杰里 瑞尼 高级微观经济学答案

n + 1 2 n i
， px≤y}， 由于偏好关系严格单调， n 个极大值 x ,x …,x
1 2 n
1
2
n
必
满足等式预算条件，即：p·x =y ; p·x =y ; … p·x 则：x = x =…= x
1 2 n
=y;
=x*=y/p
也就是说，x*∈B,且对于所有 x∈B, x*≥x 亦即：x 为唯一极大值，且满足 y=p·x*的条件。 1.17 ① 若偏好关系是严格凸的 假设存在 x ∈ h( p, u ) ， x'∈ h( p, u ) ， x ≠ x ' ，且 u ( x) ≥ u ' ( x) ≥ u 取 ，令 x" = αx + (1 − α ) x' α ∈ （0，1）
3
x.即B是有界集 。
⊂R
n +
，并且为有界闭集，所以可得 B 是
R
n
+
上的紧集。
由 Weierstrass 定理（即定理 A1.10） ： 该定理保证在非空凸紧集 B 上的连续实值效用函数 u(x)存在极值。 根据假设 1.2， 效 用函数 u(x)为严格拟凹，且严格递减，因此，该函数存在极大值。 假设极大值不唯一，即：存在 x ,x …,x ∈B，对于所有 x∈B，x （i=1,2,…n）均为最 优选择， 由题， B={x︱x∈R
-1 1-
1.21
5
解：拉格朗日函数为: L( x1 , x 2 , λ ) = ln A + α ln x1 + (1 − α ) ln x 2 + λ ( y − p1 x1 − p 2 x 2 ) 因为只有一个内点解， 库恩塔克条件正好和普通的拉格朗日一阶条件一致， 所以得到以 下方程：
∂L α = − λp1 = 0 ∂x1 x1 ∂L 1 − α = − λp 2 = 0 ∂x 2 x2
则 px" = p[αx + (1 − α ) x' ] = pαx + (1 − α ) px' = px = px' 又偏好关系是严格凸的，所以 x" > x ' ； u ( x" ) > u ( x' ) ，这与 x'∈ h( p, u ) 相矛盾 故 h( p, u ) 是单值，即唯一解。 ② 若偏好关系是凸的 设 x ∈ h( p, u ) ， x'∈ h( p, u ) 则 px = px' ， u ( x) > u ， u ( x' ) > u 取 α ∈ （0，1） ，令 x" = αx + (1 − α ) x' 则同上 px" = p[αx + (1 − α ) x' ] = pαx + (1 − α ) px' = px = px' ∵ ∴ 偏好关系是凸的
4
当无差异曲线的斜率大于预算约束线的斜率时， 即
p ∂u ( x* ) / ∂x1 p1 ， 即 MRS12 > 1 > * ∂u ( x ) / ∂x2 p2 p2
* *
时，如图所示，消费者问题的解 x 位于横轴上，这时， x1 > 0 并且 x2 = 0 ，它表示此时的
*
最优解是一个边角解，此时消费者将全部收入都购买 x1 ，并由此达到最大的效用水平。
u ( x" ) = u[αx + (1 − α ) x' ] ≥ αu ( x) + (1 − α )u ( x' ) ≥ αu + (1 − α )u = u
亦即 h( p, u ) 是凸集，不必是唯一解。
即 x"∈ h( p, u ) 1．18．
解：根据要求， u ( x) 是严格拟凹的，因此两物品的 MRS12 递减，无差异曲线凸向原点，这 时，x 和 y 具有一定的替代关系。 但当 x 和 y 趋于完全替代时， 无差异曲线和预算线无切点， 而只能得到角解。
得证。
（b）
1.13 （a）对于两异点
x = ( x , x ), x = ( x , x ) ， 总 有 x
1 1 1 1 2 2 2 2 2 1
1 1
≠ x1 , 或 x 2≠ x 2 ， 则 必 有
2 1 2
x x 或x
例如， 1.14
1
2
2
x ，但绝无 x x 和 x
1
1
2
2
x 同时成立，故其无差异曲线退化为单个点。
x
m
≤ y ，即 p x ≤ y 。所以，B 是闭集。
0
由于 p
0, 则 p > 0(1 ≤ i ≤ n)
i
⎧ ⎫ ⎪ y ⎪ ⎪ y y ⎪ ⎪ ⎪ , ,..., 令 R = max ⎨ ⎬> 0 ⎪ ⎪ p p p ⎪ ⎪ 2 n⎪ ⎪ 1 ⎩ ⎭
则 ∀x ∈ B, 有 ( R, R,..., R ) 综上，由 B 1.16 证明：由 1.15 题证明可知，预算集 B 为凸紧集。
x} , 并且当m → ∞时 x → x
m
0
下面证
x
0
∈ Ψ ( x)
∞ m=1
m
∀m， x m
即， u
{ }
0
⊂ Ψ ( x) ⇒ u
( x ) ≥ u ( x) ⇒ lim u ( x ) ≥ u ( x)
m m m→∞
( x ) = u( lim x
m→∞
) ≥ u ( x)
所以， 1.15
x
表示，其中
0 < α < 1和A > 0 ，假定一个内点解可以解决效用极大化问题，求出 Marshall 需求。
解 L = u ( x1 , x1 ) + λ ( y − p1 x1 − p2 x2 )
α −α = A ⋅ x1 ⋅ x1 + λ ( y − p1 x1 − p2 x2 ) 2
F.O.C: ∂L/∂x1 = Aαx1α x2 α - λp1 = 0 (1) ∂L/∂x2 = A(1-α)x1αx2 α - λp2 = 0 (2) ∂L/∂λ = y-p1x1-p2x2 = 0 (3) ⇒ x1 = (α/p1)y x2 = y(1-α)/p2
。则 ∀
x , x ,u(x )≥ u(x ) ⇔ x x
1 2 1 2 1
2
x ,x
1
2
∈ X , u ( x1) , u ( x 2) ∈ R 。故总有 u ( x1) ≥ u ( x 2)或u ( x 2) ≥ u ( x1)
那么，
x x 或x
1 2
2
x 成立，完备性得证
1
2
（2） ∀
x ,x， x
高微一 Ch1 习题参考答案（10－67） １.１０
x2
X3 Xp X1 Xt X0 X2 x1
O
证明：如图：图中实线部分是一条无差异曲线，它由一个粗实线的“线性部分”和曲实 线的凸向原点部分组成，整条曲线所表示的偏好集满足公理 1、2、3、４。 （１）证明满足公理５’ 在曲线上任取两点 X1 与 X2 ，它们是无差异集上两个不同点，皆与 X0 无差异，显然 会有 X1\X2，Xt 是这两点的凸组合，且它位于 X0 的东北方向，所以 Xt\X2。得证。 （２）证明破坏了公理５ 在“线性部分”任选取两点 X1 和 X3，其凸组给为 Xp，与 X1 和 X3 位于同一条直线，所 以 Xp\X3,并不能得出 Xp>X3 的结论。故而破坏了公理５。 1.11 如果 是连续的，那么，定理 1.1 证明中定义的 A 与 B 集是 ℜ 的闭子集。
6
如果取v( x) = f (u ( x)) max v( x) n
x∈
+
受约束于pi x - y
L ( x, λ ) = v ( x ) + λ[ y − p i x ] ⎧ ∂L ∂v( x* ) ∂u ( x* ) * * = − = − λ * pi = 0 λ p f '( u ( x )) ⎪ i ∂ ∂ ∂ x x x ⎨ i i i ⎪ y − p i x* = 0 ⎩ 显然，这只会影响λ *的取值，不会影响x*的取值。
0
x 。则 x ∈ Ψ ( x) ，即 Ψ ( x ) 是闭集。连续性得证。
0
证明： （1）当 y = 0时，B = x ∈ 当 y > 0时 ，设 令
{ R
2
n +
px = 0 = {0} , 显然是紧凸集
1 2
}
x ,x x
t
1
2
∈ B ，则有
1
px ≤ y, p x
2
≤y
= t x + (1− t ) x
p1
（7）
马歇尔需求函数为：
x1 =
αy
p1
， x2 =
(1 − α ) y p2
由于效用函数对于正的单调转换不变，所求得的结果与第 20 题的结果相同。 1.22
max u ( x) n
x∈
+
受约束于pi x - y
L ( x, λ ) = u ( x ) + λ[ y − p i x ] ⎧ ∂L ∂u ( x* ) = − λ * pi = 0 ⎪ ∂xi ⎨ ∂xi ⎪ y − p i x* = 0 ⎩
∂L = y − p1 x1 − p 2 x 2 = 0 ∂λ
由（2）除以（1） ，得
（1）
（2）
（3）
x1 =
αx 2 p 2 (1 − α ) p1
（4）
y = p1 x1 + p 2 x 2
将（4）代入（5） ，得
（5）
x2 =
(1 − α ) y p2
（6）
将（6）代入（5） ，得
x1 =
αy
1 2
3
∈ X , 并且假定 x1
x ,x
2
2
x
3
所以，由题意知 u 那么， ⇒ u
( x1) ≥ u ( x 2), u ( x 2) ≥ u ( x 3) 成立。
( x1) ≥ u ( x 3) ⇔ x1 x 3 。传递性得证
⊂ Ψ ( x) = { y ∈ X , 且y
（3）设
{x }
m
∞ m=1
m 1, ⎟ ，， ， (11 ) x →⎜ ) ⎟ ⎜ ⎟，而(11 ⎜ 2⎠ ⎝
1
（b）不能，因为偏好本身就不连续。
x
m
⎛ 1 1⎞ m =⎜ 1+ , ⎟ , m ∈ N,故x ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ m 2⎠
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞ ⎜ 1， ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎠ ⎝
证明：设 u（· ）可表示 （1） ∀
x2
O
证明： 已知
1 2 n
x1
是 R+ 上得一个偏好关系，u ( x) 是一个代表此偏好关系的效用函数。 在 R+ 中
1
n
1.19 定理 1.2：效用函数对正单调变换的不变性
取两点 x , x ，令 x
x 2 ，∴ u ( x 1 ) ≥ u ( x 2 ) 。又∵ f : ℜ → R 在 u 所确定的值集上是严
t 1
则，
px = P ⎢⎣⎡t x + (1− t ) x ⎥⎦⎤ = tp x + (1− t ) p x
1
2
≤ ty + (1− t ) y = y
所以， （2）设
x ∈ B, 故B是凸集
x
m
t
x
m
∈ B且 lim
m→∞
= x , 则p x ≤ y
0m p
m→∞
（ b ） 证 明 ： 如 果 u ( x1, , x 2 ) 与 ν ( x1, x 2) ) 是 拟 凹 的 ， 那 么 ， m( x1, x x 2 ）
≡ min { u ( x1, , x 2 ),ν ( x1, x 2) )}也是拟凹的。
证明： （a）∵ u ( x1, , x 2 )与ν ( x1, x 2) ) 是 r 次齐次的。
参考公理 3。 1.12 设 u ( x1, , x 2 )与ν ( x1, x 2) )是效用函数。 （ a ） 证 明 ： 如 果 u ( x1, , x 2 ) 与 ν ( x1, x 2) ) 均 为 r 次 齐 次 的 ， 那 么 ， s ( x1, x 2 ）
≡ u ( x1, , x 2 )+ν ( x1, x 2) )也为 r 次齐次的。
1
∴
r ， k v( x1 ， x 2 ）= v( kx1 ， kx 2 ） k r u ( x1, , x 2 )= u (kx1 ， kx2 ）
∴ s(kx1 ， kx2 ） ≡ u (kx1 ， kx2 ）+ v( kx1 ， kx2 ）
= =
k r u ( x1, , x 2 )+ k r v( x1 ， x 2 ） k r s ( x1, x 2 ）
1.23 证明：如果 u : R+ → R 可以表示偏好关系
n
，则有
（1） u (•) 是严格递增的，当且仅当 （2） u (•) 是拟凹的，当且仅当
是严格单调的。
是凸的。 是严格凸的。
1 2
n
（3） u (•) 是严格拟凹的，当且仅当
1 2
依据 u (•) 是严格单调的， 则有 u ( x ) ≥ u ( x ) ， 又 u : R+ → R 证： （1） 必要性： 如果 x ≥ x ， 可以表示偏好关系 （若 x
2 1 2
格递增的，∴ f (u ( x )) ≥ f (u ( x )),∵ v( x) = f (u ( x)) ， ∴ v( x ) ≥ v( x ) ∴ v( x) 也代表偏
1
好关系
。
α
1−α
1.20 假 定 偏 好 可 以 由 Cobb-Douglas 效 用 函 数 u ( x1 , x1 ) = A ⋅ x1 ⋅ x2