1.5定积分的概念(高中数学人教A版选修2-2)

C．f
D．f(0)

i－ 1 i 解析：当n很大时，f(x)＝x2在区间 n ，n 上的值可用该区
间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点 的函数值近似代替． 答案：C
3n －2n 3．linm ＝________. 2 →∞ n
分析：按照“分割→近似代替→求和→取极限”的步骤 进行．
解析：(1)分割．
3 1,2，…，n)的长度为Δx＝ n .分别过各分点作x轴的垂线，把原
3i－1 3i 如上图，将区间[0,3]n等分，则每个区间 (i＝ ， n n
曲边梯形分成n个小曲边梯形．
(2)近似代替． 以每个小区间的左端点函数值为高作n个小矩形．则当n
(4)取极限． S＝lim S n→∞ n ＝lim n→∞
1 1 1 1 － 1 － 1 － － 9 ＋ 9 ＋ 9 n 2n n
＝－9(1－0)(1－0)＋9(1－0)＋9＝9， 即所求曲边梯形面积为S＝9.
i－ 1
上，随着n的增大，f(x)的 值的变化逐渐缩小，当n很大时，f(x)的值变化很小． 答案：D
解析：函数f(x)＝x2在区间
i ， n n
i－1 i 2．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间 n ，n


上的值可以用下
列哪个值近似代替(
)
2 B．f
3n2－2n 2 3 － 解析： linm ＝ lim ＝3. 2 →∞ n→∞ n n 答案：3
2
求解曲边梯形的面积是用“以直代曲”和逼近的思想方 法；其步骤为：①分割；②近似代替；③求和；④取极限．
导数及其应用
定积分的概念 1．5.2 汽车行驶的路程
§1.5
1．通过实际例子，进一步了解用“以直代曲”和逼近的
i－ 1
上，随着n的增大，f(x)的 值的变化逐渐缩小，当n很大时，f(x)的值变化很小． 答案：D
解析：函数f(x)＝x2在区间
i ， n n
i－1 i 2．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间 n ，n


上的值可以用下
列哪个值近似代替(
)
2 B．f
i 1 n i -1 1 i -1 2 1 f( ) ( ) n n i 1 n n i 1 1 2 2 2 2 3 [0 1 2 (n 1) ] n 1 ( n 1)n( 2n 1) 1 1 1 3 (1 )(1 ) n 6 3 n 2n n
例如：物体以v＝20 km/h的速度做匀速直线运动，经过3小 时物体经过的路程为________ 60 km ．
3．当物体做匀加速直线运动时，速度v关于时间t的关系式
为v＝v0＋kt，此时在0＜t＜a时段中物体经过的路程为
ka2 v0＋v0＋ka s＝v0a＋ ＝ a __________________________________ ． 2 2
n
A．f
1 n
n
i C．f
D．f(0)

i－ 1 i 解析：当n很大时，f(x)＝x2在区间 n ，n 上的值可用该区
间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点 的函数值近似代替． 答案：C
3n －2n 3．linm ＝________. 2 →∞ n
表示了曲边梯形面积的近似值
演示
•在 [a, b]中任意插 入 n 1个分点． •得n个小区间： [xi1 , xi ] (i=1, 2 , · · · , n)． •区间[xi1 , xi ]的长 度xi xi xi1 ．
y = f ( x) y f ( x i)
f(x2 ) f(x1) f(xi)xi
例如：物体做匀加速直线运动时，速度v关于时间t的关系
式为v＝2＋t，此时在0＜t＜6时段中物体经过的路程为
________ 30 ．
求变速运动的路程
1．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t
＝1这段时间内所走的路程为( )
1 A.3 C．1
1 B.2 3 D.2
1 积S＝2 ，即为这段时间内物体所走的路程．
3n2－2n 2 3 － 解析： linm ＝ lim ＝3. 2 →∞ n→∞ n n 答案：3
2
1．函数f(x)＝x2在区间 A．f(x)的值变化很小 B．f(x)的值变化很大 C．f(x)的值不变化
i－1 i n ，n
上(
)
D．当n很大时，f(x)的值变化很小
O
a x 1 x1 x 2 x2
xi-1 xi xi
xn-1 b x
•把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形．
•任取xi [xi1，xi ] ，以f (x i) xi近似代替第i个窄曲边梯形的面 积． •曲边梯形的面积近似为：A
f (x )x
i 1 i
n
i
．
•在 [a, b]中任意插 入 n 1个分点． •得n个小区间： [xi1 , xi ] (i=1, 2 , · · · , n)． •区间[xi1 , xi ]的长 度xi xi xi1 ．
很大时，用n个小矩形面积之和Sn近似代替曲边梯形的面积S.
(3)求和．
Sn＝i＝ Σ1 f ＝i＝ Σ1
n n
9i－12 3i－1 3 － × ＋ 2 × ＋ 3 2 n n n
3i－1 Δx n
27 2 18 2 2 ＝－ n3 [1 ＋2 ＋„＋(n－1) ]＋ n2 [1＋2＋3＋„＋(n－1)]＋9 27 1 18 nn－1 ＝－ n3 ×6(n－1)n(2n－1)＋ n2 × 2 ＋9， 1 1 1 ＝－91－n1－2n＋91－n＋9. 1 1 1 ∴S≈Sn＝－91－n1－2n＋91－n＋9.
（4）取极限 当分割无限变细，即 x 0(亦 即n )时 ， 1 1 1 S n (1 )(1 )趋 向S， 从 而 3 n 2n n 1 i 1 1 1 1 S l i mS n l i m f ( ) l i m (1 )(1 ) n n n 3 n n 2n i 1 n 1 1 1 所 以S ， 即 所 求 曲 边 三 角 形 面 的积 为 。 3 3 3
2 i 2 2i 2 ΔSi≈ΔS′i＝v n ·Δt＝3 n ＋2 ＝ · n
24i2 4 ＋ (i＝1,2，„，n)． n3 n
(3) 求和． (3) 求和． n
2 2 24 i 4 24 2 24 2 2 24 i 4 ＋ S S ＝ Δ S ′ ＝ 3 ＝ (1 ＋ 2 ＋ „ ＋ n )＋4＝ Si 3 2 2 2 n i (1 n 3 ＋ ＝ 3 Sn＝ i＝1 i＝ i＝ ＋ 2 ＋ … ＋ n ) ＋ 4 ＝ n n 1 n n i 1 i 1 n
y = f ( x) y f ( x i)
f(x2 ) f(x1) f(xi)xi
O
a x 1 x1 x 2 x2
xi-1 xi xi ．
xn-1 b x
•曲边梯形的面积近似为：A
f (xi )xi
i 1
n
跟踪训练 如图，求直线x＝0，x＝3，y＝0与二次函数f(x)＝－x2＋ 2x＋3所围成的曲边梯形的面积．
ssssni21??????????2近似代换n1n1ixn1ifs2i??????3求和11i11isssssnnn1iin21??????????????????????????21111316121n11n210n1n1n1in1n1if3222231i21innnnn??????????????????????????????????????4取极限从而趋向时亦即当分割无限变细即从而趋向时亦即当分割无限变细即2111131lim11limlims2111131n0xn1nn????????????????????????????????????????nnnifnssnnsninn
分割越细，面积的近似值就越精确。当分 割无限变细时，这个近似值就无限逼近所 求曲边梯形的面积S。
下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程
（1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：
1 1 2 i 1 i n 1 n [0, ], [ , ], , [ , ], , [ , ], n n n n n n n
每个区间的长度为
i i 1 1 x n n n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S1 , S2 , , Si , , Sn .
（2） 近似代换 i 1 i 1 2 1 Si f ( )x ( ) n n n （3）求和 n S S 1 S 2 S n S i
解析：曲线v(t)＝t与直线t＝0，t＝1，横轴围成的三角形面 答案：B
求变速运动的路程 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速 度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)
这段时间内行驶的路程S(单位：km)是多少？
解析：(1)分割．
在时间区间[0,2]上等间隔地插入n－1个分点，将它分成n
分割 近似代换 求和 取极限
分割，求和，取极限
当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x) 在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从 而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi) 作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x来近似表示 小曲边梯形的面积
f (x1 )x f(x2 )x f(xn )x
A4 b x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1+ A2+ A3+ A4
y = f ( x) y
A1 O a
Ai
An b x
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An
b－a 个小区间，则每个小区间的长度为______ n ．
2．在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n
i－1 i 2 1．函数f(x)＝x 在区间 n ，n
上(
)
A．f(x)的值变化很小 B．f(x)的值变化很大 C．f(x)的值不变化 D．当n很大时，f(x)的值变化很小
导数及其应用
定积分的概念 1．5.1 曲边梯形的面积
§1.5
求梯形的面积
问题1： 求由直线y＝0，x＝2,
x＝4和y＝x所 围成的平面图形的面积．
解析：这些直线围成的平面图形是如图阴影部分所示的 梯形，梯形的面积为
2＋ 4 S＝ 2 ×2＝6.
一. 求曲边梯形的面积 1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲
O
1
x
方案1
方案2
方案3
y = f ( x) y
A1 O a b x
用一个矩形的面积 A1近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1.
y = f ( x) y
A1 O a
A2 b x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
y = f ( x) y
A1 O a
A2
A3
线 y=f(x) ，直线 x=a 、 x=b 及 x 轴所围成的图形 叫做曲边梯形。
y y=f (x)
x=a
O a
x=b
b x
1.5.1曲边梯形的面积
直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成的图形（曲边三
角形）面积S是多少？
为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即 在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代 曲” y 。
2i－1 2i 个小区间．记第i个小区间为 (i＝1,2，…，n)，其 ， n n
长度为Δt＝ 2i－2i－1＝2每个时间段上行驶的路程记为 ΔSi(i . n n n ＝1,2，…，n)，则显然有S＝ Si .
i 1 n
(2)近似代替． 2i 取ξi＝ (i＝1,2，„，n)．于是 n
思想方法求解变速直线运动的路程．
2．从问题情境中了解定积分的实际背景，初步了解定积
分的概念．
1．如果物体按规律s＝s(t)运动，则物体在时刻t0的瞬时速
s′(t0) ． 度为________
例如：如果物体按规律s＝2t2运动，则物体在时刻t＝2的 8 瞬时速度为________ ． 2．汽车做匀速直线运动时，速度v关于时间t的关系式为v s＝v0t ＝v0，物体经过时间t所行驶的路程为________.