简单的逻辑联结词知识点梳理

《简单的逻辑联结词》知识点梳理
【考纲要求】
1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
2. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
【知识网络】
【考点梳理】
一、复合命题的真假
口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真。

二、全称命题与特称命题
1．全称量词：类似“所有”这样的量词，并用符号“”表示。

2．全称命题：含有全称量词的命题。

其结构一般为：,()
∀∈
x M p x 3．存在量词：类似“有一个”或“有些”或“至少有一个”这样的量词，并用符号“”表示。

4．特称命题：含有存在量词的命题。

其结构一般为：,()
∃∈
x M p x
三、全称命题与特称命题的否定
1．命题的否定和命题的否命题的区别
命题的否定，即，指对命题的结论的否定。

命题的否命题，指的是对命题的条件和结论的同时否定。

2．全称命题的否定
全称命题：,()
∃∈⌝
x M p x
x M p x
∀∈全称命题的否定（）：,()特称命题,()
x M p x
∀∈⌝
∃∈特称命题的否定,()
x M p x
所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

四、常见结论的否定形式
【典型例题】
类型一：判定复合命题的真假
【高清课堂：逻辑例2】例1. 分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．
(1)若q＜1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；
(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0；
(3)若实数x、y满足x2＋y2＝0，则x、y全为零．
解析： (1)逆命题：若关于x 的方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q ＜1，为假命题．
否命题：若q ≥1，则关于x 的方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，假命题． 逆否命题：若关于x 的方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q ≥1，真命题．
(2)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，真命题．
否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，真命题．
逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，真命题．
(3)逆命题：若x 、y 全为零，则x 2＋y 2＝0，真命题．
否命题：若实数x 、y 满足x 2＋y 2≠0，则x 、y 不全为零，真命题． 逆否命题：若实数x 、y 不全为零，则x 2＋y 2≠0，真命题．
点评：
1. 判断复合命题的真假的步骤：
①确定复合命题的构成形式；
②判断其中简单命题p 和q 的真假；
③根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.
2. 条件“x N ∈或”是“或”的关系，否定时要注意.
举一反三：
【变式1】若命题P ：x A B ∈，则命题“非P ”是（ ）
A ．x A ∉且x
B ∉ B ．x A ∉或x B ∉
C ．x A B ∉
D ．x A B ∈
【答案】A ；
解析：∵因为命题可陈述为：属于集合A 或属于集合B ，∴非：即不属于集合A 且也不属于集合B ，即非：x A ∉且x B ∉，故选A.
【变式2】满足“p 或q”为真，“非p”为真的是 （填序号）
（1）p ：在ABC 中，若cos2A ＝cos2B ，则A ＝B ；q: ＝sinx 在第一象限是增函数
（2）p ：,)a b a b R +≥∈；q: 不等式x x >的解集为(),0-∞
（3）p:圆()22
1(2)1x y -+-=的面积被直线平分；q ：椭圆22
143x y +=的一条准线方程是.
【答案】(2)；
解析：由已知条件，知命题p 假、命题q 真. 选项(1)中，命题p 真而命题q 假，排除；选项(2)中命题p 假、命题q 真；选项(3)中，命题p 和命题q 都为真，排除；故填(2)．
类型二：全称命题与特称命题真假的判断
例2. 判断下列命题的真假，写出它们的否定并判断真假.
（1）2,20x R x ∀∈+>； （2）200
,10x R x ∃∈+=； （3）2,320x R x x ∀∈-+=； （4）200
,4x Q x ∃∈=. 解析：
(1)由于x R ∀∈都有20x ≥，故2220x +≥>，为真命题；
：200
,20x R x ∃∈+≤，为假命题 (2) 因为不存在一个实数，使210x +=成立，为假命题；
：2,10x R x ∀∈+≠，为真命题.
(3)因为只有或满足方程，为假命题；
：200
0,320x R x x ∃∈-+≠，为真命题. (4) 由于使24x =成立的数有，且它们是有理数，为真命题；
：2,4x Q x ∀∈≠，为假命题.
点评：
1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素，验证成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使0()p x 不成立即可；
2.要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.
举一反三：
【高清课堂：逻辑 思考题2】【变式1】分别写出下列各命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．
(1)若a>b 且c>d ，则a ＋c>b ＋d
(2)若a<0，则方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根．
【答案】(1)逆命题：若a ＋c>b ＋d ，则a>b 且c>d(假命题)
否命题：若a ≤b 或c ≤d ，则a ＋c ≤b ＋d(假命题)
逆否命题：若a ＋c ≤b ＋d ，则a ≤b 或c ≤d(真命题)
(2)逆命题：若方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根，则a<0
否命题：若a ≥0，则方程ax 2＋2x ＋1＝0无负实数根
逆否命题：若方程ax 2＋2x ＋1＝0无负实数根，则a ≥0
因为若a<0时，方程ax 2
＋2x ＋1＝0为两根之积为1a <0，所以方程有一个负根，所以原命题为真命题，所以其逆否命题也为真命题．
逆命题为假命题．事实上，方程ax 2＋2x ＋1＝0，有两个负数根时1a
>0此时a>0，所以逆命题不成立．
因此否命题也是假命题.
类型三：在证明题中的应用
例3.若,,a b c 均为实数，且222a x y π
=-+，223b y z π
=-+，
226c z x π
=-+．求证：,,a b c 中至少有一个大于0．
解析：假设,,a b c 都不大于0，即0,0,0a b c ≤≤≤，则0a b c ++≤ 而
222222222(1)(1)(1)3236a b c x y y z z x x y z π
π
π
π++=-++-++-+=-+-+-+-
∵222(1)(1)(1)0x y z -+-+-≥，30π->．
∴0a b c ++>，这与0a b c ++≤相矛盾．
因此,,a b c 中至少有一个大于0．
点评： 1.利用反证法证明时，首先正确地作出反设（否定结论）.从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾，从而假设不正确，原命题成立，反证法一般适宜结论本身以否定形式出现，或以“至多…”、“至少…”形式出现，或关于唯一性、存在性问题，或者结论的反面是比原命题更具体更容易研究的命题.
2.反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题． 举一反三：
【变式】求证:关于的方程20ax bx c ++=有一根为1的充分必要条件是0a b c ++=.
证明：
(1）必要性，即 证“是方程20ax bx c ++=的根0a b c ++=”.
∵是方程的根，将代入方程，得2110a b c ⋅+⋅+=,即0a b c ++=成立.
(2）充分性，即证“0a b c ++=是方程20ax bx c ++=的根”.
把代入方程的左边，得211a b c a b c ⋅+⋅+=++
∵0a b c ++=, ∴2110a b c ⋅+⋅+= ，∴是方程的根成立.
综合(1)(2)知命题成立.。