11.5 对坐标曲面积分
对坐标的曲面积分
二、第二类曲面积分的概念与性质
(1)分割在Σ上任意分成n小块ΔSi（ΔSi同时也代表第i个小块 的面积），取其中一小块ΔSi来考虑.设通过ΔSi流向指定侧的流量 为ΔΦi，则通过整个曲面Σ的流量为
z=R,z=－R(R>0)所围成立体表面的外侧.
解 设Σ1,Σ2,Σ3分别是Σ的上、下底和圆柱面部分，则
三、第二类曲面积分的计算
易得 设Σ1,Σ2在xOy面的投影区域为Dxy,则
称为函数Px,y,z在 称为函数Q（ x,y,z ）在 称为函数Rx,y,z在有向
二、第二类曲面积分的概念与性质
根据上述定义，某流体以速度 流过有向曲面Σ指定侧的流量
在单位时间内
第二类曲面积分具有第二类曲线积分相类似的一些性质. 例如：
（1）设曲面Σ可分成两片光滑曲面Σ1及Σ2,则
二、第二类曲面积分的概念与性质
连续性，
也在Dxy上连续.由二重积分的定义
因此
三、第二类曲面积分的计算
类似地，当P（ x,y,z ）在光滑曲面 上连续时，有 这里取积分曲面Σ的前侧.当Q（ x,y,z ）在光滑曲面
上连续时，有 这里取积分曲面Σ的右侧.
三、第二类曲面积分的计算
【例1】
求 f(x,y,z)分别为
其中Σ是球面x2+y2+z2=1的外侧，
在ΔSi上任
取一点
如果当各小块曲面的直径的最大值
λ→0时，
二、第二类曲面积分的概念与性质
总存在，则称此极限为函数 在有向曲面Σ上的第二类曲面积分或对坐标的曲面积分，记为
11.5第二类曲面积分
z
给出,Σ 是速度场中的一片有向曲面,函数 都在Σ 上连续, 求在单位时间 内流向Σ 指定侧的流体的 质量 .
x
o
y
2、第二类曲面积分的概念与性质 定义 设 为光滑的有向曲面, 其上任一点( x , y , z )
第二类曲面积分
一、基本概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
曲面分上侧和下侧
曲面分左侧和右侧
莫比乌斯带
1、曲面侧的概念 在光滑曲面 上任取定一点 P , 并作曲面的法线,
该法线有两个可能的方向, 选定其中一个方向,如果 点 P 在曲面 上沿任一路 径连续地变动后 (不跨越
例 1 计算曲面积分 x2dydz y 2dzdx z 2dxdy 其中 是长
方体的整个表面的外侧 {(x y z)|0xa 0yb 0zc} 解 把的上下面分别记为1和2 前后面分别记为3和 4 左右面分别记为5和6 除3、4外 其余四片曲面在yOz 面上的投影为零 因此
2 2 2 2 x dydz x dydz x dydz a dydz 0dydz 3 4
D yz D yz
a2bc
同理可得
2 2 y dzdx b ac 2 2 z dxdy c ab
于是所求曲面积分为(abc)abc
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
2、有向曲面的概念（曲面的定侧）
今后我们总假定所考虑的曲面是双侧的.对于双 侧曲面,我们可通过选定曲面上的一个法向量来 规定曲面的侧. 反之,我们也可通过选定曲面的侧来规定曲面上 各点处的法向量的指向.
《对坐标的曲面积分》知识要点与基本计算思路与步骤
《对坐标的曲面积分》知识要点与基本计算思路与步骤一、曲面积分物理意义之流量的计算当流速场为A=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))时，则穿过指定方向了的曲面∑的流量可以表示为其中n o曲面上的单位法向量，dS=(dydz,dzdx,dxdy)，如果记单位法向量为n o=(cosα,cosβ,cosγ)，则有【注】其中dydz，dzdx，dxdy分别为dS在三个坐标面上的投影，因此它们是可正可负的，正负号由相应的方向余弦符号确定！二、对坐标的曲面积分的直接计算方法步骤直接对坐标的曲面积分进行计算，必须分成三个曲面积分进行计算，即对每个曲面积分直接进行计算，必须要求积分曲面为简单的YZ-型，简单的ZX-型和简单的XY-型分别计算。
在积分曲面为简单类型的情况下，则只要直接将积分曲面的二元函数表达式，即z=z(x,y),y=y(z,x),x=x(y,z)直接代入被积函数，就可以得到积分曲面分别在yOz面上的投影区域D yz，zOx面上的投影区域D zx和xOy面上的投影区域D xy上的二重积分，即有其中正负号的确定由曲面的法向量的方向来确定。
对于第一个积分，当曲面的法向量取为向前的时候，即cosα>0的时候，取正，否则向后为负；类似另外两个的正负号确定分别为右正左负，上正下负。
所以具体步骤可以概括为：第一步：被积函数定义在积分曲面上。
考虑将描述积分曲面的变量关系式（方程）代入被积函数变换，化简被积函数。
第二步：在直角坐标系中绘制积分曲面图形，或者直接借助描述积分曲面的方程，讨论积分区域图形的对称性和被积函数的奇偶性，包括图形的“轮换对称性”；从而在满足对称性、奇偶性和轮换对称性的条件下，借助“偶零奇倍”和轮换被积表达式变量转换、化简积分。
【注】对称性注意方向也要对称，即折叠曲面除了图形要重合，方向也要重合！第三步：将积分转换为简单积分曲面上的积分；然后利用上面给出的直接计算公式将简单曲面上对坐标的曲面积分转换为二重积分。
对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分
对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分曲面积分是多元函数的积分扩展，用于计算曲面上某个量的总和。
它分为对面积和对坐标的曲面积分。
对面积的曲面积分
对面积的曲面积分是通过将曲面分割成小面元，并对每个小面元的贡献进行求和得到的。
每个小面元的贡献取决于曲面上某个标量场的值以及该面元的面积。
计算对面积的曲面积分的一般步骤如下：
1.将曲面分割成小面元，可以使用直角坐标系、极坐标系或其他合适的坐标
系。
2.计算每个小面元的面积。
3.计算每个小面元上标量场的值。
4.将每个小面元的贡献相加，并对所有小面元求和。
对坐标的曲面积分
对坐标的曲面积分是通过将曲面分割成小面元，并对每个小面元的贡献进行求和得到的。
每个小面元的贡献取决于曲面上某个向量场的分量以及该面元的面积。
计算对坐标的曲面积分的一般步骤如下：
1.将曲面分割成小面元，可以使用直角坐标系、极坐标系或其他合适的坐标
系。
2.计算每个小面元的面积。
3.计算每个小面元上向量场的分量。
4.将每个小面元的贡献相加，并对所有小面元求和。
通过对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分，我们可以计算曲面上各种量的总和，这在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
对坐标的曲面积分
1.1 曲面的侧
本节中，我们假定所研究曲面皆为双侧曲面，并规定其中一侧为正侧，另一侧为负 侧．我们将选定侧的双侧曲面称为有向曲面，侧的选定与该曲面法向量的指向相关．例 如，对于曲面 z z(x ，y) ，若法向量指向朝上，则正侧为曲面的上侧；若法向量指向朝 下，则正侧为曲面的下侧，其余情况类推．我们规定曲面上侧、前侧、右侧为曲面的正 侧，而曲面下侧、后侧、左侧为负侧．
二类曲面积分），记作
P(x ，y ，z)dydz Q(x ，y ，z)dzdx R(x ，y ，z)dxdy ，
即
P(x ，y ，z)dydz Q(x ，y ，z)dzdx R(x ，y ，z)dxdy
n
lim
0
{P(i
i 1
，i
， i )(Si ) yz
Q(i
，i
， i )(Si )zx
3
1 y2 dz
1
3
dx
1 x2 dz 2 3 1
1 x2 dx 3 π ．
0
0
0
0
0
2
1.2 对坐标的曲面积分的概念与性质
例 2 计算曲面积分 zdxdy ，其中 为上半球面 x2 y2 z2 R2 的上侧．
解 则有
的方程是 z R2 x2 y2 ， 在 xOy 面上的投影区域为
Dxy {(x ，y) | x2 y2 R2}，
zdxdy R2 x2 y2 dxdy．
Dxy
因为将 Dxy 表示为极坐标形式时有 0 R ， 0 2 ，
故
zdxdy
R2 2 dd 1
2π
d
R
R2 2 d(R2 2 ) 2π R3 ．
Dxy
20
对坐标的曲面积分
,
,
,
dS 1 z x z y dxdy
故右边 R( x, y, z ) cos dS Rx, y, z ( x, y )dxdy
D xy
故有 R( x, y, z )dxdy R( x, y, z ) cos dS 成立
(2) 若 取下侧 左边
P( x, y, z )dydz P( x, y, z )dydz,
Q( x, y, z )dzdx Q( x, y, z )dzdx,
R( x, y, z )dxdy R( x, y, z )dxdy.
注意：
对坐标的曲面积分必须注意积分曲面所取的侧.
2
介于平面z 0及z 2之间的部分的下侧 .
规定S在xOy面上的投影(S ) xy 为 : (S ) xy ( ) xy ( ) xy 0 cos 0 cos 0 cos 0
(S ) xy 实际就是S在xOy面上的投影区域的面积附 以一定的正负号;
类似地可以定义S在yOz面及zOx面上的投影(S ) yz 及(S ) zx .
P( x, y, z )dydz Q( x, y, z )dzdx R( x, y, z )dxdy
即：
P( x, y, z )dydz Q( x, y, z )dzdx R( x, y, z )dxdy
6、 性质
(1) 若 1 2 , 则 :
解：将 分为 1与 2 : z1 1 x 2 y 2 , 1 : z2 1 x 2 y 2 2 (注意方程本身有正负 ) 而 1 取下侧 2 取上侧.(注意曲面也有正负 ， )
对坐标的曲面积分的几何意义
对坐标的曲面积分的几何意义
坐标的曲面积分是一个重要的数学工具，用于计算曲面上某个向量场的通量，它的几何意义可以从以下几个方面来解释：
1. 曲面积分可以用来计算曲面上某个向量场的通量。
通量是指向量场通过曲面的流量，它的值等于向量场在曲面上的投影与曲面面积的乘积。
因此，曲面积分可以用来计算向量场在曲面上的流量，这对于研究流体力学、电磁学等领域具有重要意义。
2. 曲面积分可以用来计算曲面的面积。
曲面积分的积分元素是面积微元，因此对曲面积分进行求和可以得到曲面的面积。
这对于计算复杂曲面的面积具有重要意义。
3. 曲面积分可以用来计算曲面上某个标量场的平均值。
标量场是指在空间中每一点都有一个标量值的场，例如温度场、密度场等。
曲面积分的积分元素是面积微元，因此对标量场在曲面上进行积分可以得到标量场在曲面上的平均值。
4. 曲面积分还可以用来计算曲面上某个向量场的旋度。
旋度是指向量场在某一点处的旋转强度，它的值等于向量场在该点处的环流密度。
曲面积分可以用来计算向量场在曲面上的环流，从而得到向量场在曲面上的旋度。
总之，坐标的曲面积分在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用，它的几何意义包括计算向量场的通量、曲面的面积、标量场的平均值和向量场的旋度等。
一、有向曲面概念
如果Σ由 y = y( z , x )给出, 则有
∫∫ Q( x , y, z )dzdx = ± ∫∫ Q[ x , y( z, x ), z ]dzdx
Σ Dzx
注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.
计算时应注意以下两点 曲面的侧 “一投,二代,三定号”
∫∫ R( x, y, z )dxdy = ± ∫∫ R[ x, y, z( x , y )]dxdy
λ → 0 i =1
r r lim ∑ F ( ξ i , η i , ζ i ) ⋅ n ( ξ i , η i , ζ i ) ∆ s i =
n
r r ∫∫ F ( x , y , z ) ⋅ n( x , y , z )ds
Σ
r r r r ∫∫ F ⋅ n ds = ∫∫ F ds
Σ Σ
= ∫∫ P ( x , y , z )dydz + Q ( x , y , z )dzdx + R( x , y , z )dxdy
若Σ取下侧, cos γ < 0,
Σ D xy
∴ ( ∆Si ) xy = − ( ∆σ ) xy ,
∫∫ R( x , y, z )dxdy = − ∫∫ R[ x , y, z( x , y)]dxdy
如果Σ由 x = x( y , z )给出, 则有 ∫∫ P ( x , y , z )dydz = ± ∫∫ P[ x( y , z ), y , z ]dydz
曲面 ∆S , ∆S在xoy面上的投影 ( ∆S ) xy 为
( ∆S ) xy ( ∆σ ) xy 当 cos γ > 0 时 = − ( ∆σ ) xy 当 cos γ < 0 时. 0 当 cos γ = 0 时
高等数学 对坐标的曲面积分
z
r 则该点流速为 v i ，
∆Si
Σ
r n i
•
r vi
(ξi ,ηi ,ζi )
r 法向量为 ni .
r r vi = v (ξ i ,η i , ζ i )
o
y
r r r x = P (ξ i ,η i , ζ i )i + Q(ξ i ,η i , ζ i ) j + R(ξ i ,η i , ζ i )k
20
对坐标的曲面积分
例 计算
其中Σ是球面 xyzdxdy其中 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1 ∫∫
Σ
外侧在 外侧在 x ≥ 0, y ≥ 0 的部分 的部分. 解 把Σ分成Σ 1和Σ 2两部分
z
O
x
Σ2
+
Σ 1 : z1 = − 1 − x 2 − y 2 ; Σ 2 : z2 = 1 − x 2 − y 2 ,
曲面的直径的最大值 λ → 0时，
12
对坐标的曲面积分
存在, lim∑R ξi ,ηi ,ζi )(∆Si )xy 存在 则称此极限为 (
0 λ→ i=1
n
函数 R( x , y , z )在有向曲面 Σ上 对 标 y的 面 坐 x, 曲
第二类曲面积分. 积 或称 第二类曲面积分 记作 分
∫∫ R(x, y,z)dxdy, 即 Σ
设积分曲面Σ是由 设积分曲面 是由
方程 z = z ( x , y ) 所给出 的曲面上侧, 在xOy面 上侧, Σ在 面 上的投影区域为 Dxy ,
函数 z = z ( x , y )在Dxy上 具有一阶连续偏导数, 具有一阶连续偏导数
高等数学对坐标的曲面积分教案
n
大值 0 时
lim
0
i1
R(i
,i,
i
)(Si
讲练结合
教 学过 程
教法运用及 板书要点
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
有向曲面 通常我们遇到的曲面都是双侧的 例如由方程 zz(x y) 表示
的曲面分为上侧与下侧 设 n(cos cos cos)为曲面上的法向量 在曲面
的上侧 cos0 在曲面的下侧 cos0 闭曲面有内侧与外侧之分
类似地 如果曲面的方程为 yy(z x)则曲面分为左侧与右侧 在曲面的
把曲面 分成 n 小块 S1 S2 Sn(Si 同时也代表第 i 小块曲面的 面积) 在 是光滑的和 v 是连续的前提下 只要Si 的直径很小 我们就可以 用Si 上任一点(i, i, i )处的流速
viv(i, i, i )P(i, i, i )iQ(i, i, i )jR(i, i, i )k 代替Si 上其它各点处的流速 以该点(i, i, i )处曲面 的单位法向量
nicosi icosi j cosi k 代替Si 上其它各点处的单位法向量 从而得到通过Si 流向指定侧的流量的近 似值为 viniS i (i1, 2, ,n) 于是 通过 流向指定侧的流量
n
vi niSi
i1
n
[P(i,i,i)cosi Q(i,i,i)cosi R(i,i,i)cos i]Si
时间
---------月---------日 星期-----------------
对坐标的曲面积分的计算方法(一)
对坐标的曲面积分的计算方法(一)对坐标的曲面积分的计算方法1. 引言曲面积分是微积分中的一种重要计算方法，用来求解三维空间中曲面上的某种量的总量。
其中，对坐标的曲面积分是其中一种常见的计算方法。
本文将详细介绍对坐标的曲面积分的计算方法。
2. 曲面积分的定义对坐标的曲面积分是指将一个函数在曲面上的每一点上的值乘以一个微小面积后进行累加得到的总量。
数学上，对坐标的曲面积分的公式如下：[曲面积分公式](其中，[f(x, y, z)]( 是定义在曲面上的函数，[dS]( 表示微小面积。
3. 计算方法对坐标的曲面积分的计算方法可以分为以下几种：3.1 参数化曲面法参数化曲面法是最常用的计算方法之一。
它将曲面上的点表示为二维参数域上的点，然后通过将参数域上的点映射到三维空间，从而得到曲面上的点坐标。
根据参数化曲面的定义，可以将对坐标的曲面积分转化为对参数域上的曲面积分的计算。
3.2 曲面积分的直接计算法对于某些特定的曲面，可以直接计算对坐标的曲面积分。
例如，球面、平面等特殊曲面具有简单的几何形状，可以直接进行计算。
3.3 曲面积分的换元计算法曲面积分的换元计算法是通过选择适当的变量替换来简化计算。
例如，对于某些问题，可以通过使用球坐标、柱坐标或其他坐标系来简化计算。
3.4 曲面积分的参数消去法对于某些特殊的曲面，可以通过参数消去法来简化计算。
参数消去法通过选择适当的参数变换，将曲面的方程转化为简化形式，从而简化对坐标的曲面积分的计算。
4. 结论对坐标的曲面积分的计算方法有很多种，可以根据具体的曲面和问题选择合适的方法。
参数化曲面法、直接计算法、换元计算法和参数消去法都是常用的计算方法。
在实际应用中，需要根据具体情况灵活选择合适的方法来求解对坐标的曲面积分。
以上是对坐标的曲面积分的计算方法的一些简要介绍，希望对读者有所帮助。
（以上内容仅供参考，具体计算方法以教材和相关资料为准。
）5. 参数化曲面法详解参数化曲面法是计算对坐标的曲面积分最常用的方法之一，下面将详细介绍该方法的步骤：5.1 确定参数域首先，需要确定参数域，即一个二维参数空间。
11-5对坐标的曲面积分 [兼容模式] (1)
![11-5对坐标的曲面积分 [兼容模式] (1)](https://img.taocdn.com/s3/m/566c77395901020207409cce.png)
其中( σ ) xy 表示投影区域的面积 , γ为法向量与 z轴正向
的夹角.
注意: 投影有正负之分.
类似可以给出有向曲面在其它坐标面上的投影.
积分曲面
被积函数 对 坐标y, z 的曲面积分
n 0 i i i
类似可定义
P ( , , P ( x, y, z )dydz lim
i 1 n
)( Si ) yz
)( Si ) zx
Q( , , Q( x , y, z )dzdx lim
D xy : x 2 y 2 1( x 0, y 0)
xy 1 x 2 y 2 dxdy
D xy
2 2 xy ( 1 x y )dxdy D xy
2 xy 1 x y dxdy
D xy
2
2
2 2 sin c
2
2
z 0
的下侧.
2 2
解 向xoy面的投影区域Dxy : x y 1
2 2 2 2 x y z x y dxdy
Dxy
Dxy
2 2 2 2 x y 1 x y
2 2
1
x 2 y 2 dxdy
0 i i i 1
i
对坐标 x, z 的曲面积分 如曲面是 闭曲面,则积分号写成
6.组合形式
P ( x , y, z )dydz Q( x , y, z )dzdx R( x , y, z )dxdy
对坐标的曲面积分公式
对坐标的曲面积分公式坐标的曲面积分这玩意儿，听起来好像有点复杂，但咱慢慢捋捋，其实也没那么可怕。
先来说说啥是坐标的曲面积分。
想象一下，咱有个曲面，就像一个弯曲的大毯子，这个毯子上的每一点都有自己的属性。
比如说温度、电场强度啥的。
那怎么去计算这个属性在整个曲面上的总和呢？这就用到坐标的曲面积分啦。
给您举个例子啊，就说咱家里的空调吧。
夏天的时候，空调吹出冷风，房间里不同的地方温度不一样。
假设房间的墙面就是一个曲面，我们想知道整个墙面吸收的冷量，这就得用到坐标的曲面积分。
坐标的曲面积分公式呢，通常是这样的：∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 。
这里的 P、Q、R 就是那些和属性相关的函数。
那怎么用这个公式呢？咱得先搞清楚曲面的方程，比如说 z = f(x,y) 。
然后通过一些数学魔法，把这个积分转化成在xoy 平面上的二重积分。
这过程就像是变魔术，得仔细点儿，不然就出错啦。
再给您说个我教学时候的事儿。
有一次上课，我给学生们讲坐标的曲面积分，有个学生怎么都理解不了。
我就拿了个橘子，把橘子皮当成曲面，然后在上面标记了一些数字代表不同的属性。
通过这个形象的例子，那学生终于恍然大悟，脸上露出了开心的笑容。
回到公式上，用这个公式计算的时候，还得注意方向。
曲面有上侧下侧、前侧后侧、左侧右侧之分。
方向搞反了，答案可就不对喽。
其实啊，数学里的这些公式就像是一个个工具，咱们得知道啥时候用哪个工具，怎么用才能解决问题。
坐标的曲面积分公式虽然看起来有点复杂，但只要多做几道题，多琢磨琢磨，也就不难掌握啦。
总之，坐标的曲面积分公式虽然有点小麻烦，但只要咱有耐心，有细心，把它拿下不是问题！希望您在学习或者研究这个的时候，也能顺顺利利的，别被它给难住咯！。
11-5对坐标的曲面积分
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
1
2
性质2 设 是与 取相反侧的有向曲面，则
P( x, y, z)dydz P( x, y, z)dydz 前后侧
Q( x, y, z)dzdx Q( x, y, z)dzdx 左右侧
R( x, y, z)dxdy R( x, y, z)dxdy 上下侧
Dxy
如果 取上侧，有
zn
z f (x, y)
R( x, y, z)dxdy
R[x, y, z( x, y)]dxdy. o
y
Dxy
此时
n
的方向余弦为
x
Dxy
cos zx ，cos zy ，cos 1 .
1
z
2 x
z
2 y
1
z
2 x
z
2 y
1
z
2 x
z
2 y
又 dS
1
z
对坐标的曲面积分总存在．
实际应用中常见的是下列组合形式：
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy
Pdydz Qdzdx Rdxdy .
4. 对坐标的曲面积分的性质
性质1
若
可分为分片光滑的曲面
1
及
，则
2
Pdydz Qdzdx Rdxdy
4. 格林公式及应用，平面曲线积分与路径无关的条件，
二元函数的全微分求积．
5. 曲线积分的应用
二、曲面积分
1. 两类曲面积分的概念与性质
2. 两类曲面积分的计算
：z z( x, y)；
f ( x, y, z)dS f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy．
A11-5对坐标的曲面积分-文档资料
为平面 x y z 1在第四卦限部分的上侧．
z
解 利用两类曲面积分之间的关系
1
的法向量为
n
{1,1,1},
cos
1
, cos 1 , cos
1
1
.
3
3
3
o
1
x
y
I
{
1 [ f (x, 3
y, z)
x]
1 [2 f ( x, y, z) y] 1 [ f ( x, y, z) z]}dS
R2dxdy
s2
x2 y2 R2 z
R2 y2 dydz R2 z2
s1 y
x
s2
s3
五、两类曲面积分之间的联系
设有向曲面Σ是由方程z z( x, y) 给出,Σ在
xoy面上的投影区域为Dxy , 函数z z( x, y) 在Dxy
上具有一阶连续偏导数, R( x, y, z)在Σ上连续.
cos
cos 封闭曲面
侧的规定 > 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧 外侧 < 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧 内侧
• 设 为有向曲面, 其面元 S 在 xoy 面上的投影记为
(S )xy ,
的面积为
则规定
(S)xy
( )xy , 当cos 0时
( )xy , 当cos 0时
称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分;
R d x d y 称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分.
Pdy d z Qd z d x Rdx dy
若记 正侧的单位法向量为 n ( cos , cos , cos )
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2
介于平面 z= 0
z
2
及 z = 2 之间部分的下侧. 解: 利用两类曲面积分的联系, 有
o x x
1 x y 1 1 x y
2 2 2
y
( z x) d y d z
2
2
( z x) cos dS
cos cos
( z x)
2
n
) ( i ) x y
R( x, y,z (x, y)) d x d y
Dx y
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说明: 如果积分曲面 取下侧, 则
R( x, y, z) d x d y
•若
R( x, y, z ( x, y ) )d x d y
Dxy
则有
cos cos
d xd y
2
∴ 原式 =
( z
2
x) ( x) z d x d y
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将 z 1 ( x y ) 代入, 得
2
2
2
z
2
原式
Dx y
( x y ) x ( x)
2 2 2
2
1
4
令 A ( P, Q, R), n (cos , cos , cos )
dS n dS (d ydz, dzdx, dxd y )
向量形式
A d S A n d S
A n A n ( A 在 n 上的投影)
A n dS
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• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向 表示 : 方向余弦
侧的规定
cos
cos
cos
封闭曲面
外侧
> 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧
< 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧
( S ) x y ,
内侧
• 设 为有向曲面, 其面元 S 在 xoy 面上的投影记为 的面积为
( ) x y , ( S ) x y
则规定
当cos 0时
当cos 0时
机动
( ) x y , 当cos 0时
类似可规定
(S ) yz , (S ) zx
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0,
二、 对坐标的曲面积分的概念与性质
1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 求单位时间流过有向曲面 的流量 . 分析: 若 是面积为A 的平面,
Q ( x , y , z ) dzdx
R ( x , y , z ) dxdy R ( x , y , z ) dxdy
三、对坐标的曲面积分的计算法
定理: 设光滑曲面 是 上的连续函数, 则 取上侧,
R( x, y, z) d x d y
0 时,
lim
0
n
R ( i , i , i ) ( S i ) x y 存在,则称此极限为
i1
函数 R( x , y , z ) 在有向曲面Σ 上对坐标 x, y 的曲 面积分(也称第二类曲面积分)
记作 R( x , y , z )dxdy ,即
R( x , y, z )dxdy lim R( i , i , i )( Si ) xy 0
2
2 2 1 x y d x d y
2
xy 1 x y d x d y
Dx y
2
z 2
rd rd
2
Dx y
r sin cos
2
1 r
2
2
0
2 sin 2
d
0 r
1 3
o
1 r d r
1
x
y
2 15
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1
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其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方
体的整个表面的外侧. 解: 利用对称性. 原式 3 ( z x) d x d y
例1. 计算 ( x y ) d y d z ( y z ) d z d x ( z x) d x d y
z
y
x
a 2
的顶部 1 : z
n
i 1
设 ni (cos i , cos i , cos i ) , 则
n
lim P( i ,i , i ) cos i Q( i ,i , i ) cos i
0 i 1
R( i ,i , i ) cos i Si
第五节 对坐标的曲面积分
一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质
三、对坐标的曲面积分的计算法
四、两类曲面积分的联系
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一、有向曲面及曲面元素的投影
双侧曲面
• 曲面分类
单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧
四、两类曲面积分的联系
Pd y d z Qd z d x Rd x d y
lim
P(i ,i , i )(Si ) y z Q(i ,i , i )(Si ) z x 0
i 1
n
R( i ,i , i )(Si ) x y
x y 1 : x 0 , y 0
2
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x y z d x d y
Dx y
1
x y z d x d y
2
x yz d x d y
xy ( 1 x 2 y 2 ) d x d y xy
Dx y
1 2
Pdydz Qdzdx Rdxdy
1
Pdydz Qdzdx Rdxdy
2
Pdydz Qdzdx Rdxdy
2.
P ( x , y , z ) dydz P ( x , y , z ) dydz
Q ( x , y , z ) dzdx
P( x, y, z ) d x d y
•若
P( x( y, z ) ,y, z )d y d z
Dy z
(前正后负)
则有
Q( x, y, z) d x d y
Q ( x, y ( z, x) ,z )d z d x
Dz x
(右正左负)
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组合形式:
P ( x , y , z )dydz Q( x , y , z )dzdx R( x , y , z )dxdy
物理意义:
P ( x , y , z )dydz Q( x , y , z )dzdx R( x , y , z )dxdy
性质:
1.
i 1
n
R( x , y, z )dxdy lim R( i , i , i )( Si ) xy 0
i 1
n
被积函数 积分曲面
类似可定义
P ( x , y, z )dydz lim P ( i , i , i )( Si ) yz 0
1 (x 2
2
y ) d x d y
o x
y
Dx y
2
x 2 1 ( x 2 y 2 ) d xdy 2
0
d
0
2
(r cos 1 r ) r dr 2
2 2 2
8
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内容小结
1. 两类曲面积分及其联系 定义: • •
lim f ( x, y, z ) d S 0 f (i , i , i ) Si
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2. 常用计算公式及方法 第一类 (对面积) 面积分 第二类 (对坐标)
(1) 统一积分变量
转化
二重积分
代入曲面方程 (方程不同时分片积分) 第一类： 面积投影 第二类： 有向投影
例3. 设
夹成的锐角, 计算
是其外法线与 z 轴正向
z
解: I z 2 cos d S
1
n
1
1 y
Dx y
(1 x y ) d x d y
1 2
2
2
x
0
2
d (1 r ) r dr
0
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例4. 计算曲面积分
旋转抛物面
( z x) d y d z z d x d y, 其中
lim
0
i 1
n
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2 定义 设Σ为光滑的有向曲面,函数 R(x,y,z) 在Σ上有界,把Σ分成 n 块小曲面 Si ( Si 同时 又表示第 i 块小曲面的面积), Si 在 xoy 面上的 投影为 (Si ) xy , ( i , i , i ) 是 Si 上任意取定的 一点,如果当各小块曲面的直径的最大值