附录A：量子力学中常用的数学工具

附录A ：量子力学中常用的数学工具

1. 常用数学符号 1.1 克雷内克符号

克雷内克（Kronecker ）符号i j δ在物理中有广泛应用，其定义为

1,0,i j i j

i j

δ=⎧=⎨

≠⎩ （A1-1） 可以用来简洁地表示基矢量或本征函数之间的正交归一性关系

*i j i j dx ψψδ=⎰ （A1-2）

1.2 列维·西维塔符号

列维·西维塔（Levi-Civita ）符号i j k ε又称为三阶反对称张量，其定义为

1,123,231,312

1,132,213,3210,i j k

i jk i jk ε+=⎧⎪

=-=⎨⎪⎩

其它 （A1-3） 可以用来简洁地表示矢量积的分量关系

,,,(),

k i j k i j i j k i j k i j i j k A B A B A B C A B C εε⨯=⨯⋅=∑∑v v v

v

v （A1-4）

1.3. 微分算符

在坐标表象下，动量对应梯度算符，梯度算符在直角坐标和球坐标中的表示形式为

11

sin x y z r e e e e e e x y z r r r θϕθθϕ

∂∂∂∂∂∂∇=++=++∂∂∂∂∂∂v v v v v v （A1-5）

利用球坐标表达式r r re =v v

，得到

1sin r e e ϕθθθϕ

∂∂⨯∇=-∂∂v v v （A1-6）

上式决定了角动量在球坐标中的表示形式。 （A1-6）式的平方为球面拉普拉斯算符

2

22

11sin sin sin θθθθθϕΩ∂∂∂∆=+

∂∂∂ （A1-7） 与角动量平方相对应。拉普拉斯算符在直角坐标和球坐标中的表示形式为

22222

22222

11

r x y z r r r Ω∂∂∂∂∆=∇=++=+∆∂∂∂∂ （A1-8）

与动能相对应。

2．常用数学函数 2.1．Γ函数及其应用

Γ函数是阶乘的推广，也称伽马函数，其定义为

10

()0t x x e t dt

x ∞

--Γ=>⎰ （A2-1）

它具有一些的典型特殊值

1122()(1)!,()()n n n Γ=-Γ+=

Γ= （A2-2） 下面的积分可以化为Γ函数

2

2

112

20

1

||(

)2

n n

n n e

d e

d e d ξξζ

ξξξ

ξζ

ζ-∞

∞

∞

-----∞

+===Γ⎰

⎰⎰ （A2-3） 2

11

2

2

sin(tan )sin (),,0

()

x

b at

x a x e

t

btdt x x a a b -∞

--=

Γ>+⎰

（A2-4）

2.2．谐振子能量本征函数和厄密多项式

厄密多项式的定义为

2

2

()(1)n n

x x n n

d H x

e e

n N dx -=-∈ （A2-5）

满足微分方程0)(2)(2)(=+'-''x nH x H x x H n n n

，具有性质()(1)()n n n H x H x -=-，并满足带权重的正交性关系

2

,()()2x n

l n l n H x H x e dx n ∞

--∞

=

⎰

（A2-6）

前4个厄密多项式为

230123()1,()2,()42,()812H x H x x H x x H x x x

===-=- （A2-7）

谐振子能量的本征函数为

221

2

()()x n n n x N e

H x αψα-= （A2-8）

其中归一化系数为n N =

2.3 角动量与球函数

归一化的球谐函数定义为

,,(,)(1)(cos ),,||m m im l m l m l Y N P e

l N m l ϕ

θϕθ=-∈≤ （A2-9） 其中,l m N 为归一化系数，而

2/22(1)()(1),||2!m l m m

l l l l m x d P x x m l l dx

++-=-≤⋅ （A2-10）

为连带勒让德函数。

球谐函数满足球面赫姆霍兹方程,,(1)0l m l m Y l l Y Ω∆++=和递推公式

,1,1,1,11,1

cos sin l m

l m l m

i l m l m Y e ϕθθ+-±+±-±== （A2-11）

是角动量平方及其z 分量的共同本征函数。前几个球谐函数为

0,01,01,122,02,1222,2,1),sin i i i Y Y Y e Y Y e Y e ϕϕϕ

θθθθθθ±±±±±±==

==-==

（A2-12）

2.4 氢原子径向波函数与缔合拉盖尔多项式

缔合拉盖尔多项式的定义为

()()k

k n

n k d L x L x dx

= （A2-13）

其中

()()n x

x n

n n

d L x

e e x dx -= （A2-14）

称为拉盖尔多项式，满足拉盖尔微分方程''()(1)'()()0n n n xL x x L x nL x +-+=。

氢原子的径向波函数为

02122()()(),0r na l l r r nl nl n l na na R r N e

L n l -

++=>≥ （A2-15） 其中nl N 为归一化系数。记0/r a ξ=，前几个径向波函数为

)/2/2

1,02,02,12/3/344

21

3,03,13

279272/3

3,2(),()),()()2,()()()R r e R r e R r e R r e R r e R r e ξξξξξξξξξξ------==

-=

=-

+=

-=

（A2-16） 2.5 散射相移与球贝塞尔函数