2017-2018年山东省潍坊市昌乐县九年级上学期期中数学试卷及参考答案

2017-2018学年山东省潍坊市昌乐县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为8，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O 外D．无法确定2．（3分）在△ABC中，DE∥BC，AD：AB=3：4，△ABC的面积等于48，则△ADE 的面积等于（）A．12 B．24 C．27 D．363．（3分）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（）A．msin35°B．mcos35° C．D．4．（3分）如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，半径为OC⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径是（）A．10cm B．30cm C．60cm D．50cm5．（3分）下列四个命题中，是真命题的是（）①度数相等的弧所对的圆周角相等；②长度相等的弧的度数都相等；③弦的垂直平分线经过圆心；④相等的圆心角所对的两条弦相等．A．①B．①②C．①③D．①③④6．（3分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A．45°B．30°C．75°D．60°7．（3分）某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度，坝外斜坡的坡度i=1：1，则两个坡角的和为（）A．90°B．60°C．75°D．105°8．（3分）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，A为劣弧BC的中点，∠BAC=120°，过点B 作⊙O的直径BD，连接AD，若AD=6，则AC的长为（）A．2 B．C．2 D．410．（3分）如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（）A．24m B．25m C．28m D．30m11．（3分）如图，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为（）A．（2，﹣1）或（﹣2，1） B．（8，﹣4）或（﹣8，﹣4）C．（2，﹣1）D．（8，﹣4）12．（3分）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，点D是弧BC的中点，连结CD、AD、OD，给出以下四个结论：①∠DOB=∠ADC；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2=CE•AB．其中正确结论的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．①②③二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）弧长等于半径的圆弧所对的圆心角是度．14．（3分）计算：sin45°+tan60°•tan30°﹣cos60°=．15．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形EBF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是．16．（3分）如图所示，四边形ABCD是矩形，将它沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．若DE：AC=3：5，则AD：AB的值为．17．（3分）如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，AC=4，P是∠BAC和∠ABC的平分线的交点，则P到AB边的距离为．18．（3分）如图，是一张宽m的矩形台球桌ABCD，一球从点M（点M在长边CD上）出发沿虚线MN射向边BC，然后反弹到边AB上的P点，如果MC=n，∠CMN=α，那么P点与B点的距离为．三、解答题（共6小题，满分66分）19．（8分）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC的长．20．（10分）如图，在矩形ABCD，AB=1，BC=2，点E在AD上，且ED=3AE．（1）求证：△ABC∽△EAB．（2）AC与BE交于点H，求HC的长．21．（11分）如图，两艘海监船刚好在某岛海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍船只停在C处海域，AB=60（+3）海里，在B处测得C在北偏东45°方向上，在A处测得C在北偏西30°方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD=100海里．（1）分别求出AC，BC（结果保留根号）．（2）已知在灯塔D周围80海里范围内有暗礁群，在A处海监船沿AC前往C处盘看，途中有无触礁的危险？请说明理由．22．（12分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O 交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段AD和DE的长．23．（12分）阅读下面材料：小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，则tan22.5°=小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现22.5°不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题．于是小天尝试着在CB边上截取CD=CA，连接AD（如图2），通过构造有特殊角（45°）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．（1）请回答：tan22.5°=．（2）解决问题：如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=30°，请借助△ABC构造出15°的角，并计算tan15°值．24．（13分）如图，⊙O的半径为5，在⊙O上位于直径AB的两侧有定点C和动点P，已知tan∠ABC=，点P在半圆AB上运动（不与A、B两点重合），过C 作CP的垂线CD交PB的延长线于D点（1）求证：AC•PD=PC•AB（2）当P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求出这个最大面积S （3）当P运动到∠ABP=30°时，求PD的长．2017-2018学年山东省潍坊市昌乐县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为8，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O 外D．无法确定【解答】解：∵OP=8＞5，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．故选：C．2．（3分）在△ABC中，DE∥BC，AD：AB=3：4，△ABC的面积等于48，则△ADE 的面积等于（）A．12 B．24 C．27 D．36【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=，=48，∵S△ABC∴S=27，△ADE故选：C．3．（3分）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（）A．msin35°B．mcos35° C．D．【解答】解：sin∠A=，∵AB=m，∠A=35°，∴BC=msin35°，故选：A．4．（3分）如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，半径为OC⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径是（）A．10cm B．30cm C．60cm D．50cm【解答】解：如图，连接OA，∵CD=10cm，AB=60cm，∵CD⊥AB，∴OC⊥AB，∴AD=AB=30cm，∴设半径为r，则OD=r﹣10，根据题意得：r2=（r﹣10）2+302，解得：r=50．∴这个车轮的外圆半径长为50cm．故选：D．5．（3分）下列四个命题中，是真命题的是（）①度数相等的弧所对的圆周角相等；②长度相等的弧的度数都相等；③弦的垂直平分线经过圆心；④相等的圆心角所对的两条弦相等．A．①B．①②C．①③D．①③④【解答】解：度数相等的弧所对的圆周角相等，所以①正确；长度相等的弧的度数不一定相等，所以②错误；弦的垂直平分线经过圆心，所以③正确；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等，所以④错误．故选：C．6．（3分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A．45°B．30°C．75°D．60°【解答】解：作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，∴OD=CD，∴OD=OC=OA，∴∠OAD=30°，又OA=OB，∴∠OBA=30°，∴∠AOB=120°，∴∠APB=∠AOB=60°．故选：D．7．（3分）某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度，坝外斜坡的坡度i=1：1，则两个坡角的和为（）A．90°B．60°C．75°D．105°【解答】解：如图所示，∵ED：AE=1：，∴∠A=30°．∵CF：BF=1：1，∴∠B=45°．∴∠A+∠B=30°+45°=75°．故选：C．8．（3分）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选：C．9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，A为劣弧BC的中点，∠BAC=120°，过点B 作⊙O的直径BD，连接AD，若AD=6，则AC的长为（）A．2 B．C．2 D．4【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，而∠BAC=120°，∴∠C=（180°﹣120°）=30°，∴∠D=∠C=30°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∴AB=AD=×6=2，∵A为劣弧BC的中点，∴=，∴AC=AB=2．故选：A．10．（3分）如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（）A．24m B．25m C．28m D．30m【解答】解：由题意得出：EP∥BD，∴△AEP∽△ADB，∴=，∵EP=1.5，BD=9，∴=解得：AP=5（m）∵AP=BQ，PQ=20m．∴AB=AP+BQ+PQ=5+5+20=30（m）．故选：D．11．（3分）如图，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为（）A．（2，﹣1）或（﹣2，1） B．（8，﹣4）或（﹣8，﹣4）C．（2，﹣1）D．（8，﹣4）【解答】解：以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为（﹣4×，2×）或[﹣4×（﹣），2×（﹣）]，即（2，﹣1）或（﹣2，1），故选：A．12．（3分）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，点D是弧BC的中点，连结CD、AD、OD，给出以下四个结论：①∠DOB=∠ADC；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2=CE•AB．其中正确结论的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．①②③【解答】解：①：①∵AB是半圆直径，∴AO=OD，∴∠OAD=∠ADO，∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，∴∠CAD=∠DAO=∠CAB，∴∠CAD=∠ADO，∴AC∥OD，∴∠DOB=∠CAO，又∵∠CAO=∠ADC（都对着半圆弧），∴∠DOB=∠ADC故①正确；②由题意得，OD=R，AC=R，∵OE：CE=OD：AC=1：，∴OE≠CE，故②错误；③∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO=∠EDO，∵∠COD=2∠CAD=2∠OAD，∴∠DEO≠∠DAO，∴不能证明△ODE和△ADO相似，∴③错误；④∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，∴∠CAD=×45°=22.5°，∴∠COD=45°，∵AB是半圆直径，∴OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=67.5°∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已证），∴∠CDE=∠ODC﹣∠ADO=67.5°﹣22.5°=45°，∴△CED∽△COD，∴=，∴CD2=OD•CE=AB•CE，∴2CD2=CE•AB．∴④正确．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）弧长等于半径的圆弧所对的圆心角是度．【解答】解：设圆的半径为r，弧长等于半径的圆弧水对的圆心角是n°，根据题意得r=，即得n=，即弧长等于半径的圆弧所对的圆心角是度．14．（3分）计算：sin45°+tan60°•tan30°﹣cos60°=．【解答】解：sin45°+tan60°•t an30°﹣cos60°=×+×﹣=1+1﹣=．故答案为：．15．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形EBF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是．【解答】解：如图，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴∠ADC=120°，∴∠1=∠2=60°，∴△DAB是等边三角形，∵AB=2，∴△ABD的高为，∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，∴∠3=∠4，设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，在△ABG和△DBH中，，∴△ABG≌△DBH（ASA），∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF ﹣S△ABD=﹣×2×=﹣．故答案是：﹣．16．（3分）如图所示，四边形ABCD是矩形，将它沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．若DE：AC=3：5，则AD：AB的值为．【解答】解：∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，∴∠BAC=∠EAC，AE=AB=CD，∵矩形ABCD的对边AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，∴∠EAC=∠DCA，设AE与CD相交于F，则AF=CF，∴AE﹣AF=CD﹣CF，即DF=EF，∴=，又∵∠AFC=∠EFD，∴△ACF∽△EDF，∴==，设DF=3x，FC=5x，则AF=5x，在Rt△ADF中，AD===4x，又∵AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x，∴==．故答案为．17．（3分）如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，AC=4，P是∠BAC和∠ABC的平分线的交点，则P到AB边的距离为1．【解答】解：如图，连接PC，作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为D、E、F，∵点P是∠BAC，∠APC的角平分线的交点，∴PD=PE=PF．设PD=PE=PF=r，∵AB=5，BC=3，AC=4，∴AC•BC=AC•r+BC•r+AB•r=r（AC+BC+AB），即×4×3=r×（4+3+5），解得r=1，∴点P到AB边的距离为1．故答案为：1．18．（3分）如图，是一张宽m的矩形台球桌ABCD，一球从点M（点M在长边CD上）出发沿虚线MN射向边BC，然后反弹到边AB上的P点，如果MC=n，∠CMN=α，那么P点与B点的距离为．【解答】解：由题意知：∠NPB=∠NMC=α．Rt△MNC中，MC=n，∠NMC=α，∴NC=MC•tanα=n•tanα，∴BN=BC﹣NC=m﹣n•tanα．Rt△BPN中，∠BPN=α，∵tanα=，∴PB•tanα=BN，∴PB=BN÷tanα=．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分66分）19．（8分）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC的长．【解答】解：延长AD、BC交于E，∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠ADC=90°，∠E=30°，在Rt△ABE中，BE==2，在Rt△CDE中，CE==2，∴BC=BE﹣CE=2﹣2．20．（10分）如图，在矩形ABCD，AB=1，BC=2，点E在AD上，且ED=3AE．（1）求证：△ABC∽△EAB．（2）AC与BE交于点H，求HC的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=1，BC=AD=2，∠ABC=∠BAD=90°，∵ED=3AE，∴AE=，ED=，∵=2，=2，∴=，∵∠ABC=∠BAE=90°，∴△ABC∽△EAB．（2）解：∵△ABC∽△EAB，∴∠ACB=∠ABE，∵∠ABE+∠CBH=90°，∴∠ACB+∠CBE=90°，∴∠BHC=90°，∴BH⊥AC，在Rt△ACB中，∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，∴AC===，∵•AB•BC=•AC•BH，∴BH==，∴CH==．21．（11分）如图，两艘海监船刚好在某岛海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍船只停在C处海域，AB=60（+3）海里，在B处测得C在北偏东45°方向上，在A处测得C在北偏西30°方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD=100海里．（1）分别求出AC，BC（结果保留根号）．（2）已知在灯塔D周围80海里范围内有暗礁群，在A处海监船沿AC前往C处盘看，途中有无触礁的危险？请说明理由．【解答】解：（1）如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，可得∠CBD=45°，∠CAD=60°，设CE=x，在Rt△CBE中，BE=CE=x，在Rt△CAE中，AE=x，∵AB=60（+3）海里，∴x+x=60（+3）解得：x=180，则AC==120海里，BC=x=180海里，答：A与C的距离为120海里，B与C的距离为180海里；（2）如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，在△ADF中，∵AD=100，∠CAD=60°，∴DF=ADsin60°=50≈86.6＞80，故海监船沿AC前往C处盘查，无触礁的危险．22．（12分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O 交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段AD和DE的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵EF垂直平分BD，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵OA=OD，∴∠ODA=∠A，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠EDB+∠ODA=90°，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．（2）解：连接OE，作OH⊥AD于H．则AH=DH，∵△AOH∽△ABC，∴=，∴=，∴AH=，AD=，设DE=BE=x，CE=8﹣x，∵OE2=DE2+OD2=EC2+OC2，∴42+（8﹣x）2=22+x2，解得x=4.75，∴DE=4.75．23．（12分）阅读下面材料：小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，则tan22.5°=﹣1小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现22.5°不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题．于是小天尝试着在CB边上截取CD=CA，连接AD（如图2），通过构造有特殊角（45°）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．（1）请回答：tan22.5°=﹣1．（2）解决问题：如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=30°，请借助△ABC构造出15°的角，并计算tan15°值．【解答】解：（1）在CB边上截取CD=CA，连接AD，则∠ADC=∠DAC=45°，设AC=x，则CD=x，由勾股定理得，AD==x，∵∠ADC=45°，∠B=22.5°，∴DA=DB=x，则BC=（+1）x，tan22.5°=tanB==﹣1，故答案为：﹣1；（2）延长BA至D，使AD=AB，作CH⊥AB于H，∵AB=AC，∴AD=AC，∴∠D=∠A=15°，设CH=x，∵∠CAH=30°，∴AC=2CH=2x，由勾股定理得，AH=x，∴DH=2x+x，则tan15°==2﹣．24．（13分）如图，⊙O的半径为5，在⊙O上位于直径AB的两侧有定点C和动点P，已知tan∠ABC=，点P在半圆AB上运动（不与A、B两点重合），过C 作CP的垂线CD交PB的延长线于D点（1）求证：AC•PD=PC•AB（2）当P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求出这个最大面积S（3）当P运动到∠ABP=30°时，求PD的长．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∠PCD=90°∴∠ACB=∠PCD=90°．∵∠CAB=∠CPD，∴△ACB∽△PCD，∴=，∴AC•CD=PC•BC；（2）∵PC⊥CD，∴S=CD•PC，△PCD∵tan∠ABC==，=，∴CD=BC•=2CP，∵CD=2CP，∴S=PC2，△PCD∴当PC是⊙O的直径时，△PCD的面积最大，此时，点P与点C关于点O对称，PC=AB=10，∴S=PC2=100，△PCD故点P运动掉C点关于O对称的点的位置时，△PCD的面积最大为100；（3）连接AP，∵∠ACP=∠ABP，∠ACP+∠PCB=90°，∠BCD+∠PC=90°，∴∠ACP=∠CD，∵∠CAP=∠CBD，∴△CAP∽△CBD，∴=，∵AB=10，∠ABP=30°，∴AP=5，tan∠ABC=，∴==，∴BD=10，∴PD=PB+BD=5+10．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。