集合的基本运算(第一课时)教案

1.1.3 集合的基本运算(第一课时)
教材分析：本节课从类比实数的加法运算，引出集合的并集运算。

一、学习目标：
①理解两个集合的并集与交集,掌握求两个简单集合的交集与并集的方法,感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确,进一步提高类比的能力;
②通过观察和类比,借助Venn图理解集合的基本运算.体会直观图示对理解抽象概念的作用,培养数形结合的思想.
三、教学重点:理解两个集合的并集与交集的含义．会求两个简单集合的并集和交集．
四、教学难点:能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
五、课时安排：1课时
六、教学过程
（一）、自主导学（预习）
1、设计问题,创设情境
问题1（引导学生思考）:实数有加法运算,两个实数可以相加,例如5+3=8.类比实数的加法运算,集合是否也可以“相加”呢?
问题2:请同学们考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A,B之间的关系吗?
(1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6};
(2)A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},C={x|x是实数}.
提出问题，引导学生思考后，教师带领学生分析问题，然后师生共同总结得出集合C与集合
A、B之间的关系。

2、自主探索,尝试解决
提示学生从以下几方面进行探究:
①通过问题2中集合A,B与集合C之间的关系,类比实数的加法运算,你发现了什么?
②用文字语言来叙述问题2中集合A,B与集合C之间的关系.
③用数学符号来叙述问题2中集合A,B与集合C之间的关系.
④用Venn图来叙述问题2中集合A,B与集合C之间的关系.
3、信息交流,揭示规律
根据同学们的探究讨论结果,共同得出以下结论并作讲解:
(1)集合的并集
①文字语言:所有属于集合A或属于集合B的元素组成了集合C.
A ={x|x∈A,或x∈B}.
②数学符号:C=B
③Venn图:
问题3:请同学们考察下面的问题,集合A,B与集合C之间又有怎样的关系?
(1)A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8};
(2)A={等腰三角形},B={直角三角形},C={等腰直角三角形}.
（2）集合的交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.
问题4:类比集合的并集,请给出交集的其他语言表达形式.
符号表示:A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
Venn图表示:
(二)、合作学习
【例1】设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B,A∩B.
解:A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.A∩B={4,5,6,8}∩{3,5,7,8}={5,8}.
点评:本题主要考查集合的并集和交集.用列举法表示的离散型元素的数的集合,运算时常利用Venn图或直接观察得到结果.本题易错解为A∪B={3,4,5,5,6,7,8,8}.其原因是忽视了集合元素的互异性.解决集合问题要遵守集合元素的三条性质.
【例2】设A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求A∪B,A∩B.
解:将A={x|-1<x<2}及B={x|1<x<3}在数轴上表示出来.如图所示的阴影部分即为所求.
由图得A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3},
x
3
12
-1
A∩B={x|-1<x<2}∩{x|1<x<3}={x|1<x<2}.
点评:本题主要考查集合的并集和交集.用描述法表示的连续型元素的数的集合,运算时常利用数轴来计算结果.
【例3】设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若A∩B=B,求a的值.
解:由题意得A={-4,0}.∵A∩B=B,∴B⊆A.∴B=⌀或B≠⌀.
当B=⌀时,即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无实数解,
则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.
当B≠⌀时,若集合B仅含有一个元素,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,
此时,B={x|x2=0}={0}⊆A,即a=-1符合题意.
若集合B含有两个元素,则这两个元素是-4,0,
即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解是-4,0.
则有
解得a=1,则a=1符合题意.
综上所得,a=1或a ≤-1.
(三)、当堂检测
1.A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x ≥10},则A ∩B ,B ∪C ,A ∩B ∩C 分别是什么?
（提示学生画数轴解题更直观明了）
解:A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x ≥10},在数轴上表示如图： x
C B A
1005
所以A ∩B={x|0<x<5},B ∪C={x|x>0},A ∩B ∩C=⌀.
点评:本题主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集时,①明确集合中的元素;②依据并集和交集的含义,借助直观图(数轴或Venn 图)写出结果.
2.设A={x|x=2n ,n ∈N *
},B={x|x=2n ,n ∈N },求A ∩B ,A ∪B. 解:对任意m ∈A ,则有m=2n =2·2n-1,n ∈N *,因n ∈N *,故n-1∈N ,有2n-
1∈N ,那么m ∈B ,即对任意m ∈A 有m ∈B ,所以A ⊆B.而10∈B 但10∉A ,即A ⫋B ,则有A ∩B=A ,A ∪B=B.
3.求满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B 的个数.
解:满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B 一定含有元素3,有{3},还可含1或2其中一个,有{1,3},{2,3};还可含1和2,即{1,2,3},那么共有4个满足条件的集合B.
4.设A={-4,2,a-1,a 2},B={9,a-5,1-a },已知A ∩B={9},求a.
解:因A ∩B={9},则9∈A ,a-1=9或a 2=9,
a=10或a=±3,
①当a=10时,a-5=5,1-a=-9;
②当a=3时,a-1=2,不合题意.
③当a=-3时,a-1=-4,不合题意.
故a=10,此时A={-4,2,9,100},B={9,5,-9},满足A∩B={9}.
5.已知集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|m+1≤x≤2m-1},且A∪B=A,试求实数m的取值范围.
(四)、课堂小结
请同学们互相交流一下本节课学习了哪些知识,涉及了哪些数学思想方法?
1．通过对集合的学习，同学对集合这种语言有什么感受？
2．并集.交集这两种集合运算有什么区别和联系？
七、课外作业
课本P11习题1.1 A组第6,7,8题.
八、教学反思：。