高数下期末考试试卷与答案

⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯名⋯姓⋯
⋯
⋯
⋯
．
⋯号
⋯学⋯
⋯
线
封号
序密
过
超号
班要学
教不
纸题卷
试答
⋯学⋯大
．峡三
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
2021学年春季学期
"高等数学Ⅰ〔二〕"期末考试试卷〔A〕
注意：1、本试卷共3页；2、考试时间110 分钟； 3 、**、学号必须写在指定地方
题号一二三四总分
得分
阅卷人得分
一、单项选择题〔 8 个小题，每题 2 分，共 16 分〕将每题的正确答案的代号 A、
B、 C 或 D 填入下表中．
题号12345678
答案
1．a与b都是非零向量，且满足a b a b ，那么必有〔〕.
(A) a b0(B) a b0(C) a b0(D) a b 0
2.极限lim( x2y 2 )sin1
2
().
x0x2y
y0
(A) 0(B) 1(C) 2(D) 不存在
3．以下函数中，df f 的是().
〔 A 〕f ( x, y)xy〔B 〕f ( x, y)x y c0 , c0为实数
〔 C〕f (x, y)x2y2〔 D〕f ( x, y)e x y
4．函数f ( x, y)xy (3x y) ，原点 (0,0)是 f (x, y) 的().
〔 A〕驻点与极值点〔 B〕驻点，非极值点
〔 C〕极值点，非驻点〔 D〕非驻点，非极值点
5 ．设平面区域D : (x 1)2( y1)22，假设I1x y d， I 2
x y
d ，
D4D4
3x y d，那么有
〔〕 .
I 3
4
D
〔A〕
I1I 2I 3〔B〕I1I 2I 3〔C〕I2I 1I 3〔D〕I3I1 I2
6．设椭圆L：
x
2y 21的周长为l，那么(3x2 4 y2 )ds〔〕 .
43L
(A) l(B)3l(C)4l(D)12l
7．设级数a n为交织级数， a n0(n) ，那么〔〕 .
n1
(A) 该级数收敛(B) 该级数发散
(C) 该级数可能收敛也可能发散(D) 该级数绝对收敛
8. 以下四个命题中，正确的命题是〔〕 .
〔 A 〕假设级
数a n发散，那么级数a n2也发散
n 1n 1
〔 B〕假设级
数
a n2发散，那么级
数a n也发散
n 1n 1
〔 C〕假设级
数
a n2收敛，那么级
数a n也收敛
n 1n 1
〔 D〕假设级
数
| a n |收敛，那么级
数a n2也收敛
n 1n 1
阅卷人得分
二、填空题 (7 个小题，每题 2 分，共 14 分) ．
1. 直线
3x 4 y2z60
a 为.
x3y z a
与 z 轴相交，那么常数
2．设
f ( x, y)ln( x
y
),那么 f y (1,0)___________.
x
3．函数f (x, y)x y 在 (3, 4) 处沿增加最快的方向的方向导数为.
4．设D : x2y22x ，二重积分( x y)d=.
D
5f x2222在
是连续函数，{( x, y ,z) | 0z9x y } ， f ( x y )dv
．设
的三次积分为.
6. 幂级数( 1)n 1 x n的收敛域是.
n 1
n!
7. 将函数 f ( x)
1,x0
为周期延拓后，其傅里叶级数在点
x2,0 x
以 2
1
于.
2021年"高等数学Ⅰ〔二〕"课程期末考试试卷 A 共 3 页第1 页
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯名⋯姓⋯
⋯
⋯
⋯
．
⋯号
⋯学⋯
⋯
线
封号
序密
过
超号
班要学
教不
纸题卷
试答
⋯学⋯大
．峡三
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
阅卷人得分
三、综合解答题一〔 5 个小题，每题7分，共35分，解答题应写出文字说明、
证明过程或演算步骤〕
1．设 u xf ( x,
x
) ，其中 f 有连续的一阶偏导数，求u，
u
．
y x y
解：
2．求曲面 e z z xy 3 在点 (2,1,0) 处的切平面方程及法线方程．
解：
3. 交换积分次序，并计算二次积分dx
sin y
dy ．
0x y
解：
4．设是由曲面z xy, y x, x 1及z0 所围成的空间闭区域，求 I xy2 z3dxdyd
解：
5．求幂级数
nx
n 1的和函数 S(x) ，并求级数n的和．
n 1n 1
2n
解：
2021年"高等数学Ⅰ〔二〕"课程期末考试试卷 A 共 3 页第2 页
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯名⋯姓⋯
⋯
⋯
⋯
．
⋯号
⋯学⋯
⋯
线
封号
序密
过
超号
班要学
教不
纸题卷
试答
⋯学⋯大
．峡三
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
阅卷人得分
四、综合解答题二〔 5 个小题，每题7分，共35分，解答题应写出文字说明、
证明过程或演算步骤〕
1.从斜边长为 1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．
解
2．计算积分( x2y2 )ds ，其中L为圆周 x2y2ax (a0 )．
L
解：
3．利用格林公式，计算曲线积分I(x2y2)dx (x 2xy)dy ，其中 L 是由抛物线y x2和
L
x y2所围成的区域D的正向边界曲线．
y y x2
x y2
D
Ox
4．计算xdS ，为平面xy z 1在第一卦限局部.
解：
5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分蝌dxdy + dydz + dzdx，
S
其中为圆锥面 z2x2y2介于平面z0 及 z 1 之间的局部的下侧.
解：
2021年"高等数学Ⅰ〔二〕"课程期末考试试卷 A 共 3 页第3 页
2021学年春季学期
"高等数学Ⅰ〔二〕"期末考试试卷 (A)
答案及评分标准
一、单项选择题〔 8 个小题，每题 2 分，共 16 分〕
题号 1
2
3
4
5
6 7 8
答案
D
A
B
B A D C
D
1．a 与b 都是非零向量，且满足 a
b a b ，那么必有
〔 D
〕
(A) a b
0 ；
(B)
a b 0 ；(C)
a b
0；(D)
a b
0 ．
2. 极限lim( x 2
y 2 )sin
2 1 2 ( A )
x 0
x y
y
(A) 0 ；
(B) 1
；
(C) 2
；
(D)
不存在 .
3．以下函数中，df f 的是(
B )；
〔 A 〕 f ( x, y) xy ；
〔B 〕f (x, y) x y
c 0 ,c 0为实数；
〔 C 〕f (x, y)
x
2
y 2
；
〔 D 〕f ( x, y)
e x
y .
4．函数f ( x, y) xy (3 x
y) ，原点 (0,0) 是 f (x, y) 的( B
).
（ A 〕驻点与极值点；〔B 〕驻点，非极值点；
（ C 〕极值点，非驻点； 〔 D 〕非驻点，非极值点 . 5 ．设 平 面 区 域 D ：( x 1)2
( y 1)2
2，假设I 1
x y
d ，I 2
x y
d ，
D
4
D 4
3
x
y
，那么有〔 A 〕
I 3
d
D
4
〔A 〕I 1 I 2 I 3； 〔B 〕 I 1 I 2 I 3；
〔C 〕I 2 I 1 I 3；
〔D 〕I 3I 1I 2． 6．设椭圆L ：
x 2
y 2
1的周长为l ，那么
(3x
2
4 y 2
)ds 〔 D
〕
4
3
L
(A) l ；
(B)
3l ；
(C)
4l ；
(D) 12l ．
7．设级数
a n 为交织级数， a n 0 ( n
) ，那么
〔
C
〕
n 1
(A) 该级数收敛； (B) 该级数发散；
(C) 该级数可能收敛也可能发散； (D)
该级数绝对收敛． 8. 以下四个命题中，正确的命题是〔 D 〕 〔 A 〕假设级
数 a n 发散，那么级数 a n 2 也发散；
n 1
n 1
〔 B 〕假设级数 a n 2
发散，那么级 a n 也发散；
数
n 1
n 1
〔 C 〕假设级数 a n 2收敛，那么级
数
a n 也收敛； n 1
n 1
〔 D 〕假设级数 | a n |收敛，那么级
数
a n 2也收敛．
n 1
n 1
二、填空题 (7 个小题，每题 2分，共 14 分)．
1. 直线
3x 4 y 2z 6 0 与 z 轴相交，那么常
数
a 为
3。

x 3y
z a
2．设
f ( x, y)
ln( x
y
),那么 f y
(1,0)
_______1_____
x
3．函数f (x, y)
x
y 在 (3, 4) 处沿增加最快的方向的方向导数为 2
4．设D : x 2
y 2
2x ，二重积分
( x
y)d =
．
D
5．设f
x 是连续函数，
{( x, y ,z) | 0
z 9 x 2
y 2 } ，
f ( x 2 y 2 )dv 在
2 3
9
2
2
)dz
f ( 的三次积分为
d
d
6. 幂级数
( 1)n 1 x n 的收敛域是
(
, )
.
n 1
n!
7. 函数 f ( x)
1 ,
x 0 ，以 2
为周期延拓后，其傅里叶级数在点
1 x
2
,
0 x
2
2
.
三、综合解答题一〔 5 个小题，每题7 分，共 35 分 .解答题应写出文字说明、证明
算步骤〕
1．设 u
xf (x , x
) ，其中 f 有连续的一阶偏导数，求
u ， u ．
y
x
y
解：
u
f
xf 1
x f 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
x
y
u x 2 f 2
.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
y
y
2
2．求曲面 e z
z xy
3 在点 (2,1,0) 处的切平面方程及法线方程．
解：令 F x, y , z e
z
z
xy
3
，⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2 分
n (F x , F y , F z )
( y, x,e z
1)，n
(2,1,0)
(1,2,2) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分 所以在点 (2,1,0)
处的切平面方程为 (x
2) 2( y 1) 2z 0 ，
2021年"高等数学Ⅰ〔二〕"课程期末考试试卷
A 共 3 页第4 页
即 x 2y 2 z 4
0 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
法线方程为
x
2 y 1 z . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
1 2
2
3. 交换积分次序，并计算二次积分
0 dx
sin y dy ；
x
又最大周长一定存在，故当 x y
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
时有最大周长 .
2
2．计算积分(x
2
y 2 )ds ，其中L 为圆周 x
2
y
2
ax (a 0)．
L
y
解：
dx
sin y dy =
dy
y
sin y
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
dx
x
y
y
解： L 的极坐标方程为
a cos ，
2
2
那么 ds 2 ( )2
d ad ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
；⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分
= sin ydy 2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
4．设是由曲面z xy, y x, x 1及z 0 所围成的空间区域，求 I
xy 2 z 3dxdydz
解：注意到曲面
z xy 经过x 轴、 y 轴，⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
={( x, y, z) : 0 z
xy,0 y
x,0 x 1} ⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
所以( x 2
y 2 )ds
2
2
ad
2
a 3 cos 2 d
L
2
2
或解： L 的形心(x , y)
( a
,0) ，L 的周长 a ，
2
( x 2 y 2 )ds =
axds =ax a = a 3
L
L
2
a 3
2
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分
故 I
1
x xy
2z
3
dz =
1
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
xy 2 z 3
dxdydz
dx dy xy 0
3．利用格林公式，计算曲线积分I(x 2y 2)dx
L
(x 2xy)dy ，其中 L 是
364
5．求幂级数
n 1
nx
n 1
的和函数 S(x) ，并求级数
n
的和．
n 1 2
n
解： S(x)
nx n 1 ， S(0) 1，
n 1
由的马克劳林展式：
1
x n
,| x | 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
1 x
n 1
有 S(x)
( x
n
) ( 1 1) =
1 ， | x | 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
x)2
n 1
1 x
(1
n = 1 n = 1 S( 1
) =2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
n 1 2n 2 n 1 2n 1
2 2
四、综合解答题二〔 5 个小题，每题 7 分，共 35 分 .解答题应写出文字说明、证明过程或演
算步骤〕
1. 从斜边长为 1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．
解 设两个直角边的边长分别为
x ，y ，那么 x 2
y 2
1 ，周长 C x y 1，
需求 C x
y 1 在约束条件 x 2
y
2
1 下的极值问题． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2 分
设拉格朗日函数 L ( x , y , )
x
y 1
( x 2 y 2 1
F x
1 2 x 0 , 令 F y
1 2 y 0 ,
x 2 y 2
1,
解方程组得 x
y
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
为唯一驻点，
2
由抛物线 y x 2和 x
y 2所围成的区域D 的正向边界曲线．
解： I
L
(x 2 y 2
)dx (x 2xy)dy
y
y
dxdy
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
D
1
x
D
d**
2
dy
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
O
3
4．计算
xdS ， 为平面 x
y z
1在第一卦限局部.
解：
在 xoy 面上的投影区域为
D
xy :
x y 1( x 0, y
0) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯
x
x2y
2021年"高等数学Ⅰ〔二〕"课程期末考试试卷 A 共 3 页第5 页
蝌 dxdy + dydz + dzdx ＝0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
S + D
故
dxdy + dydz + dzdx
蝌
S
＝ - 蝌 dxdy + dydz + dzdx
D
＝dxdy =⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分
{ x2y2 1}
2021年"高等数学Ⅰ〔二〕"课程期末考试试卷 A 共 3 页第6 页。