与切线有关的证明与计算

与切线有关的证明与计算

1.如图，AB是⊙Ｏ的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙Ｏ的切线CM．

（1）求证：∠ACM＝∠ABC；

（2）延长BC到D，BC＝CD，连接AD与CM交于点E，若⊙Ｏ的半径为3，ED＝2，求△ACE的外接圆的半径．

第1题图

（1）证明：如解图，连接OC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ABC＋∠BAC＝90°，

又∵CM是⊙O的切线，

∴OC ⊥CM，

∴∠ACM＋∠ACO＝90°，

∵CO＝AO，

∴∠BAC＝∠ACO，第1题解图

∴∠ACM＝∠ABC；

(2)解：∵BC＝CD，

∴OC∥AD，

又∵OC⊥CE，

∴AD⊥CE，

∴△AEC是直角三角形，

∴△AEC的外接圆的直径是AC，

又∵∠ABC＋∠BAC＝90°，∠ACM＋∠ECD＝90°，

由（１）知∠ACM＝∠ABC，

∴∠BAC＝∠ECD，

又∵∠ACB＝∠CED＝90°，∴△ABC∽△CDE，

∴AB BC CD DE

=,

∵⊙Ｏ的半径为3，∴AB＝6，

∴

6

2

BC CD

=，

∴BC CD

⋅=2=12

BC，

∴=23

BC，

∴=361226

AC-=，

∴△AEC的外接圆的半径为6．

2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．以AB为直径作半圆⊙O交AC于点D．点E为BC的中点，连接DE．

（1）求证：DE是半圆⊙O的切线；

（2）若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长.

第2题图（1）证明：如解图，连接OD，OE，BD．

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝∠BDC＝90°，

∵在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴DE＝BE，

∴在△OBE和△ODE中，

,

OB OD

OE OE BE DE

=⎧⎪=⎨⎪=⎩

∴△OBE ≌△ODE (SSS ），

∴∠ODE ＝∠OBE ＝90°，

又OD 为⊙O 的半径,

∴DE 为⊙O 的切线；

（2）解：在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°， 第2题解图 ∴BC ＝1

2AC ，

∵BC ＝2DE ＝4，

∴AC ＝8，

又∵∠C ＝60°，DE ＝EC ，

∴△DEC 为等边三角形，即DC ＝DE ＝2， ∴AD ＝AC-CD ＝8-2=6.