也是()f x 的极值点，则a 的可能取值为（）A ．0BC ．πD ．2π【答案】B【详解】由()()sin f x x a ax =-，得2()sin ()cos f x ax ax a ax ¢=+-，令000()()sin 0f x x a ax =-=，则0x a =或0sin 0ax =，当0x a =时，由20000()sin ()cos 0f x ax ax a ax ¢=+-=，得2sin 0a =，所以2π(N)a k k =Î，则N)a k =Î当0sin 0ax =时，由20000()sin ()cos 0f x ax ax a ax ¢=+-=，得200()cos 0ax a ax -=，由0cos 0ax ¹，得0a =或0x a =，当0a =时，()0f x =不存在极值点，当0x a =时，得N)a k =Î，综上，N)a k =Î，所以当1k =时，a =.故选：B13．设0.02e 1a =-，0.012(e 1)b =-，sin 0.01tan 0.01c =+，则（）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．c b a>>D ．b a c>>【答案】B【详解】依题意，0.020.010.012e 2e 1(e 1)0a b -=-+=->，则a b >，0.012(e 1)sin 0.01tan 0.01b c -=---，令π()2e sin tan 2,(0,6x f x x x x =---Î，求导得21()2e cos cos xf x x x=--¢，令21π()2e cos ,(0,)cos 6xh x x x x =--Î，求导得32sin ()2e sin cos xx h x x x =+-¢，而2e sin 2xx +>，02sin 1x <<，311cos x <<于是32sin 2cos x x <<，即()0h x ¢>，函数()f x ¢在(0,)6π上单调递增，则()(0)0f x f ¢¢>=，因此函数()f x 在(0,)6π上单调递增，有(0.01)(0)0f f >=，即b c >，所以a b c >>.故选：B14．已知()f x 是定义在()0,¥+上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x +£¢，对任意的正数a ，b ，若a b <，则必有（）A ．()()bf b af a £B ．()()bf a af b £C ．()()af a bf b £D ．()()af b bf a £【答案】A【详解】令()()g x xf x =，x ∈(0,+∞)，则()g x ¢=()()0xf x f x +£¢，所以()g x 在x ∈(0,+∞)上单调递减，若0a b <<，则()()()()g b bf b g a af a =£=，故A 正确，C 错误；因为()()0xf x f x +£¢，且()f x 是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，所以()()0xf x f x £-£¢，令()()f x h x x=，x ∈(0,+∞)，则()h x ¢=()()20xf x f x x-£¢，所以ℎ(x )在x ∈(0,+∞)上单调递减，若0a b <<，则()()()()f a f b h a h b ab=>=，即()()bf a af b >，故BD 错误.故选：A.15．若正实数a ，b ，c 满足b a bc =，ln b a a c =，则（）A ．a b ³B ．a c ³C ．b c ³D ．c b³【答案】B【详解】b a bc =，ln b a a c =，则ln bc a c =，则ln 1b a =，则1e b a =.则1(e )e b b b a ==，则1(e )e=b b b a bc ==，则ec b=先比较a ，b ：作差1e ba b b -=-，设1()e (0)xf x x x =->，求导121()e 10,(0)xf x x x¢=--<>，则1()e (0)x f x x x =->在(0,)+¥单调递减.(1)e 10f =->，(2)20f =-=<，故1()e (0)x f x x x =->有正负还有零.即a b -,a b 大小.故A 错误.再比较a ，c ：作差1e e ba cb -=-，设1e ()e (0)x f x x x =->，求导112221e 1()e (e e )0xx f x x x x¢=-+=-=，则1x =由于11011e e 0()0x x f x x ¢<<Þ>Þ-<Þ<，则()f x 在(0,1)单调递减.1111e e 0()0x x f x x¢>Þ<Þ->Þ>，则()f x 在(1,)+¥单调递增.且(1)0f =，则()0f x ³，即1ee 0ba cb -=-³，即ac ³.故B 正确．最后比较b ，c ，由于ec b=，假设b c ==满足题意，假设b c >，即eb b>，即2e b >，即b >假设b c <，即eb b<，即2e b <，即0b <<也满足题意．则,b c 无法比较大小，故CD 错误.故选：B.16．已知不恒为0的函数()f x 的定义域为R,()e ()e ()y x f x y f x f y +=+，则不正确的（）A ．(0)0f =B ．()e xf x 是奇函数C ．0x =是()f x 的极值点D ．4(3)3e (1)f f =--【答案】C【详解】函数()f x 的定义域为()()(),e e y xf x y f x f y +=+R ，对于A ，令0x y ==，则(0)2(0)f f =，解得(0)0f =，A 正确；对于B ，x ∈R ，取y x =-，则(0)e ()e ()x x f f x f x -=+-，因此()()e e x x f x f x --=-，令()()e xf xg x =，即有()()g x g x -=-，因此函数()g x 是奇函数，即()e xf x 是奇函数，B 正确；对于C ，选项B 中，令()g x x =，则()e x f x x =，求导得()(1)e x f x x ¢=+，因为(0)10f ¢=¹，因此0x =不是()f x 的极值点，C 错误；对于D ，222e (1)e (2)e (1)e[e (1)e (1)]3e (1)(3)f f f f f f f +==++=，由()()e e x x f x f x --=-，得1(1)(1)e ef f --=-，即2(1)e (1)f f =--，因此4(3)3e (1)f f =--，D 正确．故选：C【点睛】关键点点睛：对于选项C ：直接判断不容易说明时，可以通过举反例的方式说明，简化分析推理过程.二、多选题17．已知函数3211()2132f x x x x =+-+，若函数()f x 在(2,23)a a +上存在最小值，则a 的可能取值为（）A ．12-B ．12C ．1-D ．0【答案】AD 【详解】3211()2132f x x x x =+-+Q ，2()2(2)(1)f x x x x x ¢\=+-=+-，当2<<1x -时，()0f x ¢<，故()f x 在()2,1-上单调递减；当2x <-或1x >时，()0f x ¢>，故()f x 在()(),2,1,¥¥-+上单调递增，\函数()f x 在1x =处取得极小值，在2x =-处取得极大值．令)(()1f x f =，解得1x =或72x =-，Q 函数()f x 在(2,23)a a +上存在最小值，且(2,23)a a +为开区间，721232a a \-<<<+，解得112a -<<．故选：AD.18．已知函数()()()2ln f x x x a a =--ÎR 在区间[)1,+¥上单调递减，则实数a 可以是（）A ．0B 1C ．1D ．12【答案】ABD 【详解】()()120f x x a x ¢=--£在区间[)1,+¥上恒成立，即12a x x£-在区间[)1,+¥上恒成立，令()1,12g x x x x=-³，则()21102g x x ¢=+>，所以()g x 在区间[)1,+¥上单调递增，所以()g x 的最小值为()112g =，所以a 的取值范围是12a £，对比选项可知，只有ABD 符合题意.故选：ABD.19．设函数32()1f x x x ax =-+-，则（）A ．当1a =-时，()f x 有三个零点B ．当13a ³时，()f x 无极值点C ．a $ÎR ，使()f x 在R 上是减函数D ．,()a f x "ÎR 图象对称中心的横坐标不变【答案】BD【详解】对于A ，当1a =-时，32()1f x x x x =---，求导得2()321f x x x ¢=--，令()0f x ¢=得13x =-或1x =，由()0f x ¢>，得13x <-或1x >，由()0f x ¢<，得113-<<x ，于是()f x 在1(,)3-¥-，(1,)+¥上单调递增，在1(,1)3-上单调递减，()f x 在13x =-处取得极大值1111(1032793f -=--+-<，因此()f x 最多有一个零点，A 错误；对于B ，2()32f x x x a ¢=-+，当13a ³时，4120a D =-£，即()0f x ¢³恒成立，函数()f x 在R 上单调递增，()f x 无极值点，B 正确；对于C ，要使()f x 在R 上是减函数，则2()320f x x x a ¢=-+£恒成立，而不等式2320x x a -+£的解集不可能为R ，C 错误；对于D ，由32322222258()()()()()113333327f x f x x x a x x x ax a -+=---+--+-+-=-，得()f x 图象对称中心坐标为129(,3327a -，D 正确.故选：BD20．已知,,,a b c d ÎR ，满足0a b c d >>>>，则（）A ．a c b d ->-B ．sin sin a a b b ->-C ．a b d c>D ．ad bc ab cd+>+【答案】BC【详解】对于A ，若65,4,1,====a b c d ，则24-=<-=a c b d ，故A 错误；对于B ，令()()sin 0f x x x x =->，则()1cos 0f x x ¢=-³，所以()f x 在()0,x Î+¥上单调递增，因为0a b >>，所以()()f a f b >，即sin sin a a b b ->-，故B 正确；对于C ，因为0a b c d >>>>，所以110d c >>，所以a bd c>，故C 正确；对于D ，因为0a b c d >>>>，所以()()0+--=--<ad bc ab cd a c d b ，可得+<+ad bc ab cd ，故D 错误.故选：BC.21．已知定义在R 上的函数()y f x =满足132f x æö-ç÷èø为偶函数，()21f x +为奇函数，当10,2x éùÎêúëû时，()0f x ¢>，则下列说法正确的是（）A ．()00f =B ．函数()y f x =为周期函数C ．函数()y f x =为R 上的偶函数D ．4133f f æöæö>ç÷ç÷èøèø【答案】AB【详解】因为132f x æö-ç÷èø为偶函数，1111332222f x f x f x f x æöæöæöæö-=+Û-=+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()()1f x f x Û=-，故函数图象关于直线12x =对称，f (2x +1)为奇函数，()()()21211(f x f x f x f x -+=-+Û-+=-+1），函数图象关于(1,0)对称，对于B ，()()()()()()11,21f x f x f x f x f x f x =-=-++=-+=，故2是函数的周期，函数为周期函数，故B 正确；对于A ，()()2121f x f x -+=-+，令()()0,11x f f ==-，故f (1)=0，又()()()01110f f f =-==，故A 正确；对于C ，131222f f f æöæöæö-==-ç÷ç÷ç÷èøèøèø，当10,2x æöÎç÷èø时，f ′(x )>0，即函数在10,2æöç÷èø上递增，函数图象关于(1,0)对称，故函数在13,22æöç÷èø上递减，故函数在11,22éù-êúëû上递增，所以1122f f æöæö-¹ç÷ç÷èøèø，故函数不是偶函数，故C 错误；对于D ，124333f f f æöæöæö=>ç÷ç÷ç÷èøèøèø，故D 错误，故选：AB.【点睛】抽象函数的判断一般会从函数奇偶性、周期性和对称性的定义推得相关的函数性质；22．已知函数()()2e xf x x =-，()lng x x x k =+，(R)k Î，则下列说法中正确的是（）A ．函数()f x 只有1个零点，当1ek >时，函数()g x 只有1个零点．B ．若关于x 的方程()f x a =有两个不相等的实数根，则实数()e,0a Î-．C ．121,0,e x x æö"Îç÷èø，且12x x ¹，都有1212()()0g x g x x x ->-．D ．1x "ÎR ，2(0,)x $Î+¥，使得()()12f x g x >成立，则实数)1,e e(k Î-¥-．【答案】BD【详解】由题意()()()e 2e 1e x x xf x x x ¢=+-=-，故当1x >时，()0f x ¢>，当1x <时，()0f x ¢<，所以()f x 在(),1-¥上单调递减，在()1,+¥上单调递增；()ln g x x x k =+定义域为()0,¥+，()ln 1g x x ¢=+，故当1ex >时，()0g x ¢>，当10e x <<时，()0g x ¢<，所以()g x 在10,e æöç÷èø上单调递减，在1,e æö+¥ç÷èø上单调递增.对于A ，令()02f x x =Þ=，故函数()f x 只有1个零点；当1e k >时，()110e e g x g k æö³=-+>ç÷èø，故()g x 没有零点，故A 错误；对于B ，()()1e f x f ³=-，1x <时，()0f x <，2x >时，()0f x >，故()f x a =有两个不相等的实数根，则实数()e,0a Î-，故B 正确；对于C ，()g x 在10,e æöç÷èø上单调递减，故C 错误；对于D ，1x "ÎR ，2(0,)x $Î+¥，()()12f x g x >成立，则()()min min f x g x >，所以()11e f g æö>ç÷èø，即11e e e e k k ->-+Þ<-，故D 正确.故选：BD.【点睛】思路点睛：恒成立和有解问题通常转化成最值问题来求解，解决本题可先利用导数求出函数的单调性，从而可求出函数值正负分布情况和最值，进而可依次求解各选项.三、填空题23．若曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线2(2)1(0)y ax a x a =+++¹相切，则a = ．【答案】8【详解】由ln y x x =+，所以1y x x¢=+，则1|2x y =¢=，所以曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线为()121y x -=-，即21y x =-；又21y x =-与曲线2(2)1(0)y ax a x a =+++¹相切，由2(2)121y ax a x y x ì=+++í=-î，可得()2200ax ax a ++=¹，则280a a D =-=，解得8a =或0a =（舍去），故答案为：824．设函数3()31(1)f x ax x a =-+>，若对于任意的[1,1]x Î-，都有()0f x ³成立，则实数a 的值为．【答案】4【详解】由题意得，()233(1)f x ax a =->¢，令()2330f x ax -¢==，解得x =[1,1]-．①当1x -£<()0f x ¢>，()f x 单调递增；②当x <<时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；1x <£时，()0f x ¢>，()f x 单调递增．所以只需0f ³，且(1)0f -³即可，由10f =-³，可得4a ³，由(1)40f a -=-+³，可得4a £，综上可得，4a =．故答案为：4.25．函数()()2f x x x a =-的极小值点为2，则实数a 的值为 .【答案】2【详解】因为()()2f x x x a =-，得到()()()22343f x x ax a x a x a =-+=--¢，由题知()2(6)(2)0f a a =--=¢，解得6a =或2a =，当6a =时，()(36)(6)3(2)(6)f x x x x x =-=--¢-，由()0f x ¢>，得到2x <或6a >，由()0f x ¢<，得到26x <<，则()f x 在()(),2,6,-¥+¥上单调递增，在()2,6上单调递减，此时2x =当2a =时，()(32)(2)f x x x =--¢，由()0f x ¢>，得到23x <或2a >，由()0f x ¢<，223x <<，则f(x)在()2,,2,3æö-¥+¥ç÷èø上单调递增，在2,23æöç÷èø上单调递减，此时2x =是极小值点，符合题意，故答案为：2.26．已知函数()(e 1)x f x a =-，对任意(0,)x Î+¥，总有()2f x x ³成立，则实数a 的取值范围为 .【答案】[)2,+¥【详解】依题意，(0,)x "ÎÎ+¥，()2(e 1)2(e 1)20x x f x x a x a x ³Û-³Û--³，显然e 10x ->，则有0a >，于是2(e 1)20e 10x xa x x a--³Û--³，令2e 1,0()xg x x a x -->=，求导得2()e x g x a¢-=，当2a ³，即21a£时，()0g x ¢>，函数()g x 在(0,)+¥上单调递增，()(0)0g x g >=，即()2f x x ³；当02a <<，即21>a 时，当20ln x a<<时，()0g x ¢<，函数()g x 在2(0,ln )a上单调递减，2(0,ln )x aÎ，()(0)0g x g <=，此时()2f x x <，不符合题意，所以实数a 的取值范围为[)2,+¥.故答案为：[)2,+¥27．设函数()()e ln 0ax f x a a æö=>ç÷èø的零点为0x ，则当a 的取值为时，0x 的最大值为．【答案】 e1e【详解】由题意()00e ln 0ax f x a æö==ç÷èø，所以0e 1ax a =，即0e ax a =，所以0ln ax a =，即()0ln ,0ax a a=>，令()()ln ,0a g a a a=>，则()21ln ag a a -¢=，因为当0e a <<时，()0g a ¢>，当e a >时，()0g a ¢<，所以当0e a <<时，()g a 单调递增，当e a >时，()g a 单调递减，所以当e a =时，0x 有最大值()1e eg =.故答案为：e ，1e.【点睛】关键点点睛：关键在于得出()0ln ,0ax a a=>，从而构造函数即可顺利得解.28．定义在(0,)+¥上的函数()f x 满足2()10x f x ¢+<，5(2)2f =，则关于x 的不等式1(ln )2ln f x x>+的解集为.【答案】2(1,e )【详解】因(0,)x Î+¥时，2()10x f x ¢+<，即21()0f x x ¢+<，也即1(())0f x x¢-<，取1()()g x f x x =-，则()0g x ¢<，即()g x 在(0,)+¥上单调递减，又5(2)2f =，则151(2)(2)2222g f =-=-=，由1(ln )2ln f x x>+可得(ln )(2)g x g >，故得，0ln 2x <<，解得，2(1,e )x Î.故答案为：2(1,e ).29．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x ¢>+，(0)3f =，则不等式()2e 1x f x >+的解集为．【答案】(,0)-¥【详解】设()1()e x f x g x -=，则()()()1e xf x f xg x -¢-¢=-，()()1f x f x ¢>+Q ，()()10f x f x ¢\-->，()0g x ¢\<，()g x \在R 上单调递减，()2e 1x f x >+Q ，()1()2e xf xg x -\=>，又0(0)1(0)2ef g -==，()(0)g x g \>，0x \<，()2e 1x f x \>+的解集为(,0)-¥．故答案为：(,0)-¥.30．已知函数()()24222x x f x a x ax =+-×-有4个不同的零点，则a 的取值范围为.【答案】()(),22,eln2¥--È--【详解】解：由题意可得方程()()2220x xax x +-=有4个不同的根，方程220x x -=的2个根为121,2x x ==，则方程20x ax +=有2个不同的根，且2a ¹-，即函数2x y =与函数y ax =-的图象有两个交点.当直线y ax =-与函数2x y =的图象相切时，设切点为()00,2x x ，因为2ln2xy ¢=，所以0002ln2,2,x x a ax ì-=ïí-=ïî解得021log e,eln2ln2x a ===-.要使函数2x y =与函数y ax =-的图象有两个交点，只需直线y ax =-的斜率大于eln2，故a 的取值范围为()(),22,eln2¥--È--.故答案为：()(),22,eln2¥--È--四、解答题31．已知函数()32691f x x x x =-++.(1)求函数()f x 在0x =处的切线方程；(2)当[]0,5x Î时，求函数()f x 的最大值.【答案】(1)91y x =+(2)21【详解】（1）因为()32691f x x x x =-++，所以()23129f x x x ¢=-+.()()09,01f f ==¢所以切线方程为()190y x -=-，即91y x =+.（2）令()21231290,1,3f x x x x x =-+¢===，因为[]0,5x Î，所以()f x 在][0,1,3,5éùëû单调递增，()1,3单调递减，所以()()(){}{}max max 1,5max 5,2121f x f f ===.32．已知函数()212ln 32f x x x x =-+．(1)求函数()f x 的极值；(2)解不等式：()6ln 28f x >+．【答案】(1)极大值为52-，极小值为2ln 24-(2)()8,+¥【详解】（1）函数()f x 的定义域为全体正实数，由()()()()212122ln 332x x f x x x x f x x x x--¢=-+Þ=-+=，令()1201,2f x x x ¢=Þ==，于是有x()0,11()1,22()2,+¥()f x ¢+-+()f x 单调递增52-单调递减2ln 24-单调递增因此，当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为()512f =-，2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为()22ln 24f =-；（2）由（1）可知：函数()f x 在()0,1x Î时单调递增，而()5102f =-<，所以此时有()0f x <，在()1,2x Î时单调递减，所以有()0f x <，因此要想()6ln 28f x >+，有()0f x >，则必有2x >，当()2,x Î+¥时，函数单调递增，而()2182ln 83886ln 282f =-´+´=+，所以由()()()6ln 2888f x f x f x >+Þ>Þ>，因此不等式()6ln 28f x >+的解集为()8,+¥.33．已知函数()()e 211x xf x x -=-．(1)求()f x 的单调递增区间；(2)求出方程()()f x a a =ÎR 的解的个数．【答案】(1)(),0-¥，3,2æö+¥ç÷èø(2)答案见解析【详解】（1）函数()f x 的定义域为()(),11,¥¥-È+．()()22e 23(1)x x xf x x --¢=．令()0f x ¢=解得0x =或32x =．则x 、f ′(x )、()f x 的关系列表如下：x(),0¥-0(0,1)31,2æöç÷èø323,2¥æö+ç÷èøf ′(x )+--0+()f x 单调递增极大值单调递减单调递减极小值单调递增∴f (x )的单调递增区间为()3,0,,2¥¥æö-+ç÷èø．（2）方程()()f x a a =ÎR 的解的个数为函数y =f (x )的图象与直线y a =的交点个数．在（1）中可知：()f x 在区间()3,0,,2¥¥æö-+ç÷èø上单调递增，在()30,1,1,2æöç÷èø上单调递减，在0x =处取得极大值()01f =，在32x =处取得极小值3234e 2f æö=ç÷èø，令0y =，得12x =．当0x <时，0,y y >的图像过点()10,1,,02æöç÷èø．当x ®-¥时，0y ®，但始终在x 轴上方；当x 从1的左侧无限近于1时，y ®-¥；当x 从1的右侧无限近于1时，y ®+¥；当32x =时，324e y =；当x ®+¥时，y ®+¥．根据以上性质，作出函数的大致图象如图所示，\当3214e a <<时，y =f (x )与y a =没有交点，则方程()f x a =的解为0个；当0a <或1a =或324e a =时，y =f (x )与y a =有1个交点，则方程()f x a =的解为1个；当01a <<或324e a >时，y =f (x )与y a =有2个交点，则方程()f x a =的解为2个．34．设函数()y f x =，其中()()0ln f x a x =->，(1)求()f x ¢；(2)若()y f x =在[1,)+¥是严格增函数，求实数a 的取值范围；(3)若()y f x =在[2,4]上存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()f x ¢=(2)[2,)+¥；(3)(．【详解】（1）由()()12ln ln 0f x x ax x a ==->，得()12112f x a x x -=×-¢，所以()f x =¢（2）由题意得，()0f x ¢³在[1,)+¥上恒成立，即a ³在[1,)+¥恒成立，因为y 在[1,)+¥上递减，所以y =2=，所以2a ³，即实数a 的取值范围为[2,)+¥；（3）由题意得，()0f x ¢<在[2,4]上有解，即a <[2,4]上有解，因为y 在[2,4]上递减，所以1££，所以0a <<，即实数a 的取值范围为(．35．已知函数()y f x =，其中()()()326,R f x x ax a x b a b =++++Î．(1)若函数()y f x =的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a 、b 的值；(2)若()y f x =在R 上是严格增函数，求实数a 的取值范围．【答案】(1)3a =-，0b =；(2)[]3,6a Î-．【详解】（1）由()()()326,R f x x ax a x b a b =++++Î，得()2326f x x ax a ¢=+++，由题意得，(0)0(0)3f f =ìí=¢î，即063b a =ìí+=î，解得3a =-，0b =；（2）()2326f x x ax a ¢=+++，由题意得，()0f x ¢³在R 上恒成立，则()2Δ41260a a =-+£，化简得23180a a --£，解得[]3,6a Î-．36．已知()()21ln 12f x ax x x =-+-+，其中0a >．(1)若函数()f x 在3x =处的切线与x 轴平行，求a 的值；(2)求()f x 的极值点；(3)若()f x 在[)0,+¥上的最大值是0，求a 的取值范围．【答案】(1)14a =；(2)答案见解析；(3)[)1,+¥．【详解】（1）函数()f x 的定义域为()1,-+¥，()111f x ax x¢=-+-+，因为函数()f x 在3x =处的切线与x 轴平行，所以()1331013f a ¢=-+-=+，解得14a =．（2）函数()f x 的定义域为()1,-+¥，()()()111111111ax x x x a ax f x ax x x x-+++---¢=-+-==+++．令()0f x ¢=得10x =或2111a x a a-==-，所以当110a-<，即1a >时，()0f x ¢>的解集为11,0a æö-ç÷èø，()0f x ¢<的解集为()11,10,a æö--+¥ç÷èøU ，所以函数()f x 在区间11,1a æö--ç÷èø和()0,¥+上严格减，在区间11,0a æö-ç÷èø上严格增，0x =是函数()f x 的极大值点，11=-x a 是函数()f x 的极小值点；当110a-=，即1a =时，()0f x ¢£在区间()1,-+¥上恒成立，此时函数()f x 在区间()1,-+¥上严格减，无极值点；当110a->，即01a <<时，()0f x ¢>的解集为10,1a æö-ç÷èø，()0f x ¢<的解集为()11,01,a æö--+¥ç÷èøU ，所以函数()f x 在区间()1,0-和11,a æö-+¥ç÷èø上严格减，在区间10,1a æö-ç÷èø上严格增，0x =是函数()f x 的极小值点，11=-x a是函数()f x 的极大值点；综上，当1a >时，0x =是函数()f x 的极大值点，11=-x a 是函数()f x 的极小值点；当1a =时，函数()f x 在区间()1,-+¥上严格减，无极值点；当01a <<时，0x =是函数()f x 的极小值点，11=-x a是函数()f x 的极大值点．（3）由（2）知，当01a <<时，函数()f x 在区间11,a æö-+¥ç÷èø上严格减，在区间10,1a æö-ç÷èø上严格增，故函数()f x 在[)0,+¥上的最大值是()1100f f a æö->=ç÷èø，与已知矛盾；当1a =时，函数()f x 在区间[)0,+¥上严格减，最大值()()max 00f x f ==，满足条件；当1a >时，函数()f x 在区间[)0,+¥上严格减，最大值是()()max 00f x f ==，满足条件；综上，a 的取值范围是[)1,+¥．37．曲线()3f x x =在点A 处的切线的斜率为3，求该曲线在点A 处的切线方程.【答案】320x y --=或320x y -+=【详解】求导得()23f x x ¢=.令233x =，则1x =±.当1x =时，切点A 为()1,1,所以该曲线在()1,1处的切线方程为()131,y x -=-即320x y --=；当=1x -时，切点A 为()1,1,--所以该曲线在()1,1--处的切线方程为()131,y x +=+即320.x y -+=综上知，曲线()3f x x =在点A 处的切线方程为320x y --=或320x y -+=.38．已知函数1()e ax f x x=+（0a ³）．(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设2()()g x f x x ¢=×，求函数()g x 的极大值．【答案】(1)3y x =-+(2)答案见解析【详解】（1）当0a =时，1()1f x x =+，()21f x x ¢=-，则()()11,12f f ¢=-=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()21y x -=--，即3y x =-+；（2）函数()g x 的定义域为()(),00,-¥+¥U ，21()e ax f x a x ¢=-，则()22e 10()()ax ax g x x x f x ¢-=×=¹，则()()()222e e 2e 0ax ax ax g x ax a x ax ax x ¢=+=+¹，当0a =时，()1g x =-，此时函数()g x 无极值；当0a >时，令'()0g x >，则2x a<-或0x >；令()0g x ¢<，则20x a-<<，所以函数()g x 在()2,,0,a æö-¥-+¥ç÷èø上单调递增，在2,0a æö-ç÷èø上单调递减，所以()g x 的极大值为2241eg a a æö-=-ç÷èø；综上所述，当0a =时，函数()g x 无极大值；当0a >时，()g x 的极大值为241e a -.39．设函数()e x f x x a =-.(1)若直线2y x =--是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值；(2)讨论()f x 的单调性；(3)当1a =时，记函数()()x g x e f x =，若0m n +>，证明：()()2g m g n +<-.【答案】(1)2a =(2)答案见解析(3)证明见解析【详解】（1）设切点为00(())x f x ,，()1e x f x a ¢=-，所以切线方程为()0000e 1e x x y x a a x x -+=--（），因为直线2y x =--是曲线()y f x =的切线，所以01e 1x a -=-，即0e 2x a =，化简切线方程得022y x x =-+-，所以0222x -=-，解得00x =，所以2a =.（2）()1e x f x a =¢-，当0a £时，()0f x ¢>，所以()f x 在(,)-¥+¥上单调递增，当0a >时，令()0f x ¢>，解得ln x a <-，所以()f x 在(,ln )a -¥-上单调递增，令()0f x ¢<，解得ln x a >-，所以()f x 在(ln ,)a -+¥上单调递减，综上可知，当0a £时，()f x 在(,)-¥+¥上单调递增，当0a >时，()f x 在(,ln )a -¥-上单调递增，在(ln ,)a -+¥上单调递减.（3）由题意知，()()e2e 1x x g x x -¢=+，令()2e 1x h x x =-+，由（1）知，()h x 在(,ln 2)-¥-上单调递增，在(ln 2,)-+¥上单调递减，所以()(ln 2)ln 20h x h -=-<≤，可得()0g x ¢<，所以()g x 在(,)-¥+¥上单调递减，因为0m n +>，所以m ，n 中至少有一个大于0（否则若0,0m n ££，有00m n n +£+£，这与0m n +>矛盾），不妨设0m >，n m >-，所以()()g n g m <-，所以()()()()g m g n g m g m +<+-，令()()()2212e e 2e e m m m mm m g m g m m j =+-+=---+()()2222e e 1e 1e m m m mm ---=()()()()()22222e 1e e 1e 11e e m m m m m m m g m --+-+==，因为0m >，所以()(0)1g m g <=-，即()10g m +<，又2e 10m ->，所以()0m j <，即()()20g m g m +-+<，可得()()2g m g m +-<-，所以()()2g m g n +<-.【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于证明()()20g m g m +-+<即可，其中0m >，由此即可顺利得证.40．已知函数()()1ln R f x ax x a =--Î.(1)若2a =，求()f x 在1,e e éùêúëû上的最大值和最小值；(2)若1a =，当1x >时，证明：()ln x x f x >恒成立；(3)若函数()f x 在1x =处的切线与直线:1l x =垂直，且对()0,x ¥"Î+，()2f x bx ³-恒成立，求实数b 的取值范围.【答案】(1)最大值是2e 2-，最小值是ln 2(2)证明见解析(3)21,1e æù-¥-çúèû【详解】（1）当2a =时，()21ln f x x x =--，()21x f x x -¢=，令()0f x ¢=可得12x =，故当10,2x æöÎç÷èø时()0f x ¢<，()f x 在10,2æöç÷èø单调递减；当1,2x æöÎ+¥ç÷èø时()0f x ¢>，()f x 在1,2æö+¥ç÷èø单调递增；故()f x 递减区间为11,e 2éùêúëû，递增区间为1,e 2éùêúëû函数()f x 的极小值1ln 22f æö=ç÷èø是唯一的极小值，无极大值.又12e e f æö=ç÷èø，()1e 2e 2e f f æö=->ç÷èø()f x \在1,1e éùêúëû上的最大值是2e 2-，最小值是ln 2（2）因为1a =，所以令()()ln ln ln 1h x x x f x x x x x =-=-++，()1ln h x x x¢=+.当1x >时，()0f x ¢>，则()h x 在()1,¥+上单调递增，所以当1x >时，()()10h x h >=，所以()ln x x f x >恒成立.（3）因为函数()f x 的图象在1x =处的切线与直线:1l x =垂直，所以()10f ¢=，即10a -=，解得1a =所以()1ln f x x x =--.因为对()0,x "Î+¥，()2f x bx ³-恒成立，所以对()0,x "Î+¥，1ln 1x b x --£恒成立.令()1ln x g x x-=，则()2ln 2x g x x -¢=令()0g x ¢>，解得2e x >；令()0g x ¢<，解得20e x <<，所以函数()1ln x g x x-=在区间()20,e 上单调递减，在区间()2e ,+¥上单调递增，所以()()22min e e 1g x g ==-，则211e b -£-，解得：211e b £-.所以实数b 的取值范围为21,1e æù-¥-çúèû41．已知函数()e cos x f x a x =+在0x =处的切线方程为2y x =+.(1)求实数a 的值；(2)探究()f x 在区间3π,2öæ-+¥ç÷èø内的零点个数，并说明理由.。

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导数习题
导数的物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度。

导数的几何意义：导数就是切线斜率。

【题型一】求函数的导数 (1)ln x y x = (2)2sin(3)4
y x π=- (3)2(1)x y e x =- (4)3
235y x x =-- (5)231x x y x -=+ (6)2211()y x x x x =++
【题型二】导数的物理意义的应用
1.已知物体的运动方程为223s t t
=+（t 是时间，s 是位移），则物体在时刻2t =时的速度为。

【题型三】导数与切线方程（导数的几何意义的应用）
3.曲线32y x x =+-在点(2,8)A 处的切线方程是。

4.若(1,)B m 是32y x x =+-上的点，则曲线在点B 处的切线方程是。

5.若32y x x =+-在P 处的切线平行于直线71y x =+，则点P 的坐标是。

6.若2
3ln 4
x y x =-的一条切线垂直于直线20x y m +-=，则切点坐标为。

7.函数12+=ax y 的图象与直线x y =相切, 则a = 。

8.已知曲线11
x y x +=
-在(3,2)处的切线与0ax y m ++=垂直，则a = 。

9.已知直线y x m =+与曲线321y x x =-+相切，求切点P 的坐标及参数m 的值。

10.若曲线)(x h y =在点（,()a h a ）处切线方程为012=++y x ，那么（）
A ．0)('<a h B. 0)('>a h C. 0)('=a h D. )('a h 的符号不定
11.曲线46323+++=x x x y 的所有切线中, 斜率最小的切线的方程是。

12.求曲线3231y x x =-++过点(1,1)和(2,5)的切线方程
【题型四】导数与单调区间
13.函数13)(23+-=x x x f 的减区间为。

14.函数)0,0(≥>=-x n e x y x n 的单调递增区间为。

15.判断函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（） A.3(,)22ππ B.(,)22
ππ- C.(,2)ππ D.(0,)π 16.已知函数32321y x x =+-在区间(,0)m 上为减函数, 则m 的取值范围是。

【题型五】导数与极值、最值
17.函数3125y x x =-+在x = 时取得极大值，在x = 时取得极小值。

18.函数32()23f x x x =-+在[1,1]-上的最大值是，与最小值是。

19.函数)0(≥-=x x x y 的最大值为。

20.函数93)(23-++=x ax x x f 在3-=x 时取得极值, 则=a 。

21.已知a a x x x f (62)(23+-=为常数)在]2,2[-上有最大值是3, 那么]2,2[-在上的最小值是。

22.已知函数322+--=x x y 在区间[,2]a 上的最大值为154
, 则a = 。

23.函数⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈-=2,2,2sin ππx x x y 的最大值是，最小值是。

24.若1)2(33)(23++++=x a ax x x f 既有极大值又有极小值，求a 的取值范围。

【题型六】导数与零点，恒成立问题
零点定理：若函数()f x 在区间[,]a b 上满足()()0f a f b ⋅<，则()f x 在区间[,]a b 上是至少有一个零点。

（即()0f x =在区间[,]a b 上是至少有一个解）
25.判断函数2()log (2)f x x x =+-在[1,3]上是否存在零点？
26.已知[1,3]x ∈-，且144234++-≤x x x a 恒成立，则a 的最大值为。

27.证明ln x x < (0)x >恒成立。

【题型七】综合应用题
31.已知1=x 是函数1)1(3)(23+++-=nx x m mx x f (0)m <的一个极值点,
(1)求m 与n 的关系式； (2)求)(x f 的单调区间； (3) 当[1,1]x ∈-时, 函数)(x f y =的图象上任意一点的切线斜率恒大于m 3, 求m 的取值范围。

32.已知某工厂生产x 件产品的成本为++=x c 20025000240
1x 元， (1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？
(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
一、选择题
1．函数()2
2)(x x f π=的导数是（） (A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(='
2．函数x e x x f -⋅=)(的一个单调递增区间是（）
(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0
3．已知对任意实数x ，有()()()(f x f x g x g x -=--=，，
且0x >时，
()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（）
A ．()0()0f x g x ''>>，
B ．()0()0f x g x ''><，
C ．()0()0f x g x ''<>，
D ．()0()0f x g x ''<<，
4．若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值，则（）
（A ） 10<<b （B ） 1<b （C ） 0>b （D ） 2
1<b 5．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（）
A ．430x y --=
B ．450x y +-=
C ．430x y -+=
D ．430x y ++=
6．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．294e Ｂ．22e Ｃ．2e Ｄ．2
2
e
二．填空题（本大题共4小题，共20分）
11．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．
12．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=＿＿．
13．点P 在曲线3
23+
-=x x y 上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为为α，则α的取值范围是
14．已知函数53123-++=ax x x y (1)若函数在()+∞∞-,总是单调函数，则a 的取值范围是 . (2)若函数在),1[+∞上总是单调函数，则a 的取值范围 .
（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a 的取值范围
是 .
CABAAD
11．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
12．32 13．⎪⎭
⎫⎢⎣⎡⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡πππ,432,0 14. (1).3)3(;3)2(;1-≤-≥≥a a a。

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