对坐标的曲面积分
合集下载
对坐标的曲面积分
其中θ为v与n的夹角. 如果Σ不是平面而是一片曲面，且流速v也不是常向量时，所 求流量就不能按照上述公式计算.下面采用以下几个步骤来解决这 个问题.
二、第二类曲面积分的概念与性质
(1)分割在Σ上任意分成n小块ΔSi（ΔSi同时也代表第i个小块 的面积），取其中一小块ΔSi来考虑.设通过ΔSi流向指定侧的流量 为ΔΦi，则通过整个曲面Σ的流量为
z=R,z=－R(R>0)所围成立体表面的外侧.
解 设Σ1,Σ2,Σ3分别是Σ的上、下底和圆柱面部分，则
三、第二类曲面积分的计算
易得 设Σ1,Σ2在xOy面的投影区域为Dxy,则
称为函数Px,y,z在 称为函数Q（ x,y,z ）在 称为函数Rx,y,z在有向
二、第二类曲面积分的概念与性质
根据上述定义，某流体以速度 流过有向曲面Σ指定侧的流量
在单位时间内
第二类曲面积分具有第二类曲线积分相类似的一些性质. 例如：
（1）设曲面Σ可分成两片光滑曲面Σ1及Σ2,则
二、第二类曲面积分的概念与性质
连续性，
也在Dxy上连续.由二重积分的定义
因此
三、第二类曲面积分的计算
类似地，当P（ x,y,z ）在光滑曲面 上连续时，有 这里取积分曲面Σ的前侧.当Q（ x,y,z ）在光滑曲面
上连续时，有 这里取积分曲面Σ的右侧.
三、第二类曲面积分的计算
【例1】
求 f(x,y,z)分别为
其中Σ是球面x2+y2+z2=1的外侧，
在ΔSi上任
取一点
如果当各小块曲面的直径的最大值
λ→0时，
二、第二类曲面积分的概念与性质
总存在，则称此极限为函数 在有向曲面Σ上的第二类曲面积分或对坐标的曲面积分，记为
二、第二类曲面积分的概念与性质
(1)分割在Σ上任意分成n小块ΔSi（ΔSi同时也代表第i个小块 的面积），取其中一小块ΔSi来考虑.设通过ΔSi流向指定侧的流量 为ΔΦi，则通过整个曲面Σ的流量为
z=R,z=－R(R>0)所围成立体表面的外侧.
解 设Σ1,Σ2,Σ3分别是Σ的上、下底和圆柱面部分，则
三、第二类曲面积分的计算
易得 设Σ1,Σ2在xOy面的投影区域为Dxy,则
称为函数Px,y,z在 称为函数Q（ x,y,z ）在 称为函数Rx,y,z在有向
二、第二类曲面积分的概念与性质
根据上述定义，某流体以速度 流过有向曲面Σ指定侧的流量
在单位时间内
第二类曲面积分具有第二类曲线积分相类似的一些性质. 例如：
（1）设曲面Σ可分成两片光滑曲面Σ1及Σ2,则
二、第二类曲面积分的概念与性质
连续性，
也在Dxy上连续.由二重积分的定义
因此
三、第二类曲面积分的计算
类似地，当P（ x,y,z ）在光滑曲面 上连续时，有 这里取积分曲面Σ的前侧.当Q（ x,y,z ）在光滑曲面
上连续时，有 这里取积分曲面Σ的右侧.
三、第二类曲面积分的计算
【例1】
求 f(x,y,z)分别为
其中Σ是球面x2+y2+z2=1的外侧，
在ΔSi上任
取一点
如果当各小块曲面的直径的最大值
λ→0时，
二、第二类曲面积分的概念与性质
总存在，则称此极限为函数 在有向曲面Σ上的第二类曲面积分或对坐标的曲面积分，记为
高数-对坐标的曲面积分
z)dxdy
lim
0
i 1
R( i
,i z
,
i
)( Si
)xy n
首先将 的方程表为 z z( x, y),
z z(x, y)
Dx y 为 在 xoy 面上的投影区域
在 上任取一小块区域 Si Si 在 xoy 面上的投影区域为
o
Dxy
( i )xy , 投影为 ( Si )xy , x
y
R( x, y, z)dxdy
x
( i )xy
n
lim
0
R[i
i 1
,i
,
z(i
,i
)](
i
)
xy
R[
Dxy
x,
y,
z(
x,
y)]dxdy
n
R(
x,
y,
z)dxdy
lim
0
i 1
R( i
,i
,
i
)( Si
z)
j
R(
x,
y,
z)k
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy
性质: 与第二类曲线积分的性质完全相似、例如 线性性质、有限可加性等
Pdydz Qdzdx Rdxdy
1 2
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
(Si )xy ( i )xy , i z(i ,i ),
R( x, y, z)dxdy
n
o
lim
0
R[i
i 1
,i
,
z(
i
,i
)](
对坐标的曲面积分
1.1 曲面的侧
本节中，我们假定所研究曲面皆为双侧曲面，并规定其中一侧为正侧，另一侧为负 侧．我们将选定侧的双侧曲面称为有向曲面，侧的选定与该曲面法向量的指向相关．例 如，对于曲面 z z(x ，y) ，若法向量指向朝上，则正侧为曲面的上侧；若法向量指向朝 下，则正侧为曲面的下侧，其余情况类推．我们规定曲面上侧、前侧、右侧为曲面的正 侧，而曲面下侧、后侧、左侧为负侧．
二类曲面积分），记作
P(x ，y ，z)dydz Q(x ，y ，z)dzdx R(x ，y ，z)dxdy ，
即
P(x ，y ，z)dydz Q(x ，y ，z)dzdx R(x ，y ，z)dxdy
n
lim
0
{P(i
i 1
，i
， i )(Si ) yz
Q(i
，i
， i )(Si )zx
3
1 y2 dz
1
3
dx
1 x2 dz 2 3 1
1 x2 dx 3 π ．
0
0
0
0
0
2
1.2 对坐标的曲面积分的概念与性质
例 2 计算曲面积分 zdxdy ，其中 为上半球面 x2 y2 z2 R2 的上侧．
解 则有
的方程是 z R2 x2 y2 ， 在 xOy 面上的投影区域为
Dxy {(x ，y) | x2 y2 R2}，
zdxdy R2 x2 y2 dxdy．
Dxy
因为将 Dxy 表示为极坐标形式时有 0 R ， 0 2 ，
故
zdxdy
R2 2 dd 1
2π
d
R
R2 2 d(R2 2 ) 2π R3 ．
Dxy
20
高等数学 对坐标的曲面积分
(ξ i ,η i , ζ i ),
z
r 则该点流速为 v i ，
∆Si
Σ
r n i
•
r vi
(ξi ,ηi ,ζi )
r 法向量为 ni .
r r vi = v (ξ i ,η i , ζ i )
o
y
r r r x = P (ξ i ,η i , ζ i )i + Q(ξ i ,η i , ζ i ) j + R(ξ i ,η i , ζ i )k
20
对坐标的曲面积分
例 计算
其中Σ是球面 xyzdxdy其中 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1 ∫∫
Σ
外侧在 外侧在 x ≥ 0, y ≥ 0 的部分 的部分. 解 把Σ分成Σ 1和Σ 2两部分
z
O
x
Σ2
+
Σ 1 : z1 = − 1 − x 2 − y 2 ; Σ 2 : z2 = 1 − x 2 − y 2 ,
曲面的直径的最大值 λ → 0时，
12
对坐标的曲面积分
存在, lim∑R ξi ,ηi ,ζi )(∆Si )xy 存在 则称此极限为 (
0 λ→ i=1
n
函数 R( x , y , z )在有向曲面 Σ上 对 标 y的 面 坐 x, 曲
第二类曲面积分. 积 或称 第二类曲面积分 记作 分
∫∫ R(x, y,z)dxdy, 即 Σ
设积分曲面Σ是由 设积分曲面 是由
方程 z = z ( x , y ) 所给出 的曲面上侧, 在xOy面 上侧, Σ在 面 上的投影区域为 Dxy ,
函数 z = z ( x , y )在Dxy上 具有一阶连续偏导数, 具有一阶连续偏导数
z
r 则该点流速为 v i ，
∆Si
Σ
r n i
•
r vi
(ξi ,ηi ,ζi )
r 法向量为 ni .
r r vi = v (ξ i ,η i , ζ i )
o
y
r r r x = P (ξ i ,η i , ζ i )i + Q(ξ i ,η i , ζ i ) j + R(ξ i ,η i , ζ i )k
20
对坐标的曲面积分
例 计算
其中Σ是球面 xyzdxdy其中 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1 ∫∫
Σ
外侧在 外侧在 x ≥ 0, y ≥ 0 的部分 的部分. 解 把Σ分成Σ 1和Σ 2两部分
z
O
x
Σ2
+
Σ 1 : z1 = − 1 − x 2 − y 2 ; Σ 2 : z2 = 1 − x 2 − y 2 ,
曲面的直径的最大值 λ → 0时，
12
对坐标的曲面积分
存在, lim∑R ξi ,ηi ,ζi )(∆Si )xy 存在 则称此极限为 (
0 λ→ i=1
n
函数 R( x , y , z )在有向曲面 Σ上 对 标 y的 面 坐 x, 曲
第二类曲面积分. 积 或称 第二类曲面积分 记作 分
∫∫ R(x, y,z)dxdy, 即 Σ
设积分曲面Σ是由 设积分曲面 是由
方程 z = z ( x , y ) 所给出 的曲面上侧, 在xOy面 上侧, Σ在 面 上的投影区域为 Dxy ,
函数 z = z ( x , y )在Dxy上 具有一阶连续偏导数, 具有一阶连续偏导数
对坐标的曲面积分
注意这里的 d y d z , d z d x , d x d y 与二重积分的 d y d z , d z d x , d x d y 表示的含义不一样.
9
P d y d z Q d z d x R d x d y A n d S
这即为两类曲面积分的联系式子, 常表为
19
例6. 计算曲面积分 ( z 2 x) d y d z z d x d y, 其中
旋转抛物面 及 z = 2 之间部分的下侧.
介于平面 z= 0
z
2
解: 利用两类曲面积分的联系, 有
o x x
1 x2 y2 1 1 x2 y2
y
( z 2 x) d y d z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d S n d S (d yd z, d zd x, d x d y) A ( P( x, y, z ) , Q( x, y, z ) , R( x, y, z ) )
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
P d y d z Q d z d x R d x d y A d S
r r dS r3 r
q
q r
dS 2
dS R2
18
q
例5. 设
夹成的锐角, 计算
是其外法线与 z 轴正向
解: I z 2 cos d S
z
1
n
1y
Dx y
(1 x 2 y 2 ) d x d y
1 0
x
1
2 0
d (1 r 2 ) r dr
根据对称性 xyz d x d y 0
9
P d y d z Q d z d x R d x d y A n d S
这即为两类曲面积分的联系式子, 常表为
19
例6. 计算曲面积分 ( z 2 x) d y d z z d x d y, 其中
旋转抛物面 及 z = 2 之间部分的下侧.
介于平面 z= 0
z
2
解: 利用两类曲面积分的联系, 有
o x x
1 x2 y2 1 1 x2 y2
y
( z 2 x) d y d z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d S n d S (d yd z, d zd x, d x d y) A ( P( x, y, z ) , Q( x, y, z ) , R( x, y, z ) )
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
P d y d z Q d z d x R d x d y A d S
r r dS r3 r
q
q r
dS 2
dS R2
18
q
例5. 设
夹成的锐角, 计算
是其外法线与 z 轴正向
解: I z 2 cos d S
z
1
n
1y
Dx y
(1 x 2 y 2 ) d x d y
1 0
x
1
2 0
d (1 r 2 ) r dr
根据对称性 xyz d x d y 0
对坐标的曲面积分的计算方法(一)
对坐标的曲面积分的计算方法(一)对坐标的曲面积分的计算方法1. 引言曲面积分是微积分中的一种重要计算方法，用来求解三维空间中曲面上的某种量的总量。
其中，对坐标的曲面积分是其中一种常见的计算方法。
本文将详细介绍对坐标的曲面积分的计算方法。
2. 曲面积分的定义对坐标的曲面积分是指将一个函数在曲面上的每一点上的值乘以一个微小面积后进行累加得到的总量。
数学上，对坐标的曲面积分的公式如下：[曲面积分公式](其中，[f(x, y, z)]( 是定义在曲面上的函数，[dS]( 表示微小面积。
3. 计算方法对坐标的曲面积分的计算方法可以分为以下几种：3.1 参数化曲面法参数化曲面法是最常用的计算方法之一。
它将曲面上的点表示为二维参数域上的点，然后通过将参数域上的点映射到三维空间，从而得到曲面上的点坐标。
根据参数化曲面的定义，可以将对坐标的曲面积分转化为对参数域上的曲面积分的计算。
3.2 曲面积分的直接计算法对于某些特定的曲面，可以直接计算对坐标的曲面积分。
例如，球面、平面等特殊曲面具有简单的几何形状，可以直接进行计算。
3.3 曲面积分的换元计算法曲面积分的换元计算法是通过选择适当的变量替换来简化计算。
例如，对于某些问题，可以通过使用球坐标、柱坐标或其他坐标系来简化计算。
3.4 曲面积分的参数消去法对于某些特殊的曲面，可以通过参数消去法来简化计算。
参数消去法通过选择适当的参数变换，将曲面的方程转化为简化形式，从而简化对坐标的曲面积分的计算。
4. 结论对坐标的曲面积分的计算方法有很多种，可以根据具体的曲面和问题选择合适的方法。
参数化曲面法、直接计算法、换元计算法和参数消去法都是常用的计算方法。
在实际应用中，需要根据具体情况灵活选择合适的方法来求解对坐标的曲面积分。
以上是对坐标的曲面积分的计算方法的一些简要介绍，希望对读者有所帮助。
（以上内容仅供参考，具体计算方法以教材和相关资料为准。
）5. 参数化曲面法详解参数化曲面法是计算对坐标的曲面积分最常用的方法之一，下面将详细介绍该方法的步骤：5.1 确定参数域首先，需要确定参数域，即一个二维参数空间。
12.2 对坐标曲面积分
此时 为钝角， cos 0，且
n {
zx
,
zy
,
1
}．
1 zx2 zy2 1 zx2 zy2
1 zx2 zy2
⑵ 当光滑曲面 的方程为 y y(x, z) 时， 将 分为右侧与左侧（如图）．
取右侧意味着点 (x, y, z) 处的 n 指向右，
此时 为锐角， cos 0 ，且
默比乌斯(Mobius)带.
2.有向曲面
定义 设 为双侧曲面，如果选定了动点 M 处的一个法 向量方向，通过将点 M 在 上连续地移动就可惟一确 定 上其它点处法向量的方向，称确定了法向量方向 的曲面为有向曲面，法向量的方向也称为有向曲面的
方向．
有向曲面的
n
方向确定了 曲面的侧.
设有向曲面 的单位法向量为
记 n(i ,i , i ) 的方向角为i , i , i ，则 n(i,i, i ) {cosi,cos i,cosi}，
又 v(i ,i ,i ) {P(i,i,i ), Q(i,i,i ), R(i,i,i )} ，
i v(i ,i , i ) n(i ,i , i )Si ,
i P(i ,i , i ) cosiSi Q(i ,i , i ) cos iSi R(i ,i , i ) cos iSi ，
3. 有向曲面在坐标面上的有向投影
设有有向曲面Σ，在曲面Σ上取一小块有向曲面
，记 S xy为在 xOy 面上的投影区域的面积. 规定： 在xOy坐标面上的有向投影为
(上侧) (下侧) (垂直)
假定上各点处的法向量与 z轴的夹角 的余弦 cos 有相同的符号.
同理可定义 在yOz坐标面及zOx坐标面的有向投影.
二、 对坐标的曲面积分的背景 引例 流向曲面一侧的流量. (1) 流速为常向量 v, 有向曲面Σ为有向平面区域 A,
10.5 对坐标的曲面积分
2
D yz
而
o
1
xdydz
前
xdydz
后
xdyቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz
y
D yz
1 y dydz
2
D yz
1 y dydz
2
x
2
D yz
1 y dydz 2 dz
2
0
2
1
1
1 y dy
2
4
z
2
1
1
1 y dy 8
2
1
D yz
其中正负号的选择： 前侧取正号，后侧取负号。
Q( x, y, z )dzdx
: y y ( x, z )
P( x, y ( x, z ), z )dzdx
Dzx
其中正负号的选择： 右侧取正号，左侧取负号。
R( x, y, z )dxdy
: z z ( x, y )
2
x dS
2
y
x
1
( x 2
2
y ) dS
2
1
dS 2
2
F ( x, y, z ) n
0
dS
的物理意义：
设 F ( x , y , z ) 代表空间中一水流形成的流速场， 在该流速场内放入一张有向曲面 ， 考虑单位时间内 流过曲面 指定一侧的水流量 .
2
tdt
0
D xy
a x
a
2
2
(sin
D yz
而
o
1
xdydz
前
xdydz
后
xdyቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz
y
D yz
1 y dydz
2
D yz
1 y dydz
2
x
2
D yz
1 y dydz 2 dz
2
0
2
1
1
1 y dy
2
4
z
2
1
1
1 y dy 8
2
1
D yz
其中正负号的选择： 前侧取正号，后侧取负号。
Q( x, y, z )dzdx
: y y ( x, z )
P( x, y ( x, z ), z )dzdx
Dzx
其中正负号的选择： 右侧取正号，左侧取负号。
R( x, y, z )dxdy
: z z ( x, y )
2
x dS
2
y
x
1
( x 2
2
y ) dS
2
1
dS 2
2
F ( x, y, z ) n
0
dS
的物理意义：
设 F ( x , y , z ) 代表空间中一水流形成的流速场， 在该流速场内放入一张有向曲面 ， 考虑单位时间内 流过曲面 指定一侧的水流量 .
2
tdt
0
D xy
a x
a
2
2
(sin
高等数学：对坐标的曲面积分
解: 利用对称性.
y
原式 3(z x)d x d y
x
的顶部
1
:z
a 2
(
x
a 2
,
y
a 2
)
取上侧
的底部
2 : z
a 2
(
x
a 2
,
y
a 2
)
取下侧
2 (z x)d x d y
Dx
y
(
a 2
x)d
x
d
y
3aDx y d x d y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例 2 计算 xyzdxdy
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、填空题:
练习题
1、 Q( x, y, z)dzdx Q( x, y, z)dzdx
=_______________________.
2、第二类曲面积分 Pdydz Qdzdx Rdxdy化成第 一类曲面积分是__________，其中 , , 为有向
{[1 ( x2 y2 ) x] ( x) 1 ( x2 y2 )}dxdy
4 Dxy
2
[ x2 1 ( x2 y2 )]dxdy
Dxy
2
2
d
2 (r 2 cos2 1 r 2 )rdr
8.
0
0
2
六、小结
1.对坐标曲Βιβλιοθήκη 积分的物理意义 2.对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点 a.曲面的侧 b.“一投,二代,三定号”
内容小结
1. 两类曲面积分及其联系
定义:
n
•
f
( x,
y,z)d S
lim f
0 i1
对坐标的曲面积分
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Σ
= ∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ )dS
Σ
注: (1) 当 P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z ) 在有向光滑曲面Σ上连续时 在有向光滑曲面 上连续时, 上连续时 对坐标的曲面积分存在. 对坐标的曲面积分存在 为封闭曲面时， （2）当∑为封闭曲面时，记为 ） 为封闭曲面时
∴ ∫∫ x dydz = ∫∫ x dydz + ∫∫ x dydz Σ Σ 3 :x = a Σ4: x = 0
2 2 2
= ∫∫ a dydz − ∫∫ 0dydz
2 D yz D yz
z
Σ1
=a
2
∫∫ dydz = a
D yz
2
bc
2
Σ6 Σ4
O
Σ5
y
同理， 同理，得 2 2 ∫∫ y dzdx = b ac
Σ
) 转换公式 = ∫∫ ( P ⋅ ( −= ( − Qy⋅) dxdy R ) cos γ dS dxdz z ) + z ( − z ) +
给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 给出 是速度场中的一片有向曲面 函数 是速度场中的一片有向曲面
P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z )
都在Σ上连续 求在单位时间内流向Σ指 都在 上连续, 求在单位时间内流向 指 上连续 定侧的流体的质量 Φ .
存在，则记它为
Σ
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
§10.5对坐标的曲面积分
∫∫−Σ Q( x , y , z )dzdx = − ∫∫Σ Q( x , y , z )dzdx; ∫∫−Σ R( x , y , z )dxdy = − ∫∫Σ R( x , y , z )dxdy .
3. 存在性定理 当P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)在 存在性定理: 在 上连续时, 对坐标的曲面积分存在. 有向光滑曲面Σ 上连续时 对坐标的曲面积分存在
lim ∑ R(ξ i ,η i , ζ i )( ∆S i ) xy
存在, 则称此极限为函数R(x, y, z)在有向曲面Σ 上对坐 存在 则称此极限为函数 在有向曲面 的曲面积分(也称为第二类曲面积分). 标x, y的曲面积分 也称为第二类曲面积分 记作 的曲面积分 也称为第二类曲面积分 ∫∫Σ R( x , y , z )dxdy, 即
1 1
= ∫∫Σ P ( x , y , z )dydz + Q( x , y , z )dzdx + R( x , y , z )dxdy
1
+ ∫∫Σ P ( x , y , z )dydz + Q( x , y , z )dzdx + R( x , y , z )dxdy .
2
2. 积分曲面的反向性 积分曲面的反向性: ∫∫−Σ P ( x , y , z )dydz = − ∫∫Σ P ( x , y , z )dydz;
r (1) 流速场为常向量 v ,有向平面区域 A, 求单位 1). 时间流过 A 的流体的质量Φ (假定密度为 1). r v
θ
A
流量
r0 n
v Φ = A v cosθ v v0 = Av ⋅ n
1. 分割 把曲面Σ 分成 小 分割: 分成n小 同时也代表第i小块曲 块∆Si(∆Si同时也代表第 小块曲 Σ 面的面积), 面的面积 在∆Si上任取一点 r o (ξi, ηi, ζi), 则该点流速为 v i , y r 法向量为 ni . ∆ Si x (ξi, ηi, ζi) r r r r vi = v (ξ i ,ηi , ζ i ) = P (ξ i ,ηi , ζ i )i + Q (ξ i ,ηi , ζ i ) j + R(ξ i ,ηi , ζ i )k , r r r r0 该点处的单位法向量 ni = cos α i i +cos β i j +cos γ i k ,
对坐标的曲面积分
R( x, y, z )dx dy R( x, y, z )dx dy.
三、对坐标的曲面积分的计算
(1) 设积分曲面 是由方程 z z ( x , y ) 所给曲面的上侧,
在 xOy 面上的投影为 Dxy ,
z
z z ( x , y ) 在 Dxy 上具有 一阶连续偏导数 , R( x , y , z ) 在 上连续,
Pdy dz Qdz dx Rdx dy Pdy dz Qdz dx Rdx dy.
1 2
2.
P( x, y, z)dy dz P( x, y, z)dy dz
Q( x, y, z )dz dx Q( x, y, z )dz dx
π (v , n) 时, 2
过流向指定一侧的流量.
总之,
Av n (v n) A.
3.对坐标(第二型)的曲面积分的概念
z
是有向曲面, 流速是v .
v ( x, y, z ) Pi Qj Rk ,
x
取前侧, 取后侧.
( 3) 如果由 y y( z , x )给出,
z
y
有
Q( x, y, z )dzdx
O
Q[ x, y ( z , x), z ]dzdx
Dzx
x
取右侧, 取左侧.
Q[ x , y( z , x ), z ]dzdx , Dzx Q[ x , y( z , x ), z ]dzdx Dzx
例
求 zdxdy, 其中
1 2 是z ( x y 2 )介于平面z 0和z 2 2 的部分. 取下侧
对坐标的曲面积分
对坐标的曲面积分
对坐标的曲面积分是一种在多元微分几何和仿射几何中使用的数学技术，可以用来给定坐
标问题求解曲面积密度函数或表面积。
它允许计算偏微分值，从而将曲面的几何结构与其
表面积相关联。
这正是几何建模和几何计算所必需的，它们可以在大多数工程设计和工程
分析应用中使用。
曲面积分的基本工具是坐标操作，它可以用来转换曲面上的坐标体系，也可以用来计算不
同曲面点之间的距离。
这样，可以建立一个曲面积分模型，结合数学例题中有关曲面积分
的样例，可以进一步了解曲面积分的概念。
在应用曲面积分之前，需要了解曲面的参数方程，以及被积分的曲面积分道及曲面积分函数。
其中，参数方程是描述曲面形状的方程。
参数道是根据参数方程而设计出的曲面装配
道（由椭圆或弧线相结合），它们将曲面划分为一些独立的超平面块，这些块是用具有特
定参数格式的函数来定义的。
最后，曲面积分函数是曲面上每个超平面块函数的积分之和，它可以衡量曲面的表面积。
对坐标的曲面积分是一个非常有用的数学工具，具有重要的应用，如几何建模、三维可视化、工程分析等。
它允许用户以更好的方式了解曲面的几何结构，有助于理解这些建模的
本质，它的好处不仅仅局限于工程领域，而且在物理学、生物学等其他领域也有大量的应用。
对坐标的曲面积分的计算方法
对坐标的曲面积分的计算方法对坐标的曲面积分的计算引言曲面积分是数学中的重要概念之一，在物理学、工程学等应用中也有广泛的应用。
对于曲面积分的计算，有多种方法可以使用。
本文将详细介绍几种常见的方法。
方法一：参数化计算1.选择适当的参数化表达式，将曲面分解为小面元。
2.对每个小面元进行积分计算，得到结果。
3.将所有小面元的积分结果相加，即得到曲面积分的最终结果。
方法二：高斯公式计算1.利用高斯公式，将曲面积分转化为三重积分。
2.将曲面和其所围成的体积一起考虑，对三重积分进行计算。
3.得到的三重积分结果即为曲面积分的值。
方法三：斯托克斯公式计算1.利用斯托克斯公式，将曲面积分转化为曲线积分。
2.对曲线积分进行计算，得到结果。
3.曲线积分的结果即为曲面积分的值。
方法四：直接计算法向量与积分项的乘积1.对于给定的曲面和积分项，直接计算法向量与积分项的乘积。
2.将所有小面元的乘积结果相加，即得到曲面积分的最终结果。
方法五：利用变量替换简化计算1.对于复杂的曲面积分，可以通过合适的变量替换来简化计算。
2.选择适当的变量替换后，重新计算曲面积分。
3.得到的结果是变量替换后的曲面积分值。
结论通过本文的介绍，我们可以看到，对于坐标的曲面积分的计算，有多种方法可以使用。
选择合适的方法，可以使计算更加简便和高效。
在具体的问题中，可以根据情况选择适合的方法来计算曲面积分，以得到准确的结果。
参考文献•高等数学第七版上册，同济大学数学系编著•《多元函数积分学第二版》，丘维声编著•《数学物理方程丛书第二卷积分方程》，谷超豪编著。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 2 2 2
,
,
,
dS 1 z x z y dxdy
故右边 R( x, y, z ) cos dS Rx, y, z ( x, y )dxdy
D xy
故有 R( x, y, z )dxdy R( x, y, z ) cos dS 成立
(2) 若 取下侧 左边
P( x, y, z )dydz P( x, y, z )dydz,
Q( x, y, z )dzdx Q( x, y, z )dzdx,
R( x, y, z )dxdy R( x, y, z )dxdy.
注意：
对坐标的曲面积分必须注意积分曲面所取的侧.
2
介于平面z 0及z 2之间的部分的下侧 .
规定S在xOy面上的投影(S ) xy 为 : (S ) xy ( ) xy ( ) xy 0 cos 0 cos 0 cos 0
(S ) xy 实际就是S在xOy面上的投影区域的面积附 以一定的正负号;
类似地可以定义S在yOz面及zOx面上的投影(S ) yz 及(S ) zx .
P( x, y, z )dydz Q( x, y, z )dzdx R( x, y, z )dxdy
即：
P( x, y, z )dydz Q( x, y, z )dzdx R( x, y, z )dxdy
6、 性质
(1) 若 1 2 , 则 :
解：将 分为 1与 2 : z1 1 x 2 y 2 , 1 : z2 1 x 2 y 2 2 (注意方程本身有正负 ) 而 1 取下侧 2 取上侧.(注意曲面也有正负 ， )
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
2
R( x, y, z )dxdy Rx, y, z ( x, y )dxdy
D xy
cos 故右边
1 1 zx2 z y2
R( x, y, z ) cos dS Rx, y, z ( x, y )dxdy
D xy D xy
R( x, y, z )dxdy R( x, y, z ) cos dS 成立
(2) 若由y y( z, x)给出, 则有 :
Q( x, y, z )dzdx Q[ x, y ( z, x), z ]dzdx
D zx
( y y( z, x)曲面右侧取正, 左侧取负 )
x 2 dydz y 2 dzdx z 2 dxdy 例1 计算曲面积分
0 i 1
lim R ( i ,i , i )( Si ) xy
n
总存在，则称此极限为函数R ( x, y, z )在有向曲面 上
对坐标x、y的曲面积分.记作：
R( x, y, z )dxdy
n
即： R( x, y, z )dxdy lim R( i ,i , i )(S i ) xy
故所求曲面积分为:
x dydz y dzdx z dxdy
2 2 2
a 2bc b 2 ac c 2 ab (a b c)abc
例2 计算曲面积分 xyzdxdy, 其中 是球面
x 2 y 2 z 2 1，外侧在x 0，y 0的部分.
(1)若 取上侧, 讨论 左边 R( x, y, z )dxdy Rx, y, z ( x, y )dxdy
D xy
右边 cos cos cos
zx 1 zx2 z y2 zy 1 zx z y 1 1 zx2 z y2
( P cos Q cos R cos )dS
其中cos 、 、 为 上点( x, y, z )处的 cos cos 法向量的方向余弦.
例3 计算曲面积分 ( z x)dydz zdxdy 1 2 其中 是旋转抛物面z ( x y 2 ) 2
除 3、 4外, 其余四片曲面在yOz面上投影为零
x 2 dydz x 2 dydz x 2 dydz
3 4
a dydz 0 dydz a bc
2 2 2 D yz
2 2
D yz
2 2
类似地 : y dzdx b ac, z dxdy c ab
其中 是长方体Ω的整个表面的外侧, Ω ( x, y, z ) 0 x a, 0 y b, 0 z c
解: 将有向曲面 分为六部分:
1 : z c (0 x a, 0 y b)的上侧 , 2 : z 0 (0 x a, 0 y b)的下侧 ,
Dxy
推导:由定义得
左边 R( x, y, z )dxdy lim R( i ,i , i )( Si ) xy
0 i 1
n
取上侧， 0, cos
n
(Si ) xy ( i ) xy
又 (i ,i , i )为 上一点 i z (i ,i )
3 : x a (0 y b, 0 z c)的前侧 ,
4 : x 0 (0 y b, 0 z c)的后侧 ,
5 : y b (0 x a, 0 z c)的右侧 , 6 : y 0 (0 x a, 0 z c)的左侧.
上式 R[ x, y, z ( x, y )]dxdy 右边
Dxy
R( x, y, z )dxdy R[ x, y, z ( x, y )]dxdy
Dxy
成立
注意：
(1) 对坐标的曲面积分 可化为二重积分 计算，其中 z z ( x, y )，Dxy为 在xOy面上的投影区域;
2 2
1
xy 1 x y dxdy xy ( 1 x y )dxdy
2 2 D xy D xy
2 xy 1 x y dxdy
2 2 D
其中Dxy为 1与 2 在xOy面上的投影区域, Dxy : x y 1
2 2
( x 0, y 0),
(2) 若 曲面积分 取 的 下侧, 此时 cos 0， Si ) xy ( i ) xy ( 有 R( x, y, z )dxdy R[ x, y, z ( x, y )]dxdy,
Dxy
从而有：
D xy ( z z ( x, y)曲面上侧取正,下侧取负 )
R( x, y, z )dxdy R[ x, y, z ( x, y )]dy, z )给出, 则有 :
P( x, y, z )dydz P[ x( y, z ), y, z ]dydz
D yz
( x x( y, z )曲面前侧取正, 后侧取负 )
1、先看一个联系公式:
R( x, y, z )dxdy R( x, y, z ) cos dS
推导 : 条件为
由z z ( x, y )给出， 在xOy面上的投影区域为
Dxy , z ( x, y )在Dxy上具 一阶连续偏导数, R ( x, y, z ) 在 上连续.
有 : R( i ,i , i )( Si ) xy
i 1
R i ,i , zi ( i ,i )( i ) xy
i 1
n
令 0，则 lim R i ,i , z ( i ,i )( i ) xy
0 i 1
n
符合二重积分定义.
一张包围某一空间区域的闭曲面，有外侧、内侧
之分；
2、有向曲面
可通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧； 例如 : z z ( x, y )如果取法向量n 的指向朝上,
则取定曲面的上侧 . 又例如 : 对于闭曲面，如取法向量的指向朝外, 则认定曲面的外侧 .
3、有向曲面的投影区域
设 为有向曲面, 在 上取一小块曲面S , 将S投 影到xOy面上得一投影区域, 此投影区域的面积记为 ( ) xy , 假定S上各点处的法向量与z轴的夹角的余 弦 cos 有相同的符号.
Pdydz Qdzdx Rdxdy
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
1 2
公式(1)可以推广到 分成 1 , 2 ,, n 几部分的情形 .
(2) 设 是有向曲面, 表示与 取相反侧 的有向曲面， 则:
2、类似可推另二个联系公式
P( x, y, z )dydz P( x, y, z ) cos dS
Q( x, y, z )dzdx Q( x, y, z ) cos dS
3、两类曲面积分的联系公式，三式合并有
Pdydz Qdzdx Rdxdy
第五节
对坐标的曲面积分
一、对坐标的曲面积分概念与 性质 二、对坐标曲面积分的计算法 三、两类曲面积分之间的联系
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
1、双侧曲面
假定曲面是光滑的，
z=z(x,y)表示的曲面，有上侧、下侧之分，
x=x(y,z)表示的曲面，有前侧、后侧之分，
y=y(z,x)表示的曲面，有右侧、左侧之分，
0 i 1
其中R( x, y, z )叫做被积函数 ， 叫 积分曲面. 做
,
,
,
dS 1 z x z y dxdy
故右边 R( x, y, z ) cos dS Rx, y, z ( x, y )dxdy
D xy
故有 R( x, y, z )dxdy R( x, y, z ) cos dS 成立
(2) 若 取下侧 左边
P( x, y, z )dydz P( x, y, z )dydz,
Q( x, y, z )dzdx Q( x, y, z )dzdx,
R( x, y, z )dxdy R( x, y, z )dxdy.
注意：
对坐标的曲面积分必须注意积分曲面所取的侧.
2
介于平面z 0及z 2之间的部分的下侧 .
规定S在xOy面上的投影(S ) xy 为 : (S ) xy ( ) xy ( ) xy 0 cos 0 cos 0 cos 0
(S ) xy 实际就是S在xOy面上的投影区域的面积附 以一定的正负号;
类似地可以定义S在yOz面及zOx面上的投影(S ) yz 及(S ) zx .
P( x, y, z )dydz Q( x, y, z )dzdx R( x, y, z )dxdy
即：
P( x, y, z )dydz Q( x, y, z )dzdx R( x, y, z )dxdy
6、 性质
(1) 若 1 2 , 则 :
解：将 分为 1与 2 : z1 1 x 2 y 2 , 1 : z2 1 x 2 y 2 2 (注意方程本身有正负 ) 而 1 取下侧 2 取上侧.(注意曲面也有正负 ， )
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
2
R( x, y, z )dxdy Rx, y, z ( x, y )dxdy
D xy
cos 故右边
1 1 zx2 z y2
R( x, y, z ) cos dS Rx, y, z ( x, y )dxdy
D xy D xy
R( x, y, z )dxdy R( x, y, z ) cos dS 成立
(2) 若由y y( z, x)给出, 则有 :
Q( x, y, z )dzdx Q[ x, y ( z, x), z ]dzdx
D zx
( y y( z, x)曲面右侧取正, 左侧取负 )
x 2 dydz y 2 dzdx z 2 dxdy 例1 计算曲面积分
0 i 1
lim R ( i ,i , i )( Si ) xy
n
总存在，则称此极限为函数R ( x, y, z )在有向曲面 上
对坐标x、y的曲面积分.记作：
R( x, y, z )dxdy
n
即： R( x, y, z )dxdy lim R( i ,i , i )(S i ) xy
故所求曲面积分为:
x dydz y dzdx z dxdy
2 2 2
a 2bc b 2 ac c 2 ab (a b c)abc
例2 计算曲面积分 xyzdxdy, 其中 是球面
x 2 y 2 z 2 1，外侧在x 0，y 0的部分.
(1)若 取上侧, 讨论 左边 R( x, y, z )dxdy Rx, y, z ( x, y )dxdy
D xy
右边 cos cos cos
zx 1 zx2 z y2 zy 1 zx z y 1 1 zx2 z y2
( P cos Q cos R cos )dS
其中cos 、 、 为 上点( x, y, z )处的 cos cos 法向量的方向余弦.
例3 计算曲面积分 ( z x)dydz zdxdy 1 2 其中 是旋转抛物面z ( x y 2 ) 2
除 3、 4外, 其余四片曲面在yOz面上投影为零
x 2 dydz x 2 dydz x 2 dydz
3 4
a dydz 0 dydz a bc
2 2 2 D yz
2 2
D yz
2 2
类似地 : y dzdx b ac, z dxdy c ab
其中 是长方体Ω的整个表面的外侧, Ω ( x, y, z ) 0 x a, 0 y b, 0 z c
解: 将有向曲面 分为六部分:
1 : z c (0 x a, 0 y b)的上侧 , 2 : z 0 (0 x a, 0 y b)的下侧 ,
Dxy
推导:由定义得
左边 R( x, y, z )dxdy lim R( i ,i , i )( Si ) xy
0 i 1
n
取上侧， 0, cos
n
(Si ) xy ( i ) xy
又 (i ,i , i )为 上一点 i z (i ,i )
3 : x a (0 y b, 0 z c)的前侧 ,
4 : x 0 (0 y b, 0 z c)的后侧 ,
5 : y b (0 x a, 0 z c)的右侧 , 6 : y 0 (0 x a, 0 z c)的左侧.
上式 R[ x, y, z ( x, y )]dxdy 右边
Dxy
R( x, y, z )dxdy R[ x, y, z ( x, y )]dxdy
Dxy
成立
注意：
(1) 对坐标的曲面积分 可化为二重积分 计算，其中 z z ( x, y )，Dxy为 在xOy面上的投影区域;
2 2
1
xy 1 x y dxdy xy ( 1 x y )dxdy
2 2 D xy D xy
2 xy 1 x y dxdy
2 2 D
其中Dxy为 1与 2 在xOy面上的投影区域, Dxy : x y 1
2 2
( x 0, y 0),
(2) 若 曲面积分 取 的 下侧, 此时 cos 0， Si ) xy ( i ) xy ( 有 R( x, y, z )dxdy R[ x, y, z ( x, y )]dxdy,
Dxy
从而有：
D xy ( z z ( x, y)曲面上侧取正,下侧取负 )
R( x, y, z )dxdy R[ x, y, z ( x, y )]dy, z )给出, 则有 :
P( x, y, z )dydz P[ x( y, z ), y, z ]dydz
D yz
( x x( y, z )曲面前侧取正, 后侧取负 )
1、先看一个联系公式:
R( x, y, z )dxdy R( x, y, z ) cos dS
推导 : 条件为
由z z ( x, y )给出， 在xOy面上的投影区域为
Dxy , z ( x, y )在Dxy上具 一阶连续偏导数, R ( x, y, z ) 在 上连续.
有 : R( i ,i , i )( Si ) xy
i 1
R i ,i , zi ( i ,i )( i ) xy
i 1
n
令 0，则 lim R i ,i , z ( i ,i )( i ) xy
0 i 1
n
符合二重积分定义.
一张包围某一空间区域的闭曲面，有外侧、内侧
之分；
2、有向曲面
可通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧； 例如 : z z ( x, y )如果取法向量n 的指向朝上,
则取定曲面的上侧 . 又例如 : 对于闭曲面，如取法向量的指向朝外, 则认定曲面的外侧 .
3、有向曲面的投影区域
设 为有向曲面, 在 上取一小块曲面S , 将S投 影到xOy面上得一投影区域, 此投影区域的面积记为 ( ) xy , 假定S上各点处的法向量与z轴的夹角的余 弦 cos 有相同的符号.
Pdydz Qdzdx Rdxdy
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
1 2
公式(1)可以推广到 分成 1 , 2 ,, n 几部分的情形 .
(2) 设 是有向曲面, 表示与 取相反侧 的有向曲面， 则:
2、类似可推另二个联系公式
P( x, y, z )dydz P( x, y, z ) cos dS
Q( x, y, z )dzdx Q( x, y, z ) cos dS
3、两类曲面积分的联系公式，三式合并有
Pdydz Qdzdx Rdxdy
第五节
对坐标的曲面积分
一、对坐标的曲面积分概念与 性质 二、对坐标曲面积分的计算法 三、两类曲面积分之间的联系
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
1、双侧曲面
假定曲面是光滑的，
z=z(x,y)表示的曲面，有上侧、下侧之分，
x=x(y,z)表示的曲面，有前侧、后侧之分，
y=y(z,x)表示的曲面，有右侧、左侧之分，
0 i 1
其中R( x, y, z )叫做被积函数 ， 叫 积分曲面. 做