[电路原理][课件][第07章][一阶电路和二阶电路的时域分析]
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第7章-一阶电路和二阶电路的时域分析PPT课件
RCduC dt
uC
uS(t)
RiC1idt uS(t)
Rdi i duS(t) dt C dt
RL电路
(t >0) R i
应用KVL和电感的VCR得：
+
+
Us
uL
RiuLuS(t)
-
–
di uL L dt
Ri
Ldi dt
uS(t)
若以电感电压为变量：
R
LuLdtuLuS(t)
R LuL
duL dt
0
t = 0+时刻 iL(0)iL(0)L 100u( )d
当u为有限值时
LiL
iL(0＋)= iL(0－)
L (0＋)= L (0－)
磁链 守恒
结论
换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则 电感电流（磁链）换路前后保持不变。
④换路定律
qc (0+) = qc (0－) 换路瞬间，若电容电流保持为
过渡期为零
电容电路
(t = 0) R i
(t →) R i
+
+
+
+
Us
k
-
uC C Us
–
-
uC C –
k未动k接作通前U电，S 源电后路u很处c 长于时稳间定，状电态US容：充i 电=新完的0 稳毕, 定，u状C电态=路0
? 达到新的稳R 定状态：
i = 0 ,i u有C=一U过s 渡期
前一个稳定状态
微分方程的特解
微分方程的通解
直流时 a1ddxt a0xUS
t dx 0 dt
a0xUS
3.电路的初始条件
① t = 0＋与t = 0－的概念 认为换路在t=0时刻进行
第7章一阶电路和二阶电路的时域分析.ppt
+
+ uR -
US
C
-
2020年10月17日星期六
接通电源，C 被充电，C 两
端的电压逐渐增长到稳态
+
uC -
值Us ，即要经历一段时间。 电路中的过渡过程虽然短
暂，在实践中却很重要。
5
一、动态电路的基本概念
➢ 含有动态元件(L、C)的电路称为动态电路。描 述动态电路的方程是微分方程。
➢ 全部由线性非时变元件构成的动态电路，其描 述方程是线性常系数微分方程。
*§7―9 卷积积分
*§7―10 状态方程
*§7―11 动态电路时域分析中的几个问题
2020年10月17日星期六
1
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
内容提要与基本要求
1.换路定则和电路初始值的求法；
2.掌握一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应 的概念和物理意义；
3.会计算和分析一阶动态电路(重点是三要素法)；
能量的储存和释放需要 一定的时间来完成。
2020年10月17日星期六
8
2. 换路定则
t
线性电容C的电荷 q(t) = q(t0) + iC (x) dx
t0
以t = t0 = 0作为换路的计时起点：换路前最终时 刻记为t = 0-，换路后最初时刻记为t = 0+。
0+
在换路前后： q(0+) = q(0-) + iC(x) dx
2020年10月17日星期六
10
三、初始值的计算
求图示电路在开关 闭合瞬间各支路电
i
流和电感电压。
解： 1. 由换路前的“旧电路” 计算uC(0-)和iL(0-) 。
电路课件 电路07 一阶电路和二阶电路的时域分析
第7章一阶电路和二阶电路的时域分析 7-1动态电路方程及初始条件
2019年3月29日星期五
经典法
5
• 线性电容在任意时刻t，其电荷、电压与电流关系：
q(t ) q(t0 ) iC ( )d
t0 t
线性电容换路瞬间情况
uC (t ) uC (t0 )
• q、uc和ic分别为电容电荷、电压和电流。令t0＝0-， t=0+得： 0 0
第7章一阶电路和二阶电路的时域分析
2019年3月29日星期五
3
• 动态电路：含动态元件电容和电感电路。 • 动态电路方程：以电流和电压为变量的微分方程或微 分-积分方程。 • 一阶电路：电路仅一个动态元件，可把动态元件以外 电阻电路用戴维宁或诺顿定理置换，建立一阶常微分 方程。 • 含2或n个动态元件，方程为2或n阶微分方程。 • 动态电路一个特征是当电路结构或元件参数发生变化 时(如电路中电源或无源元件断开或接入，信号突然 注入等)，可能使电路改变原来工作状态，转变到另 一工作状态，需经历一个过程，工程上称过渡过程。 • 电路结构或参数变化统称“换路”，t=0时刻进行。 • 换路前最终时刻记为t=0-，换路后最初时刻记为t=0+， 换路经历时间为0-到0+。
第7章一阶电路和二阶电路的时域分析 7-2一阶电路的零输入响应
2019年3月29日星期五
RC电路零输入响应-１
12
• 电路中电流 • 电阻上电压
RC电路零输入响应-2
1
t t duC U 0 RC t d 1 RC RC i C C (U 0e ) C ( )U 0e e dt dt 1 RC R
R
13
RC电路零输入响应-3
2019年3月29日星期五
经典法
5
• 线性电容在任意时刻t，其电荷、电压与电流关系：
q(t ) q(t0 ) iC ( )d
t0 t
线性电容换路瞬间情况
uC (t ) uC (t0 )
• q、uc和ic分别为电容电荷、电压和电流。令t0＝0-， t=0+得： 0 0
第7章一阶电路和二阶电路的时域分析
2019年3月29日星期五
3
• 动态电路：含动态元件电容和电感电路。 • 动态电路方程：以电流和电压为变量的微分方程或微 分-积分方程。 • 一阶电路：电路仅一个动态元件，可把动态元件以外 电阻电路用戴维宁或诺顿定理置换，建立一阶常微分 方程。 • 含2或n个动态元件，方程为2或n阶微分方程。 • 动态电路一个特征是当电路结构或元件参数发生变化 时(如电路中电源或无源元件断开或接入，信号突然 注入等)，可能使电路改变原来工作状态，转变到另 一工作状态，需经历一个过程，工程上称过渡过程。 • 电路结构或参数变化统称“换路”，t=0时刻进行。 • 换路前最终时刻记为t=0-，换路后最初时刻记为t=0+， 换路经历时间为0-到0+。
第7章一阶电路和二阶电路的时域分析 7-2一阶电路的零输入响应
2019年3月29日星期五
RC电路零输入响应-１
12
• 电路中电流 • 电阻上电压
RC电路零输入响应-2
1
t t duC U 0 RC t d 1 RC RC i C C (U 0e ) C ( )U 0e e dt dt 1 RC R
R
13
RC电路零输入响应-3
第7章_一阶电路和二阶电路的时域分析
17
②测量方法： a.对任意时刻而言，
t 0 t 0
uC (t0 ) = U 0 e
b.次切距长：
AB BC = tan
= U0e
e 1 = 0.368 uC (t0 )
t 0
U0
uC
uC ( t 0 )
A
uC ( t 0 ) U 0e = = = t 0 1 duC U 0e dt t =t0
uC (t ) 4e 0.5t = = e 0.5t A ③求i(t)：i (t ) = 4 4
(t 0)
19
习题： 7-2、7-4、7-5。
20
三、RL电路的零输入响应：
求i(t)，uR(t)， uL(t)，(t≧0) 1、物理过程：
U0 i (0 ) = i (0 ) = R0
R
t=0 + iL uL L -
解: 根据换路定则：
i L 不能突变
i L (0 ) = i L (0 ) = 0 A
+ *** t =0K 时的等效电路： R
换路后的电压方程 :
+ U -
t=0
+ + iL uL (0+) uL L L - - iL(0+)
U = iL (0+ ) R + u L (0+ )
uC (0+ ) = uC (0－ ) = U 0
uC (0+ ) → 0
U0 i (0 + ) = → 0 为放电过程。 R
13
2、数学分析： ①列微分方程：由KVL， +u U0 _ C
C
S
t=0
②测量方法： a.对任意时刻而言，
t 0 t 0
uC (t0 ) = U 0 e
b.次切距长：
AB BC = tan
= U0e
e 1 = 0.368 uC (t0 )
t 0
U0
uC
uC ( t 0 )
A
uC ( t 0 ) U 0e = = = t 0 1 duC U 0e dt t =t0
uC (t ) 4e 0.5t = = e 0.5t A ③求i(t)：i (t ) = 4 4
(t 0)
19
习题： 7-2、7-4、7-5。
20
三、RL电路的零输入响应：
求i(t)，uR(t)， uL(t)，(t≧0) 1、物理过程：
U0 i (0 ) = i (0 ) = R0
R
t=0 + iL uL L -
解: 根据换路定则：
i L 不能突变
i L (0 ) = i L (0 ) = 0 A
+ *** t =0K 时的等效电路： R
换路后的电压方程 :
+ U -
t=0
+ + iL uL (0+) uL L L - - iL(0+)
U = iL (0+ ) R + u L (0+ )
uC (0+ ) = uC (0－ ) = U 0
uC (0+ ) → 0
U0 i (0 + ) = → 0 为放电过程。 R
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2、数学分析： ①列微分方程：由KVL， +u U0 _ C
C
S
t=0
电路第七章一阶电路和二阶电路的时域分析.
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析 7.1 动态电路的方程及其初始条件
当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历 一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过 程称为电路的过渡过程。 过渡过程产生的原因: 电路内部含有储能元件L，C。电路在换路时能量发生变 化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
0
ic(t)
c
2 3
0.0184u t (s) 0 4
t RC
uc(0)= u0 2 3 4
t RC
RR u
t
(s)
du C t d u0 e C iC t C dt dt
u0 e R
2.时间常数
uc不能跃变， 结论: ic可以跃变。
解得 :
R 0 L
A I0
I0
iL(t)
iL t I 0e
R t L
t 0
0
R R t t diL t d L L u L t L L I e RI e 0 0 dt dt
2 3 4
t
(s)
t0
t 0 =RC
t0
f(0)
f(t) t
iL t iL 0e
=LG
0
4
(s)
C.零输入响应都是按指数规律衰减的，衰减的快慢由 决定,越小， uc(t),iL(t)衰减的越快。
D.时间常数的求法:
在换路后(即 t 0 )的电路中求。 R是从动态元件两端看进去的戴维宁等效电阻。
(３) 只有当电容器两端电压变化时，才有电流。
六.电感的伏安关系
1 . 电感中的电压 现象: a .开关合上： us + _ b .开关打开： us +
当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历 一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过 程称为电路的过渡过程。 过渡过程产生的原因: 电路内部含有储能元件L，C。电路在换路时能量发生变 化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
0
ic(t)
c
2 3
0.0184u t (s) 0 4
t RC
uc(0)= u0 2 3 4
t RC
RR u
t
(s)
du C t d u0 e C iC t C dt dt
u0 e R
2.时间常数
uc不能跃变， 结论: ic可以跃变。
解得 :
R 0 L
A I0
I0
iL(t)
iL t I 0e
R t L
t 0
0
R R t t diL t d L L u L t L L I e RI e 0 0 dt dt
2 3 4
t
(s)
t0
t 0 =RC
t0
f(0)
f(t) t
iL t iL 0e
=LG
0
4
(s)
C.零输入响应都是按指数规律衰减的，衰减的快慢由 决定,越小， uc(t),iL(t)衰减的越快。
D.时间常数的求法:
在换路后(即 t 0 )的电路中求。 R是从动态元件两端看进去的戴维宁等效电阻。
(３) 只有当电容器两端电压变化时，才有电流。
六.电感的伏安关系
1 . 电感中的电压 现象: a .开关合上： us + _ b .开关打开： us +
第7章一阶电路和二阶电路的时域分析
求换路后的uL和i1及开关两端电压u12
①
S
②
2 3
6
解 iL (0 ) iL (0 )
24 6 2A 4 2 3 // 6 3 6
24V 4
i1
4
iL
换路后电路为零输入响应： L 6 1s Req 6
uL 6H
2Ω
Req 3 (2 4) // 6 6
iL (0+) = iL (0－)=3A
(3) 由0+等效电路求 iC(0+) ， uL(0+)
uL(0+)
3 i2 (0 ) 3 1 A 3 6
uL (0 ) 6i2 (0 ) 6V
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0+等效电路
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5.电路初始值的确定 例2 求 uC(0+) 、iL(0+) 、
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5.电路初始值的确定 例1 求 i2(0+) 和 uL(0+) 。
iL S(t=0) 3 1 + i 2 2 + u 6 9V 1H L – – 3 i2(0+) 6 3A + –
(1) 由0－电路求 iL(0－)
+ 9V – 3 iL
iL (0 ) 3 A (2) 由换路定律
电路如下图
R0
S(t=0)
1 2
i
U0 L
R
uL R
i
L
uL
(a)
(b)
换路前电路处于稳态，电感电流I0=U0/R0 = i(0-) ， 电感中储存一定的磁场能量，在 t=0 时开关由1→2， 换路后的电路如图(b)所示。 (b)
①
S
②
2 3
6
解 iL (0 ) iL (0 )
24 6 2A 4 2 3 // 6 3 6
24V 4
i1
4
iL
换路后电路为零输入响应： L 6 1s Req 6
uL 6H
2Ω
Req 3 (2 4) // 6 6
iL (0+) = iL (0－)=3A
(3) 由0+等效电路求 iC(0+) ， uL(0+)
uL(0+)
3 i2 (0 ) 3 1 A 3 6
uL (0 ) 6i2 (0 ) 6V
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0+等效电路
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5.电路初始值的确定 例2 求 uC(0+) 、iL(0+) 、
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5.电路初始值的确定 例1 求 i2(0+) 和 uL(0+) 。
iL S(t=0) 3 1 + i 2 2 + u 6 9V 1H L – – 3 i2(0+) 6 3A + –
(1) 由0－电路求 iL(0－)
+ 9V – 3 iL
iL (0 ) 3 A (2) 由换路定律
电路如下图
R0
S(t=0)
1 2
i
U0 L
R
uL R
i
L
uL
(a)
(b)
换路前电路处于稳态，电感电流I0=U0/R0 = i(0-) ， 电感中储存一定的磁场能量，在 t=0 时开关由1→2， 换路后的电路如图(b)所示。 (b)
第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析(2010-2011第一学期 邱关源)
uC (0) U 0e0 U 0
uC ( ) U 0e1 0.368U 0
即经过一个时间常数τ 后，衰减了63.2％，为原值 的36. 8％。 理论上，t = ∞时，uC才能衰减到零，但实际上， 当t = 5τ 时，所剩电压只有初始值的0.674％，可以认 为放电已完毕。因此，工程上常取t = (3-5)τ 作为放电 完毕所需时间。τ 越大，衰减越慢，反之则越快。
uR uC U 0 e
t
可以看出，电压uC、uR及电流i都是按照同样的 指数规律衰减的。它们衰减的快慢取决于指数中τ 的大小。
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
τ 的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度， 它是反映过渡过程特性的一个重要的量。可以计算得 t = 0时， t =τ 时，
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
经过全部放电过程，电阻上所吸收的能量为
WR
0
Ri 2 (t )dt
0
U 0 t 2 R ( e ) dt R
0
2 U0 R
0
e
2t RC
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
河北大学数学与计算机学院
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
电容和电感的VCR是通过导数（积分）表达 的。当电路中含电容和电感时，电路方程是以电流 和电压为变量的微分方程或微分―积分方程。 对于仅含一个电容或电感的电路，当电路的无 源元件都是线性和时不变时，电路方程将是一阶线 性常微分方程，称为一阶动态电路。 电路结构或参数变化引起的电路变化统称为 “换路”。换路可能使电路改变原来的工作状态， 转变到另一个工作状态。
uC ( ) U 0e1 0.368U 0
即经过一个时间常数τ 后，衰减了63.2％，为原值 的36. 8％。 理论上，t = ∞时，uC才能衰减到零，但实际上， 当t = 5τ 时，所剩电压只有初始值的0.674％，可以认 为放电已完毕。因此，工程上常取t = (3-5)τ 作为放电 完毕所需时间。τ 越大，衰减越慢，反之则越快。
uR uC U 0 e
t
可以看出，电压uC、uR及电流i都是按照同样的 指数规律衰减的。它们衰减的快慢取决于指数中τ 的大小。
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
τ 的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度， 它是反映过渡过程特性的一个重要的量。可以计算得 t = 0时， t =τ 时，
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
经过全部放电过程，电阻上所吸收的能量为
WR
0
Ri 2 (t )dt
0
U 0 t 2 R ( e ) dt R
0
2 U0 R
0
e
2t RC
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
河北大学数学与计算机学院
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
电容和电感的VCR是通过导数（积分）表达 的。当电路中含电容和电感时，电路方程是以电流 和电压为变量的微分方程或微分―积分方程。 对于仅含一个电容或电感的电路，当电路的无 源元件都是线性和时不变时，电路方程将是一阶线 性常微分方程，称为一阶动态电路。 电路结构或参数变化引起的电路变化统称为 “换路”。换路可能使电路改变原来的工作状态， 转变到另一个工作状态。
7第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
• 定义: τ=RC （其中R为等效电阻） uC U0et ★ t=τ时，uC=0.368U0
• τ仅取决于电路的结构和元件的参数，单位“秒s”。
•τ对响应的影响：
τ 越大，放电过程越长。通常认为经过3τ—5τ后过
渡过程结束。
•τ的图解 (次切距法)
t0
BC AB uC(t0)
tan
duC dt
uR uC
i CduC US et（t≥0） 其中τ=RC
dt R
2020/8/10
对 uCU SU Set U S(1et) 的说明
• 特解 uC US称t 为稳态分量或强制分量；
• 通解 uC USe 称为瞬态分量或自由分量。
2.参数曲线
US
uC '
3.能量转换
U―S R
uC i
WR=WC=½CUS2
A Im
i" Imet
iIm sin t(u)Im e t
u = -/2时波形为
iImsi nt(/2)Im et
可见，RL串联电路
i
与正弦电压接通后，
Im
i
在初始值一定得条
i 件下，电路的过渡
0
T/2
-Im
t 过程与开关动作的 时刻有关。
i
最大电流出现在 t = T/2时刻。 imax2Im
解：
iL(0)
US R
200A
K
R
+
iL
V uV
Us iV
L
iL(0)iL(0)200A
u V ( 0 ) R V i V ( 0 ) 2 0 0 5 k 1 0 6 V
2020/8/10
§7-2 一阶电路的零输入响应 一、零输入响应
电路(第五版)第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析12PPT课件
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
§ 7-2 一阶电路的零输入响应 § 7-3 一阶电路的零状态响应 § 7-4 一阶电路的全响应 § 7-5 二阶电路的零输入响应 § 7-6 二阶电路的零状态响应和全响应 § 7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 § 7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应
换路瞬间，若电容电流保持为有 限值，则电容电压（电荷）换路 前后保持不变。
L (0+)= L (0-)
iL(0+)= iL(0-)
换路瞬间，若电感电压保持为有 限值，则电感电流（磁链）换路 前后保持不变。
或：
在换路前后电容电流和电感电压为有限值 的条件 下，换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变—— 换路定律（换路定则）（P138-139）
电容电路换路定律应用思路： （ 画0+等效电路时对C的处理）
若一电容的uC (0-)=UO，根据换路定律， 则有uC (0+) = uC (0-)=UO，则可认为此电容在 换路的瞬间，相当于一个电压值为UO 的电压 源；——替代定理的应用
同理，对uC (0-)=0的电容，根据换路定律， 则有uC (0+) = uC (0-)=0，则可认为此电容在换 路的瞬间，相当于短路。
Us
R+
uC C
RCduC dt
uC
US
–
（2）求出微分方程的解，从而得到所求变量。
五、动态电路方程的初始条件
1、 t = 0+与t = 0- 的概念
f(t)
换路在 t=0时刻进行
0- 换路前一瞬间（最终时刻） 0+ 换路后一瞬间（最初时刻）
t 0- 0 0+
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
§ 7-2 一阶电路的零输入响应 § 7-3 一阶电路的零状态响应 § 7-4 一阶电路的全响应 § 7-5 二阶电路的零输入响应 § 7-6 二阶电路的零状态响应和全响应 § 7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 § 7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应
换路瞬间，若电容电流保持为有 限值，则电容电压（电荷）换路 前后保持不变。
L (0+)= L (0-)
iL(0+)= iL(0-)
换路瞬间，若电感电压保持为有 限值，则电感电流（磁链）换路 前后保持不变。
或：
在换路前后电容电流和电感电压为有限值 的条件 下，换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变—— 换路定律（换路定则）（P138-139）
电容电路换路定律应用思路： （ 画0+等效电路时对C的处理）
若一电容的uC (0-)=UO，根据换路定律， 则有uC (0+) = uC (0-)=UO，则可认为此电容在 换路的瞬间，相当于一个电压值为UO 的电压 源；——替代定理的应用
同理，对uC (0-)=0的电容，根据换路定律， 则有uC (0+) = uC (0-)=0，则可认为此电容在换 路的瞬间，相当于短路。
Us
R+
uC C
RCduC dt
uC
US
–
（2）求出微分方程的解，从而得到所求变量。
五、动态电路方程的初始条件
1、 t = 0+与t = 0- 的概念
f(t)
换路在 t=0时刻进行
0- 换路前一瞬间（最终时刻） 0+ 换路后一瞬间（最初时刻）
t 0- 0 0+
一阶电路和二阶电路的时域分析
一阶电路和二阶电路的时域分析一、一阶电路的时域分析：一阶电路指的是由一个电感或电容与线性电阻串联或并联而成的电路。
对于串联的一阶电路，其特征方程为：L di(t)/dt + Ri(t) = V(t) ---------- (1)其中，L是电感的感值，R是电阻的电阻值，i(t)是电路中的电流，V(t)是电路中的输入电压。
通过对上述方程进行求解可以得到电路中电流与时间的关系。
对于并联的一阶电路，其特征方程为：1/R C dq(t)/dt + q(t) = V(t) ---------- (2)其中，C是电容的电容值，q(t)是电路中电荷的变化，V(t)是电路中的输入电压。
同样，通过对上述方程进行求解可以得到电路中电荷与时间的关系。
一阶电路的响应可以分为自由响应和强迫响应两部分。
自由响应指的是由于电路中初始条件的存在，电流或电荷在没有外部输入电压的情况下的变化。
强迫响应指的是由于外部输入电压作用而产生的电流或电荷的变化。
对于一个初始处于稳定状态的电路，在有外部输入电压作用时，电路中电流或电荷会从初始值开始发生变化，最终趋于一个新的稳定状态。
这一过程可以由电流或电荷的指数递减或递增的形式表示。
在分析一阶电路的时域特性时，可以利用巴塞尔函数法或拉普拉斯变换法。
巴塞尔函数法主要是通过巴塞尔函数的表达式计算电压或电流的变化情况；拉普拉斯变换法则通过将时域的微分方程转化为复频域的代数方程，然后求解代数方程，最后再对求得的结果进行逆变换获得电流或电压的表达式。
二、二阶电路的时域分析：二阶电路是指由两个电感或电容与线性电阻串联或并联而成的电路。
对于串联的二阶电路，其特征方程为：L₁L₂ d²i(t)/dt² + (L₁R₁+L₂R₂+L₁R₂+L₂R₁) di(t)/dt + R₁R₂i(t) = V(t) ---------- (3)其中，L₁和L₂分别是两个电感的感值，R₁和R₂分别是两个电阻的电阻值，i(t)是电路中的电流，V(t)是电路中的输入电压。
第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析
第7章一阶电路和二阶电路的时域分析重点：1.动态电路方程的建立及初始条件的确定2.一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解3.一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解§7.1 动态电路的方程及其初始条件1.动态电路含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。
由于动态元件是储能元件，其 VCR 是对时间变量 t 的微分和积分关系，因此动态电路的特点是：当电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。
这个变化过程称为电路的过渡过程。
下面看一下电阻电路、电容电路和电感电路在换路时的表现。
1）电阻电路图 7.1 （a）（b）7.1（a）所示的电阻电路在t =0 时合上开关，电路中的参数发生了变化。
电流i 随时间的变化情况如图7.1（b）所示，显然电流从t＜0时的稳定状态直接进入t＞0 后的稳定状态。
说明纯电阻电路在换路时没有过渡期。
2）电容电路图 7.2 （a）（b）图 7.2(a)所示的电容和电阻组成的电路在开关未动作前，电路处于稳定状态，电流i 和电容电压满足：i=0，u C=0。
t=0 时合上开关，电容充电，接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态，电流i 和电容电压满图 7.2 （c）足：i=0，u C=U S。
电流i 和电容电压u C 随时间的变化情况如图7.2（c）所示，显然从t＜0 时的稳定状态不是直接进入t＞0后新的稳定状态。
说明含电容的电路在换路时需要一个过渡期。
3）电感电路图 7.3 （a）（b）图 7.3(a)所示的电感和电阻组成的电路在开关未动作前，电路处于稳定状态，电流i和电感电压满足：i=0，u L=0。
t=0 时合上开关。
接通电源很长时间后，电路达到新的稳定状态，电流i 和电感电压满足：i=0，u L=U S/R 。
图 7.3 （c）电流i 和电感电压u L 随时间的变化情况如图7.3（c）所示，显然从t＜0时的稳定状态不是直接进入t＞0后新的稳定状态。
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析2精品PPT课件
uL
L di dt
(
p2
U
0
p1
)
(
p1e
p1t
p2e p2t )
t 0 ,i 0 t ,i 0 t tm 时，i最大
t 0, uL U0
t , uL 0
t 2tm时，uL最小
上页 下页
uL
L di dt
(
p2
U
0
p1
)
(
p1e
p1t
p2e p2t )
令uL
0即可得到电流
R
+
C
L
–
上页 下页
特例：R = 0 时
则 0 ， 0
1 ，
LC
2
uC U0 sin(t 90) U0 cos(t )
i C duC U0 sin( t ) dt L
uL
L
di dt
U0
cos(t )
uC
+
C
L
–
t
上页 下页
(3) R 2 L C
p1
p2
R 2L
uC ( A1 A2t )e t
i(0
)
i(0
)
C
duC dt
0 0
下页
LC
d 2uC dt
RC
duC dt
uC
0
特征方程： LCp2 RCp 1 0
特征根： p1,2 R
R2 4L/ C 2L
R 2L
( R )2 1 2L LC
2. 零输入响应的三种情况
R2 L C
R2 L C
R2 L C
二个不等负实根 二个相等负实根 二个共轭复根
电路原理课件 第7章 一阶电路 和二阶电路的时域分析
iL(0+)
uL -
uR (0
)
iL (0
)R
RU m
2L
uL (0 )
3Um RUm
2 2L
§7.2 一阶电路的零输入响应
零输入响应----
uc （0+）≠0 iL （0+） ≠ 0
动态电路在非零初始状态下，由电 路中的无外施激励引起的响应。
电路换路后 uS =0 和iS =0
一、RC电路的零输入响应
0.5A
uL (0 ) uR1(0 ) 10 uC (0 ) 0
iC (0 ) iL (0 ) iR2 (0 ) 0.25 A
例2已知：t 0 时，
原 电 路 已 稳 定 ，t 0
时，打开开关S。
求：t 0 时，i1(0 ), i(0 )
解：1、求 uC(0)
t 0 时的电路。
uC(0) 14i(0) 10i1(0) 4i1(0)
ii11
(0 (0
) )
i(0 ) i(0 )
4 2A
uC(0) 28V
2、作 t 0时的电路。
14ii11((00))
i(0 ) 7 i(0
4 ) 28
8
4
i1(0 )
A, 3
i(0 )
A 3
例3 + uR -
已知：
+
R K
+
解上式可得：
i(0 ) 6 A
根据等效电阻初始值得：
t
i(t) i(0 )e
6e4t
§7.3一阶电路的零状态响应
（zero state response）
零状态响应----
uc （0+）=0 iL （0+）=0
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
uc 的解答形式：
p1t p2t
uC A1e A2e
经常写为：
e
( t )
( A1e
jt
A2e
jt
)
uC Ae
t
sin( t )
0 t sin( t ) uuC AeU 0e t sin( t ) c
uC (0 ) U 0 A sin U 0 由初始条件 du (0 ) C 0 A( ) sin A cos 0 dt
代入初始条件
i L (0 ) 0
t
A I s
iL i i I S (1 e )
' L " L
7－4 一阶电路的全响应
当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时， 电路的响应称为全响应。 初始条件
u c ( 0 ) u c (0 ) U 0
当开关S闭合后，由KVL有
初始条件－－电路中的变量在换路后t=0+时 刻的值。
独立初始条件－－换路后的初始值由元件的 性质决定。 独立初始条件有：电容端电压uc(t)、电容电 荷qc(t)、电感电流iL(t)、电感磁链L(t)
1 t uc (t ) uc (t0 ) ic ( )d C t0
1 0 uc (0 ) uc (0 ) ic ( )d C 0
U0 A sin
， arctg
ω0 δ
ω
sin 0
0 A U0
ω，ω０，δ的
关系
0 t uC U 0e sin( t )
0 uC 是振幅以 U 0为包线依指数衰减的正 弦函数。
p1t p2t
uC A1e A2e
经常写为：
e
( t )
( A1e
jt
A2e
jt
)
uC Ae
t
sin( t )
0 t sin( t ) uuC AeU 0e t sin( t ) c
uC (0 ) U 0 A sin U 0 由初始条件 du (0 ) C 0 A( ) sin A cos 0 dt
代入初始条件
i L (0 ) 0
t
A I s
iL i i I S (1 e )
' L " L
7－4 一阶电路的全响应
当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时， 电路的响应称为全响应。 初始条件
u c ( 0 ) u c (0 ) U 0
当开关S闭合后，由KVL有
初始条件－－电路中的变量在换路后t=0+时 刻的值。
独立初始条件－－换路后的初始值由元件的 性质决定。 独立初始条件有：电容端电压uc(t)、电容电 荷qc(t)、电感电流iL(t)、电感磁链L(t)
1 t uc (t ) uc (t0 ) ic ( )d C t0
1 0 uc (0 ) uc (0 ) ic ( )d C 0
U0 A sin
， arctg
ω0 δ
ω
sin 0
0 A U0
ω，ω０，δ的
关系
0 t uC U 0e sin( t )
0 uC 是振幅以 U 0为包线依指数衰减的正 弦函数。
PP07 一阶电路和二阶电路的时域分析
若 uL ≤ M (有限），则
ψ L (0+ ) = ψ L (0− ) iL (0+ ) = iL (0− )
∫
0+
0−
u L (ξ )dξ = 0 ,且
电感的磁链和电流不发生跃变！
① 若 t = 0- 时, ψL(0-) = ψ0 ,iL(0-) = I0 ，则有 ψL(0+) = ψ0 ， iL(0+) = I0 ，故换路瞬间，电感相当于电流值为 I0 的电流源； ② 若 t = 0- 时, ψL(0-) = 0 ,iL(0-) = 0 ,则应有 ψL(0+) = 0 , iL(0+) = 0, 则换路瞬间，电感相当于开路。 3. 独立初始条件uC(0+)和 iL(0+) 由 t = 0- 时的 uC(0-)和 iL(0-) 确定。非独立初始条件（电阻电压或电流、电容电流、 电感电压）需要通过已知的独立初始条件求得。 例6-1 PP125 初始值计算
电路独立初始条件：uC(0+)和 iL(0+)
二. 电路的初始条件 1. 电容的电荷和电压
q (t ) = q (t ) + t i (ξ )d ξ C 0 ∫t0 C C t u C (t ) = u C (t 0 ) + 1 iC (ξ )d ξ C ∫t0
取 t0 = 0- , t = 0+ ,则
τ = ReqC, Req = R1 + R2 ,
例7－2：电路如下图, t = 0 时打开开关 S ，求 uab(t) t ≥ 0 。
解: t = 0- 时，开关尚未断开瞬间， uC(0-)=12 V, iC(0-)= 0 (隔直)； t = 0+ 时，开关刚断开瞬间， uC(0+)= uC(0-)=12 V ；
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析PPT课件
U 63.2%U
uC
u
' C
o -36.8%U
u
" C
t
-U
§7-3 一阶电路的零状态响应
uRR iUet
稳态分量(强制分量)：电 路到达稳定状态时的电压， 其变化规律和大小都与电 源电压U有关。 瞬态分量(自由分量)：仅 存在于暂态过程中，其变 化规律与电源电压U无关， 但其大小与U有关。
§7-3 一阶电路的零状态响应
讲课7学时，习题1学时。
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
一、动态电路的有关概念
⒈ 一阶(动态)电路 仅含一个动态元件，且无源元件都是线性和时不
变的电路，其电路方程是一阶线性常微分方程。
⒉ 二阶(动态)电路 含两个动态元件的电路，其电路方程是二阶微分
方程。
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
⒊ 过渡过程 当电路的结构或元件的参数发生变化时，可能使
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-1 动态电路的方程及其初始条件 §7-2 一阶电路的零输入响应 §7-3 一阶电路的零状态响应 §7-4 一阶电路的全响应 §7-5 二阶电路的零输入响应 §7-6 二阶电路的零状态响应和全响应
§7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 §7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应 *§7-9 卷积积分 *§7-10 状态方程 *§7-11 动态电路时域分析中的几个问题
dt
t=0
+
所以
eL
L
di dt
很大
+
U-
R uRL
eL可能使开关两触点之
L-
间的空气击穿而造成电弧以
1S
i
延缓电流的中断，开关触点
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析ppt课件
IS
iR
R
S(t=0)
iL uL L
t
t
★
iL I S I S e I S (1 e )(t 0)
其中 L
R
2.参数曲线
IS
3.能量转换
WL=WR=½LIS2
O
注：➢零状态响应是激励的
iL"
线性函数： 可加性：
―IS
f1(t)y(1)，f2(t)y(2)， 则 f1(t)+f2(t)y=y(1)+y(2) 齐次性：
• 充好电的电容向电阻放电：
S(t=0)
i
U0 uC
C R uR
t≥0
uC
R0
i C R uR
1.求解t ≥0+时的电路
i
• 当t ≥0时 uC(0+)=U0 • 由KVL得 uC―uR=0
uC C R uR
• 又 uR=Ri i C duC
uC
RC duC dt
0(t
dt
0)
解微分方程可得
+
uS
+
L uL
Ri
L di dt
Um
sin(t
u )
-
iL(0-)=0
– 强制分量(稳态分量)
i i' i"
自由分量(暂态分量)
i"
t
Ae
用相量法计算稳态解 i
R
I
Im
Um
R2 (L)2
+
-
U S
j L
arctgL
R
i' Im sin(t u )
i
i'
i"
[物理]电路 第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析
![[物理]电路 第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析](https://img.taocdn.com/s3/m/41ba40d47c1cfad6195fa770.png)
何谓“零状态响应”？ 一、RC串联充电电路 初始无储能，输入不为零
i
R
uC uR U s
duC uC RC Us dt
一阶线性非齐次微分方程
Us
C
uc
“一阶非齐次线性方程的通解等于其对应的齐 次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。”
摘自《高等数学》下册第343页
第 1 章
U0
1
2
L
iL
uL
R
初始条件为： i(0 ) i(0 ) I 0 通解为：
i Ae pt
R L
L
iL
uL
R
特征方程为： Lp R 0 特征根为：
p
解得：
i I 0e
R t L
R t di uL L RI 0 e L dt
电压电流都以同样的指数规律衰减，衰减快慢取决于 衰减的时间常数 L
静电场
uc uc uc Us uc
uc uc
非齐次方程的特解 对应齐次方程的通解
U s e uc
1 t RC 1 t RC
1 t U s RC i e R
因此 uc U s (1 e
)
稳态分量和瞬态分量
Us uc
强制分量、与外激励有关；
R1
1
例7-1：
U0
R2
L
C
uc ic
iL
第 1 章
静电场
换路前后瞬间电容电压与电感电流不能跃变！
第 1 章
静电场
7.2 一阶电路的零输入响应
i
R
uC uR U s
duC uC RC Us dt
一阶线性非齐次微分方程
Us
C
uc
“一阶非齐次线性方程的通解等于其对应的齐 次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。”
摘自《高等数学》下册第343页
第 1 章
U0
1
2
L
iL
uL
R
初始条件为： i(0 ) i(0 ) I 0 通解为：
i Ae pt
R L
L
iL
uL
R
特征方程为： Lp R 0 特征根为：
p
解得：
i I 0e
R t L
R t di uL L RI 0 e L dt
电压电流都以同样的指数规律衰减，衰减快慢取决于 衰减的时间常数 L
静电场
uc uc uc Us uc
uc uc
非齐次方程的特解 对应齐次方程的通解
U s e uc
1 t RC 1 t RC
1 t U s RC i e R
因此 uc U s (1 e
)
稳态分量和瞬态分量
Us uc
强制分量、与外激励有关；
R1
1
例7-1：
U0
R2
L
C
uc ic
iL
第 1 章
静电场
换路前后瞬间电容电压与电感电流不能跃变！
第 1 章
静电场
7.2 一阶电路的零输入响应
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iL 1 (t=0) 2 + S 3 6 24V 2 + uL L 4 4 6H
2. 换路定则 线性电容C的电荷 q(t) = q(t0) +
t
t0
i C ( ξ) d ξ
以t = t0 = 0作为换路的计时起点:换路前最终时 刻记为t = 0,换路后最初时刻记为t = 0+. 在换路前后: q(0+) = q(0) +
uC
0.632U
t τ1 τ2 τ3 结论: 结论: τ 越大,曲线变化越慢,uC达到稳态时间越长. 越大,曲线变化越慢, 达到稳态时间越长. 5τ 暂态基本结束, 达到稳态值. 当 t = 5τ 时, 暂态基本结束, uC 达到稳态值.
O
τ1 < τ 2 < τ 3
二,一阶RC电路的三要素法 一阶 电路的三要素法
(1) 稳态值 f (∞ ) 的计算 ∞ 其中电容 求换路后电路中的电压和电流 ,其中电容 C 视 为开路, 电感L视为短路 视为短路, 为开路 电感 视为短路,即求解直流电阻性电路 中的电压和电流. 中的电压和电流. iL S 3 5k 例: t=0 S 5k t =0 + 10V 5k C +u - C 1 F 6 6mA 6 1H
t=0 S R1
+
R1 R3
C
-
U
R2
R2
R3 R0
R0
+
R0 = ( R1 // R2 ) + R3 τ = R0C
C R0的计算类似于应用戴 维宁定理解题时计算电路 等效电阻的方法. 等效电阻的方法.即从储 能元件两端看进去的等效 电阻,如图所示. 电阻,如图所示.
-
U0
三,名词解释(零输入,零状态,全响应)
3,复频域分析法 ,
一, RC电路的零状态响应 RC电路的零状态响应
1,电容上电压的变化规律
(1) 列 KVL方程 方程
+
t =0
s
i
R C + _ uc
uR + uC = U
U _
′ ′′ 即 uC ( t ) = uC + uC 一阶线性常系数 (2) 解方程 duC RC + uC = U非齐次微分方程 求特解 u'C :
uR–
iC
+ uC –
c
uC (0 ) = U
2,RC 电路的零状态响应 换路 零状态响应: 零状态响应 电容元件的初始储能为零, 前电容元件的初始储能为零, 换路后, 换路后,由外加电源所产生的 电路的响应. 电路的响应. 实质:RC电路的充电过程 实质:RC电路的充电过程 根据三要素法可得
+
仅存在 于暂态 过程中
-U
uC = U
t t ( 1 e RC ) = U ( 1 e τ )
( t ≥ 0)
2. 电流 iC 的变化规律
duC U τ iC = C t≥0 = e dt R 3. uC , iC 变化曲线
t uC = U ( 1 e RC )
t
为什么在 t = 0时 0时 电流最大? 电流最大?
RC
求特解 ---- u'C
u'C ( t ) = uC (∞ ) = U
duC RC + uC = 0 的解 通解即: 通解即: t dt ′′ = Ae pt = Ae RC 其解: 其解 :uC
微分方程的通解为
′′ 求对应齐次微分方程的通解 uC
′ ′′ uC = uC + uC = U + Ae
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
基本要求 1.换路定则和电路初始值的求法; 2.掌握一阶电路的零输入响应,零状态响应,全响 应的概念和物理意义; 3.掌握用三要素法分析一阶动态电路; 4.了解二阶电路零状态响应,零输入响应,全响应 的概念和物理意义;
§71 动态电路的方程及其初始条件
引言 自然界事物的运动,在一定的条件下有一定的稳 定状态.当条件发生变化时,就要过渡到新的稳定状 态.从一种稳定状态转到另一种新稳定状态时,往往 不能跃变,而是需要一定时间,或者说需要一个过程, 在工程上称过渡过程.
i i
R1 2 + R2 iL L 2 + C
iC
S
48V R1 2; uC R3 3
换路前的"旧电路"
iC
R2 iL L 2 + C
S
48V
U0
uL
+ uC R3 3
iL(0) = 12A = iL(0+) uC(0) = 24V = uC(0+) 2.画出t=0+等效电路: 电感用电流源替代,电 容用电压源替代. 4824 iC(0+) = = 8Α 3 uL(0+) = 482×12 = 24V i(0+) = iL(0+) + iC(0+) = 12 + 8 = 20A
iC uC
U R
U
uC
4. 时间常数 τ 的物理意义 当t=τ时
1
τ
iC
t
uC (τ ) = U (1 e ) = 63.2 %U
τ 表示电容电压 uC 从初始值上升到 稳态值的 从初始值上升到 63.2% 时所需的时间. 时所需的时间.
t
0
τ
U
2τ
3τ
4τ
5τ
6τ
uC
0 0.632U 0.865U 0.950U 0.982U 0.993U 0.998U 0.632U 0.865U 0.950U 0.982U 0.993U 0.998U
在直流电源激励的情况下, 在直流电源激励的情况下,一阶线性电路微分方 程解的通用表达式: 程解的通用表达式: 式中, 式中,
f ( t ) = f (∞ ) + [ f ( 0 + ) f (∞ )] e
t
τ
f (t ):代表一阶电路中任一电压,电流函数 代表一阶电路中任一电压,
f ( 0 + )-- 初始值 f (∞ ) -- 稳态值 ∞ 三要素) (三要素) τ -- 时间常数 利用求三要素的方法求解暂态过程,称为三要素法 三要素法. 利用求三要素的方法求解暂态过程,称为三要素法. 一阶电路都可以应用三要素法求解, 一阶电路都可以应用三要素法求解,在求得 f ( 0 + ) , 的基础上,可直接写出电路的响应(电压或电流) f (∞ )和τ 的基础上,可直接写出电路的响应(电压或电流). ∞
则A = U
τ
t
( 令τ = RC)
确定积分常数A 确定积分常数A 根据换路定则在 t=0+时, uC (0 + ) = 0
(3) 电容电压 uC 的变化规律
uC = U Ue
稳态分量 +U 电路达到 63.2%U 稳定状态 o 时的电压 -36.8%U
t RC
uC
uC
τ
′ uC
′′ t uC
暂态分量
响应中"三要素"的确定 响应中"三要素"
10 uC (∞ ) = ×5 5+5 =5V
6 i L (∞ ) = 6 × 6+6 = 3 mA
(2) 初始值f ( 0 + ) 的计算 1) 由t=0- 电路求 uC (0 ),i L (0 ) 2) 根据换路定则求出
uC (0 + ) = uC (0 ) i L (0 + ) = i L (0 )
i R C + _ uC
uC (0 -) = U0
根据叠加定理 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
t t ∴ uC = f (0 + ) e RC + f (∞)(1 e RC ) (t ≥ 0)
iL(0+) = iL(0) L中的电流也不能跃变! 换路定则表明 (1)换路瞬间,若电容电流保持为有限值,则电容 电压(电荷)在换路前后保持不变,这是电荷 守恒定律的体现. (2)换路瞬间,若电感电压保持为有限值,则电感 电流(磁链)在换路前后保持不变.这是磁链 守恒定律的体现.
三,初始值的计算 求图示电路在开关 闭合瞬间各支路电 流和电感电压. 解: 1. 由换路前的"电路" 计算uC(0)和iL(0) . iC(0)=0,C视为开路. uL(0)=0,L视为短路. 由等效电路算出 iL(0) = 12A = iL(0+) uC(0) = 24V = uC(0+)
i
R1 2 + R2 iL L 2 + C
iC
S
48V R1 2 i + S R2 iL
U0
uL iC
+ uC R3 3
2 +
12A 48V
U0
uL
+ 24V R3 3
t=0+时刻的等效电路
7.2 RC电路的暂态分析及三要素法 RC电路的暂态分析及三要素法
一阶电路暂态过程的求解方法 一阶电路 仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线 性电路, 且由一阶微分方程描述,称为一阶线性电 性电路, 且由一阶微分方程描述,称为一阶线性电 路. 求解方法 1. 经典法 根据激励 电源电压或电流 ,通过求解 经典法: 根据激励(电源电压或电流 电源电压或电流), 电路的微分方程得出电路的响应(电压和电流 电压和电流). 电路的微分方程得出电路的响应 电压和电流 . 2. 三要素法 初始值 求 稳态值 (三要素) 三要素) 时间常数
dt dK 设 :u'C = K 代入方程, U = RC +K dt 解得: 解得 :K = U 即 :u' = U t