终稿_线性方程组直接法和迭代法

毕业论文

2012届

线性方程组的直接法和迭代法

学生姓名刘玲

学号 08102117

院系数理信息学院

专业信息与计算科学

指导教师祝汉灿

完成日期 2012年5月25日

线性方程组的直接法和迭代法摘要

在现实生活当中，经常会遇到自然以及社会科学领域中的诸多问题。这些问题中所包含的数学模型都可以与一定的线性方程组所对应起来。因此，在科学技术、工程和经济领域中都会遇到解线性方程组的问题。求解线性方程组AX=b是科学计算的中心问题。解线性方程组主要有直接法和迭代法。对于系数矩阵为低阶稠密矩阵的线性方程组可以用直接法进行消元。对于大规模线性方程组的求解问题，特别是大规模稀疏线性方程组，直接法会显得比较繁琐。迭代法是求解线性方程组的一种有效方法，它有存储空间小，程序简单等特点。比较常用的迭代方法有Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代。（1）这两种迭代法的收敛性态并不相同，很多情况下Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收敛快.

关键词线性方程组；直接法；迭代法；发散；收敛

THE DIRECT AND ITERATION METHOD OF LINEAR EQUATIONS ABSTRACT

In science, technology, engineering and economic fields, we will meet the problem of solving linear equations. Generally speaking, there are direct methods and iterative methods for solving linear equations. For coefficient matrix and low order dense matrix of linear equations, we can use direct method for the elimination. For large-scale linear equations, especially large sparse linear equations, a direct method is much complicated. In this situation, the iterative method is the more effective method to solve the linear equations. The most common used methods are the Jacobi iteration and Gauss-Seidel iteration. In this paper, we mainly study the convergence of the two methods. (13)

KEY WORDS: solving linear equations; low order dense matrix; large-scale linear; direct method; iterative method

目录

摘要 I

ABSTRACT II

目录 III

引言 1

1. 线性方程组的直接法 2

1.1 Cramer法则 2

1.2 Gauss消元法 3

1.2.1 用Gauss消元法为线性方程组求解 3

2. 线性方程组迭代法 4

2.1 Jacobi迭代法 4

2.2 Gauss-Seide迭代 6

2.3 SOR迭代 8

2.4 迭代法收敛 9

2.5 迭代法收敛的应用 12

3. 结论： 14

参考文献 15

附录 16

致谢 20

引言

在现实生活当中，经常会遇到自然以及社会科学领域中的诸多问题，这些问题中所包含的数学模型都可以与一定的线性方程组所对应起来，换句话说，求解线性方程组的过程就是就是解决实际遇到的自然及社会科学问题的过程，在线性方程组的求解的重要性可见一斑。

求解线性方程组AX=b是科学计算的中心问题。解线性方程组主要有直接法和迭代法。直接法就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法．但实际计算中由于误差的存在和影响，这种方法也只能得到线性方程组的近似解，而且该方法也只是是求解低阶稠密矩阵方程组的有效方法。迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法．该方法具有对计算机的存贮单元需求少，程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变等优点，是求解大型稀疏矩阵方程组的重要方法．迭代法不是用有限步运算求精确解，而是通过迭代产生近似解逼近精确解。

在求解线性方程组直接法中主要有Cramer法则，Gauss消元法。Cramer法则是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。（2）它适用于变量和方程数目相

等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。Gauss消元法是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。该方法是以数学家卡尔高斯的名字命名的，但最早出现于中国古籍《九章算术》，成书于约公元前150年。在求解线性方程组的迭代法的180多年的发展历史过程，产生了众多不同的迭代方法。经典的迭代法，(5)例如Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、超松弛(SOR)迭代法，都是Hadjidimos在1978年所提出的加速超松弛(AOR)迭代法的特例。本课题运用所学的数学专业知识研究，有助于我们进一步掌握大学数学方面的知识，特别是Jacobi迭代和Gauss-Seide迭代。

1. 线性方程组的直接法

直接法就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法。

1.1 Cramer法则

Cramer法则用于判断具有n个未知数的n个线性方程的方程组解的情况。当方程组的系数行列式不等于零时，方程组有解且解唯一。如果方程组无解或者有两个不同的解时，则系数行列式必为零。如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则没有非零解。如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式必为零。

定理1如果方程组

中

，则

有解，且解事唯一的，解为