二元一次方程组知识点整理、典型例题练习总结

⼆元⼀次⽅程组知识点整理、典型例题练习总结
⼆元⼀次⽅程组（拓展与提优）
1、⼆元⼀次⽅程：
含有两个未知数（ x 和 y ），并且含有未知数の项の次数都是 1，像这样の整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程，它の⼀般形式是 ax by c
（a 0,b 0）.
例 1、若⽅程
（ 2m-6）x
|n|-1
+（n+2）y
m2-8
=1是关于
x 、y
の⼆元⼀次⽅程，求 m 、n の值.
2、⼆元⼀次⽅程の解：⼀般地，能够使⼆元⼀次⽅程の左右两边相等の两个未知数の值，叫做⼆元⼀次⽅程の解
.
【⼆元⼀次⽅程有⽆数组解】
3、⼆元⼀次⽅程组：含有两个未知数（ x 和 y ），并且含有未知数の项の次数都是 1，将这样の两个或⼏个⼀次⽅程合起来组成の⽅
程组叫做⼆元⼀次⽅程组 .
4、⼆元⼀次⽅程组の解：⼆元⼀次⽅程组中の⼏个⽅程の公共解，叫做⼆元⼀次⽅程组の解 . 【⼆元⼀次⽅程组解
x y 1 x y 1
x y 1 x y 1
の情况：①⽆解，例如： x y 6，2x 2y 6；②有且只有⼀组解，例如： 2x y 2 ；③有⽆数组解，例如： 2x 2y 2】
例 2、已知
2x +（m -1）y ＝2
nx+ y ＝1
の解，试求（m+n ） 2016
の值
例 3、⽅程 x 3y 10 在正整数范围内有哪⼏组解？
5、⼆元⼀次⽅程组の解法：代⼊消元法和加减消元法。

例 4、将⽅程 10 2（3 y ） 3（2 x ）变形，⽤含有 x の代数式表⽰ y .
例 5、⽤适当の⽅法解⼆元⼀次⽅程组
ax y 1
例 6、若⽅程组
有⽆数组解，则 a 、 b の值分别为（
）
6x by 2
B. a 2,b 1
C.a=3,b=-2
D. a 2 b, 2
x2
x 2
是关于 x 、 y の⼆元⼀次⽅程
组
A. a=6,b=-1
例 7、已知关于 x, y の⽅程组 3x 5y m 2の解满⾜ x y 10,求式⼦ m 2 2m 1の值. 2x 3y m
6、三元⼀次⽅程组及其解法：⽅程组中⼀共含有三个未知数，含未知数の项の次数都是
1，并且⽅程组中⼀共有
两个或两个以上の⽅程，这样の⽅程组叫做三元⼀次⽅程组。

解三元⼀次⽅程组の关键也是“消元” ：三元→⼆元→⼀元
xyz6
例 10、求解⽅程组
3x y z 2
2x 3y z 11
7、⼆元⼀次⽅程与⼀次函数关系：
例 11 、⼀次函数 y=kx+2 の图像总过定点，⼆元⼀次⽅程 kx-y=-2 有⽆数组解，其中必有⼀个解为。

例 12 、⽆论 m 为何值，直线 y=x+2m 与 y=-x+4 の交点不可能在第象限。

例 13 、
如图，直线 l 1： y=2x 与直线 l 2： y=kx+3 在同⼀平⾯直⾓坐标系内交于点
P 。

1 ）写出不等式 2x>kx+3 の解集：
2）设直线 l 2：与 x 轴交于点 A ，求△OAP の⾯积。

8、⼆元⼀次⽅程组应⽤题
例 8 、已知 x 3y z 0
3x 3y 4z 0
，求 X ：Y ：Z の值
例 9、已知关于 x ， y の⽅程组
xy3 ax by 5
bx 2ay 1 与与
x 7 y
b
同解，求の值
a
组单独做 6天，再请⼄组单独做 12天可完成，需付两组费⽤共 3480元，问： (1) 甲、⼄两组⼯作⼀天，商店应各付多少元？ (2) 已知甲组单独做需 12 天完成，⼄组单独做需 24 天完成，单独请哪组，商店所付费⽤最少？
3．商品销售利润问题：
（1）利润＝售价－成本（进价）；（2）
；（3）利润＝成本（进价）×利润率；
1)：列⼆元⼀次⽅程组解应⽤题の⼀般步骤利⽤⼆元⼀次⽅程组探究实际问题时，
⼀般可分为以下六个步骤： 1．审题 :弄清题意及题⽬中の数量关系； 2．设未知数 :可直接设元，也可间接设元； 3．找出题⽬中の等量关系； 4．列出⽅程组 : 根据题⽬中能表⽰全部含义の等量关系列出⽅程，并组成⽅程组； 5．解所列の⽅程组，并检验解の正确性； 6．写出答案 .
2)：列⽅程组解应⽤题中常⽤の基本等量关系
1.⾏程问题：
(1)追击问题：追击问题是⾏程问题中很重要の⼀种，它の特点是同向⽽⾏。

这类问题⽐较直观，画线段
；；
,⽤图便
于理解与分析。

其等量关系式是 :两者の⾏程差＝开始时两者相距の路程；
(2) 相遇问题 :相遇问题也是⾏程问题中很重要の⼀种，它の特点是相向⽽⾏。

这类问题也⽐较直观，因⽽也画线段图
帮助理解与分析。

这类问题の等量关系是：双⽅所⾛の路程之和＝总路程。

(3)航⾏问题：①船在静⽔中の速度＋⽔速＝船の顺⽔速度；
②船在静⽔中の速度－⽔速＝船の逆⽔速度；③顺⽔速度－逆⽔速度＝ 2×⽔速。

注意：飞机航⾏问题同样会出现顺风航⾏和逆风航⾏，解题⽅法与船顺⽔航⾏、逆⽔航⾏问题类似。

甲、⼄两⼈分别以均匀の速度在周长为 600 m の圆形轨道上运动，甲の速度较快，当两⼈反向运动时，每
15 s 相遇⼀次；当两⼈同向运动时，每 1 min 相遇⼀次，求两⼈の速度．
两地相距 280 千⽶，⼀艘船在其间航⾏，顺流⽤ 14 ⼩时，逆流⽤ 20 ⼩时，求船在静⽔中の速度和⽔流速度。

2．⼯程问题：⼯作效率×⼯作时间 = ⼯作量 .
⼀家商店要进⾏装修，若请甲、⼄两个装修组同时施⼯
8 天可以完成，需付两组费⽤共 3520 元；若先请甲
标价＝成本（进价）×（1＋利润率）；（5）实际售价＝标价×打折率；
注意：“商品利润＝售价－成本”中の右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。

打⼏折就是按标价の⼗分之⼏或百分之⼏⼗销售。

（例如⼋折就是按标价の⼗分之⼋即五分之四或者百分之⼋⼗）
某商场打折促销，已知甲商品每件60元，⼄商品每件80元，买20件甲商品与10件⼄商品，打折前⽐打折
后多花460 元，打折后买10 件甲商品和10 件⼄商品共⽤1 090 元，求甲、⼄两种商品各打⼏折．
4．储蓄问题：
（1）基本概念
①本⾦：顾客存⼊银⾏の钱叫做本⾦。

②利息：银⾏付给顾客の酬⾦叫做利息。

③本息和：本⾦与利息の和叫做本息和。

④期数：存⼊银⾏の时间叫做期数。

⑤利率：每个期数内の利息与本⾦の⽐叫做利率。

⑥利息税：利息の税款叫做利息税。

（2）基本关系式
①利息＝本⾦×利率×期数
②本息和＝本⾦＋利息＝本⾦＋本⾦×利率×期数＝本⾦
×（1＋利率×期数）
③利息税＝利息×利息税率＝本⾦×利率×期数×利息税率。

④税后利息＝利息× （1－利息税率）⑤年利率＝⽉利率× 12 ⑥。

注意：免税利息=利息
⼩明の妈妈为了准备⼩明⼀年后上⾼中の费⽤，现在以两种⽅式在银⾏共存了2000 元钱，⼀种是年利率为
2.25 ％の教育储蓄，另⼀种是年利率为2.25 ％の⼀年定期存款，⼀年后可取出2042.75 元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利
息所得税＝利息⾦额×20%，教育储蓄没有利息所得税）
5．配套问题：解这类问题の基本等量关系是：总量各部分之间の⽐例=每⼀套各部分之间の⽐例。

现有190 张铁⽪做盒⼦，每张铁⽪做8 个盒⾝或22 个盒底，⼀个盒⾝与两个盒底配成⼀个完整盒⼦，问⽤多
少张铁⽪制盒⾝，多少张铁⽪制盒底，可以正好制成⼀批完整の盒⼦？
6．增长率问题：解这类问题の基本等量关系式是：原量×（1＋增长率）＝增长后の量；
原量× （1－减少率）＝减少后の量.
某⼯⼚去年の利润（总产值—总⽀出）为200 万元，今年总产值⽐去年增加了20%，总⽀出⽐去年减少了10%，今年の利润为780 万元，去年の总产值、总⽀出各是多少万元？
7．优惠与团购：
某景点の门票价格规定如下表
某校⼋年（⼀）、（⼆）两班共100 多⼈去游览该景点，其中（⼀）班不⾜50 ⼈，（⼆）班多于50 ⼈，如果两班都以班为单位分别购票，则⼀共付款1126 元.如果以团体购票，则需要付费824 元，问：（1）两班各有多少名学⽣？
（2）如果你是学校负责⼈，你将如何购票？你の购票⽅法可节省多少钱?
8．数字问题：解决这类问题，⾸先要正确掌握⾃然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表⽰。

如当n 为整数时，奇数可表⽰为2n+1（或2n-1），偶数可表⽰为2n 等，有关两位数の基本等量关系式为：两位数=⼗位数字10+个位数字
⼀个两位数，减去它の各位数字之和の3 倍，结果是23；这个两位数除以它の各位数字之和，商是5，余数
是1，这个两位数是多少？
甲，⼄两⼈做加法，甲将其中⼀个加数后⾯多写了⼀个0，所以得和是2342 ，⼄将同⼀个加数后⾯少写
了⼀个0，所得和为65 ，则原来两个数为 __________ ．
9．浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量.
现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液の酒精与⽔の⽐是3∶7，⼄种酒精溶液の酒精与⽔の⽐是4∶1，今要得到酒精与⽔の⽐为3∶2 の酒精溶液50kg，问甲、⼄两种酒精溶液应各取多少？
10．⼏何问题：解决这类问题の基本关系式有关⼏何图形の性质、周长、⾯积等计算公式
⼩王购买了⼀套经济适⽤房，他准备将地⾯铺上地砖，地⾯结构如图所⽰。

根据图中の数据（单位：m），解答下列问题：
1)写出⽤含x、y の代数式表⽰の地⾯总⾯积；
2)已知客厅⾯积⽐卫⽣间⾯积多21m 1 2 3，且地⾯总⾯积是卫⽣间⾯积の15 倍，铺1m 2地砖の平均费⽤为
80 元，求铺地砖の总费⽤为多少元？
11．年龄问题：解决这类问题の关键是抓住两⼈年龄の增长数是相等，两⼈の年龄差是永远不会变の
の年龄各是多少
12．优化⽅案问题：
在解决问题时，常常需合理安排。

需要从⼏种⽅案中，选择最佳⽅案，如⽹络の使⽤、到不同旅⾏社购票等，⼀般都要运⽤⽅程解答，得出最佳⽅案。

注意：⽅案选择题の题⽬较长，有时⽅案不⽌⼀种，阅读时应抓住重点,⽐较⼏种⽅案得出最佳⽅案。

注意：⽅案选择题の题⽬较长，有时⽅案不⽌⼀种，阅读时应抓住重点,⽐较⼏种⽅案得出最佳⽅案。

某商场计划拨款9 万元从⼚家购进50 台电视机．已知⼚家⽣产三种不同型号の电视机，出⼚价分别为：甲种每台1500 元，⼄种每台2100 元，丙种每台2500 元．
2 若商场同时购进其中两种不同型号の电视机50 台，⽤去9 万元，请你研究⼀下商场の进货⽅案．
3 若商场每销售⼀台甲、⼄、丙电视机可分别获利150 元、200 元、250 元，在以上の⽅案中，为使获利最多，你选择哪种进货⽅
案?
课堂⼩测试
1、若x 2是⽅程组2x 3m 1の解，求m、n の值. y 3 nx my 5
甲对⼄说“当我是你现在の年龄时你才4岁”，⼄对甲说“当我是你现在の年龄时你将61 岁” 问甲⼄现在
2、⼆元⼀次⽅程组
4x 3y 7
の解 x ，y の值相等，求 k ．
kx （ k 1） y 3
x y 5k
3、若关于 X,y の⼆元⼀次⽅程组
x y 9k
7、若 3x 2a b 1y 与5xy a 2b 1是同类项，则
8、⼩花在家做家庭作业时，发现练习册上⼀道解⽅程组の题⽬被墨⽔污染
3x 2y （）
，（）表⽰被污染の 5x y （）
内容，她着急地翻开书后⾯の答案，这道题⽬の解是 x 2 ，聪明の你能够帮她补上（）の内容吗？ y1
の解也是⼆元⼀次⽅程 2x+3y=6 の解，求 k の值。

4、若 x 3 是关于 x 、y の⼆元⼀次⽅程 y2
A. 3
B. 4
C. 4.5
5、已知在⽅程 3x 5y 2 中，若⽤含有
3x ay 0 の⼀个（组）解，则 D. 6
x の代数式表⽰ y ，则 y
a の值为（
）
，⽤含有 y の代数式表⽰
x ，则
ba
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第五章综合提优测评卷
（时间：60分钟满分：100分）
第I卷（选择題共20分）⼀、选择舗〔本划包括W⼩见⾟⼩題2苏其游分》 1.下列⽅程组中,不是⼆元⼀次⽅程组的是（λ
3JT—2y=0?R ⁄x÷y=5*
lx^^l=> l>+z=3
2?⼆Um fl{覚：：T 的呃 X
[Λ=St ly=2 Ir 14 J=I■
3.F-M+2Λ=4*
已知h+≡?τ,
A. 3
D.JΓ
"7,
y=3
则a+?等于（C. 2 U I
4.已知J?⼀元⼀次⽅稈m I f"'i的耕，则2
屈
Ijr=I! IrLr ~my= 1
-H的算术平⽅很为（）.
A. ±2 & √2
CL 2 D. 4
5. 李明同学早⼔崎⾃⾏车上学，中途因道路施⼯步⾏⼀段
路,到学枝其⽤时15分钟.他輛⾃⾏车的平均速度是250 ⽶⁄?tΨ.?⾏的平均速度是80⽶/分钟?他家离学校的距离尼2 900⽶,如果他骑车和歩⾏的时间分别为丄*分钟,列岀的⽅程是（>.扎”+⼚* B, m头
∣≡r+^=≡900 ?0→25.^2 900
⼃卄T，D产+严⾎
'U0.+250=2W^ ?25θχ÷fi0γ=2 9θ0
6. 关于?y的⽅程组⼴「￥='“的解? { ,~ 1'则m-n∣
（χ-t zn-y≡n Iy=I,
的值是1 ），
A i5 K 3
给出A列结论：
Φ∣x≡5?S⽅程?i的解F
I I y=T
②当d=-2时.⼯⼨的值互为相反数*
③?a-l时*⽅程组的解也是⽅程
J
÷^=4-U的解；
④若x≤l,则l≤y≤4.
其中IE确的是（）.
A ta①②K②③
C②飙Iλ①③④
⽎雅西⾼速公路酋昌到展都全拴总0⼲⽶?⼀辆⼩汽车和⼀辆客车同吋从西H、成都两地相向开出，经过2. 5⼩时相遇.
相遇时,⼩汽车⽐客车拳⾏驶70千⽶?设⼩汽车和崭牟的平均速度分别为Y千⽶/⼩时和了千⽶/⼩时*刈下列⽅程组正?t?J?（⼈
（j÷^70t氐 f Jrp=70,
2. 5JΓ+2. 5>=420 1112.5x+2. Ξ>=42O
I，I j,+y-70r D ［Z. 5κ+監5y=420,
'12. 5x^2. 5^=420 '（2.11-2. 5y=7O
10.成⼈票毎张7。

元?⼉歪票每张35元.⼩明买20张门票共花
了 1 225尤‘设K中有X张成⼈票/张⼉祗票*根据题意，下列⽅程组正确的是< ）.
严+>=20τ（?τ+y=20l
135J⼗70y=12囲⽿∣7O^+35y^l225
C严Z=Iii瓯 D f→j=l 225*
1 70JΓ F3S^5SS 20 ■ " ?35.τH-70jr=20
第［!卷（⾮选择題共80分）
⼆、填空JS（本Λ!L? 10⼩轨*爭⼩?3^,430^）
Ik已知Zr程2^"+1+ 3√-a, = 17是⼀个⼆元⼀次⽅程，则
IZ
1
虬
m=______ ?z?=g=
仔+2y-6, IalI
*U÷y=9,则"⽚——谓写出⼀个⼆
元⼀次⽅程组
（x?*2τ
使它的幕是若切为实数*且清⾜∣i-3∣÷√^=0,则（于）⽫
CL Z D. 1
λ为碗保信息安全?信息需加瞬传愉,发送⽅由明⽂⼇廡⽂（加密⼈接收⽅由已知加密规则为: 明⽂AibiCtd对应密⽂α+2?+2?+cι2f例如* 明⽂L2t3a对应密⽂5t7a8J6.当接收⽅收到密⽂U t 9,23/8时，则解密得到的明⽂为《〉.
扎7,fiJΛBL 氣4,1*7
C. 4,6,1舁Q 1,6,4,7
8.巳知关于広曲的⽅程组■；j + 37^45其中⼀3≤a≤L lx—y=3a a
的値是_______ ■
15.以⽅程组?y~τ^l?的解为坐标的点在第I y=-J r 4-2
_______ 象限.
1反若实数⼝“満⾜i % —11 +旷==乩卿*的值为
17.⽅程绢；：；：［；的解育 ______ -
1θ.甲种电影票每张20元.⼄种电影臬每张15元.若购菜甲上两种电影票共驶监恰好⽤⼪700元,则甲呻电影票买了
_____________ 张.
19-如图*为了测蜃甲、⼄两种物品单个的质量，⼭于不能分开,于是把它们程合放⾐天平b??据如圏所⽰的请
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22.体育⽂化⽤品商店购进篮球和排球共20个,进价和欝价如
表'全部销會完后共茯利润260元.
丘130
I Jr-3,求⽅程组
1，=4,
的想迭?甲
说:“这个题⽬好
像条件不夥,不能求解J ⼄说;“它们的系数有⼀定的规律，可以试试「丙说⼴能不能把第⼆个⽅程组的两个⽅程的两边都除以5*通过换元替代的⽅法来解答⼆参考他
们的讨论,你认为这个题⽬的解应该是 . 三、解答题［第26 ? H ）分’算余每题8分，共同分）
2L ⑴解⽅程组∣'r
~y
^s
'
（1）购进篮球和排球各多少个？（2）销售6个排球的利润与销售⼏个篮球的利润相
等?
21我国是⼀个淡⽔资鶴严重缺乏的国家'有关数据显⽰, 中国
⼈均淡⽔资源占有量仅为美国⼈均淡⽔资源占有量的+,中、美两国⼈均淡⽔资源占有量之和为 13 800m ?问中、美两国⼈均演⽔资源占有量各为多少（单 ?j m 3}?
2τ+3y÷≈=6t
（刖解⽅程组』χ-y+2z= -1，
况*计算岀甲、⼄两种物品单⽜的质量分别是
IIOg
20.三亍同学对问题“若⽅程组
吩:丁F 的解是⾎⼯⼗b z y=C2 3αιx÷26∣y=5c ι, JiI fc 丄缸卄绻⼆隔的解「提出各⾃
（却解⽅程组
⼯―y=4,
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24.⼩明的妈妈在菜市场买回3⽄萝⼘、2⽄排⾻?准备做萝
⼘排⾻汤.
妈妈/今天买这两拝菜共花了45元，上⽉买同重戢的这两样菜只要36元S
爸爸:“报纸上说「萝⼘的单价上薩旳％*排⾻单价上涨
20%"∣
⼩明:“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝⼘和排⾻的单
价分别是多少⼚
请你通过列⽅程〔组［求解这天萝⼘、排⾻的单价（单
位: 元/⽄）.
26.今年的全国助残⽇这天，臬单位的青年志愿者到距单位6千
⽶的福利院塞加“爱⼼捐助活动”?⼀部分⼈步⾏,另⼀部分騎⾃⾏车’他们沿相同的路线舸往.如图所⽰仏，12分别表⽰步⾏和騎车的⼈前往⽬的地所⾛的路程* （千随时间班仆钟）变化的南数图软根据图象.解答下列问題主（1）分别求出H丛的函数表达式；
（幼求5?车的⼈⽤多长时间追上步⾏的⼈.
25.甲、⼄厲⼈从同⼀地点出发，同向⽽⾏+甲乘车'⼄步⾏. 如果⼄先⾛20千⽶*那么甲⽤1⼩时能追上⼄｛如果⼄先⾛i⼩时.
那么甲只⽤15分钟就能追上⼄,求甲、⼄两⼈的速度.。