2011年100份全国中考数学真题汇编：第38章尺规作图

2011年100份全国中考数学真题汇编：第38章尺规作图第
38章 尺规作图
一、选择题
1. （2011浙江绍兴，8，4分）如图，在ABC ∆中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点,M N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD .若ADC ∆的周长为10，7AB =，则ABC ∆的周长为（ ）
A.7
B.14
C.17
D.20
A B
[来源:]
【答案】C
2.
3.
4.
5.
6. [来源:学*科*网]
7.
8.
9.
10．
二、填空题
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10．
三、解答题
1.（2011江苏扬州，26,10分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，∠B AC的角平分线AD交BC边于D。

（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
2, 求线段BD、BE与（2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD=3
劣弧DE所围成的图形面积。

（结果保留根号和 ）
【答案】（1）如图，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆。

判断结果：BC 是⊙O 的切线。

连结OD 。

∵AD 平分∠BAC ∴∠DAC=∠DAB
∵OA=OD ∴∠ODA=∠DAB[来源:学_科_网Z_X_X_K]
∴∠DAC=∠ODA ∴OD ∥AC ∴∠ODB=∠C
∵∠C=90º ∴∠ODB=90º 即：OD ⊥BC
∵OD 是⊙O 的半径 ∴ BC 是⊙O 的切线。

(2) 如图，连结DE 。

设⊙O 的半径为r ，则OB=6-r ，
在Rt △ODB 中，∠ODB=90º，
∴ 0B 2=OD 2+BD 2 即：(6-r)2= r 2+(32)2
∴r=2 ∴OB=4 ∴∠OBD=30º，∠DOB=60º
∵△ODB 的面积为3223221=⨯⨯，扇形ODE 的面积为ππ3
22360602=⨯⨯ ∴阴影部分的面积为32—π32。

2. （2011山东滨州，23，9分）根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC 恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：∠A 与∠B 有怎样的数量关系时才能完成以上作图？并举例验证猜想所得结论。

（1）如图①△ABC 中，∠C=90°，∠A =24°
①作图：
②猜想：
③验证：
（2）如图②△ABC 中，∠C =84°，∠A =24°.
①作图：
②猜想：
C
B A
（第23题图①） （第23题图②） C
B
A
③验证：
【答案】
(1)①作图：痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作∠ACD=∠A(或∠BCD=∠B)两类方法均可，
在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求………………2分
②猜想：∠A+∠B=90°，………………4分
③验证：如在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°时，有∠A+∠B=90°，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。

………………5分
（2）答：①作图：痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作∠ACD=∠A 或在线段CA上截取CD=CB三种方法均可。

在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求………………6分
②猜想：∠B=3∠A………………8分
③验证：如在△ABC中，∠A=32°，∠B=96，有∠B=3∠A，此时就能找到一条把△ABC 恰好分割成两个等腰三角形的直线。

………………9分
3. （2011山东威海，20，8分）我们学习过：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫旋转中心．
（1）如图①，△ABC≌△DEF，△DEF能否由△ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由．图①
（2）如图②，△ABC≌△MNK，△MNK能否由△ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由．
（保留必要的作图痕迹）
图①图②
O就是所求作的旋转中心．
【答案】解：（1）能，点
1
图①图②
O就是所求作的旋转中心．
（1）能，点
2
4. （2011浙江杭州，18，6）四条线段a，b，c，d如图，a：b：c：d＝1：2：3：4．(1)选择其中的三条线段为边作一个三角形(尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作
法)；
(2)任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率．
【答案】(1)只能取b,c,d三条线段，作图略
(2) 四条线段中任取三条共有四种等可性结果：（a，b，c），（a，b，d），（a，c，d），（b，c，d），其中能组成三角形的只有（b，c，d），所以以它们为边能作出三
角形的概率是1
4
．
5. （2011四川重庆，20，6分）为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广
场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉M、位置．(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图)
【答案】
6. （2011甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C。

（1）请完成如下操作：
①以点O 为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D 的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD 、CD 。

（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：
①写出点的坐标：C 、D ；
②⊙D 的半径= （结果保留根号）；
③若扇形ADC 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为 （结果保留π）；
④若E （7，0），试判断直线EC 与⊙D 的位置关系并说明你的理由。

【答案】（1）
（2）
① C （6，2），D （2，0）
②
③54
④相切。

理由：∵
CD=
DE=5
∴CD 2+CE 2=25=DE 2
∴∠DCE=90°即CE ⊥CD
∴CE 与⊙D 相切。

7. （ 2011重庆江津， 23，10分）A 、B 两所学校在一条东西走向公路的同旁,以公路所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系,且点A 的坐标是(2,2),点B 的坐标是(7,3).
(1)一辆汽车由西向行驶,在行驶过程中是否存在一点C,使C 点到A 、B 两校的距离相等,如果有?请用尺规作图找出该点,保留作图痕迹,不求该点坐标.
(2)若在公路边建一游乐场P,使游乐场到两校距离之各最小,通过作图在图中找出建游乐场的位置,并求出它的坐标.
【答案】(1)存在满足条件的点C: 作出图形，如图所示，作图略；
（2）作出点A 关于x 轴的对称点A /(2,-2), 连接A /B ，与x 轴的交点即为所求的点P. .A(2, 2)
.B(7, 3) y O
x 第23题图
设A /B 所在的直线的解析式为： y=kx+b, 把A /(2,-2), B(7,3)分别代入得：[来源:学科网]
⎩⎨⎧-=+=+2237b k b k 解得：⎩⎨⎧-==4
1b k ·
所以： y=x-4·
当y=0时，x=4,所以交点P 为（4，0）·[来源:学科网]
8. (2011重庆綦江，19，6分)为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一
个医疗点P ，使P 到该镇所属A 村、B 村、C 村的村委会所在地的距离都相等(A 、B 、C 不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P 的位置. 要求: 写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．
解：已知：
求作：
【答案】：解：已知：A 、B 、C 三点不在同一直线上.
求作：一点P ，使PA ＝PB ＝PC.
(或经过A 、B 、C 三点的外接圆圆心P )
正确作出任意两条线段的垂直平分线，并标出交点P
9. (2011江苏南京，27，9分)如图①，P 为△ABC 内一点，连接PA 、PB 、PC ，在△PAB 、
△PBC 和△PAC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．
⑴如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ACB ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点．
⑵在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ．
①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数． 【答案】解：⑴在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 上的中线，∴
1
2
CD AB ，∴CD=BD ．
∴∠BCE ＝∠ABC ．∵BE ⊥CD ，∴∠BEC ＝90°，∴∠BEC ＝∠ACB ．∴△BCE ∽△ABC ． ∴E 是△ABC 的自相似点． ⑵①作图略．
作法如下：（i ）在∠ABC 内，作∠CBD ＝∠A ；
B
B
B
C
C C
①
② ③
(第27题)
（ii ）在∠ACB 内，作∠BCE ＝∠ABC ；BD 交CE 于点P ．[来源:Z*xx*] 则P 为△ABC 的自相似点．
②连接PB 、PC ．∵P 为△ABC 的内心，∴
12PBC ABC ∠=∠，1
2
PCB ACB ∠=∠． ∵P 为△ABC 的自相似点，∴△BCP ∽△ABC ． ∴∠PBC ＝∠A ，∠BCP ＝∠ABC=2∠PBC =2∠A ，
∠ACB ＝2∠BCP=4∠A ．∵∠A+∠ABC+∠ACB ＝180°． ∴∠A+2∠A+4∠A ＝180°．
∴1807A ∠= ．∴该三角形三个内角的度数分别为1807 、3607 、7207
．
10．（2011江苏无锡，26，6分）(本题满分6分)如图，等腰梯形MNPQ 的上底长为
2，腰长为3，一个底角为60°。

正方形ABCD 的边长为1，它的一边AD 在MN 上，且顶点A 与M 重合。

现将正方形ABCD 在梯形的外面沿边MN 、NP 、PQ 进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q 重合即停止滚动。

[来源:]
(1)请在所给的图中，用尺规画出点A 在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图； (2)求正方形在整个翻滚过程中点A 所经过的路线与梯形MNPQ 的三边MN 、NP 、
PQ
所围成图形的面积S 。

【答案】解：(1)如右图所示．……………………(3分)
(2)S = 2[14π·12 + 14π·(2)2 + 1 + 150
360π·12]
= 7π
3 + 2．………………………(6分)[来源:学科网ZXXK]
B
A (M )
D C N
P
Q
11. （2011重庆市潼南,19,6分）画△ABC,使其两边为已知线段a 、b ，夹角为β.
（要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不
写作法）. 已知：
求作：
【答案】已知：线段a 、b 、角β -------------1分
求作：△ABC 使边BC=a ，AC= b ，∠C=β ------------2分 画图（保留作图痕迹图略） --------------6分
12. （2011湖北宜昌，23，10分）如图1,Rt△ABC 两直角边的边长为AC = 1，BC =2.
(1) 如图2, ⊙O 与Rt△ABC 的边AB 相切于点X ，与边CB 相切于点Y.请你在图2 中作出并标明⊙O 的圆心0；(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)
(2) P 是这个Rt△ABC 上和其内部的动点，以P 为圆心的⊙P 与Rt△ABC 的两条边相切.设⊙P 的面积为S ，你认为能否确定S 的最大值？ 若能，请你求出S 的最大值；若不能，请你说明不能确定S 的最大值的理由.
B
A (M )
D C N
P
Q
19题图
a
b
β
（第23题图1） （第23题图2）
【答案】解：(1)共2分.（标出了圆心，没有作图痕迹的评1分）看见垂足为Y （X ）的一 条 垂 线 (或 者∠ABC 的平分线)即评1分，
(2)①当⊙P 与Rt △ABC 的边 AB 和BC 相切时，由角平分线的性质，动点P 是∠ABC 的平分线BM 上的点，如图1，在∠ABC 的平分线BM 上任意确定点P 1 (不为∠ABC 的顶点)，∵ OX ＝BOsin ∠ABM ，P 1Z ＝BP 1sin ∠ABM ．当 BP 1＞BO 时 ，P 1Z ＞OX,即P 与B 的距离越大，⊙P 的面积越大．这时，BM 与AC 的交点P 是符合题意的BP 长度最大的点.
（3分.此处没有证明和结论不影响后续评分）如图2，∵∠BPA ＞90°，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，则E 在边AB 上.∴以P 为圆心、PC 为半径作圆，则⊙P 与边CB 相切于C ，与边AB 相切于E ，即这时的⊙P 是符合题意的圆.（4分.此处没有证明和结论不影响后续评分）这时⊙P 的面积就是S 的最大值.∵∠A ＝∠A ，∠BCA ＝∠AEP ＝90°,∴ Rt △ABC ∽Rt △APE ，（5分）∴
AB PA =BC
PE
.∵AC ＝1，BC ＝2，∴AB ＝ 5 .设PC ＝x ，则PA ＝AC －PC ＝1－x,PC ＝PE ，
∴
5
1x - =
2x ，∴x ＝5
22
+．（6分） ② 如图3，同理可得：当⊙P 与Rt △ABC 的边AB 和A C 相切时，
设PC ＝y ，则
5
2y - =
1y ，∴y= 5
12
+（7分） ③ 如图4，同理可得：当⊙P 与Rt △ABC 的边BC 和AC 相切时，设PF ＝z ，则22z -=1z ，∴z=3
2
（8分）由①，②，③可知：∵ 5 ＞2，∴ 5 ＋2＞
5＋1＞3，∵当分子、分母都为正数时，若分子相同，则分母越小，
这个分数越大，(或者:∵x ＝
5
22+＝25 －4, y=
5
12+=
2
1
5-，
∴y-x=
2
45
49->0,∴y>x. ∵z-y=
32－ 215-=6
457->0，∴232> 512+> 522+，（9分，没有过程直接得出酌情扣1分）∴ z ＞y ＞x. ∴⊙P 的面积S 的最大值为
9
4
π.（10分） [来源:学。

科。

网Z 。

X 。

X 。

K]
(第23题答图
(第23题答图3) (第23题答图4)
Z
X A
A
A
中考试题来源：/z2011/zkst/。