从静止圆环到旋转贝塞尔光束

从静止圆环到旋转贝塞尔光束作者：Angela Dudley 和Andrew Forbes摘要：在本论文中，我们使用相空间光调制器（SLM）来模拟一个环形狭缝，它包含不同径向的位置多个偏振不同的相位。

这样一个孔径的光学傅里叶变换是目前已知及强度分布已被证明的沿传播方向旋转光束。

这里，我们在实验和理论上研究了近场环形狭缝及其成像，尽管在近场条件下，傅里叶变换具有相似的性质，但是在传播过程中，强度分布不旋转。

1.引言目前，有大量的文献致力于携带轨道角动量（OAM）的领域。

这个范围包括Laguerre–Gaussian光束[1]，Bessel–Gauss光束[2]和Airy光束[3]，所有这些每一光照度lh都携带一个轨道角动量并有一个依赖于方位角度的相位exp（ilϕ）[1,4–6]其中l是不受限的方位模式指数而ϕ是方位角。

携带轨道角动量的区域提供多面的应用。

这些应用涉及了使用此类领域以传播轨道角动量来俘获粒子的旋转以使得轨道角动量的铁丝网在参量下转换[6]。

事实上，它们提供了一个无限的状态空间使得了量子密码的带宽增大[7,8]。

我们主要关心高阶衍射贝塞尔光束，它是光学领域一种拥有轨道角动量的形式，而我们更关注的是叠加高阶贝塞尔光束的产生。

我们可以叠加高阶贝塞尔光束以创造一个光场领域,其中要么有或者没有全域轨道角动量。

在生成一个叠加的高阶贝塞尔光束的情况下,有非全域的轨道角动量，旋转场的强度剖面作为它传播是显而易见的[9 - 11]。

这样叠加可以被生成，通过照明的During环形狭缝孔径[12] ，它在不同径向距离上有多个方位角相位的组成部件,或通过编码一个空间光调制器(SLM)，这个调制器有着一个单独的环形孔全息图[10],或照明一个有着叠加拉盖尔-高斯（Laguerre–Gaussian）光束的棱镜。

在此论文中，我们从理论和实践上研究近场和远场圆环狭缝孔径的强度分布。

由于贝塞尔光束的叠加经常被用于使用光学镊子，研究平面领域知识结构，不同于傅里叶平面，更为当务之急。

我们的研究表明，尽管强度最大值出现在远场，叫做2l“花瓣”，安排在一环的周长[9]，这些在近环缝领域也存在，然而旋转角度的强度分布不会同时存在于近场及远场区域。

众所周知，远场衍射在传播的时候强度分布发生旋转[9-11]，我们从理论和时间的角度来作出说明，不是在近场的情况下，由于这样的事实，纵波载体都在同一方向传播（不重叠另一个）在近场区域，但在不同的方向（重叠另一个）在远场区域。

2.原理在这项工作中，我们实施Durnin的环形狭缝实验[12]和编码到一个数字环形狭缝全息图并且用高斯扩展光束来照亮它。

我们将环形狭缝一分为二，用不同的偏振角来描述。

形成原理如图 1所示，我们感兴趣的区域在紧靠环形狭缝后的光束传播，平面P1（近场），区域P2（从近到远场的过渡区）和区域P3（远场）。

环形狭缝孔径，有如下的传递函数：而除了在图1所示,也体现在图2。

R1和R2分别表示环形狭缝的两个半径,Δ是环形狭缝的宽度(我们选择这两个环形狭缝的宽度相等)。

Φ表示方位角的角度l是方位模式索引。

由于明亮的环形狭缝光场是扩展高斯光束并且环缝极小（微米量级），有环形狭缝的光场可以被描述为平面波exp(())z i k z t ω-。

z k 是纵向波数，z 为传播轴和随时间变化的组成部分，t ω可以忽略不计，因为平面波场在整个x y -平面及任何时刻均匀分布。

在环形狭缝区域（即，在平面P 1中0z z =处），表示为图1。

(颜色如图)环形区域的衍射图像示意如图,从近场(P1)至远场(P3)传播。

绿色(红色)射线表示射线来自环形狭缝的外部(内部)。

三个环形(示意图的底部)在此方面增强了图解——环形区域如何重叠并成为完全区分开来的传播与孔径增加。

1z k 和2z k 是纵向波数，定义如下：11cos z k k α=和21cos z k k α=，这里2/k πλ=，α是开角锥波矢量（分别由两个环形狭缝产生）传播。

一个简单的环形的区域，包含无偏振的不同相位因子，表示为0()()exp(())/2Ring n r r R A --=∆ （3）图2。

（颜色如图）传输函数的密度如式（1）中所述，偏振的模式指数3l =。

如图3所描述。

R 0表示环形狭缝的半径，Δ是环形狭缝的宽度，n 表示环形狭缝边缘陡度（或梯度）。

我们正在考虑的环形狭缝，包括两个不同半径的环形狭缝，并考虑到光场是一个线性系统，所以两个环形领域是可以相加的，导致整体的环形狭缝领域在近场（P 1），可被写成：由于两个环形狭缝任意薄并且其中一个接近另一个我们可以假设它们的半径是相等的，即：120R R R ==在该区域可以简化为：环形狭缝场强度由下面的关系决定：I AA *=，结果为——以上的环形狭缝场强度分布如式（6）所示，表明它是调制中的方位坐标，在这个函数2(2)cos l φ中的φ。

因此,强度的最大值和最小值排列在环形狭缝的圆周上，这个数值是偏振模式指数l 两倍。

经历了强度分布的角旋转，环形狭缝场在近场沿（P 1）Z 轴传播，由下式给出：图3。

（颜色如图）（a ）密度图（b ）描述式 （3）中环形狭缝截面图用来描述下列参数：环缝半径，R 0=2，环缝宽度，Δ= 0.5，和梯度，n=10（单位是任意的）。

在环缝的领域，纵向传播波矢1z k 和2z k 都在平行于z 轴的同一方向传播，在图 1显示。

这导致环缝场传播中形成无角旋转，在确定在该区域的P 2场，在该区域从近场过渡到远场，菲涅耳衍射场积分在该领域的环形狭缝（式（4））被计算为：被称为产生贝塞尔 - 高斯函数[14,15]。

每两个环形狭缝（内有方位模式指数l 和外指数-l ）将促进贝塞尔 - 高斯光束并导致P 2区域光束的叠加可以被描述为：函数(),()z R z ω和()z Φ代表的光束的大小，曲率半径和Gouy 相位，分别取标准的高斯光束的传播形式。

l J 是l 阶贝塞尔函数和r k 表示横向波数，与两个贝塞尔光束中的每一个相关联，就是1和2，被确定为如下：sin r k k α=。

同样，在区域P 2的强度可确定以下的关系：I AA *=（这里已忽略，方程是非常麻烦），角旋转结果为：在这个区域的波矢都指向相反的方向产生一个非零的旋转速度。

然而，只有剖面遇到此角旋转的领域才是剖面其中包括来自两个环形狭缝的贡献，这直观地表示：其中包括绿色和红色光路两个部分。

作为该领域的向远场（P 3）的进一步传播，在该区域的重叠，包括环缝的贡献，增加，导致角旋转变得更加明显。

要确定远场的环形狭缝（P 3），其传输函数(,)t r φ在式 （1）中给出，使用基尔霍夫—惠更斯衍射积分——从内部和外部环缝的贡献产生以下的叠加，它描述了远场的环形狭缝[9]叠加的贝塞尔领域的强度由下面的关系确定：I AA *=,导致由于圆环产生叠加贝塞尔光束任意薄，彼此接近，我们可以假设横向波数是等效的（即12~r r r k k k =），导致。

21)~())((l l r r rr J r J r l J k k k =通过实施贝塞尔函数标识; 22()(1)()l l r l r J k r J k r -=-式 （14）中强度。

可以简化为在上述方程 （15）中给出的叠加的贝塞尔光束强度分布，说明它是在调制方位坐标，φ，来自函数cos(2)l φ。

因此，强度极大值是两个l 阶贝塞尔光束的两倍，导致一个l 阶贝塞尔光束的叠加，由它的镜像，产生强度模式有2||l 的强度极大，或者“花瓣形”。

从周长的角度给出的贝塞尔圆环的设定。

这种强度分布经历一个角旋转，作为该领域沿Z 轴的传播，给出由于纵波矢量都在远场以不同方向传播并且区域的贡献在两个环形狭缝完全重合（明显图1），角旋转非零，P3整个域经历旋转。

3．实验方法使用实验装置产生的叠加高阶无衍射贝塞尔光束，研究近场环形狭缝，在图 4表示叠加贝塞尔光束通过照射产生一个环形狭缝全息图（给出一个例子LCD1图4）扩展的高斯光束（波长532纳米）。

高斯光束通过一个3×望远镜扩大并指示上的SLM （LCD 液晶显示器）（HoloEye ，冥王星可见，有1920×1080像素，其间距8微米，标准化的〜532 nm 范围内2π的相移校准）标记LCD 1。

液晶编址全息图，类似Durnin 的环形狭缝[12]，但因为只使用一个相位的同步线路模块，一个幅度环缝数字编码区域周围的环缝（这个区域不能传输任何光线）通过“棋盘”的格局，通过分配在环缝全息像素交替集相位值是由π，光相位从LCD 1反映，从它最初的传播轴[16,17] 分散显示。

由于“棋盘”允许一个模拟的幅度遮罩与一个只有相位的同步线路模块，内方位相位环缝，可以同时在一个单一的全息图编址。

与不同的方位相分配一个单一的环缝从0到2n π次，n 阶贝塞尔光束将形成远场衍射，如果分为两个环形狭缝，其中环缝在每个环缝的方位相位在相反的方向变化（类似图1和4）两个叠加会产生相反两手贝塞尔光束。

这说明在傅立叶平面P3，给出环缝的全息图图4，在这里，在内环缝的相位变化三次顺时针方向（3inner l =）和在环缝外面的3个逆时针方向（3outer l =），因此，把一个初始的高斯光束转变成 两个贝塞尔光束的叠加，阶次为3l =和3-， 记为“花瓣”结构（P3图4）。

环缝全息更多的例子在图 5最上方一行。

它不会显示在全息图，呈现在图 4和5，但进行的实验中，闪耀光栅添加到全息来分离的非绕射的和衍射的组成部分从LCD1反映。

隔膜D 被贴在在焦平面L3的后镜片，只选择第一衍射阶次和忽略所有其他不需要的衍射阶次。

除了傅里叶变换面P3上的定位10×物镜和CCD 相机 L3的的镜头，来记录的非衍射叠加贝塞尔光束，第二个镜头L4，被放在一个焦距远离傅立叶平面的镜头L3的区域，来传递P1区域中LCD 1，这使得我们调查在远场（在P3所示）产生环缝场（显然在P 1）的“花瓣”形状的结构。

传播环缝场，传递平面 P1，通过固定一个CCD 相机在光路轨道和记录从平面P1到平面P2（两个镜头L4焦距的距离）来研究。

在本文的“结果”一节，我们将调查在三个不同的平面区域（P1，P2和P3）来研究各种环形狭缝全息图，以及研究从平面P1到平面P2的一个特定的环缝全息图的演变。

方便起见，我们将参照傅里叶变换环缝的全息图（即，在平面P3上形成的区域）的“花瓣”场。

在环缝全息（即，平面P1区域），我们将把“奇点”场形成的平面P2（镜头L4焦距的两倍长的一段距离）叫做“螺旋”场。

4.结果分析与讨论所有的数字环缝全息图，在实验中被使用（描绘如图 4），在图 5第一行给出。

第一环缝全息，图 5（1a ），包含一个单一的包含方位角相位3l =+的环缝，并具有以下尺寸（像素）：1180,20R =∆=。