量子力学_参考答案

π a 2n+1
注意： (2n −1)!!= 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅L(2n −1) 表示阶乘仅取奇数
∫ (14)
∞ 0
x 2n+1e −ax2 dx
=
n! 2a n+1
∫ (15)
∞ sin 2 ax dx = πa
0 x2
2
∫ (16) ∞ xe−ax sin bxdx = 2ab
0
(a2 + b2 )2
P(0) = 0 ； lim P(x) = 0 ； P(1/ λ) = 4λe−2 x→∞
由于 P(x)在区间(0，1/λ)的一阶导数大于零，是升函数；在区间(1/λ，∞)的一阶导数小
于零，是减函数，故几率密度的最大值为 4λe−2 ，出现在 x = 1/ λ 处。
2. 一维线性谐振子处于状态
− 1 α 2 x 2 − 1 iωt
U
=
1 4
hω
=
1 2
E0
即谐振子势能的平均值是总能量的一半，由能量守恒定律
E0 = T + U
可得，动能的平均值为
T
=
E0
−U
=
1 2
E0
=U
即动能平均值和势能平均值相等，也是总能量的一半。
4
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3．设把宽为 a 的一维无限深势阱的坐标原点取在势阱中点，有
U
(
(a > 0)
∫∞ xe−ax cos bxdx = a 2 −b2
0
(a2 + b2 )2
(a >0)
2
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第二章 薛定谔方程
1.
一维运动粒子处于ψ
(
x)
=
⎧ ⎨
Axe
−λx
⎩0
(x > 0) (x ≤ 0)
的状态，式中λ>0，求
（1）归一化因子 A；
（2）粒子的几率密度；
ψ (x,t) = Ae 2 2
（1）求归一化因子 A；
（2）求谐振子坐标 x 的平均值；
（3）求谐振子势能的平均值。
3
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∫ 解：（1）由积分公式(12) ∞ e−ax2 dx = 1 π ，可得
0
2a
∫ ∫ ∫ ∞ ψ ∗ψ dx =A2 ∞ e−α 2x2 dx = 2 A2 ∞ e−α 2x2 dx
a2
a
∫(7
x2
cos axdx
=
2x
cos ax
+
x2 (
−
2 ) sin ax )
a2
a a3
x ax2 + c + c ln( a x + ax 2 + c ) ( a > 0 )
2
2a
∫ (8) ax2 + cdx =
x ax2 + c + c arcsin( − a x)
2
2 −a
c
π
∫ 2 sin n xdx 0
（3）粒子出现在何处的几率最大？
解：（1）由波函数归一化定义，可得
∫ ∫ ∞ ψ ∗ (x)ψ (x)dx = A2 ∞ x 2e−2λx dx = 1
−∞
0
∫ 由积分公式(11)
∞ e −ax x n dx
0
=
n! a n+1
可得
∫ A2
∞ x 2e −2λx dx =
0
A2
2! (2λ ) 2+1
x)
=
⎧ 0, ⎩⎨∞,
(| x |< a / 2) (| x |≥ a / 2)
试通过具体解定态薛定谔方程，证明势阱中粒子的波函数为
⎧
ψ
n
(
x)
=
⎪⎪ ⎨
⎪
⎪⎩
2 cos nπ x, aa 2 sin nπ x, aa
粒子的能量为
n = 1,3,5,L n = 2,4,6,L
| x |≤ a / 2
En
=
π 2h2 2μa2
n2,
n = 1,2,3,4,L
证明：势函数与时间无关，是定态问题。
由于是无限深势阱，粒子不可能到达阱外，因此在阱外
ψ (x) = 0, | x |≥ a / 2
在阱内，波函数满足定态薛定谔方程
∫ (3) eax cos axdx = eax (a cos bx + b sin bx)
a2 + b2
∫ (4) x sin axdx = 1 sin ax − 1 x cos ax
a2
a
∫ (5)
x 2 sin axdx =
2x sin ax + (
2
−
x
2
) cos ax
a2
a2 a
∫ (6) x cos axdx = 1 cos ax + x sin ax
=
A = 2λ3/ 2
（2）粒子的几率密度
P(x) =ψ ∗(x)ψ (x) = 4λ3x2e−2λx
（3）在极值点，由一阶导数
可得方程
dP(x) = 0 dx
4λ3 ⋅ 2x(1 − λx)e−2λx = 0
解得方程的根
x = 0 ； x = ∞ ； x =1/λ
即为极值点。几率密度在极值点的值
−∞
−∞
0
= 2A2 ⋅ 1 2
π α2
由归一化的定义
∫∞ ψ ∗ψdx = 1 −∞
= A2 π α
得
A= α
π
∫ ∫ （2） x = ∞ xP(x)dx = A2 ∞ xe−α 2x2 dx
−∞
−∞
因被积函数是奇函数，在对称区间上积分应为 0，故
x =0
∞
∫ （3）U = U (x)P(x)dx −∞
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量子力学与统计物理 习题参考答案
量子力学常用积分公式
∫ ∫ (1) x neax dx = 1 x neax − n x n−1eax dx
a
a
(n > 0)
∫ (2)
eax sin bxdx = eax (a sin bx − b cos bx) a2 + b2
π (a >0) 2
∫ (10) ∞ sin ax dx =
0x
−π (a < 0) 2
∫ (11)
∞ e −ax x n dx
0
=
n! a n+1
( n = 正整数, a > 0 )
∫ (12) e∞ −ax2 dx = 1 π
0
2a
∫ (13)
∞ 0
x 2n e−ax2 dx
=
(2n −1)!! 2 n+1
(n −1)!! π n!! 2
( n = 正偶数)
(9)
=
π
∫ 2 cosn xdx 0
(n −1)!! n!!
( n = 正奇数)
(a<0)
注意： (n −1)!!= 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅L(n −1) 表示阶乘仅取奇数
n!!= 1⋅ 2 ⋅ 4 ⋅Ln
表示阶乘仅取偶数
1
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∫= ∞ 1 kx2 α e−α 2x2 dx
−∞ 2
π
∫ = kα ∞ x2e−α 2x2 dx
π0
∫ 由积分公式(13)
∞ 0
x 2n e−ax2 dx
=
(2n −1)!! 2 n+1
π a 2n+1
，或教材
P429
附录
I，可得
U = kα ⋅ 1 π π 4 α3
=k 4α 2
将 k = μω2 、α 2 = μω 代入，可得 h