北理工信号与系统实验(4)

实验4 LTI 系统的频域分析
一、 实验目的
1. 加深对LTI 系统频率响应基本概念的掌握和理解
2. 学习和掌握LTI 系统频率特性的分析方法
二、 实验原理
1. 连续时间系统的频率响应
系统的频率响应定义为系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，即
()()j H h e d ωτωττ+∞
--∞
=⎰若LTI 连续时间系统的单位冲激响应为h(t)，输入信号为
x(t)，根据系统的时域分析可知系统的零状态响应为(t)x(t)h(t)y =*，对等式两边分别求傅里叶变换，根据时域卷积定理可以得到()X()H()Y ωωω=。

因此，系统的频率响应还可以由系统的零状态响应和输入的傅里叶变换之比
得到H()Y()/X()ωωω=。

H()ω反映了LTI 连续时间系统对不同频率信号的响应特性，是系统内在固有
的特性，与外部激励无关。

H()ω又可以表示为()H()=|H()|e j θωωω，其中|H()|ω称为系统的幅度响应，()θω称为系统的相位响应。

当虚指数信号e j t ω作用于LTI 系统时，系统的零状态响应y(t)仍为同频率的虚指数信号，即y(t)=e H()j t ωω。

对于由下述微分方程描述的LTI 连续时间系统(n)
(m)0
(t)(t)N
M
n m n m a y b x ===∑∑，其频
率响应H(j )ω可以表示为有理多项式
1110
1
110
(j )(j )...j ()()()(j )(j )...j M M M M N N N N b b b b Y H X a a a a ωωωωωωωωω----++++==++++ MATLAB 的信号处理工具箱提供了专门的函数freqs ，用来分析连续时间系统的频率响应，该函数有下列几种调用格式：
[h,w]=freqs(b,a) 计算默认频率范围内200个频率点上的频率响应的取样值，这200个频率点记录在w 中。

h=freqs(b,a,w) b 、a 分别为表示H(j )ω的有理多项式中分子和分母多项式的系数向量，w 为频率取样点，返回值h 就是频率响应在频率取样点上的数值向量。

[h,w]=freqs(b,a,n) 计算默认频率范围内n 个频率点上的频率响应的取样值，这n 个频率点记录在w 中。

freqs(b,a,…) 这种调用格式不返回频率响应的取样值，而是以对数坐标的方式绘出系统的幅频响应和相频响应。

2. 离散时间系统的频率响应
LTI 离散时间系统的频率响应定义为单位抽样响应h(t)的离散时间傅里叶变换。

(e )(n)e j j n H h +∞
Ω
-Ω-∞=∑对于任意输入信号x(n)，输入与输出信号的离散时间傅
里叶变换有如下关系Y(e )H(e )X(e )j j j ΩΩΩ=因此，系统的频率响应还可以表示为
H(e )=Y(e )/X(e )j j j ΩΩΩ
当系统输入信号为(n)e j n x Ω=时，系统的输出
(n k)
y(n)e
(n)(k)e (e )j n
j j n j k h e
h H +∞
ΩΩ-ΩΩ=-∞
=*=
=∑
虚指数信号通过LTI 离散时间系统后信号的频率不变，信号的幅度由系统频率响应的幅度值确定，所以H(e )j Ω表示了系统对不同频率信号的衰减量。

一般情况下离散系统的频率响应H(j )ω是复值函数，可用幅度和相位表示。

()H(e )=|H(e )|e j j j θΩΩΩ，其中|H(e )|j Ω称为系统的幅度响应，()θΩ称为系统的相位响应。

若LTI 离散系统可以由如下差分方程描述0
(n )(n )N
M
i j i j a y i b x j ==-=-∑∑，其频
率响应H(e )j Ω可以表示为有理多项式
0101e ...e (e )(e )(e )e ...e j jM j j M j j jN N b b b Y H X a a a -Ω-Ω
ΩΩ
Ω-Ω-Ω
+++==
+++
MATLAB 的信号处理工具箱提供了专门的函数freqz ，用来分析离散时间系统的频率响应，该函数有下列几种调用格式：
[H,w]=freqz(b,a,n) b 、a 分别为有理多项式分子中和分母多项式的系数向量，返回值H 是频率响应在0到pi 范围内n 个频率等分点上的数值向量，w 包含了这n 个频率点。

[H,w]=freqz(b,a,n,`whole`)计算0~2πn 个频率点上的频率响应的取样值，这n 个频率点记录在w 中。

H=freqz(b,a,w) w 为频率取样点，计算这些频率点上的频率响应的取样值。

freqz (b,a,…) 这种调用格式不返回频率响应的取样值，而是直接绘出系统的幅频响应和相频响应。

三、 实验内容
1.已知一个RLC 电路构造的二阶高通滤波器，其中F C H L C
L
R 05.0,4.0,2=== （1）计算该电路系统的频率响应及高通截止频率 解：由电路图
50)(10)()(11111
11)()()(2
2++=+++==ωωωωωωωj j j C j L j R L
j R t x t y H 高通截止频率为 7.07 （2）利用MATLAB 绘制幅度响应和相位响应曲线，比较系统的频率特性与理论计算的结果是否一致。

解：
b=[1 0 0]; a=[1 10 50]; [H,w]=freqs(b,a); subplot(211); plot(w,abs(H));
set(gca,'xtick',[0;10]);
set(gca,'ytick',[0 0.4 0.707 1]); xlabel('\omega(rad/s)');
ylabel('Magnitude'); title('|H(j\omega)|'); grid on ; subplot(212); plot(w,angle(H));
set(gca,'xtick',[0;10]); xlabel('\omega(rad/s)'); ylabel('Phase');
title('|phi(\omega)|'); grid on ;
010
0.4
0.707
1
ω(rad/s)M a g n i t u d e
|H(j ω)|
10
0123
4ω(rad/s)
P h a s e
|phi(ω)|
由图像，系统的频率特性与理论计算的结果一致。

2.已知一个RC 电路
（1）对不同的RC 值，用MATLAB 画出系统的幅度响应曲线|H()|ω，观察实验结果，分析RC 电路具有什么样的频率特性（高通、低通、带通或带阻）？系统的频率特性随着RC 值的改变，有何变化规律？
解：电路的频率响应为111
1
)()
()(+=+==
RC j R C
j C j t x t y H ωωωω syms r c k ; r=input('r='); c=input('c='); k=r*c; b=[1]; a=[k 1];
[H,w]=freqs(b,a); subplot(211); plot(w,abs(H));
set(gca,'xtick',[0,10]);
set(gca,'ytick',[0 0.4 0.707 1]); xlabel('\omega(rad/s)'); ylabel('Magnitude'); title('|H(j\omega)|'); grid on ; subplot(212); plot(w,angle(H));
set(gca,'xtick',[0,10]); xlabel('\omega(rad/s)'); ylabel('Phase');
title('|phi(\omega)|'); grid on ;
010
0.4
0.707
1
ω(rad/s)M a g n i t u d e
|H(j ω)|
010
-1.5
-1-0.5
0ω(rad/s)
P h a s e
|phi(ω)|
r=10 c=0.1
010
0.4
0.7071
X: 1.012Y: 0.703
ω(rad/s)M a g n i t u d e
|H(j ω)|
010
-1.5
-1-0.5
0ω(rad/s)
P h a s e
|phi(ω)|
0.4
0.7071
X: 0.1012Y: 0.703
ω(rad/s)M a g n i t u d e
|H(j ω)|
-1.5
-1-0.5
0ω(rad/s)
P h a s e
|phi(ω)|
（2）系统输入信号(t)cos(100t)cos(3000t),t 0~0.2s x =+=，该信号包含了一个低频分量和一个高频分量。

试确定适当的RC 值，滤除信号中的高频分量，并绘出滤波前后的时域信号波形及系统的频率响应曲线。

解： b=[1];
a=[0.0015 1]; h=tf(b,a);
[H,w]=freqz(b,a); t=0:0.001:0.2;
x=cos(100*t)+cos(3000*t);plot(t,x); lsim(h,x,t);plot(w,abs(H)); xlabel('\omega(rad/s)'); ylabel('Magnitude'); title('|H(j\omega)|'); grid on ;
RC=0.0015
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
-2-101
20
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0.998
0.99911.001
1.002
1.003ω(rad/s)
M a g n i t u d e
|H(j ω)|
Linear Simulation Results
Time (seconds)
A m p l i t u d e
RC=0.001
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
-2-101
20
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0.998
0.99911.001
1.002
1.003ω(rad/s)
M a g n i t u d e
|H(j ω)|
Linear Simulation Results
Time (seconds)
A m p l i t u d e
3.已知离散系统的系统框图
（1）写出M=8时系统的差分方程和系统函数
解：差分方程：y(n)=x(n)+x(n-1)+x(n-2)+x(n-3)+x(n-4)+x(n-5)+x(n-6)+x(n-7) 系统函数：8
7
6
5
4
3
2
1
11
)(--------++++++++=
z
z z z z z z z z H
（2）利用MATLAB 计算系统的单位抽样响应 b=[1 1 1 1 1 1 1 1 1]; a=[1];
impz(b,a,-10:10);
-10
-8
-6
-4
-2
024
6
8
10
00.10.20.30.40.50.60.7
0.80.91n (samples)
A m p l i t u d e
Impulse Response
（3）试利用MATLAB 绘出其系统零极点分布图、幅频和相频特性曲线，并分析该系统具有怎样的频率特性。

解：系统的极点分布图程序及图像如下：
b=[1 1 1 1 1 1 1 1 1]; a=[1];
zplane(b,a,-10:10);
-1
-0.5
00.5
1
-1
-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4
0.60.818
Real Part
I m a g i n a r y P a r t
系统的幅频和相频特性曲线如下：
b=[1 1 1 1 1 1 1 1 1]; a=[1];
[H,w]=freqz(b,a); subplot(211); plot(w/pi,abs(H)); xlabel('\omega(\pi)'); ylabel('Magnitude'); title('|H(e^j^\Omega)|'); grid on ; subplot(212);
plot(w/pi,angle(H)/pi); xlabel('\omega(\pi)'); ylabel('Phase(\pi)'); title('\theta(\Omega)'); grid on ;
00.10.20.30.40.5
0.60.70.80.91
05
10
ω(π)
M a g n i t u d e |H(e j Ω)|
00.10.20.30.40.5
0.60.70.80.91-1-0.5
0.5
ω(π)P h a s e (π)θ(Ω)
3. 已知一离散时间LTI 系统的频率响应H(e )j Ω，输入信号为
(n)cos(0.3n)0.5cos(0.8n)x ππ=+。

试分析正弦信号0sin(t)Ω通过频率响应为
H(e )
j Ω的离散时间系统的响应，并根据分析结果计算系统对于x(n)的响应y(n)，用MATLAB 绘出系统输入与输出波形。

观察实验结果，分析系统具有什么样的频率特性（高通、低通、带通或带阻）?从输入输出信号上怎么反映出系统的频率特性？
解：
n=0:1:50;
x=cos(0.3*pi*n)+0.5*cos(0.8*pi*n);
y=sinc(0.5*pi*n);z=conv(x,y);
subplot(211);
stem(x,'filled');
axis([0 50 -2 2]);
subplot(212);
stem(x,'filled');
axis([0 50 -2 2]);
05101520253035404550
-2-1
1
2
05101520253035404550
-2-1
1
2
四、 实验总结
通过本次实验，掌握和理解了LTI 系统频率响应的基本概念，学习和掌握了LTI 系统频率特性的MATLAB 分析方法。

实验中，需要先计算系统的频率响应
11101110
(j )(j )...j ()()()(j )(j )...j M M M M N N N N b b b b Y H X a a a a ωωωωωωωωω----++++==++++，然后再根据实际参数通过MATLAB 函数绘制出系统的幅度响应和相位响应曲线。

由于没有提前计算出频率响应表达式，所以实验开始时耽误了一些时间，计算之后速度便提了上来，顺利完成了实验。

通过实验对MATLAB 的掌握程度和熟练度皆有提升，以后的实验会更加顺利。