高一数学寒假作业(人教A版必修四)平面向量的基本定理及其坐标表示word版含解析

高一数学寒假作业（人教A 版必修四）
平面向量的基本定理及其坐标表示
1.已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45
，－35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45，35
答案 A
2.在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →等于( )
A.(－2，7)
B.(－6，21)
C.(2，－7)
D.(6，－21)
解析 AQ →＝PQ →－PA →＝(－3，2)，
∵Q 是AC 的中点，
∴AC →＝2AQ →＝(－6，4)，PC →＝PA →＋AC →＝(－2，7)，
∵BP →＝2PC →，∴BC →＝3PC →＝(－6，21).
答案 B
3.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4).若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ等于( ) A.14 B.12 C.1 D.2 解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3，4)，
且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24
， ∴λ＝12
，故选B. 答案 B
4.已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，m )，m ∈R，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( )
A.充分必要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由题意得a ＋b ＝(2，2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件，故选A.
答案 A
5.已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝( )
A.12AC →＋13
AB → B.12AC →＋16AB → C.16AC →＋12
AB → D.16AC →＋32
AB → 解析 如图，∵EC →＝2AE →，
∴EM →＝EC →＋CM →＝23
AC →＋ 12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16
AC →. 答案 C
6.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2 PA →，则( )
A.x ＝23，y ＝13
B.x ＝13，y ＝23
C.x ＝14，y ＝34
D.x ＝34，y ＝14
答案 A
7.已知a ＝(3，1)，若将向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，则b 的坐标为( )
A.(0，4)
B.(23，－2)
C.(－23，2)
D.(2，－23) 解析 ∵a ＝(3，1)，∴－2a ＝(－23，－2)，易知向量－2a 与x 轴正半轴的夹角α＝150°(如图).向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，在第四象限，与x 轴正半轴的夹角β＝30°，∴b ＝(23，－2)，故选B.
答案 B
8.若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b
的值为________. 解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12
. 答案 12
9.已知A (－3，0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数
λ的值为________________.
答案 1
10.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ
＝________.
解析 以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，
则A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，∴a ＝AO →＝(－1，1)，b ＝OB →＝(6，2)，c ＝BC →＝(－1，－3).
∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，
即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，
解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ
＝4. 答案 4
11.已知O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问：
(1)t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第三象限？
(2)四边形OABP 能否成为平行四边形，若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由.
解 (1)∵OA →＝(1，2)，AB →＝(3，3)，
∴OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t ，2＋3t ).
若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，解得t ＝－23
； 若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，解得t ＝－13
； 若点P 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t <0.
解得t <－23. (2)若四边形OABP 为平行四边形，则OP →＝AB →，
∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＝3，2＋3t ＝3.
∵该方程组无解，∴四边形OABP 不能成为平行四边形. 12.如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.
∴AB →＝23(2d －c )，AD →＝23
(2c －d ). 法二 设AB →＝a ，AD →＝b .因M ，N 分别为CD ，BC 的中点，
所以BN →＝12b ，DM →＝12
a ， 因而⎩⎪⎨⎪⎧c ＝
b ＋12a ，d ＝a ＋12b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23（2d －
c ），b ＝23（2c －
d ），
即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23
(2c －d ). 13.如图，已知点A (1，0)，B (0，2)，C (－1，－2)，求以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标.
解 如图所示，以A ，B ，C ；ADBC .
设D 的坐标为(x ，y )，
∴D 点的坐标为(2，4)(如图中所示的D 2).
③若是▱ABDC ，则由AB →＝CD →，得
(0，2)－(1，0)＝(x ，y )－(－1，－2)，
即(－1，2)＝(x ＋1，y ＋2).解得x ＝－2，y ＝0.
∴D 点的坐标为(－2，0)(如图中所示的D 3)，
∴以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标为(0，－4)或(2，4)或(－2，0).。