2.2.3.1 直线与圆的位置关系 课件(北师大必修2)

|AB|＝ x1－x22＋y1－y22 ＝ x1－x22＋[－3x1＋6－－3x2＋6]2 ＝ 1＋32x1－x22＝ 10[x1＋x22－4x1x2] ＝ 10×32－4×2＝ 10. ∴弦 AB 的长为 10.
法二：圆 C：x2＋y2－2y－4＝0 可化为 x2＋(y－1)2＝5. 其圆心坐标为 C(0,1)，半径 r＝ 5， |3×0＋1－6| 10 点 C(0,1)到直线 l 的距离为 d＝ ＝ ， 2 2 2 3 ＋1 |AB| 所以半弦长 ＝ r2－d2＝ 2 所以弦长|AB|＝ 10. 10 2 10 5 － ＝ . 2 2
[悟一法] 经过圆内一点的圆的切线不存在；经过圆上一 点的圆的切线有一条；经过圆外一点的圆的切线有 两条，若只求出一条，则说明另一条切线的斜率不 存在，切线为x＝x0的形式．
[通一类] 3．若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1 相切，求直线l的方程． 解：①若直线l的斜率存在，
的
x1＋x2 y1＋y2 几何意义是什么？ ， 呢？ 2 2 提示：该方程组的解恰好是直线与圆的交点 P、Q 的坐标，
x1＋x2 y1＋y2 即有 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，而( ， )恰为弦 PQ 的 2 2 中点坐标．
2．是否任意直线与圆的位置关系的判定都可以用 几何法与代数法这两种方法？ 提示：是．几何法与代数法是从不同的方面进行
形，数形结合利用勾股定理得到．
[通一类]
2．(2012· 临沂高一检测)已知关于 x，y 的方程 C：x ＋y － 2x－4y＋m＝0， (1)当 m 为何值时，方程 C 表示圆． (2)若圆 C 与直线 l：x＋2y－4＝0 相交于 M，N 两点， 4 且|MN|＝ ，求 m 的值． 5
2 2
解：(1)方程C可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m.显然 5－m＞0，即m＜5时，方程C表示圆． (2)圆的方程化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m圆心 C(1,2)，半径r＝ 5－m. 则圆心C(1,2)到直线l：x＋2y－4＝0的距离d＝ |1＋2× 2－4| 1 . 2 2 ＝ 5 1 ＋2
[自主解答] (1)圆的方程 x2＋y2＋2x＋4y－4 ＝0 可化为 (x＋1)2＋(y＋2)2＝9， 圆心(－1，－2)，半径为 3. |－1－2| 3 2 圆心到直线的距离 d＝ ＝ <3， 2 1＋1
∴直线与圆有两个公共点．
x＋y＝0， 2 x ＋y2＋2x＋4y－4＝0，
判断的，几何法侧重于“形”，代数法侧重于“数”．
[研一题] [例1] 判断下列直线与圆的位置关系，若有公共点
求出公共点的坐标． (1)直线：x＋y＝0，圆：x2＋y2＋2x＋4y－4＝0； (2)直线：y＝x＋5，圆：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0； (3)直线x＋y＝3，圆：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0.
y＝x＋5， 2 x ＋y2＋2x－4y＋3＝0，
消去 y 得 x2＋4x＋4＝0， ∴x＝－2，y＝3，∴切点(－2,3)．
(3)圆的方程化为(x－2)2＋(y＋1)2＝1， 圆心(2，－1)，半径长为1， |2－1－3| 圆心到直线的距离d＝ 2 2 ＝ 2>1， 1 ＋1 ∴直线与圆相离．
2
[悟一法]
1．代数法 (1)将直线与圆的方程联立，解得两交点，然后利 用两点间距离公式求弦长． (2)设直线的斜率为k，直线与圆联立，消去y后所 得方程两根为x1，x2，则弦长d＝|x2－x1| 1＋k2.
2．几何法 l 2 设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有( ) ＋d2＝r2， 2 故l＝2 r2－d2 ，即半弦长、弦心距、半径构成直线三角
则其方程为y＋1＝k(x－4)， 即kx－y－4k－1＝0. 圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝9. 圆心为(－1,2)，半径为3. ∵l是圆的切线，
|－5k－3| ∴ ＝3，∴8k2＋15k＝0. k2＋1 15 ∴k＝0或k＝－ ，代入kx－y－4k－1＝0并 8 整理，得切线方程为y＝－1或15x＋8y－52＝0.
设l：y－3＝k(x－2)．
因为直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，
|5－k| 12 所以 2 ＝1，所以k＝ . 5 k ＋1 12 所以直线l的方程为y－3＝ (x－2)， 5 即12x－5y－9＝0. ②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2 也符合要求． 所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.
方程＝k(x－2)＋3有两个不等实根，求k的取值范围． [巧思] 将方程解的个数问题转化为y＝和 y＝k(x－2)＋3图像的交点个数问题．
[妙解]
在同一坐标系中，分别作出曲线y
＝ 4－x2和y＝k(x－2)＋3. 如图所示，曲线y＝ 点，半径为2的上半圆， y＝k(x－2)＋3表示经过定点P(2，3)，斜 率为k的动直线， 4－x2 表示圆心在原
3 5 易得kPA＝ ，切线PM的斜率为kPM＝ . 4 12 当动直线介于直线PM与PA之间时，与半 圆有两个交点， 即所给方程 等实根． 5 3 所以实数k的取值范围是( ， )． 12 4 4－x2 ＝k(x－2)＋3有两个不
4 1 2 ∵|MN|＝ ，∴ |MN|＝ . 2 5 5 1 根据圆的性质有r ＝d ＋( |MN|)2， 2
2 2
1 2 2 2 ∴5－m＝( ) ＋( ) ，得m＝4. 5 5
[研一题] [例3] 已知圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－4＝0，求
经过点(4，－1)的圆的切线方程．
[自主解答] 设切线l的斜率为k，
[悟一法]
解决此类问题的关键是搞清直线与圆的位置和
直线与圆的公共点的个数间的等价关系．在处理直 线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到 直线的距离和半径的大小，而不用代数法．
[通一类]
1．已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何 值时，圆与直线相交、相切、相离？
解：如图，圆心O(0,0)到直线y＝x＋b的距离 |b| 为d＝ ， 2 圆的半径r＝ 2. ∴当d＝r，|b|＝2， 即b＝2或b＝－2时，圆与直线相切． ∵b为直线的截距，数形结合可知， 当－2＜b＜2时，直线与圆相交， 当b＞2或b＜－2时，直线与圆相离.
[研一题]
[例2]
求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2
－2y－4＝0截得的弦长．
[自主解答]
法一：由直线l与圆C的方程，
3x＋y－6＝0， 得 2 2 x ＋y －2y－4＝0，
消去y得x2－3x＋2＝0. 设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根与系数的关系有x1＋x2＝3，x1·2＝2， x
消去y得x2－x－2＝0， 解得x)，B(2，－2)．
(2)圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，圆心(－1,2)， 半径 2， |－1－2＋5| 圆心到直线的距离 d＝ 2 2＝ 2， 1 ＋－1 ∴直线与圆相切，有一个公共点，
相交 相切
相离
Δ> 0
Δ＝ 0
Δ
< 0
消元得到一元二次方程的判别 式Δ
[小问题·大思维]
1．直线 Ax＋By＋C＝0 与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 相交时，方
Ax＋By＋C＝0， 程组 x－a2＋y－b2＝r2 x＝x ， 1 的解 y＝y1 x＝x ， 2 和 y＝y2
[读教材·填要点]
位置关系 公共点个数 判定 方法 几何法：设圆心到直线的 |Aa＋Bb＋C| 距离d＝ A2＋B2 d < r D＝ r D >r 相交 相切 相离
2个
1 _个
0 个
位置关系 判 定 方 法 代数法：由
Ax＋By＋C＝0， x－a2＋y－b2＝r2，