数字电路:第一章 逻辑代数基础
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1•A=A 0+A=A
AB+AC+BC=AB+AC (A+B)(A+C)(B+C) = (A+B)(A+C)
§1—5 用代数法化简逻辑式
最简与或表达式: 1、乘积项的个数最少(用门电路实现,用
的与门数最少)。 2、在满足1的条件下,乘积项中的变量最少
(与门的输入端最少)。 省器件:用最少的门,门的输入也最少
“异或”门电路的用处
(1)可控的数码原/反码输出器 A0=A A1=A
(2)作数码同比较器 (3)求两数码的算术和
AB F 00 0 01 1 10 1 11 0
§1—4 基本规则
1)代入规则: A•B=A+B 用A=CD代替A,等式仍成立
CD•B=CD+B=C+D+B 2)反演规则:
F: 若:“•”“+”,“+”“•”,“0”“1”,“1”“0” 原变量反变量,反变量原变量
A B
F
F=AB AC ACD BD
A B
1
C
1
D
“与非”表达 式
&
&
&
F
&
&
2、“或非” F=A+B+C
A
A
B >1 C
FB C
+
F
F=A+B+A+C+D+B+D
“或非”表达 式
3、“与或非” F=AB+CD
A & >1 B C D
A
F
B C
D
+F
4、“异或”F=AB+AB =AB
AB F 00 0 01 1 10 1 11 0
X1=+0.1001010 [X1]反=0.1001010
X2= –0.1011011 X3= –1101001
[X2]反=1.0100100 [X3]反=10010110
零的反码形式 [+0]反=0.0000000 [–0]反=1.1111111
3、补码
符号位与原码的符号位相同; 正数:补码的数值部分与原码按位相同;
00000000
+0
+0
00000001
1
+1
00000010
2
+2
反码
+0 +1 +2
补码
+0 +1 +2
…
…
01111110 01111111 10000000 10000001
11111110 11111111
126 +126 +126 +126
127 +127 +127 +127
128
–0 –127 –128
5211码
0000 0001 0011 0101 0111 1000 1001 1100 1101 1111
余3码
0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100
格雷码
0000 0001 0011 0010 0110 1110 1010 1000 1100 0100
3.八进制
在 八进制数中,每一位有0~7八个数码。计数规律: 逢八进一。 任意一个八进制数可以表示为
(S)8=kn-18n-1+kn-28n-2+...+k080+k-18-1+k-28-2+...+k-m8-m
–m
=i=n–1Ki8i
其中,ki:0~7八个数码中的任意一个 m、n:正整数,n为整数位数,m为小数位数 8:八进制的基数 8i: 称为第i 位的权
【例如】(67.73)8=6×81十7×80十7×8-1十3×8-2
4.十六进制
在十六进制数中,每一位有0~9、A(10)、B(11)、C (12)、D(13)、E(14)、F(15)十六个数码。计 数规律:逢十六进一。任意一个十六进制数可以表示为
(S)16=kn-116n-1+kn-216n-2+...+k0160+k-116-1+k-216-2+...+k-m16-m
二、 编码
(一)、带符号的二进制数的编码
X1=+0.1101011 (真值) X2= –0.1011011(真值)
X1=0.1101011(机器数) 符号位
X2=1.1011011 (机器数)
二进制数
二进制数的编码
在数字系统中,表示机器数的方法很多,常用的有 原码、反码和补码。
1、原码 当X>0时,[X]原与X的区别仅在于符号位用0表示; 当X<0时,[X]原与X的区别仅在于符号位用1表示;
129
–1 –126 –127
254 –126 –1 –2 255 –127 –0 –1
(二)十进制数的二进制编码
常用十进制数码
十进制数 8421码
0
0000
1
0001
2
0010
3
0011
4
0100
5
0101
6
0110
7
0111
8
1000
9
1001Βιβλιοθήκη 2421码0000 0001 0010 0011 0100 1011 1100 1101 1110 1111
第一章逻辑代数基础
§1—1 导论
一、数制 1.十进制
1.1.3 数制和码制
在 十进制数中,每一位有0—9十个数码。计数规
律:逢十进一。 任意一个十进制数(S)10可以表示为
(S)10=kn-110n-1+kn-210n-2+...+k0100+k-110-1+...+k-m10-m
–m
=i=n–1Ki10i
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 1 1 1
0 0 1 1
0 1 0 1
1 1 1 1
A
A
F
B C
+
FB C
F
3、“非”运 算
E
R A
逻辑函数式
逻辑符号
A1
F
A
F
A
F
F=A
A B F=AB F=A+B F=A
非逻辑真值表
AF
F
01
10
二、组合逻辑运算
1、“与非” F=A•B
A B
&
F
负数:补码的数值部分是原码的按位求反加1。
X1=+0.1011011
[X1]补=0.1011011
X2= –0.1101001 [X2]补=1.0010111
X3= –10010100 [X3]补=101101100
零的补码形式 [0]补=0.00000000
【例如】
八位二进制数码表示 无符号数 原码
F=f(A,B,C…)
其中:A、B、C...为输入逻辑变量,取值是0或l; F为输出逻辑变量,取值是0或l; F称为A、B、C...的输出逻辑函数。
一、逻辑代数的基本运算
真值表
1、“与”运算
ABC F
000 0
A
B
C
F
E
001 0 010 0 011 0
设:开关 打开—“0” 灯 灭—“0”
闭合—“1”
有权码
无权码
§1—2 逻辑运算
逻辑代数中的变量与普通代数中的变量一样, 也是以A、B、C等字母来表示,但这些变量只能取值 为0或1,这里的0或1不表示变量的大小,而表示两种 对立的关系,如低电平、高电平;无信号、有信号; 开关的断、通;灯的熄、亮等。逻辑代数表达的是电 路输入与输出间的逻辑关系,而不是数量关系。
摩根定律的应用 ① 、求反函数 F=AB+BC+ACD F=AB+BC+ACD =AB•BC•ACD
② 、将“与或”表达 式
化为“与非”表达 F式=AD+BCD+ABC+CD
=AD•BCD•ABC•CD
对合律 A=A
A+A=A 重叠律
A•A=A
AB+AC+BC=AB+AC 包含律
(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)
(S)2=kn-12n-1+kn-22n-2+...+k020+k-12-1+k-22-2+...+k-m2-m
–m
=i=n–1Ki 2 i
其中,ki:只能取0或1 m、n:正整数,n为整数位数,m为小数位数 2:二进制的基数 2i: 称为第i位的权
【例如】 (101.101)2=1×22十0×21十1×20十1×2-1十0×2-2十1×2-3
【例如】 (1011.01)2=1×23十0×22十1×21十1×20十0×2-1十1×2-2
=8+0+2+1+0+0.25=(11.25)10 (167)8=1×82十6×81+7×80=64+48+7=(119)10 (2A.7F)16=2×161十10×160十7×16-1十15×16-2
=(42.4960937)10
A+B C=(A+B) (A+C)
吸收律
A+AB=A+B A•(A+B)=A•B A+A•B=A A(A+B)=A
证:由分配律 A+AB =(A+A)(A+B) =A+B
反演律 (德•摩根定律)
A•B=A+B A+B=A•B
A B A•B A+B 00 1 1 01 1 1 10 1 1 11 0 0
亮—“1”
逻辑函数式 逻辑符号
F=A•B •C
100 0 101 0 110 0 111 1
A B
&
A FB
A FB
F
C
C
C
2、“或”运 算
A B C F
逻辑函数式
逻辑符号 A B >1 C
设:开关 打开—“0” 灯 灭—“0”
闭合—“1”
亮—“1”
或逻辑真值表
E F=A+B+C
AB C F
0 0 0 0
【例如】
(725)10=(1011010101)2 (725)10=(1325)8 (725)10=(2D5)16
(0.8125)10=(0.1101)2 (0.8125)10=(0.64)8 (0.8125)10=(0.CF)16
②二进制、 八进制、十六进制转换成十进制
二进制、八进制或十六进制转换成等值的十进 制数时,可按权相加的方法进行。
证:AB+AC+BC =AB+AC+BC(A+A) =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C)+AC(1+B) =AB+AC
推论:AB+AC+BCDEF=AB+AC
“异或”公式 AA=0 AA=1
A0=A A1=A
AB=AB=(AB)1
AB=BA
A(BC)=(AB)C
A•(BC)=(A•B)(A•C)
十进制整数转化成二进制数时,按除2取余方法进行 十进制整数转化成八进制数时,按除8取余方法进行 十进制整数转化成十六进制数时,按除16取余方法进
十进制小数转换成二进制数时,按乘2取整的方法进行。
十进制小数转换成八进制数时,按乘8取整的方法进行。
十进制小数转换成十六进制小数时,按乘16取整的方法
进行。
则:FF 【例如】 F1=AB+BD+ACD+0 F1=(A+B)(B+D)(A+C+D)1
F2=A+BD+ABCD F2=A•(B+D)•(A+B+C+D)
3)对偶规则: F: 若:“•”“+”,“+”“•”,“0”“1”,“1”“0” 则:FF F与F互为对偶函数 如果两个函数相等,则它们的对偶函数也相等。 函数对偶式的对偶式为函数本身。
其中,ki:0~9十个数码中的任意一个 m、n:正整数,n为整数位数,m为小数位数
10:十进制的基数
10i: 称为第i位的权
【例如】
(2001.9)10=2×103十0×102十0×101十1×100十9×10-1
2.二进制
在 二进制数中,每一位仅有0、1两个数码。计数规 律:逢二进一。任意一个二进制数可以表示为
A B
=1
F
A B
F
5、“同或”
F=AB+AB =A B
A= B
F
A B
F
§1—3 逻辑代数的公式和定理
互补律 A A=0 A+A=1
1 A=A 1律
1+A=1
0 A=0 0律
0+A=A
交换律 A B=B A A+B=B+A
结合律 A (B C)=(A B) C A+(B+C)=(A+B)+C
A (B+C)=A B+A C 分配律
【例1】
F=A(BC+BC)+ABC+ABC
展开: =ABC+ABC+ABC+ABC
合并: =(ABC+ABC)+(ABC+ABC)
互补律:=AC(B+B)+AC(B+B)
互补律:=AC+AC=A
【例2】
F=A(B+C)+BC
反演律 =A•BC+BC
吸收律 =A+BC
【例3】 F=ABC+ABC+CD+BD+ABD =(CD+BD+ABC)+ABC+ABD =CD+BD+ABD+ABC
③八进制、十六进制与二进制数的转换
一位八进制数表示的数值恰好相当于三位二进制 数表示的数值。
一位十六进制数表示的数值恰好相当于四位二进 制数表示的数值。
因此彼此之间的转换极为方便:只要从小数点开 始,分别向左右展开。
【例如】(67.731)8=(110 111.111 011 001)2 (3AB4)16=(0011 1010 1011 0100)2
X1=+0.1001010 [X1]原=0.1001010 X2= –0.1011011 [X2]原=1.1011011
X3= –1101001 [X3]原=11101001
零的原码形式
[+0]原=0.0000000 [–0]原=1.0000000
2、反码 符号位与原码的符号位相同; 正数:反码的数值部分与原码按位相同; 负数:反码的数值部分是原码的按位求反。
–m
=i=n–1Ki16i
其中,ki:0~9、A、B、C、D、E、F十六个数码中的 任意一个。m、n:正整数,n为整数位数,m为小数位 数。 16:十六进制的基数;16i: 称为第i位的权