105第二类对坐标的曲面积分

Σ上的 第二类(对坐标)的曲面积分,即
v (M )n (M )dS.

电通量Φ为电流强度
E(M)在曲面Σ上的
第二类(对坐标)的曲面积分,即
E (M )n (M )d S.

如曲面Σ为封闭曲面:
F ndS.

12
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
2.性质
的电通量Φ也可表示同一类型的极限
l i0m i n1E (M i)n (M i)ΔSi.
9
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
二、概念与性质
1. 定义 定义10.4 设有分片光滑的双侧曲面Σ, 取定其
一侧, 记这一侧的单位法向量为 n ( M ) n ( x ,y ,z ), F (M ) F (x ,y ,z )为定义在Σ上的向量函数. 任意分
7
10.5 第二常类(向对坐量标),的有曲面向积平分 面, 流量为 A v (M )n (M ) (2) 当 v(M)不是常量, Σ是有向曲面. 求流量Φ.
采用元素法 把大范围的曲面
问题化为小范围的平面的问题, 并在
小范围内, 把流量近似地看成常向量.
分割 把曲面Σ分成n小块 ΔSi (ΔSi同时也代表第i小块
通常光滑曲面都有两侧.
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧
2
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
2. 曲面的分类 (1)双侧曲面 有两侧的曲面.

n
规定 法向量的指向来规定曲面的两侧.
这两侧一般称为 正侧和负侧,分别记作 , ,
规定了正、负侧的双侧曲面称为 有向曲面.
(1) 线性性质
(k1F 1k2F 2)n dS (k1, k2为常数) k1F 1n dSk2F2ndS,


(2) 可加性 若Σ由Σ1和Σ2组成, 则
FndSF n dSF n dS,

1
2
(3) 有向性
求和 流过有向曲面Σ (从负侧流向正侧)的总
流量Φ的近似值为
Φ n ΔΦ n v(Mi)n (Mi)ΔSi.
i 1
i1
取极限 当各小块ΔSi的最大直径 0时,
取极限得到流量Φ的精确值为
除了流 量 以l外 i0m ,i电 n1v 流(M 强i度)n E(M (M i))Δ 通Si过. 有向曲面
n F(Mi)n(Mi)ΔSi nF (i,i,i)n (i,i,i)Δ Si
iBaidu Nhomakorabea1
i1
令各小块ΔSi的最大直径
0时,若上和式有

极限, 则称此极限值为向量函数 F (M ) F (x ,y ,z )
在有向曲面Σ上沿指定一侧的第二类(对坐标)的曲
面积分, 记作
割Σ为n小块, 小块及其面积都记作
ΔS1, ΔS2, … , ΔSn,
在每一小块ΔSi上, 任取一点 M i(i,i,i)作,和式
n F(Mi)n(Mi)ΔSinF (i,i,i)n (i,i,i)Δ Si,
i1
i1
10
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
l i0 F m i n (1 x F ,y (,iz ,) in , (ix ),y n ,(z) id ,S i,.i)Δ Si
简记作 FndS. 11
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
在前面的实例中, 流量Φ为流速 v(M)在曲面
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
surface integral
概念的引入 概念与性质 两类曲面积分之间的联系 对坐标的曲面积分的计算法 小结 思考题 作业
第10章 曲线积分与曲面积分
1
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
一、概念的引入
1.有向曲面
如流体从曲面的这一侧 流向另一侧的流量问题等.
它是由一张长方形纸条ABCD, 扭转一下,
将A、D粘在一起, B、C 粘在一起形成的环行带.
小毛虫在莫比乌斯带上, 不通过边界可以爬到任
何一点去.
这在双侧曲面上是
不能实现的.
6
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
实例 设有一稳定流体, 以速度 v(M)流过 有向曲面Σ(从负侧流向正侧), 求流量Φ.
Si
z
n(Mi)
v(Mi)
Mi
曲点面M的i , 则面该积点), 流在速ΔS为i上v任(M 取i一), 法向量为 n(Mi).

o
x
y
取近Φi似v 流( M 体i) 流n 过( M 小i块) Δ ΔS Sii的(i流量1,2Δ, Φi,为n).
8
10.5 第二类(对Φ坐i 标)的v ( 曲M 面积i) 分n ( M i) Δ S i (i1,2, ,n).
4
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
对于非封闭曲面, 当曲面分为 左、右两侧时, 通常规定其右侧为 正侧,左侧为负侧.
当曲面分为前、后两侧时, 通常规定其前侧为 正侧,后侧为负侧.
5
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
Mobius(1790--1868) 19世纪德国数学家
(2) 单侧曲面
莫比乌斯(Mobius)带.
(1) 流速为常向量 v(M),有向平面区域 A,
求单位时间流过A的流量Φ(假定密度为1).
v(M)
流量 (斜柱体体积) A |v (M )|cos
A
A

M
n(M)
A |v ( M ) ||n (M )|co
A v (M )n (M )
( n(M)为平面A的单位法向量)
3
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
对于封闭曲面, 通常规定其 外侧(即外法线方向所指的一侧) 为正侧, 而规定内侧(即内法线方 向所指的一侧)为负侧.
对于非封闭曲面, 当曲面分为 上、下两侧时, 通常规定其上侧为 正侧,下侧为负侧.
当曲面方程由z = z(x,y)给出时, 规定其法向量 与z轴正向的夹角为锐角的一侧为正侧, 其法向量是 n {zx,zy, 1 }而,负侧的法向量是 n { zx, zy,1 }.