概率论与数理统计：第二章4,5节,二维离散型

i, j 1, 2, , 为二维随机向量 X,Y 的联合概率
函数或联合分布律.
（X，Y）的分布律须满足下列条件：
1 pij 0 2 pij 1
ij
• （X，Y）的联合分布律可用表格表示：
Y X
a1 a2
b1 b2
P11 p12 P21 p22
b3
…
p13 … p23 …
bn
…
p1n
…
p2n
j
Y 值域为 Y b1,b2, ，则 Y 的边缘
概率函数或边缘分布（律）为
P Y bj
pij
p
，
j
j 1, 2,
i
可在联合分布律的表上增加一行一列得到X
和Y的边缘分布律。
.
X Y b1
a1
P11
a2
P21
b2 b3
…
p12 p13 … p22 p23 …
bn
… Pi.
p1n … P1. p2n … P2.
Y 本身是一个（一维）随机变量，它的概
率分布称为 X,Y 的关于 X 或Y 的边缘
概率函数(或边缘分布律)。
设随机向量 X,Y 的联合分布为
P X ai ,Y bj pij ， i, j 1, 2, ，
X 的值域为 X a1, a2, ，则 X 的边缘
概率函数为
P X ai pij pi ， i 1, 2, ；
类似对任意 一个固 定的 i ， P X ai 0 ，
i 1, 2,
称
P Y bj X ai
pij ， j 1, 2, pi
为已知X ai 发生的条件下Y 的条件概率函
数或条件分布（律）。记作Y X ai 。
条件分布也是分布，易知 pij 或 pij 满足 p j pi
（1） pij 0 ； pij 0 ；
pi
pj
（2） pij 1； pij 1。
i pj
j pi
例 5．一整数 X 随机地在 1、2、3、4 四个整数中取一个值，另一个整数Y 随机 地在 1 至 X 之间取一个值。 求（1）X，Y 的联合分布律及边缘分布律；
（2）X、Y 的条件分布律( X Y 1 )，
(Y X 3)。
例 6．设 X 与Y 的联合概率函数如下表
样本点 ，有一对有序实数 X,Y 与它
对应，那么称向量 X,Y 为二维随机向
量（或二维随机变量）。
如果一个二维随机向量只可能取有 限个或可列个点，则称其为二维离散型 随机向量。
设（X，Y）的值域为
X ,Y ai,bj : i 1, 2, , j 1, 2,
称
P X ai ,Y bj P X ai Y bj pij
X Y b1 b2
（Ｘ，Ｙ）的分布
a1 0.1 x
律见表，已知
a2 y
0.4
p(X=a2|Y=b2)=2/3,
求x,y的值．
由X+y+0.1+0.4=1,→ x+y=0.5
p(X=a2|Y=b2)= 0.4/(x+0.4)
= 2/3,
→ x=0.2, y=0.3
§2．5 随机变量的独立性与条件分布
一、第二次取到的球上标有的数字， 1
2
求（1）X,Y 的联合分布律；
3
0
1/6 1/12
1/6 1/6 1/6
1/12 1/6 0
（2）概率值 P X Y 。
（2）P（X=Y）=1/6
例 2（教材 P41，例 2.6） 一口袋中有 5 个 球球，4 个红的、1 个白的。无放回（有放回）抽
样样，接连摸两次，每次 1 个，
为 P X ai ,Y bj pij ， i, j 1, 2, ， 对任意一个固定的 j ，P Y bj 0 , j 1, 2, ，
称
P X ai Y bj
pij ， i 1, 2, pj
为已知 Y bj 发生的条件下 X 的条件概率
函数或条件分布（律）。记作 X Y bj 。
，
m 0,1, 2, , n ； n 0,1, 2, 。试求边缘分布、
条件分布 P X n Y m 、 PY m X n 。
例8. （见教材P47例2.9.）某地公安机 关经调查后发现，交通事故由自行车造成 的(X=1)占1/2,由汽车造成的(X=2)占1/3,由 其它原因造成的(X=３)占1/6.
由自行车造成的引起轻伤(Y=1)占1/2, 引起重伤(Y=2)与死亡(Y=3)各占1/4,由汽车 造成的引起轻伤,重伤与死亡分别为 1/4,1/4,1/2,由其它原因造成的引起轻伤,重 伤与死亡的比例相同．求Ｘ，Ｙ的联合概 率函数．
把已知条件用分布律表示：
X 12 3 P 1/2 1/3 1/6
Y|X=1 1 2 3
一 、 随机变量的独立性
定义 2.3 设随机变量 X 与Y 的联合
概 率 函 数 为 P X ai ,Y bj pij ，
i, j 1, 2, 如果
pij pi p j 对一切 i, j 1, 2, 成立，那么就称随机变
量 X 与Y 相互独立。
例 2 中，在有放回抽样时，随机变量 X 与Y 是相互独立的，而在无放回抽样时随机 变量 X 与Y 不独立。
如何判断两个随机变量不相互独立？
如果存在某一点（xi,y j)，pi. ×p. j≠pij, 则X，Y不独立。
由定义可知如果随机变量 X 与Y 相 互独立，那么由边缘分布可以决定联合 分布。
定理 2.2 随机变量 X 与Y 相互独立的充分 必要条件是：对实数轴上任意两个集合 S1 、
S2 总有
P X S1,Y S2 P X S1 PY S2 。
…
…………
…
am
Pm1 pm2 pm3 …
…………
…
p.j
p.1 p.2 p.3 …
pmn… Pn.来自p.n …例 2 中，分别在有放回和无放回的情况下 求 X 、Y 的边缘概率函数
上例的联合分布不同，但边缘分布 相同，说明由联合分布可以决定边缘分 布，但反之不然。
例3.（教材P43例2.7）
设二维随机变量
P
1/2 1/4 1/4
Y|X=2 1 2 3
P
Y|X=3 1 2 3
P
1/3 1/3 1/3
1/4 1/4 1/2
…
…………
…
am
Pm1 pm2 pm3 …
…………
pmn
…
…
利用联合概率函数，可求任意随机事件的
概率：
P X,Y D
P X ai ,Y bj pij
ai ,bj D
i, j
例1． 一口袋中有 4 个球，依次标 有数字 1，2，2，3。从袋中不放回 • 解：（1）
地依次取二球， 以 X 、Y 分别记第 X Y 1 2 3
第二章
§2．4 两维随机向量及其分布
1、联合概率函数 2、边缘概率函数
例如，新生入学体检有两个指标：身高与 体重,对每个学生进行一次测量，其结果就对应
一组有序数 X,Y ；
战士打靶的弹着点的位置可由平面上的点
的坐标 X,Y 来表示。
一 联合概率函数
定义 2.2 给定一个随机试验， 是它的样本空间。如果对 中的每一个
记
X
1 0
第一次取到红球 ， 第一次取到白球
1 Y 0
第二次取到红球 ， 第二次取到白球
试求：（1）X 与Y 的联合概率函数；（2）P X Y 。
• 1）无放回
• 2）有放回
XY0
1
0
0
1/5
1
1/5 3/5
XY 0
0
1/25
1
4/25
1 4/25 16/25
二 边缘概率函数
对于二维随机向量 X,Y ，分量 X 或
所示，求条件分布Y X 2 ， X Y 1。
Ｙ Ｘ
-1
1
2
0 10 3
12
12
32 1 1
2 12 12 12
2 3 10 12 12
例 7．以 X 记某医院一天诞生的婴儿的个数， 以Y 记其中男婴的个数，设 X 和Y 的联合分 布为
PX
n,Y
m
e14 7.14m 6.86nm m!n m!
定理 2.2 可以推广到 n 个随机变量的相互独 立性上去。因此，当 X1, X 2 , , X n 相互独立时， 这 n 个随机变量中的任意 k 个也是相互独立的 （ 2 k n 1）。
特殊地，n 个随机变量相互独立保证它们两 两独立。
二 、 条件概率函数
定义 2.5 设随机向量 X ,Y 的联合分布