105第二类对坐标的曲面积分
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对坐标的曲面积分
其中θ为v与n的夹角. 如果Σ不是平面而是一片曲面，且流速v也不是常向量时，所 求流量就不能按照上述公式计算.下面采用以下几个步骤来解决这 个问题.
二、第二类曲面积分的概念与性质
(1)分割在Σ上任意分成n小块ΔSi（ΔSi同时也代表第i个小块 的面积），取其中一小块ΔSi来考虑.设通过ΔSi流向指定侧的流量 为ΔΦi，则通过整个曲面Σ的流量为
z=R,z=－R(R>0)所围成立体表面的外侧.
解 设Σ1,Σ2,Σ3分别是Σ的上、下底和圆柱面部分，则
三、第二类曲面积分的计算
易得 设Σ1,Σ2在xOy面的投影区域为Dxy,则
称为函数Px,y,z在 称为函数Q（ x,y,z ）在 称为函数Rx,y,z在有向
二、第二类曲面积分的概念与性质
根据上述定义，某流体以速度 流过有向曲面Σ指定侧的流量
在单位时间内
第二类曲面积分具有第二类曲线积分相类似的一些性质. 例如：
（1）设曲面Σ可分成两片光滑曲面Σ1及Σ2,则
二、第二类曲面积分的概念与性质
连续性，
也在Dxy上连续.由二重积分的定义
因此
三、第二类曲面积分的计算
类似地，当P（ x,y,z ）在光滑曲面 上连续时，有 这里取积分曲面Σ的前侧.当Q（ x,y,z ）在光滑曲面
上连续时，有 这里取积分曲面Σ的右侧.
三、第二类曲面积分的计算
【例1】
求 f(x,y,z)分别为
其中Σ是球面x2+y2+z2=1的外侧，
在ΔSi上任
取一点
如果当各小块曲面的直径的最大值
λ→0时，
二、第二类曲面积分的概念与性质
总存在，则称此极限为函数 在有向曲面Σ上的第二类曲面积分或对坐标的曲面积分，记为
二、第二类曲面积分的概念与性质
(1)分割在Σ上任意分成n小块ΔSi（ΔSi同时也代表第i个小块 的面积），取其中一小块ΔSi来考虑.设通过ΔSi流向指定侧的流量 为ΔΦi，则通过整个曲面Σ的流量为
z=R,z=－R(R>0)所围成立体表面的外侧.
解 设Σ1,Σ2,Σ3分别是Σ的上、下底和圆柱面部分，则
三、第二类曲面积分的计算
易得 设Σ1,Σ2在xOy面的投影区域为Dxy,则
称为函数Px,y,z在 称为函数Q（ x,y,z ）在 称为函数Rx,y,z在有向
二、第二类曲面积分的概念与性质
根据上述定义，某流体以速度 流过有向曲面Σ指定侧的流量
在单位时间内
第二类曲面积分具有第二类曲线积分相类似的一些性质. 例如：
（1）设曲面Σ可分成两片光滑曲面Σ1及Σ2,则
二、第二类曲面积分的概念与性质
连续性，
也在Dxy上连续.由二重积分的定义
因此
三、第二类曲面积分的计算
类似地，当P（ x,y,z ）在光滑曲面 上连续时，有 这里取积分曲面Σ的前侧.当Q（ x,y,z ）在光滑曲面
上连续时，有 这里取积分曲面Σ的右侧.
三、第二类曲面积分的计算
【例1】
求 f(x,y,z)分别为
其中Σ是球面x2+y2+z2=1的外侧，
在ΔSi上任
取一点
如果当各小块曲面的直径的最大值
λ→0时，
二、第二类曲面积分的概念与性质
总存在，则称此极限为函数 在有向曲面Σ上的第二类曲面积分或对坐标的曲面积分，记为
高数同济11.5对坐标的(第二类)曲面积分
§5. 对坐标的(第二类)曲面积分 一、有向曲面 如果对 内的每一点 P0 , 从 P0出发的点
P 在 内沿任意一条不与 的边界相交的曲线 C 连续 移动而回到 P0时，正法向量 n P 连续转动回到 n P0 ，就 称 为一个双侧曲面。双侧 曲面连同其上确定的正 n 指向的 法向量 n 指向的一侧称为曲面的 正侧， 一侧称为 的负侧，记为 .
v ( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q( x , y , z ) j R( x , y , z )k
Σ 是速度场中的 一片有向曲面,
z
实例:
流向曲面一侧的流量.
(2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1) 的速度场为：
P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R( x , y , z )
n
0
i 1
i
i
i
i
yz
Q( x , y, z )dzdx
lim Q ( i , i , i )( S i ) zx
0
i 1
n
上述三个曲面积分 也称为第二类曲面积分
R( i , i , i )( Si ) xy R( x, y, z )dxdy lim 0 i 1
0 向量为 ni , v i v ( i , i , i ) P ( i , i , i )i Q( i , i , i ) j R( i , i , i )k , 0 ni cos i i cos i j cos i k
vi P ( , , )i Q( , , ) j R( , , )k , [ P ( , , )(S ) Q( i ,i , i )( Si ) xz
P 在 内沿任意一条不与 的边界相交的曲线 C 连续 移动而回到 P0时，正法向量 n P 连续转动回到 n P0 ，就 称 为一个双侧曲面。双侧 曲面连同其上确定的正 n 指向的 法向量 n 指向的一侧称为曲面的 正侧， 一侧称为 的负侧，记为 .
v ( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q( x , y , z ) j R( x , y , z )k
Σ 是速度场中的 一片有向曲面,
z
实例:
流向曲面一侧的流量.
(2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1) 的速度场为：
P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R( x , y , z )
n
0
i 1
i
i
i
i
yz
Q( x , y, z )dzdx
lim Q ( i , i , i )( S i ) zx
0
i 1
n
上述三个曲面积分 也称为第二类曲面积分
R( i , i , i )( Si ) xy R( x, y, z )dxdy lim 0 i 1
0 向量为 ni , v i v ( i , i , i ) P ( i , i , i )i Q( i , i , i ) j R( i , i , i )k , 0 ni cos i i cos i j cos i k
vi P ( , , )i Q( , , ) j R( , , )k , [ P ( , , )(S ) Q( i ,i , i )( Si ) xz
第二类曲面积分的计算方法-第二类曲面积分
第二类曲面积分的计算方法赵海林 张纬纬摘要 利用定义法,参数法，单一坐标平面投影法,分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积分区间对称性,向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词 第二类曲面积分 定义法 参数法 投影法 高斯公式 Stokes 公式 向量计算形 式1 引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中,必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧。
由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点，许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法,并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分,曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用。
2 预备知识2．1第二型曲面积分的概念 2。
1.1 流量问题(物理背景)设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1)的速度为(,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++,∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量cos cos cos n i j k αβ=++则cos .S v S v n θΦ==⋅⋅若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ.(1) 分割将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ∆=∆…,),同时代表其面积。
(2) 近似(,,)i i i i i M S ξηζ∀∈∆，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i n 分别代替i S ∆上其他各点处的流速和单位法向量,得到流过i S ∆指定侧的流量的近似值:∆Φ(1,2,i i i S v n i n ≈∆⋅⋅=…,).（3) 求和Φ≈1niiii v n S=⋅⋅∆∑(4） 取极限101max{},=.limniii niiT i T S v n S ≤≤→==∆Φ⋅⋅∆∑设的直径则这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第二型曲面积分.2。
§7.2 第二类曲面积分
F dS F n0dS
S S
P x , y , z dydz Q x , y , z dzdx R x , y , z dxdy .
S
这就是第二类曲面积分的坐标形式,也称第二类
曲面积分为对坐标的曲面积分.
二、第二类曲面积分的计算
lim v i ,i , i n0 i ,i , i Si
0
i 1 n
v x , y , z n0 x , y , z dS .
其中 为各小块曲面Si i 1,2, , n 中直径的
2
zy
2
1dxdy
F x, y, z x, y n x , y dxdy ,
Dxy
即 P x , y , z dydz Q x , y , z dzdx R x , y , z dxdy
F x, y, z x, y n x , y dxdy .
其下侧的法向量为n z x , z y , 1 , zxi z y j k 下侧的单位法向量为n0 . 2 2 zx z y 1
同学们可以自己写出:
对于曲面y y z , x 用单位法向量n0确定曲面的
右侧或左侧; 对于曲面x x y , z 用单位法向量 n0确定曲面的前侧或后侧.
dydz , dzdx , dxdy .
第二类曲面积分也可以表示为: F dS F n0dS
P x , y , z dydz Q x , y , z dzdx R x , y , z dxdy .
第五节第二类曲面积分PPT课件
2
Dxy
所以 z 2 d x d y z2 d x d y
6
4
0
3 2
5
by
1
a
1:zc, 取上侧
x
D xy:0xa, 0yb z 2 d x d y c2 d x d y c2ab
Dxy
18
例1. 计算Ix2dydzy2dzdxz2dxdy
其中 : 0 x a , 0 y b , 0 z c .取外侧 z
其中 1:za 2x 2y2代表上半球面，
2:z a 2 x 2y 2代表下半球面， 此时，1和2均应分为上、下两侧
5
若取外侧，则
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z
1
1 应取上侧， 2 应取下侧，
若取内侧，则 1 应取下侧， 2 应取上侧，
0
y
x
•有向曲面其方向用法向量指向表示 :
2
方向余弦 co s cos
cos 封闭曲面
向量场 A ( P ( x ,y , z ) Q ( , x ,y , z ) R ( x , ,y , z )若) 对, 的任
意分割和在局部面元上任意取点, 下列极限都存在
n
lim
0
i
1
P (i, i, i) (S i)yz Q (i,i, i) (S i)zx R (i,i,i) (S i)xy
z
解：I xdydz1 a (za)2dxdy
Dyz:y2z2a2,
n 0
D xy y
x d y d z 2 a2y2z2dydz
Dyz
22d a a22d
0
2 a3 3
I 1a32a3 1 a 3
63
10.5_第二类(对坐标)的曲面积分
求和 流过有向曲面Σ (从负侧流向正侧)的总 流量Φ的近似值为 n n Φ ΔΦ v ( M i ) n( M i ) ΔSi .
i 1 i 1
取极限 当各小块ΔSi的最大直径 0时, 取极限得到流量Φ的精确值为 n lim v ( M i ) n( M i ) ΔSi . 0 i 1 除了流量以外, 电流强度 E ( M ) 通过有向曲面 的电通量Φ也可表示同一类型的极限 n lim E ( M i ) n( M i ) ΔSi .
第一类曲面积分 两类曲面积分的转化公式
14
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
四、第二类曲面积分的计算法
若光滑有向曲面Σ 由方程 z = z(x, y)给出, Σ在xOy面上的投影区 域为Dxy , 函数 z(x, y)在 Dxy上具有一阶连续偏 导数, 则由
x
z
n
dS
z z( x , y )
如曲面Σ为封闭曲面: F ndS .
12
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
2.性质
(1) 线性性质 (k1F1 k2 F2 ) ndS
(k1, k2为常数)
k1 F1 ndS k2 F2 ndS ,
(2) 可加性 若Σ由Σ1和Σ2组成, 则 F ndS F ndS F ndS ,
1
2
(3) 有向性 F ndS F ndS .
13
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
三、两类曲面积分之间的联系
设 F ( x, y, z ) { P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )}, n( x , y , z ) {cos , cos , cos },
对坐标的曲面积分
1.1 曲面的侧
本节中，我们假定所研究曲面皆为双侧曲面，并规定其中一侧为正侧，另一侧为负 侧．我们将选定侧的双侧曲面称为有向曲面，侧的选定与该曲面法向量的指向相关．例 如，对于曲面 z z(x ，y) ，若法向量指向朝上，则正侧为曲面的上侧；若法向量指向朝 下，则正侧为曲面的下侧，其余情况类推．我们规定曲面上侧、前侧、右侧为曲面的正 侧，而曲面下侧、后侧、左侧为负侧．
二类曲面积分），记作
P(x ，y ，z)dydz Q(x ，y ，z)dzdx R(x ，y ，z)dxdy ，
即
P(x ，y ，z)dydz Q(x ，y ，z)dzdx R(x ，y ，z)dxdy
n
lim
0
{P(i
i 1
，i
， i )(Si ) yz
Q(i
，i
， i )(Si )zx
3
1 y2 dz
1
3
dx
1 x2 dz 2 3 1
1 x2 dx 3 π ．
0
0
0
0
0
2
1.2 对坐标的曲面积分的概念与性质
例 2 计算曲面积分 zdxdy ，其中 为上半球面 x2 y2 z2 R2 的上侧．
解 则有
的方程是 z R2 x2 y2 ， 在 xOy 面上的投影区域为
Dxy {(x ，y) | x2 y2 R2}，
zdxdy R2 x2 y2 dxdy．
Dxy
因为将 Dxy 表示为极坐标形式时有 0 R ， 0 2 ，
故
zdxdy
R2 2 dd 1
2π
d
R
R2 2 d(R2 2 ) 2π R3 ．
Dxy
20
10.5第二类曲面积分
1 0 2 sgn(cos ) 1 2 0
2
类似的投影公式还有两 个 :
D xy
Dxy为 在 xoy 平面内 的投影 (无重影)
P ( x , y , z ) d y d z P x ( y , z ) , y , z d y d z
.
此为两类曲面积分之间 的关系公式 .
第二类曲面积分常化为第一类曲面积分来计算 .
例1
I
x d y d z y d z d x z d x d y
z
n
是 z x 2 y 2 (0 z 1) 的下侧 .
解 . 化成第一类曲线积分计算 ,
: z x y ,
复习第一类曲面积分
1. 定义:
z
( x, y, z )
f ( x, y, z ) dS
o
y
表示空间曲面的质量, 其中 f ( x, y, z)为面密度.
x 则 2. 计算: 设 : z z ( x , y ) , ( x , y ) D x y ,
Dx y
2 f ( x , y ,z( x , y ) ) 1 z 2 d xd y x zy
3 d
0
2
0
1
3 (1 r )rdr 8
2
例4. I
( y z ) d y d z ( z x ) d z d x ( x y ) d x d y
其中 为锥面 z x y 及平面 z h ( h 0 )
2 2
所围成的空间区域的整个边界面的外侧. 2
z
2
类似的投影公式还有两 个 :
D xy
Dxy为 在 xoy 平面内 的投影 (无重影)
P ( x , y , z ) d y d z P x ( y , z ) , y , z d y d z
.
此为两类曲面积分之间 的关系公式 .
第二类曲面积分常化为第一类曲面积分来计算 .
例1
I
x d y d z y d z d x z d x d y
z
n
是 z x 2 y 2 (0 z 1) 的下侧 .
解 . 化成第一类曲线积分计算 ,
: z x y ,
复习第一类曲面积分
1. 定义:
z
( x, y, z )
f ( x, y, z ) dS
o
y
表示空间曲面的质量, 其中 f ( x, y, z)为面密度.
x 则 2. 计算: 设 : z z ( x , y ) , ( x , y ) D x y ,
Dx y
2 f ( x , y ,z( x , y ) ) 1 z 2 d xd y x zy
3 d
0
2
0
1
3 (1 r )rdr 8
2
例4. I
( y z ) d y d z ( z x ) d z d x ( x y ) d x d y
其中 为锥面 z x y 及平面 z h ( h 0 )
2 2
所围成的空间区域的整个边界面的外侧. 2
z
10.5第二类曲面积分
其中Σ 其中Σ是球面
z
+
Σ2
x + y + z = 1外侧
2 2 2
y
的部分. 在 x ≥ 0, y ≥ 0的部分.
x
Σ1
−
例3. 设S 是球面 2d y d z I = ∫∫ + x cos2 x S 解: 利用轮换对称性, 有 2d x d y = ∫∫ , z cos2 z S
的外侧 , 计算 d xd y − z cos2 z
λ→0
ni vi
设ni = (cosαi , cos βi , cosγ i ), 则
n
i=1
Σ
Φ = lim ∑[ P(ξi ,ηi ,ζi ) cosαi + Q(ξi ,ηi ,ζi ) cos βi
λ→0i=1
n
+ R(ξi ,ηi ,ζi ) cosγ i ] ∆Si
= lim ∑
λ→0
i=1
[( z2 + x)(−x) − z ]d x d y ∫∫∑
将z = 1 (x2 + y2 ) 代 , 得 入 2
z
2
1 2 = −∫∫ { [ (x + y2 )2 + x] (−x) 原式 = Dxy 4 − 1 (x2 + y2 ) }d xd y 2
= ∫∫
=∫
1− r
2
= −4π ∫
d 1− r 2
2
0 cos
1− r
2
= 4π tan1
四、两类曲面积分的联系
∫∫∑ Pdy d z + Qdz d x + Rdxd y n = lim ∑[ P(ξi ,ηi ,ζ i )(∆Si ) yz + Q(ξi ,ηi ,ζ i )(∆Si )zx λ→0
z
+
Σ2
x + y + z = 1外侧
2 2 2
y
的部分. 在 x ≥ 0, y ≥ 0的部分.
x
Σ1
−
例3. 设S 是球面 2d y d z I = ∫∫ + x cos2 x S 解: 利用轮换对称性, 有 2d x d y = ∫∫ , z cos2 z S
的外侧 , 计算 d xd y − z cos2 z
λ→0
ni vi
设ni = (cosαi , cos βi , cosγ i ), 则
n
i=1
Σ
Φ = lim ∑[ P(ξi ,ηi ,ζi ) cosαi + Q(ξi ,ηi ,ζi ) cos βi
λ→0i=1
n
+ R(ξi ,ηi ,ζi ) cosγ i ] ∆Si
= lim ∑
λ→0
i=1
[( z2 + x)(−x) − z ]d x d y ∫∫∑
将z = 1 (x2 + y2 ) 代 , 得 入 2
z
2
1 2 = −∫∫ { [ (x + y2 )2 + x] (−x) 原式 = Dxy 4 − 1 (x2 + y2 ) }d xd y 2
= ∫∫
=∫
1− r
2
= −4π ∫
d 1− r 2
2
0 cos
1− r
2
= 4π tan1
四、两类曲面积分的联系
∫∫∑ Pdy d z + Qdz d x + Rdxd y n = lim ∑[ P(ξi ,ηi ,ζ i )(∆Si ) yz + Q(ξi ,ηi ,ζ i )(∆Si )zx λ→0
12-5 第二类曲面积分
i =1 n
. .
按对面积的曲面积分的定义, 按对面积的曲面积分的定义,
= ∫∫ {P( x, y, z ) cos α + Q( x, y, z ) cos β + R( x, y, z ) cos γ }dS = ∫∫ V indS
∑ ∑
我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念. 我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念.
给出,∑是速度场中的一片有向曲面,函数 给出, 是速度场中的一片有向曲面,
P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z )
都在∑上连续, 都在∑上连续, 求在单位 时间内流向∑ 时间内流向∑指定侧的流 体的质量 Φ .
x
z
∑
o
y
E-mail: xuxin@
E-mail: xuxin@
为光滑的有向曲面, 函数在∑上有界, 定义 设∑为光滑的有向曲面, 函数在∑上有界, 把∑分成 n块小曲面 Si ( Si 同时又表示第 i 块小曲面的面积), Si 在 xoy面上的投影为 块小曲面的面积), (Si )xy , (ξi ,ηi ,ζ i )是 Si 上任意取定的一点, 上任意取定的一点, 如果当各小块曲面的直径的最大值 λ → 0时,
E-mail: xuxin@
存在条件: 存在条件
当 P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z ) 在 有 向 光 滑 曲面∑上连续时,对坐标的曲面积分存在. 曲面∑上连续时,对坐标的曲面积分存在.
(σ )xy 当cosγ > 0 时 (S)xy = (σ )xy 当cosγ < 0 时. 0 当cosγ = 0 时
. .
按对面积的曲面积分的定义, 按对面积的曲面积分的定义,
= ∫∫ {P( x, y, z ) cos α + Q( x, y, z ) cos β + R( x, y, z ) cos γ }dS = ∫∫ V indS
∑ ∑
我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念. 我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念.
给出,∑是速度场中的一片有向曲面,函数 给出, 是速度场中的一片有向曲面,
P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z )
都在∑上连续, 都在∑上连续, 求在单位 时间内流向∑ 时间内流向∑指定侧的流 体的质量 Φ .
x
z
∑
o
y
E-mail: xuxin@
E-mail: xuxin@
为光滑的有向曲面, 函数在∑上有界, 定义 设∑为光滑的有向曲面, 函数在∑上有界, 把∑分成 n块小曲面 Si ( Si 同时又表示第 i 块小曲面的面积), Si 在 xoy面上的投影为 块小曲面的面积), (Si )xy , (ξi ,ηi ,ζ i )是 Si 上任意取定的一点, 上任意取定的一点, 如果当各小块曲面的直径的最大值 λ → 0时,
E-mail: xuxin@
存在条件: 存在条件
当 P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z ) 在 有 向 光 滑 曲面∑上连续时,对坐标的曲面积分存在. 曲面∑上连续时,对坐标的曲面积分存在.
(σ )xy 当cosγ > 0 时 (S)xy = (σ )xy 当cosγ < 0 时. 0 当cosγ = 0 时
105第二类曲面积分
Pdydz Qdzdx Rdxdy
——第二类曲面积分的坐标表示
其中：
P d y d z 称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分;
称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分;
R d x d y 称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分.
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cos
1 .
1 zx2 zy2
dS
1 zx2 zy2dxdy
F
n0dS
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
P cos Qcos Rcos dS
{Px, y, z( x, y)(zx ) Qx, y, z( x, y)(zy )
以 后 如 不 特 殊 说 明 我 们 总 假 定 P(x, y,z) ， Q( x, y, z)， R( x, y, z)在 Σ 上连续。
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基本性质：
（1）线性性质：
(k1F1
k2F2 )
n0dS
k1
F1
n0dS
k2
F2
ni0
cos i i
cos
i
j
cos
ik
2.近似 通vi 过 ni0SiS流i 向指(i 定 侧1,2的,流量, n的). 近似值为
3.求和 通过 Σ 流向指定侧的流量
n
vi
ni0Si
i 1
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教学课件第五节对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)
进阶习题2
求对坐标的曲面积分∫∫(x^2 + y^2)dydz z^2dxdz，其中Σ为曲面z = x^2 + y^2在第
一卦限的部分。
综合习题
综合习题1
求对坐标的曲面积分∫∫(x^2 + y^2)dydz z^2dxdz，其中Σ为曲面z = x^2 + y^2在 第一卦限的部分，并给出其几何意义。
03
第二类曲面积分的几何意义
几何意义的解释
1 2
3
曲面积分
第二类曲面积分是针对曲面侧的正向或负向的积分，其几何 意义表现为对曲面侧的“净流量”或“净通量”的度量。
净流量
当积分号前的函数表示某种物理量（如力、速度、密度等） 时，第二类曲面积分的几何意义可以解释为通过被积分的曲 面侧的净流量，即流入与流出的差值。
第二类曲面积分的计算方法概述
计算步骤
计算第二类曲面积分需要确定定向曲面、选择适当的坐标系、计算面积分范围、 选择合适的方向场，并利用微元法或高斯公式等工具进行计算。
注意事项
在计算过程中，需要注意坐标系的选取要便于计算和简化问题，同时要准确理 解和应用方向场的定义和性质。
02
第二类曲面积分的计算公式
净通量
在某些物理或工程问题中，第二类曲面积分的几何意义可以 解释为通过被积分的曲面侧的净通量，即流入与流出的通量 之差。
几何意义的应用场景
流体动力学
在流体动力学中，第二类曲面积分的几何意义可以用来描述流体通过某一曲面的流量或通量。
电磁学
在电磁学中，第二类曲面积分的几何意义可以用来描述电场或磁场通过某一曲面的通量或流量。
公式推导与理解
公式推导
通过引入向量场、定向曲面等概念，利用散度定理和微积分基本定理推导得出第 二类曲面积分的计算公式。
10.5 对坐标的曲面积分
2
D yz
而
o
1
xdydz
前
xdydz
后
xdyቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz
y
D yz
1 y dydz
2
D yz
1 y dydz
2
x
2
D yz
1 y dydz 2 dz
2
0
2
1
1
1 y dy
2
4
z
2
1
1
1 y dy 8
2
1
D yz
其中正负号的选择： 前侧取正号，后侧取负号。
Q( x, y, z )dzdx
: y y ( x, z )
P( x, y ( x, z ), z )dzdx
Dzx
其中正负号的选择： 右侧取正号，左侧取负号。
R( x, y, z )dxdy
: z z ( x, y )
2
x dS
2
y
x
1
( x 2
2
y ) dS
2
1
dS 2
2
F ( x, y, z ) n
0
dS
的物理意义：
设 F ( x , y , z ) 代表空间中一水流形成的流速场， 在该流速场内放入一张有向曲面 ， 考虑单位时间内 流过曲面 指定一侧的水流量 .
2
tdt
0
D xy
a x
a
2
2
(sin
D yz
而
o
1
xdydz
前
xdydz
后
xdyቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz
y
D yz
1 y dydz
2
D yz
1 y dydz
2
x
2
D yz
1 y dydz 2 dz
2
0
2
1
1
1 y dy
2
4
z
2
1
1
1 y dy 8
2
1
D yz
其中正负号的选择： 前侧取正号，后侧取负号。
Q( x, y, z )dzdx
: y y ( x, z )
P( x, y ( x, z ), z )dzdx
Dzx
其中正负号的选择： 右侧取正号，左侧取负号。
R( x, y, z )dxdy
: z z ( x, y )
2
x dS
2
y
x
1
( x 2
2
y ) dS
2
1
dS 2
2
F ( x, y, z ) n
0
dS
的物理意义：
设 F ( x , y , z ) 代表空间中一水流形成的流速场， 在该流速场内放入一张有向曲面 ， 考虑单位时间内 流过曲面 指定一侧的水流量 .
2
tdt
0
D xy
a x
a
2
2
(sin
10-5第二类曲面积分-精品文档
[F (x,y,z) en(x,y,z)d ]S
注 1º第二类曲面积分的其他表达形式
( 1 ) 若 e n ( x 记 ,y ,z ) co i c so j c so k ， 则s
F F ( ( x x ,, y y ,, z z ) ) d e S n ( x ,y ,z ) d S
1 1 z 2 x z 2 y
coγ s1 1z2 xz2 y 取曲面的上侧
根据第一类曲面积分的计算方法，有
R(x,y,z)dxdyR(x,y,z)coγsdS
R[x,y,z(x,y)]
Dxy
1
1
z
2 x
z2y
1z2 xz2 ydxdy
R[x,y,z(x,y)d ]xdy
Dxy
上侧为正，下侧为负.
情形2 : x x (y ,z)( ,y ,z) D y,前 z 侧
(后)
P (x ,y ,z)d y d z – P [x (y ,z)y ,,z]d y d z
D yz
情形3 :y y ( z ,x )( z ,,x ) D z,x (右 左) 侧
二、两类曲面积分之间的联系
由第二类曲面积分的定义可知，
P ( x ,y ,z ) d y d z Q ( x ,y ,z ) d z d x R ( x ,y ,z ) d x d y
[ P ( x ,y ,z ) cα o Q ( x s ,y ,z ) cβ o R ( x s ,y ,z ) cγ ] d o S
即 F(x, y,z) dS
第二类曲面积分
y
被积函数R(x, y, z)在Σ上连续 上连续. 被积函数 在 上连续
对坐标的曲面积分
∵ Σ 取上侧 , cosγ > 0,
又 ∵ζ i = z (ξ i ,η i )
n
∫∫ R( x, y, z)dxdy = lim ∑R(ξ ,η ,ζ )(S ) λ Σ
→0 i =1 i i i
n
i xy
对坐标的曲面积分
五、两类曲面积分之间的联系
设有向曲面Σ是由方程 给出, 设有向曲面 是由方程 z = z ( x , y ) 给出 Σ在xOy是由方程面上投影区域为 Dxy , 函数 在 是由方程面上投影区域为 具有一阶连续偏导数, z = z ( x , y )在Dxy上 具有一阶连续偏导数 上连续. 被积函数 R(x, y, z) 在Σ上连续 上连续 对坐标的曲面积分为
设积分曲面Σ是由 设积分曲面 是由
方程 z = z ( x , y ) 所给出 的曲面上侧, 在xOy面 上侧, Σ在 面 上的投影区域为 Dxy ,
函数 z = z ( x , y )在Dxy上 具有一阶连续偏导数, 具有一阶连续偏导数
x
n
z
z = z( x , y )
Σ
ds
O
D xy (s)xy
Σ
外侧在 外侧在 x ≥ 0, y ≥ 0 的部分 的部分. 解 把Σ分成Σ 1和Σ 2两部分
z
O
x
Σ2
+
Σ 1 : z1 = 1 x 2 y 2 ; Σ 2 : z2 = 1 x 2 y 2 ,
Σ1
投影域 D xy : x 2 + y 2 ≤ 1( x ≥ 0, y ≥ 0)
y
= +∫∫ xy 1 x 2 y 2 dxdy
第二类(对坐标)曲面积分.ppt
1 i n
lim [ P ( i ,i , i )yi zi Q( i , i , i )zi xi
T 0 i 1
n
R( i , i , i )xi yi ]
这种与曲面的侧有关的和式的极限 第二型曲面积分
二 定义 设 P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) 为定义在双 侧分片光滑曲面 上的函数 在 所指定的一侧 , 任作分割 , 把分成n块小曲面 Si (Si同时又表 T 示其面积） Si 在 yOz 、zOx 、xOy 平面的投影分 , 别 为: yi zi , zi xi , xi yi ， ( i ,i , i ) Si ,
令 T max {d ( S i )}.
n
1 i n
若极限
lim [ P ( i ,i , i )yi zi Q( i ,i , i )zi xi
T 0
R( i , i , i )xi yi ] lim [ P ( i , i , i )yi zi
T 0 i 1
i 1
n
l im Q( i , i , i )z i xi l im R( i , i , i )xi yi
T 0 i 1 T 0 i 1
n
n
存在 [ 且与T 及 ( i ,i , i )的取法都无关] .
则称此极限为 函数 P( x, y, z ),Q( x, y, z ), R( x, y, z )
上(下)
R( x, y, z )dxdy R[ x, y, z( x, y )]dxdy
D xy
(1) 把曲面 向 xoy 面投影，得投影区域xy ， D
lim [ P ( i ,i , i )yi zi Q( i , i , i )zi xi
T 0 i 1
n
R( i , i , i )xi yi ]
这种与曲面的侧有关的和式的极限 第二型曲面积分
二 定义 设 P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) 为定义在双 侧分片光滑曲面 上的函数 在 所指定的一侧 , 任作分割 , 把分成n块小曲面 Si (Si同时又表 T 示其面积） Si 在 yOz 、zOx 、xOy 平面的投影分 , 别 为: yi zi , zi xi , xi yi ， ( i ,i , i ) Si ,
令 T max {d ( S i )}.
n
1 i n
若极限
lim [ P ( i ,i , i )yi zi Q( i ,i , i )zi xi
T 0
R( i , i , i )xi yi ] lim [ P ( i , i , i )yi zi
T 0 i 1
i 1
n
l im Q( i , i , i )z i xi l im R( i , i , i )xi yi
T 0 i 1 T 0 i 1
n
n
存在 [ 且与T 及 ( i ,i , i )的取法都无关] .
则称此极限为 函数 P( x, y, z ),Q( x, y, z ), R( x, y, z )
上(下)
R( x, y, z )dxdy R[ x, y, z( x, y )]dxdy
D xy
(1) 把曲面 向 xoy 面投影，得投影区域xy ， D
§10.5对坐标的曲面积分
∫∫−Σ Q( x , y , z )dzdx = − ∫∫Σ Q( x , y , z )dzdx; ∫∫−Σ R( x , y , z )dxdy = − ∫∫Σ R( x , y , z )dxdy .
3. 存在性定理 当P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)在 存在性定理: 在 上连续时, 对坐标的曲面积分存在. 有向光滑曲面Σ 上连续时 对坐标的曲面积分存在
lim ∑ R(ξ i ,η i , ζ i )( ∆S i ) xy
存在, 则称此极限为函数R(x, y, z)在有向曲面Σ 上对坐 存在 则称此极限为函数 在有向曲面 的曲面积分(也称为第二类曲面积分). 标x, y的曲面积分 也称为第二类曲面积分 记作 的曲面积分 也称为第二类曲面积分 ∫∫Σ R( x , y , z )dxdy, 即
1 1
= ∫∫Σ P ( x , y , z )dydz + Q( x , y , z )dzdx + R( x , y , z )dxdy
1
+ ∫∫Σ P ( x , y , z )dydz + Q( x , y , z )dzdx + R( x , y , z )dxdy .
2
2. 积分曲面的反向性 积分曲面的反向性: ∫∫−Σ P ( x , y , z )dydz = − ∫∫Σ P ( x , y , z )dydz;
r (1) 流速场为常向量 v ,有向平面区域 A, 求单位 1). 时间流过 A 的流体的质量Φ (假定密度为 1). r v
θ
A
流量
r0 n
v Φ = A v cosθ v v0 = Av ⋅ n
1. 分割 把曲面Σ 分成 小 分割: 分成n小 同时也代表第i小块曲 块∆Si(∆Si同时也代表第 小块曲 Σ 面的面积), 面的面积 在∆Si上任取一点 r o (ξi, ηi, ζi), 则该点流速为 v i , y r 法向量为 ni . ∆ Si x (ξi, ηi, ζi) r r r r vi = v (ξ i ,ηi , ζ i ) = P (ξ i ,ηi , ζ i )i + Q (ξ i ,ηi , ζ i ) j + R(ξ i ,ηi , ζ i )k , r r r r0 该点处的单位法向量 ni = cos α i i +cos β i j +cos γ i k ,
对坐标的曲面积分
R( x, y, z )dx dy R( x, y, z )dx dy.
三、对坐标的曲面积分的计算
(1) 设积分曲面 是由方程 z z ( x , y ) 所给曲面的上侧,
在 xOy 面上的投影为 Dxy ,
z
z z ( x , y ) 在 Dxy 上具有 一阶连续偏导数 , R( x , y , z ) 在 上连续,
Pdy dz Qdz dx Rdx dy Pdy dz Qdz dx Rdx dy.
1 2
2.
P( x, y, z)dy dz P( x, y, z)dy dz
Q( x, y, z )dz dx Q( x, y, z )dz dx
π (v , n) 时, 2
过流向指定一侧的流量.
总之,
Av n (v n) A.
3.对坐标(第二型)的曲面积分的概念
z
是有向曲面, 流速是v .
v ( x, y, z ) Pi Qj Rk ,
x
取前侧, 取后侧.
( 3) 如果由 y y( z , x )给出,
z
y
有
Q( x, y, z )dzdx
O
Q[ x, y ( z , x), z ]dzdx
Dzx
x
取右侧, 取左侧.
Q[ x , y( z , x ), z ]dzdx , Dzx Q[ x , y( z , x ), z ]dzdx Dzx
例
求 zdxdy, 其中
1 2 是z ( x y 2 )介于平面z 0和z 2 2 的部分. 取下侧
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10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
surface integral
概念的引入 概念与性质 两类曲面积分之间的联系 对坐标的曲面积分的计算法 小结 思考题 作业
第10章 曲线积分与曲面积分
1
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
一、概念的引入
1.有向曲面
如流体从曲面的这一侧 流向另一侧的流量问题等.
3
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
对于封闭曲面, 通常规定其 外侧(即外法线方向所指的一侧) 为正侧, 而规定内侧(即内法线方 向所指的一侧)为负侧.
对于非封闭曲面, 当曲面分为 上、下两侧时, 通常规定其上侧为 正侧,下侧为负侧.
当曲面方程由z = z(x,y)给出时, 规定其法向量 与z轴正向的夹角为锐角的一侧为正侧, 其法向量是 n {zx,zy, 1 }而,负侧的法向量是 n { zx, zy,1 }.
Σ上的 第二类(对坐标)的曲面积分,即
v (M )n (M )dS.
电通量Φ为电流强度
E(M)在曲面Σ上的
第二类(对坐标)的曲面积分,即
E (M )n (M )d S.
如曲面Σ为封闭曲面:
F ndS.
12
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
2.性质
l i0 F m i n (1 x F ,y (,iz ,) in , (ix ),y n ,(z) id ,S i,.i)Δ Si
简记作 FndS. 11
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
在前面的实例中, 流量Φ为流速 v(M)在曲面
n F(Mi)n(Mi)ΔSi nF (i,i,i)n (i,i,i)Δ Si
i1
i1
令各小块ΔSi的最大直径
0时,若上和式有
极限, 则称此极限值为向量函数 F (M ) F (x ,y ,z )
在有向曲面Σ上沿指定一侧的第二类(对坐标)的曲
面积分, 记作
求和 流过有向曲面Σ (从负侧流向正侧)的总
流量Φ的近似值为
Φ n ΔΦ n v(Mi)n (Mi)ΔSi.
i 1
i1
取极限 当各小块ΔSi的最大直径 0时,
取极限得到流量Φ的精确值为
除了流 量 以l外 i0m ,i电 n1v 流(M 强i度)n E(M (M i))Δ 通Si过. 有向曲面
7
10.5 第二常类(向对坐量标),的有曲面向积平分 面, 流量为 A v (M )n (M ) (2) 当 v(M)不是常量, Σ是有向曲面. 求流量Φ.
采用元素法 把大范围的曲面
问题化为小范围的平面的问题, 并在
小范围内, 把流量近似地看成常向量.
分割 把曲面Σ分成n小块 ΔSi (ΔSi同时也代表第i小块
通常光滑曲面都有两侧.
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧
2
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
2. 曲面的分类 (1)双侧曲面 有两侧的曲面.
n
规定 法向量的指向来规定曲面的两侧.
这两侧一般称为 正侧和负侧,分别记作 , ,
规定了正、负侧的双侧曲面称为 有向曲面.
(1) 流速为常向量 v(M),有向平面区域 A,
求单位时间流过A的流量Φ(假定密度为1).
v(M)
流量 (斜柱体体积) A |v (M )|cos
A
A
M
n(M)
A |v ( M ) ||n (M )|co
A v (M )n (M )
( n(M)为平面A的单位法向量)
割Σ为n小块, 小块及其面积都记作
ΔS1, ΔS2, … , ΔSn,
在每一小块ΔSi上, 任取一点 M i(i,i,i)作,和式
n F(Mi)n(Mi)ΔSinF (i,i,i)n (i,i,i)Δ Si,
i1
i1
10
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
Si
z
n(Mi)
v(Mi)
Mi
曲点面M的i , 则面该积点), 流在速ΔS为i上v任(M 取i一), 法向量为 n(Mi).
o
x
y
取近Φi似v 流( M 体i) 流n 过( M 小i块) Δ ΔS Sii的(i流量1,2Δ, Φi,为n).
8
10.5 第二类(对Φ坐i 标)的v ( 曲M 面积i) 分n ( M i) Δ S i (i1,2, ,n).
(1) 线性性质
(k1F 1k2F 2)n dS (k1, k2为常数) k1F 1n dSk2F2ndS,
组成, 则
FndSF n dSF n dS,
1
2
(3) 有向性
的电通量Φ也可表示同一类型的极限
l i0m i n1E (M i)n (M i)ΔSi.
9
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
二、概念与性质
1. 定义 定义10.4 设有分片光滑的双侧曲面Σ, 取定其
一侧, 记这一侧的单位法向量为 n ( M ) n ( x ,y ,z ), F (M ) F (x ,y ,z )为定义在Σ上的向量函数. 任意分
它是由一张长方形纸条ABCD, 扭转一下,
将A、D粘在一起, B、C 粘在一起形成的环行带.
小毛虫在莫比乌斯带上, 不通过边界可以爬到任
何一点去.
这在双侧曲面上是
不能实现的.
6
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
实例 设有一稳定流体, 以速度 v(M)流过 有向曲面Σ(从负侧流向正侧), 求流量Φ.
4
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
对于非封闭曲面, 当曲面分为 左、右两侧时, 通常规定其右侧为 正侧,左侧为负侧.
当曲面分为前、后两侧时, 通常规定其前侧为 正侧,后侧为负侧.
5
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
Mobius(1790--1868) 19世纪德国数学家
(2) 单侧曲面
莫比乌斯(Mobius)带.
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
surface integral
概念的引入 概念与性质 两类曲面积分之间的联系 对坐标的曲面积分的计算法 小结 思考题 作业
第10章 曲线积分与曲面积分
1
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
一、概念的引入
1.有向曲面
如流体从曲面的这一侧 流向另一侧的流量问题等.
3
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
对于封闭曲面, 通常规定其 外侧(即外法线方向所指的一侧) 为正侧, 而规定内侧(即内法线方 向所指的一侧)为负侧.
对于非封闭曲面, 当曲面分为 上、下两侧时, 通常规定其上侧为 正侧,下侧为负侧.
当曲面方程由z = z(x,y)给出时, 规定其法向量 与z轴正向的夹角为锐角的一侧为正侧, 其法向量是 n {zx,zy, 1 }而,负侧的法向量是 n { zx, zy,1 }.
Σ上的 第二类(对坐标)的曲面积分,即
v (M )n (M )dS.
电通量Φ为电流强度
E(M)在曲面Σ上的
第二类(对坐标)的曲面积分,即
E (M )n (M )d S.
如曲面Σ为封闭曲面:
F ndS.
12
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
2.性质
l i0 F m i n (1 x F ,y (,iz ,) in , (ix ),y n ,(z) id ,S i,.i)Δ Si
简记作 FndS. 11
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
在前面的实例中, 流量Φ为流速 v(M)在曲面
n F(Mi)n(Mi)ΔSi nF (i,i,i)n (i,i,i)Δ Si
i1
i1
令各小块ΔSi的最大直径
0时,若上和式有
极限, 则称此极限值为向量函数 F (M ) F (x ,y ,z )
在有向曲面Σ上沿指定一侧的第二类(对坐标)的曲
面积分, 记作
求和 流过有向曲面Σ (从负侧流向正侧)的总
流量Φ的近似值为
Φ n ΔΦ n v(Mi)n (Mi)ΔSi.
i 1
i1
取极限 当各小块ΔSi的最大直径 0时,
取极限得到流量Φ的精确值为
除了流 量 以l外 i0m ,i电 n1v 流(M 强i度)n E(M (M i))Δ 通Si过. 有向曲面
7
10.5 第二常类(向对坐量标),的有曲面向积平分 面, 流量为 A v (M )n (M ) (2) 当 v(M)不是常量, Σ是有向曲面. 求流量Φ.
采用元素法 把大范围的曲面
问题化为小范围的平面的问题, 并在
小范围内, 把流量近似地看成常向量.
分割 把曲面Σ分成n小块 ΔSi (ΔSi同时也代表第i小块
通常光滑曲面都有两侧.
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧
2
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
2. 曲面的分类 (1)双侧曲面 有两侧的曲面.
n
规定 法向量的指向来规定曲面的两侧.
这两侧一般称为 正侧和负侧,分别记作 , ,
规定了正、负侧的双侧曲面称为 有向曲面.
(1) 流速为常向量 v(M),有向平面区域 A,
求单位时间流过A的流量Φ(假定密度为1).
v(M)
流量 (斜柱体体积) A |v (M )|cos
A
A
M
n(M)
A |v ( M ) ||n (M )|co
A v (M )n (M )
( n(M)为平面A的单位法向量)
割Σ为n小块, 小块及其面积都记作
ΔS1, ΔS2, … , ΔSn,
在每一小块ΔSi上, 任取一点 M i(i,i,i)作,和式
n F(Mi)n(Mi)ΔSinF (i,i,i)n (i,i,i)Δ Si,
i1
i1
10
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
Si
z
n(Mi)
v(Mi)
Mi
曲点面M的i , 则面该积点), 流在速ΔS为i上v任(M 取i一), 法向量为 n(Mi).
o
x
y
取近Φi似v 流( M 体i) 流n 过( M 小i块) Δ ΔS Sii的(i流量1,2Δ, Φi,为n).
8
10.5 第二类(对Φ坐i 标)的v ( 曲M 面积i) 分n ( M i) Δ S i (i1,2, ,n).
(1) 线性性质
(k1F 1k2F 2)n dS (k1, k2为常数) k1F 1n dSk2F2ndS,
组成, 则
FndSF n dSF n dS,
1
2
(3) 有向性
的电通量Φ也可表示同一类型的极限
l i0m i n1E (M i)n (M i)ΔSi.
9
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
二、概念与性质
1. 定义 定义10.4 设有分片光滑的双侧曲面Σ, 取定其
一侧, 记这一侧的单位法向量为 n ( M ) n ( x ,y ,z ), F (M ) F (x ,y ,z )为定义在Σ上的向量函数. 任意分
它是由一张长方形纸条ABCD, 扭转一下,
将A、D粘在一起, B、C 粘在一起形成的环行带.
小毛虫在莫比乌斯带上, 不通过边界可以爬到任
何一点去.
这在双侧曲面上是
不能实现的.
6
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
实例 设有一稳定流体, 以速度 v(M)流过 有向曲面Σ(从负侧流向正侧), 求流量Φ.
4
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
对于非封闭曲面, 当曲面分为 左、右两侧时, 通常规定其右侧为 正侧,左侧为负侧.
当曲面分为前、后两侧时, 通常规定其前侧为 正侧,后侧为负侧.
5
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
Mobius(1790--1868) 19世纪德国数学家
(2) 单侧曲面
莫比乌斯(Mobius)带.