量子力学_参考答案

2
∫ x cos axdx = a
2
cos ax +
x sin ax a
(7 x cos axdx =
∫
2x x2 2 cos ax + ( − ) sin ax ) a a3 a2 x c ax 2 + c + ln( a x + ax 2 + c ) 2 2 a
(a > 0)
(8)
∫
ax 2 + c dx = x c −a ax 2 + c + arcsin( x) 2 c 2 −a
在边界上，波函数应满足连续性条件，即
ψ ( x) x = − a / 2 = 0 ψ ( x) x = + a / 2 = 0
将通解代入有
− A sin
ka ka + B cos = 0 2 2 ka ka A sin + B cos = 0 2 2
由此可得
ka =0 2 ka B cos = 0 2 A sin
n = 1,3,5,L n = 2,4,6,L
mπ ⎧ ⎪ B cos b x, Ym ( y ) = ⎨ mπ ⎪ B′ sin x, b ⎩ lπ ⎧ ⎪ C cos c x, Z l ( x) = ⎨ lπ ⎪C ′ sin x, c ⎩
由波函数的连续性可知在边界上
X (− a / 2) = X (a / 2) = 0 Y (−b / 2) = Y (b / 2) = 0 Z (−c / 2) = Z (c / 2) = 0
由方程和边界条件可得
nπ ⎧ ⎪ A cos a x, X n ( x) = ⎨ nπ ⎪ A′ sin x, a ⎩
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天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术
1 d2 X = − k x2 2 X dx 1 d2 2 Y = −k y Y dy 2 1 d2 Z = − k z2 Z dz 2
即
d2 X + k x2 X = 0 dx 2 d2 2 Y + ky Y =0 2 dy d2 Z + k z2 Z = 0 2 dz
ax
(3) (4)
ax ∫ e cos axdx =
e ax (a cos bx + b sin bx) a2 + b2
2
∫ x sin axdx = a
2 ∫ x sin axdx =
1
sin ax −
1 x cos ax a
2
(5) (6)
2x 2 x sin ax + ( 2 − ) cos ax 2 a a a 1
4
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3．设把宽为 a 的一维无限深势阱的坐标原点取在势阱中点，有
⎧ 0, U ( x) = ⎨ ⎩∞,
⎧ ⎪ ⎪ ψ n ( x) = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
粒子的能量为
(| x |< a / 2) (| x |≥ a / 2)
nπ 2 x, cos a a 2 nπ sin x, a a
求解，的得 （2）粒子的几率密度
A = 2λ3 / 2
P( x) = ψ ∗ ( x)ψ ( x) = 4λ3 x 2e −2λx
（3）在极值点，由一阶导数
dP( x) =0 dx
可得方程
4λ3 ⋅ 2 x(1 − λx)e −2λx = 0
解得方程的根
x = 0 ； x = ∞ ； x = 1/ λ
即为极值点。几率密度在极值点的值
P(0) = 0 ； lim P( x) = 0 ； P(1 / λ ) = 4λe −2
x →∞
由于 P(x)在区间(0，1/λ)的一阶导数大于零，是升函数；在区间(1/λ，∞)的一阶导数小 于零，是减函数，故几率密度的最大值为 4λe ，出现在 x = 1 / λ 处。
a 2nπ
∫
a/2
0
2nπ ⎞ ⎛ 2nπ ⎞ ⎛ x ⎟d ⎜ x⎟ ⎜1 − cos a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝
a/2
A 2 a ⎡ 2nπ x = ⎢ 2nπ ⎢ a 0 ⎣
2nπ x − sin a 0
a/2
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
A2 a A2 a = [nπ − 0] = =1 2nπ 2
求解，可得 A = 同理可得， B 解得
En =
k 2h 2 π 2h 2 2 = n , 2μ 2 μa 2
n = 1,2,3,4,L
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波函数的两个表达式还可统一为一个表达式
ψ n ( x) =
2 nπ a sin ( x + ), a a 2
2 nπ sin x, a a
n = 1,2,3,L
−2
2. 一维线性谐振子处于状态
ψ ( x, t ) = Ae
（1）求归一化因子 A；
1 1 − α 2 x 2 − i ωt 2 2
（2）求谐振子坐标 x 的平均值； （3）求谐振子势能的平均值。
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解： （1）由积分公式(12)
∫
∞
0
e −ax dx =
∞
由归一化条件
∫
可知
∞
−∞
∗ ψn ψ n dx = 1
nπ ⎞ ⎛ A ∫ ⎜ sin x ⎟ dx = 1 −a / 2 a ⎠ ⎝
2 a/2
2
即
A2 ∫
a/2
−a / 2
nπ ⎛ ⎜ sin a ⎝
⎞ x ⎟ dx = 2 A 2 ∫ 0 ⎠ = A2
2
a/2
1 − cos
2nπ x a dx 2
将 k2 已展开为三个分量的表达式，即 k = k x + k y + k z ，并带入上式
2 2 2 2
1 d2 1 d2 1 d2 2 + + Z + k x2 + k y + k z2 = 0 Y X Z dz 2 Y dy 2 X dx 2
要使上面式成立，则要求三个方向的分量也成立，故必然有
在阱内，波函数满足定态薛定谔方程
h2 2 ∇ ψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z ) 2μ
| x |≤ a / 2, | y |≤ b / 2, | z |≤ c / 2
2μE ，则方程可化为标准形式 h2
∇ 2ψ ( x, y, z ) + k 2ψ ( x, y, z ) = 0
−∞
x
dx
因被积函数是奇函数，在对称区间上积分应为 0，故
x =0
（3） U =
∞ −∞ ∞
U ( x) P( x)dx
=∫ =
1 2 α −α 2 x 2 kx e dx −∞ 2 π
kα
π ∫
∞
0
x 2 e −α
2 2
x
dx
由积分公式(13)
∫
∞
0
x 2 n e − ax dx =
2
(2n − 1)!! π ，或教材 P429 附录 I，可得 2 n +1 a 2 n +1
2
2/a
a/2
nπ ⎛ cos ∫− a / 2 ⎜ a ⎝
⎞ x ⎟ dx = B 2 a / 2 = 1 ⎠
2
B = 2/a
故在阱内的波函数为
⎧ ⎪ ⎪ ψ n ( x) = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
粒子的能量
2 nπ cos x, a a 2 nπ sin x, a a
n = 1,3,5,L n = 2,4,6,L
−
上式可变形为
| x |≥ a / 2
在阱内，波函数满足定态薛定谔方程
h2 ψ ′′( x) = Eψψ ′′( x) +
令k =
2
2μE ，则方程化为 h2
2μE ψ ( x) = 0 h2
ψ ′′( x) + k 2ψ ( x) = 0
该方程的通解为
ψ ( x) = A sin kx + B cos kx
U = =
2
2
kα 1 π ⋅ 3 π 4α k
4α 2
将 k = μω 、 α =
μω
h
代入，可得
1 1 U = hω = E0 4 2
即谐振子势能的平均值是总能量的一半，由能量守恒定律
E0 = T + U
可得，动能的平均值为
T = E0 − U =
1 E0 = U 2
即动能平均值和势能平均值相等，也是总能量的一半。
2
1 π ，可得 2 a
2 2
∫
∞
−∞
ψ ∗ψ dx =A 2 ∫ e −α x dx = 2 A 2 ∫ e −α x dx
2 2
∞
−∞
0
= 2 A2 ⋅
1 π 2 α2
=
由归一化的定义
A2 π
α
∫
得
∞
−∞
ψ ∗ψdx = 1
A=
α π
∞
2 2
（2） x =
∫ ∫
∞
−∞
xP( x)dx = A2 ∫ xe−α
(| x |< a / 2, | y |< b / 2, | z |< c / 2) (| x |≥ a / 2, | y |≥ b / 2, | z |≥ c / 2)
解：势能不含时间是定态问题。在阱外，波函数
ψ ( x, y, z ) = 0,
−
令k =
2
| x |≥ a / 2, | y |≥ b / 2, | z |≥ c / 2