高中新人教A版必修1数学课件 3.2.1 几类不同增长的函数模型1

• 【答案】 D
第六页，编辑于星期一：点 四十五分。
• 4．已知变量x，y满足y＝1－3x，当x增加1 个单位时，y的变化情况是________． • 【解析】 ∵[1－3(x＋1)]－(1－3x)＝－3 ， • ∴当x增加1个单位时，y减少3个单位． • 【答案】 减少3个单位
第七页，编辑于星期一：点 四十五分。
• 1．在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝ logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是____增_函_数___，但___增_长__速_度___不同 ，且不在同一个“档次”上．
• 2．在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a>1)的增
长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度
•
(3)指数函数y＝ax(a＞1)模型，其增长迅速．
•
2．函数模型选取的择优意识
•
解题过程中究竟选用哪种增长的函数模型，要根据题目的具体要求进行
抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型．
第二十四页，编辑于星期一：点 四十五分。
• 3．要注意化归思想和数形结合思想的运 用．
第二十五页，编辑于星期一：点 四十五分。
，而y＝logax(a>1)的增长速度则会_________． 越来越慢
•
3．存在一个x0，使得当x>x0时，有______lo_ga_x<_x_n<_ax．
第三页，编辑于星期一：点 四十五分。
• 1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) • (1)函数y＝x3比y＝2x增长的速度更快些．( ) • (2)当x＞100时，函数y＝10x－1比y＝lg x增长的速度 快．( ) • (3)能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a ＞0，b＞1)表达的函数模型，称为指数型的函数模型 ，也常称为“爆炸型”函数．( ) • 【答案】 (1)× (2)√ (3)√
易误警示·规范指导
自主学习·基础知识
3．2.1 几类不同增长的函数模型
[学习目标] 1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)2.区分指数函数、 对数函数以及幂函数增长速度的差异．(易混点)3.会选择适当的函数模型分析和解决一 些实际问题．(难点)
第一页，编辑于星期一：点 四十五分。
课时作业
• 若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )
第三十页，编辑于星期一：点 四十五分。
• 【解析】 当h＝H时，体积是V，故排除A，C.h由0到H变化 的过程中，V的变化开始时增长速度越来越快，类似于指数型函 数的图象，后来增长速度越来越慢，类似于对数型函数的图象， 综合分析可知选B. • 【答案】 B
函数图象(上凸型)
第二十七页，编辑于星期一：点 四十五分。
•
【解析】 图1不对，因为正方体的底面积是定值，故水面高度的增加是
均匀的，即图象是直线型的．
•
图2正确．因几何体下面窄上面宽，且相同的时间内注入的水量相同
，所以下面的高度增加得快，上面增加得慢，即图象应越来越来缓．
•
图3正确．球是对称的几何体，下半球因下面窄上面宽，所以水的高度
•
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的
排污费．问：
第十六页，编辑于星期一：点 四十五分。
•
(1)工厂每月生产3 000件产品时，你作为厂长，在不污染环境又节约资金的
前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；
•
(2)若工厂每月生产6 000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？
【思路探究】 作出函数图象 → 观察图象得到结论
第十三页，编辑于星期一：点 四十五分。
• 【解】 借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝ 1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y ＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝ log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x
第十五页，编辑于星期一：点 四十五分。
•
某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25
元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净
化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．
•
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原
料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；
•
(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，
•
∴1＜x1＜2，9＜x2＜10，
•
∴x1＜6＜x2，2 015＞x2.
第二十页，编辑于星期一：点 四十五分。
• 从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜ g(x)， • ∴f(6)＜g(6)； • 当x＞x2时，f(x)＞g(x)， • ∴f(2 015)＞g(2 015)． • 又g(2 015)＞g(6)， • ∴f(2 015)＞g(2 015)＞g(6)＞f(6)．
进行奖励才符合学校的要求．
第十四页，编辑于星期一：点 四十五分。
• 1．线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规 律； • 2．指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律 ；
• 3．对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；
• 4．幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律 ．
第四页，编辑于星期一：点 四十五分。
• 2．下列函数中，随x的增大，增长速度最 快的是( )
• A．y＝1
B．y＝x
• C．y＝3x
D．y＝log3x
• 【解析】 结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及
y＝log3x的图象可知，随着x的增大，增长速度 最快的是y＝3x.
• 【答案】 C
第五页，编辑于星期一：点 四十五分。
• 预习完成后，请把你认为难以解决的问题 记录在下面的表格中
问题1 问题2 问题3 问题4
第八页，编辑于星期一：点 四十五分。
(1)下列函数中随 x 增大而增长速度最快的是( )
A．y＝2 015ln x B．y＝x2 015
C．y＝2
x 015
D．y＝2 015·2x
(2)三个变量 y1，y2，y3 随着变量 x 的变化情况如下表：
第十一页，编辑于星期一：点 四十五分。
• 1．指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大 ，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”． • 2．对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量 的增大，函数值增大的速度越来越慢． • 3．幂函数模型y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对 数增长之间．
B．y2，y1，y3
•
C．y3，y2，y1
D．y1，y3，y2
• 【解析】 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x
越来越大时，函数y＝2 015·2x增长速度最快．
第十页，编辑于星期一：点 四十五分。
• (2)通过指数型函数、对数型函数、幂函数 型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增 长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律 ；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变 化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来 越快，y1随x的变化符合此规律，故选C. • 【答案】 (1)D (2)C
• 图形信息题的求解误区
•
(2014·福建高一检测)如图322，下面的四个容器高
度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，
注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时 间t之间的关系，其中正确的有( )
第二十六页，编辑于星期一：点 四十五分。
•
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
•
【易错分析】 不能准确的从图形中提取信息，不会把水的高度的变化
速度与图象的变化趋势结合起来，是本题的求解误区．
•
【防范措施】 (1)要根据几何体的结构特征判断水面的高度h和时间t之间的
关系，判断h变化速度的快慢．
•
(2)准确把握常见函数模型的增长速度的差异和图象特征：增长速度越来越
快的函数．图象如指数函数图象(下凸型)，增长速度越来越慢的函数，图象如对数
• 3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后 初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来 反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用( )
• A．一次函数
B．二次函数
• C．指数型函数
D．对数型函数
• 【解析】 结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，只
有D选项对数型函数符合题设条件，故选D.
第十九页，编辑于星期一：点 四十五分。
•
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
•
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 015)，g(2 015)的大小．
•
【思路探究】 根据指数函数、幂函数的增长差异进行判断．
•
【解】 (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
增加得越来越慢；上半球恰好相反，所以水的高度增加得越来越快，即图象先
平缓再变陡．
第二十八页，编辑于星期一：点 四十五分。
• 图4正确．图中几何体两头宽，中间窄， 所以水的高度增加，先快后慢，即图象先变陡 再平缓． • 【答案】 C
第二十九页，编辑于星期一：点 四十五分。
• [类题尝试] • 高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图323所示，其底 部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，
合作探究·重难疑点
• 一、三种函数模型的性质
函数性质
y＝ax(a>1)
在(0，＋∞) 上的增减性
单调递增
图象的变化 随x增大逐渐_变_陡__
y＝logax(a>1) 单调递增
随x增大逐渐
_变_缓__
y＝xn(n>0)
单调递增
随n值不同而 不同
第二页，编辑于星期一：点 四十五分。
• 二、三种函数的增长速度的比较
第二十一页，编辑于星期一：点 四十五分。
• 根据图象判断增长函数模型时，通常是根 据函数图象上升的快慢来判断，即随着自变量 的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图 象趋于平缓的函数是对数函数，中间的是幂函 数．
第二十二页，编辑于星期一：点 四十五分。
•
本例中若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7
• ∵y1＜y2，∴应选择方案二处理污水． • (2)当x＝6 000时，y1＝114 000，y2＝108 000， • ∵y1＞y2，∴应选择方案一处理污水．
第十八页，编辑于星期一：点 四十五分。
• 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如下图321所示，设两函数的 图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
，8，9，10，11，12}，指出a、b的值，并说明理由．
•
【解】 a＝1，b＝9.理由如下：
•
令φ(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x3，则x1，x2为函数φ(x)的零点．由于φ(x)在[1，
13]上为连续函数，φ(1)＝1>0，φ(2)＝－4<0，φ(9)＝29－93<0，φ(10)＝210－103>0
第九页，编辑于星期一：点 四十五分。
x
1
3
5
7
y1
5
135
625
1 715
y2
5
29
245
2 189
y3
5
6.10
6.61
6.95
9 3 645 19 685 7.2
11 6 655 177 149 7.4
• 则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化 的变量依次为( )
•
A．y1，y2，y3
•
【解】 (1)设工厂每月生产x件产品时，方案一的利润为y1元，方案二的利润为y2
元，由题意知
•
y1＝(50－25)x－2×0.5x－30 000＝24x－30 000，
•
y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.
•ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当x＝3 000时，y1＝42 000，y2＝54 000，
第十七页，编辑于星期一：点 四十五分。
，所以函数φ(x)＝f(x)－g(x)的两个零点x1∈[1，2]，x2∈[9，10]．因此，a＝1，b
＝9.
第二十三页，编辑于星期一：点 四十五分。
•
1．常见的函数模型及增长特点．
•
(1)直线y＝kx＋b(k＞0)模型，其增长特点是直线上升；
•
(2)对数函数y＝logax(a＞1)模型，其增长缓慢；
第十二页，编辑于星期一：点 四十五分。
• 某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励 招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖
励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加
，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励
模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要 求？