2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一上学期期
末数学试题
一、单选题
1．所有与角α的终边相同的角可以表示为()360k k α⋅︒+∈Z ，其中角α（ ） A ．一定是小于90°的角 B ．一定是第一象限的角 C ．一定是正角 D ．可以是任意角
【答案】D
【分析】由终边相同的角的表示的结论的适用范围可得正确选项.
【详解】因为结论与角α的终边相同的角可以表示为()360k k α⋅︒+∈Z 适用于任意角，所以D 正确， 故选：D.
2．函数()2tan(3)2f x x π
=+的最小正周期为
A ．2π
B ．4π
C ．2
D ．4
【答案】C
【详解】分析：根据正切函数的周期求解即可． 详解：由题意得函数的最小正周期为22
T ππ=
=．
故选C ．
点睛：本题考查函数tan()(0)y A x ωϕω=+>的最小正周期，解答此类问题时根据公式
T π
ω
=
求解即可． 3．已知角A 是ABC 的内角，则
“sin A =是“4A π=”的（ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】在ABC
中，由sin A =A ，再利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.
【详解】因角A 是ABC 的内角，则0πA <<，
当sin A =4A π=或34
A π=
，即sin A =4A π=，
若4
A π
=
，则sin sin
4
A π
==
，
所以
“sin A =是“4A π=”的必要不充分条件.
故选：C
4．已知1
sin cos 3αα-=-，则sin cos αα=（ ）
A ．49
B ．49
-
C ．23
D ．23
-
【答案】A
【分析】根据()2
1
sin cos 12sin cos 9
αααα-=-=求解即可. 【详解】()2
1sin cos 12sin cos 9
αααα-=-=
， 解得：4
sin cos 9αα=.
故选：A
5
= A ．sin2+cos2 B ．sin2-cos2
C ．cos2-sin2
D ．± (cos2-sin2)
【答案】A
【分析】利用诱导公式化简根式内的式子，再根据同角三角函数关系式及大小关系，即可化简．
【详解】根据诱导公式，化简得
又因为20,22sin sin cos >
>且
22sin cos =+
所以选A
【点睛】本题考查了三角函数式的化简，关键注意符号，属于中档题． 6tan15
tan15的值为（
）
A
B ．1
C
D ．2
【答案】B
【解析】根据正切的差角公式逆用可得答案． ()tan151tan15tan 45tan15
333tan 4515tan151tan151tan 45t 1an15
=--=⨯=⨯=-++⨯，
故选：B ．
7．如图是函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫=+>>< ⎪⎝
⎭在一个周期内的图象，则其解
析式是（ ）
A ．()3sin 3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
B ．()3sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
C ．()3sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
D ．()3sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
【答案】B
【分析】通过函数的图象可得到：A =3，T π=，22π
ωπ
==，则()()3sin 2f x x ϕ=+，
然后再利用点,312π⎛⎫
⎪⎝⎭
在图象上求解.，
【详解】由函数的图象可知：A =3，T π=，22π
ωπ
==，
所以()()3sin 2f x x ϕ=+， 又点,312π⎛⎫
⎪⎝⎭
在图象上，
所以3sin 2312πϕ⎛⎫
⨯+= ⎪⎝⎭，
即π
sin φ16
， 所以
26
2
k π
π
ϕπ+=+
，
即23
k π
ϕπ=+，
因为2
π
ϕ<，
所以3
π
ϕ=
所以()3sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
故选：B
【点睛】本题主要考查利用三角函数的图象求解析式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
8．已知函数()22sin 24f x x x π
⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.若关于x 的方程()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦
上有解，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．12⎡⎢⎣
B ．⎣
C ．[]0,1
D ．2⎤
⎥⎣⎦
【答案】C
【分析】先对函数化简变形，然后由()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦上有解，可知
min max ()2()f x m f x ≤+≤，所以只要求出()f x 在,42x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上即可
【详解】()22sin 24f x x x π
⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
1cos 222π⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
x x
sin 221x x =+
2sin 213x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，
由,42x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，得22,363x πππ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，
所以1sin 2123x π⎛
⎫≤-≤ ⎪⎝
⎭，
所以22sin 2133x π⎛
⎫≤-+≤ ⎪⎝
⎭，即2()3f x ≤≤，
由()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上有解，可知min max ()2()f x m f x ≤+≤，
所以223m ≤+≤，得01m ≤≤， 氢实数m 的取值范围是[]0,1， 故选：C 二、多选题
9．下列命题中正确的是（ ）
A ．函数tan y x =的定义域是,2k x x k Z π
⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭ B ．sin 420cos420︒>︒
C ．若sin sin αβ=，则α与β的终边相同
D ．sin y x =不是周期函数
【答案】BD
【分析】对选项A ，根据正切函数的定义域即可判断A 错误；对选项B ，根据三角函数值即可判断B 正确；对选项C ，利用特值法即可判断C 错误，对选项D ，利用反证法即可判断D 正确.
【详解】对选项A ，函数tan y x =的定义域是,2x x k k Z π
π⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故A 错误，
对选项B ，3
sin 420sin 602
︒==
1cos 420cos602︒==，
所以sin 420cos420︒>︒，故B 正确；
对选项C ，sin 30sin150=，30与150终边不相同，故C 错误； 对选项D ，假设()sin f x x =是周期函数，T 是它的一个周期()0T >， 即对任意x ∈R 都有sin sin x T x +=，
令0x =，得sin sin 00T ==，解得T n π=，*n N ∈.
若2n k =，*k N ∈，2T k π=，则sin 2sin x k x π+=对任意x ∈R 都成立. 令2
x π
=-
，2sin 2sin 21222f k k k ππππππ⎛⎫⎛⎫
-+=-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
sin sin 1222f πππ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭，222f k f πππ⎛⎫⎛⎫
-+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
即2T k π=，*k N ∈不是函数()sin f x x =的周期.
若21n k =+，k ∈N ，()21T k π=+，则sin 2sin x k x ππ++=对任意x ∈R 都成立.
令4x π
=
，()()21sin 2144f k k ππππ⎛⎫
++=++= ⎪⎝⎭
sin 44f ππ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
()2144f k f πππ⎛⎫⎛⎫
++≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 即()21T k π=+，k ∈N 不是函数()sin f x x =的周期. 综上sin y x =不是周期函数，故D 正确. 故选：BD
10．定义：在平面直角坐标系xOy 中，若存在常数()0ϕϕ>，使得函数()y f x =的图象向右平移ϕ个单位长度后，恰与函数()y g x =的图象重合，则称函数()y f x =是函数
()y g x =的“原形函数”.下列四个选项中，函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”
的是（ ）
A ．()2f x x =，()2
21g x x x =-+
B ．()sin f x x =，()cos g x x =
C ．()ln f x x =，()ln 2
x g x = D ．()3x f x =，()31x
g x =-
【答案】AB
【分析】AB 选项可以通过向右平移()f x 得到()g x ，C 选项通过伸缩变换得到，D 选项通过上下平移得到.
【详解】A 选项，()2
f x x =向右平移1个单位长度后，得到()()2
2121h x x x x =-=-+，
故与()2
21g x x x =-+重合，故A 正确；
B 选项，()sin f x x =向右平移
3π2个单位长度后，得到()3πsin cos 2h x x x ⎛
⎫=-= ⎪⎝
⎭，故与
()cos g x x =重合，故B 正确；
C 选项，()ln f x x =纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到()ln 2
x g x =，故C 错误；
D 选项，()3x f x =向下平移1个单位长度后得到()31x
g x =-，故D 错误.
故选：AB
11．设函数()cos2sin 2f x x x =+，则下列选项正确的有（ ） A ．()f x 的最小正周期是π
B ．()f x 满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫
+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．()f x 在[],a b 上单调递减，那么b a -的最大值是2
π
D ．()f x 【答案】ACD
【分析】首先根据题意得到()24f x x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
，再依次判断选项即可.
【详解】()cos 2sin 224f x x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，
对选项A ，22
T π
π==，故A 正确；
对选项B ，3144f ππ⎛⎫
=⎪⎝= ≠⎭
所以4
x π
=
不是()cos2sin 2f x x x =+的对称轴，
即()f x 不满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫
+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故B 错误；
对选项C ，因为()f x 在[],a b 上单调递减，所以22
T b a π
-≤=， 即b a -的最大值是
2
π
，故C 正确；
对选项D ，()cos 2sin 224f x x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，
所以()f x D 正确. 故选：ACD
12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(A ，若将点A 绕原点按顺时针旋转θ弧度，得到点()00,B x y ，记()00f x y θ=+，()002g x y θ=，则下列结论错误的有（ ）
A ．()12f πθθ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
B ．不存在θ，使得()f θ与()g θ均为整数
C ．()()2
82f g θθ-=
D ．存在某个区间()(),a b a b <，使得()f θ与()g θ的单调性相同 【答案】BC
【分析】利用三角函数的定义求出点B 的坐标，进而可得出()f θ与()g θ的表达式，结合三角函数恒等变换与三角函数的基本性质可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，
()
1,3A ，即A 为角
3
π
终边上一点，2cos ,2sin 33B ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
02cos 3x πθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，02sin 3y πθ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，
()
0072sin 2cos 333412f x y πππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴=+=-+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2cos 21212πππθθ⎛⎫⎛⎫
=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，A 对；
对于B 选项，当3
π
θ=
时，()2,0B ，()2f θ=，()0g θ=，都为整数，B 错；
对于C 选项，()()()2
222
00000
00000816216f g x y x y x y x y x y θθ-=+-=++- 24142cos 2sin 428sin 22333πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-⋅-⨯-=--≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，C 错；
对于D 选项，()222cos 2sin 4sin 2333g πππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⋅--=- ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 由22232π
ππθ-
<
-<，可得71212ππθ<<，()g θ∴在7,
1212
ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减
由012ππθ-<-<，可得131212ππθ<<，所以，()f θ在13,1212ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，
因为177,,11212123221,
12ππππππ
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎭⎛⎫= ⎭⎝⎝⎪⎝⎭
，所以，当12a π=，712b π=
时，()f θ与()g θ都在(),a b 上单调递减，D 对.
故选：BC. 三、填空题
13
=
，则α的终边所在的象限为______．
【答案】第一或第三象限 【分析】
sin sin αα=
cos cos α
α=，二者相等，只需满足
sin α与cos α同号即可，从而判断角所在的象限.
【详解】
sin sin αα=
cos cos α
α=，
=，只需满足sin cos 0αα>，即sin α与cos α同号，
因此α的终边在第一或第三象限. 故答案为：第一或第三象限. 14．已知
()()()
()()sin cos 2cos sin cos 2f παπααπαπαα-⋅-=
⎛⎫
+⋅+⋅- ⎪⎝⎭
，则6f π⎛⎫
⎪⎝⎭=___________. 【答案】2
【分析】根据诱导公式化简，即可得到()1sin f αα=
，由此即可求出6f π⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【详解】因为
()()()()()()sin cos 2sin cos 1
sin sin cos sin cos sin cos 2f παπααααπαααααπαα-⋅-⋅=
=
=
-⋅-⋅⎛⎫
+⋅+⋅- ⎪⎝⎭
，
所以6612
sin f ππ⎛⎫
= ⎪⎭
=⎝. 故答案为：2. 15
．若1
tan tan θθ
+=sin 2θ=__________．
【详解】
因为1
tan θtan θ
+
=
221sin cos sin cos 2
tan tan cos sin sin cos sin 2θθθθθθθθθθθ
++=+=== ，
所以sin2θ=16．据资料统计，通过环境整治.某湖泊污染区域的面积()2
km S 与时间t （年）之间存
在近似的指数函数关系，若近两年污染区域的面积由20.16km 降至20.04km ．则使污染区域的面积继续降至20.01km 还需要_______年． 【答案】2
【分析】根据已知条件，利用近两年污染区域的面积由20.16km 降至20.04km ，求出指数函数关系的底数，再代入求得污染区域将至20.01km 还需要的年数.
【详解】设相隔为t 年的两个年份湖泊污染区域的面积为1S 和2S ，则可设12t
S S a =
由题设知，10.16S =，20.04S =，2t =，即20.160.04a ⨯=，解得2a =，122t
S S ⋅∴=
假设需要x 年能将至0.04，即10.04S =，20.01S =，0.04012.0t =∴⨯，解得2t = 所以使污染区域的面积继续降至20.01km 还需要2年. 故答案为：2 四、解答题
17．（1）已知tan 2α=，求
sin 4cos 5sin 2cos αα
αα
-+的值.
（2）已知3sin 5α=-，α是第四象限角，cos β=，3,2βππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()sin αβ+.
【答案】（1）16-（2 【分析】（1）由正余弦的齐次式化为正切即可求值； （2）由同角的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求解. 【详解】（1）tan 2α=
sin 4cos tan 4215sin 2cos 5tan 2126
αααααα---∴
===-++.
（2）3
sin 5α=-，α是第四象限角，
4cos 5
α∴==
，
cos =β，3,2βππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
1
sin 2β∴==-，
()341sin sin cos cos sin (552⎛⎫∴+=+=-⨯+⨯-=
⎪⎝⎭αβαβαβ18．已知函数()1
2sin 2
6x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .
(1)运用五点作图法在所给坐标系内作出()f x 在11,33x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
内的图像（画在答题卡
上）；
(2)求函数()f x 的对称轴，对称中心和单调递增区间. 【答案】(1)详见解析 (2)函数()f x 的对称轴为()223
x k k Z π
π=
+∈，； 对称中心为()23k k Z ππ⎛⎫
-+∈ ⎪⎝⎭
，0，
；
单调递增区间为：()42-2233k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭
，， 【分析】(1)五点法作图；
(2)整体代入求对称轴，对称中心，单调递增区间. (1) 列表：
x
3π-
23π
53π
83π 113π
12x
6π-
26π
56π
86π
116π
126x π+
2π
π
32π
2π
1
sin 26x π⎛⎫+ ⎪
⎝⎭ 0 1
0 -1
1
2sin 2
6x π⎛⎫+ ⎪
⎝⎭ 0 2 0 -2 0
描点画图：
(2) 求对称轴：
()1262x k k Z πππ+=+∈， ，()223
x k k Z π
π=+∈， 故函数()f x 的对称轴为()223
x k k Z π
π=+∈， 求对称中心：
()126x k k Z ππ+=∈，，()23
x k k Z ππ=-+∈，
故函数()f x 的对称中心为()23k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭
，0， 求单调递增区间：
()1-2622x k k k Z πππππ⎛⎫⎛⎫+∈++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，，()42-2233x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，， 故函数()f x 的单调递增区间为：()42-2233k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭
，，
19．已知函数()sin f x x x =．
(1)求不等式()1f x ≤的解集；
(2)将()f x 图像上所有点的横坐标缩短为原来的1
2（纵坐标不变），再将所得图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像．求()g x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的值域． 【答案】(1)112,226k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈.
(2)⎡-⎣.
【分析】（1）利用辅助角公式化简函数()f x 的解析式，根据正弦函数的性质可求得答案；
（2）根据函数的图象变换得到函数()g x 的解析式，再由正弦函数的性质可求得()g x 的值域.
(1)
解：因为()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝
⎭，∴()1f x ≤，即1sin 32x π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭， 所以51322636k x k πππππ+≤+≤+，即112226
k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， ∴()1f x ≤的解集为112,226k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈． (2)
解：由题可知()2sin 22sin 2333x x g x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
当33x π
π
-≤≤时，233x π
ππ-≤-≤，所以1sin 232x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝
⎭
22sin 23x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝
⎭
所以()g x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡-⎣．
20．已知02π
βα<<<，___________，()13cos 14βα-=.从①tan α=②tan 2α=
③7sin 2αα=中任选一个条件，补充在上面问题中，并完成题目.
(1)求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值 (2)求β.
【答案】
(2)3
π 【解析】
(1)
02π
βα<<<，sin 0α∴>，cos 0α>，
若选
①tan α=222222sin tan 4848sin sin cos 1tan 48149
αααααα====+++，
则sin α=1cos 7α=． 若选
②tan 2α=
，则222tan 222tan 1tan 11244α
αα=====---⎝⎭ 则222
222sin tan 4848sin sin 1tan 48149
cos αααααα====+++，
则sin α=1cos 7α=． 若选
③7sin 2αα=
，则14sin cos ααα=，
cos 0α≠
，sin α∴=1cos 7α=．
综上sin α=，1cos 7α=．
1sin()sin cos cos sin )4447πππααα+=+=+
(2)
02π
βα<<<，∴2π
β-<-<0，02
αβπ∴<-<，
13cos()14
αβ-=
，sin()αβ∴- sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ∴=--=---
131147- 3π
β∴=．
21．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示）,该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD ,BC 的两条线段围成．设圆弧AB 和圆弧CD 所在圆的半径
分别为12,r r 米,圆心角为θ（弧度）．
(1)若3π
θ=,123,6r r ==,求花坛的面积；
(2)设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题,已知直线部分的装饰费用为60元/米,弧线部分的装饰费用为90元/米,预算费用总计1200元,问线段AD 的长度为多少时,花坛的面积最大？
【答案】（1）()292
m π；（2）当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大.
【分析】(1)根据扇形的面积公式,求出两个扇形面积之差就是所求花坛的面积即可；
(2)利用弧长公式根据预算费用总计1200元可得到等式,再求出花坛的面积的表达式,结合得到的等式,通过配方法可以求出面积最大时, 线段AD 的长度.
【详解】(1)设花坛的面积为S 平方米.
22211122S r r θθ=- 113692323ππ=⨯⨯-⨯⨯()292
m =π 答：花坛的面积为()292m π；
(2) 圆弧AB 的长为1r θ米，圆弧CD 的长为2r θ米，线段AD 的长为21()r r -米
由题意知()()2112602901200r r r r θθ⋅-++=，
即()()21214340r r r r θθ-++= ，
()()22212121111222
S r r r r r r θθθθ=-=+-， 由式知，()212140433r r r r θθ+=
--， 记21,r r x -=则010x << 所以1404
233S x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=()()225050,1033x x --+∈， 当5x =时，S 取得最大值，即215r r -=时，花坛的面积最大，
答：当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大.
【点睛】本题考查了弧长公式和扇形面积公式,考查了数学阅读能力,考查了数学运算能力.
22．已知函数()4lg 4x f x x -=+，()1212
x
x g x -=+，设()()()1h x f x g x =+- (1)求()()22h h +-的值；
(2)是否存在这样的负实数k ，使()()
22cos cos 20h k h k θθ-+-+≥对一切R θ∈恒成立，若存在，试求出k 取值集合；若不存在，说明理由.
【答案】(1)2-；
(2)存在，{}21k k -<≤-.
【分析】（1）由题可得()412lg 4112x
x
h x x x --+++=-，代入即得； （2）由题可得函数()4lg 4x f x x -=+，()1212
x
x g x -=+，为奇函数且在()4,4-上单调递减，构造函数()()()()1F x f x g x h x =+=+，则可得()()22cos cos F k F k θθ-≥-恒成立，进
而可得2222cos cos cos 4cos 40
k k k k k θθθθ⎧-≤-⎪>-⎪⎨<+⎪⎪<⎩，对R θ∀∈恒成立，即求. (1)
∵函数()4lg 4x f x x -=+，()1212x
x
g x -=+， ∴()412lg 4112x
x
h x x x --+++=-， ∴()()2
22242124212lg lg 421242221112h h ----+-++++-+⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭ 133lg l 112g3355
-+=-+-=-. (2)
∵()4lg
4x f x x -=+， 由
404x x ->+，得()4,4x ∈-， 又48144x x x
-=-++在()4,4-上单调递减，lg y x =在其定义域上单调递增， ∴()4lg
4x f x x -=+在()4,4-上单调递减， 又()()44lg
lg 44x x f x f x x x +--==-=--+， ∴()4lg 4x f x x
-=+为奇函数且单调递减； ∵()1221,R 1212
x x x g x x -==-∈++，又函数12x y =+在R 上单调递增，
∴函数()1212x
x
g x -=+在R 上单调递减， 又()()12211212x x x x
g x g x -----===-++， ∴函数()1212x
x
g x -=+为奇函数且单调递减； 令()()()()1F x f x g x h x =+=+，则函数()F x 在()4,4-上单调递减，且为奇函数，
由()()
22cos cos 20h k h k θθ-+-+≥，可得()()22cos 1cos 1h k h k θθ⎡⎤-+≥--+⎣⎦， 即()()()2222cos cos cos F k F k F k θθθ-≥--=-恒成立，
∴2222cos cos cos 4cos 40k k k k k θθθθ⎧-≤-⎪->-⎪⎨-<⎪⎪<⎩，即2222cos cos cos 4cos 40
k k k k k θθθθ⎧-≤-⎪>-⎪⎨<+⎪⎪<⎩，对R θ∀∈恒成立， 故222340
k k k k k ⎧-≤-⎪>-⎪⎨<⎪⎪<⎩，即21k -<≤-， 故存在负实数k ，使()()
22cos cos 20h k h k θθ-+-+≥对一切R θ∈恒成立，k 取值集合为{}21k k -<≤-.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造奇函数()()()()1F x f x g x h x =+=+，从而问
题转化为2222cos cos cos 4cos 40
k k k k k θθθθ⎧-≤-⎪->-⎪⎨-<⎪⎪<⎩，对R θ∀∈恒成立，参变分离后即求.。