浅谈拉格朗日中值定理的几种证明方法

㊀㊀㊀㊀㊀１５０㊀浅谈拉格朗日中值定理的几种证明方法

浅谈拉格朗日中值定理的几种证明方法Һ王建云㊀

全宏波㊀赵育林㊀（湖南工业大学理学院，湖南㊀株洲㊀４１２００７）

㊀㊀ʌ摘要ɔ拉格朗日中值定理建立了函数值与导数之间的定量关系，是研究函数区间性质的重要理论工具．本文介绍了拉格朗日中值定理的几种证明方法，如利用罗尔定理㊁作差法㊁常数ｋ值法㊁行列式法㊁坐标旋转法㊁积分法等．

ʌ关键词ɔ拉格朗日中值定理；辅助函数；证明

ʌ基金项目ɔ湖南省自然科学基金面上项目（２０１９ＪＪ４００６８）；湖南省普通高校课程思政建设研究项目（ＨＮＫＣＳＺ－２０２０－０３７６）．

一㊁引㊀言

拉格朗日中值定理为微分学中的基本定理之一，是法国数学家拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）在其著作‘解析函数论“中提出的，并给出了初步的证明．拉格朗日中值定理能够将函数与其导数联系起来，反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系，是分析和讨论函数在区间上具有某些性质的重要方法，在微分中值定理中处于核心地位．关于拉格朗日中值定理的证明，有一些文献也进行了相关的讨论和研究．为了帮助学生加深对拉格朗日中值定理的理解，更好地掌握该定理的精髓及应用技巧，本文对证明拉格朗日中值定理时辅助函数的构造进行探讨，这也是证明该定理的一个关键点．

二㊁拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日中值定理：若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，在开区间（ａ，ｂ）内可导，则至少存在一点ξɪ（ａ，ｂ），使得

ｆᶄ（ξ）＝

ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）

ｂ－ａ

．

（一）利用罗尔定理

当函数ｆ（ｘ）满足条件ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）时，拉格朗日中值定理就是罗尔定理，表明罗尔定理为拉格朗日中值定理的一种特殊形式．因此对拉格朗日中值定理作适当变形，就可以利用罗尔定理来证明．

证明：作辅助函数

Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－

ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）

ｂ－ａ

ｘ，

显然，Ｆ（ｘ）满足罗尔定理的条件，则至少存在一点ξɪ

（ａ，ｂ），使得

Ｆᶄ（ξ）＝ｆᶄ（ξ）－

ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）

ｂ－ａ

＝０，

即

ｆᶄ（ξ）＝

ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）

ｂ－ａ

．

（二）作差法证明：作辅助函数

Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）＋

ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）

ｂ－ａ

（ｘ－ａ）[

]

，

显然有Ｆ（ａ）＝Ｆ（ｂ）＝０，且Ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内可导．由罗尔定理可知，至少存在一点ξɪ（ａ，ｂ），使得

Ｆᶄ（ξ）＝ｆᶄ（ξ）－

ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）

ｂ－ａ

＝０，

即

ｆᶄ（ξ）＝

ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）

ｂ－ａ．

（三）常数ｋ值法

证明：将拉格朗日中值定理的结论变形为

ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）－ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ）＝０，

则存在一个常数ｋ，使得

ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）－ｋ（ｂ－ａ）＝０，

作辅助函数

Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）－ｋ（ｘ－ａ），

显然有Ｆ（ａ）＝Ｆ（ｂ），且Ｆ（ｘ）满足罗尔定理的另外两

个条件．故至少存在一点ξɪ（ａ，ｂ），使得

Ｆᶄ（ξ）＝ｆᶄ（ξ）－ｋ＝０，

即

ｋ＝ｆᶄ（ξ），

因此

ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）－ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ）＝０，

即

ｆᶄ（ξ）＝

ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）

ｂ－ａ．

（四）行列式法

拉格朗日中值定理结论中的表达式ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）和ｂ－ａ，

㊀㊀㊀１５１

㊀㊀可以分别用行列式表示为ｆ（ｂ）１ｆ（ａ）１

和

ｂ１ａ

１

，由此可构

造辅助函数

Ｆ（ｘ）＝

ｆ（ｘ）

ｘ１ｆ（ｂ）ｂ１ｆ（ａ）

ａ１

，证明：由行列式的性质可知Ｆ（ａ）＝Ｆ（ｂ），且Ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续和可导，即满足罗尔定理的条件．因此至少存在一点ξɪ（ａ，ｂ），使得Ｆᶄ（ξ）＝０，即

Ｆᶄ（ξ）＝

ｆᶄ（ξ）

１０

ｆ（ｂ）ｂ１ｆ（ａ）

ａ

１

＝ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ）－ｆ（ｂ）＋ｆ（ａ）＝０，因此

ｆᶄ（ξ）＝

ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）

ｂ－ａ

．

（五）坐标旋转法

证明：首先引入坐标旋转变换

ｘ＝Ｘｃｏｓα－Ｙｓｉｎα，ｙ＝Ｘｓｉｎα＋Ｙｃｏｓα．

{

因为其系数行列式

ｃｏｓα－ｓｉｎαｓｉｎα

ｃｏｓα

＝ｃｏｓ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘ＝１ʂ０，

所以存在其逆变换为

Ｘ＝ｘｃｏｓα＋ｙｓｉｎα，Ｙ＝－ｘｓｉｎα＋ｙｃｏｓα，

{

即

Ｘ（ｘ）＝ｘｃｏｓα＋ｆ（ｘ）ｓｉｎα，Ｙ（ｘ）＝－ｘｓｉｎα＋ｆ（ｘ）ｃｏｓα．

{

当α＝ａｒｃｔａｎ

ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）

ｂ－ａ

时，Ｙ（ａ）＝Ｙ（ｂ），又Ｙ（ｘ）在［ａ，

ｂ］上连续且在（ａ，ｂ）内可导，所以由罗尔定理可知，至少存在一点ξɪ（ａ，ｂ），使得

Ｙᶄ（ξ）＝－ｓｉｎα＋ｆᶄ（ξ）ｃｏｓα＝０，

所以

ｆᶄ（ξ）＝

ｓｉｎα

ｃｏｓα

＝ｔａｎα，即

ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）

ｂ－ａ

．

（六）积分法

证明：构造辅助函数Ｆ（ｘ）＝

ʏ

ｘａ

［ｆᶄ（ｔ）（ｂ－ａ）－（ｆ（ｂ）－ｆ（ａ））］ｄｔ，其中ｘɪ［ａ，ｂ］，

由积分的性质可知

Ｆᶄ（ｘ）＝ｆᶄ（ｘ）（ｂ－ａ）－［ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）］，

显然满足Ｆ（ａ）＝Ｆ（ｂ）＝０，且Ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，在区间（ａ，ｂ）上可导．由罗尔定理可知，至少存在一点ξɪ（ａ，ｂ），使得Ｆᶄξ()＝０，即

ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ）－ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）[]＝０，

因此

ｆᶄ（ξ）＝

ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）

ｂ－ａ

．

三㊁结㊀语

通过上述讨论可知，证明拉格朗日中值定理的关键是构造一个辅助函数，且其构造的方法灵活多变．在学习的过程中同学们要积极探究，善于思考和运用学过的知识，将冰冷的数学理论变得火热，将枯燥的数学证明变得有趣．

ʌ参考文献ɔ

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习与研究，２０１７（０５）：６－７．

［２］龚友运．从几何现象到理论证明：关于微分中值定理的证明［Ｊ］．教育教学论坛，２０１２（０５）：１９８－２００，１９１．

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