5.1 and 5.2 传递函数的时域辨识 [系统辨识理论及Matlab仿真]

t 2 ln ln
1 y* t1 1 y* t1
t1 ln 1 y* t 2 ln 1 y* t 2
如果选择 y*(t1) 0.39 和 y*(t2) 0.63 这两个固定值，则
2t1 t2
第5章 传递函数的时域和频域辨识
图1 系统辨识的时域与频域方法
5.1 传递函数辨识的时域法
传递函数辨识的时域方法包括阶跃响应法、脉 冲响应法和矩形脉冲响应法等，其中以阶跃响应 法最为常用。阶跃响应法利用阶跃响应曲线对系 统传递函数进行辨识，阶跃响应曲线即为输入量 作为阶跃变化时，系统输出的变化曲线。
第5章 传递函数的时域和频域辨识
时域是描述数学函数或物理信号对时间的关系。例如一个信 号的时域波形可以表达信号随着时间的变化。频域是描述信号 在频率方面特性时用到的一种坐标系。频域法和时域法在线性 系统理论和控制理论许多重要问题上是互相补充的。上世纪六 十年代以前，频域法在系统辨识理论和实践中占据统治地位。 从上世纪六十年代末以来，时域法地位逐渐提高。如图5-1所示 为系统辨识的时域与频域方法比较。
,
K y y
u u
则
Ty y Kut y t
首先将其转化为无量纲形式y*(t), 取
则
y* t

yt y
Ty*t y*t 1
解上述方程，可得与被控对象相对应的阶跃相应无量纲形式为
0
t<
y*
为求解方便，上式可以近似表示为：
TT11T2
T2 (T1
(t2 t1) T2 )2
2.16 1.74t1
t2 0.55
根据上式，可推广到n阶惯性加纯迟延的传递函数具有如下特性 ：
nT (t1 t2 ) 2.16
在固定选取 y*(t) 分别为0.4和0.8后，其对应的 t1 t2 能够反映

yt y
同理，可得与被控对象相对应的阶跃相应无量纲形式为
y* (t) 1 T1 et/T1 T2 et/T2
T1 T2
T2 T1
图5 根据阶跃响应曲线上的两个点的数据确定 T1 和 T2
确根定据参上数式T可1和利T用2 ，响一应般曲取线上y*的(t) 两为个0.4数和据0点.8，[t1再y从*(t1曲)] 和线[上t2 定y*(
被控对象：
实例
G(s) e80s 60s 1
阶跃响应Matlab仿真程序：chap5_1.m
figure(1); sys=tf([1],[60,1],'inputdelay',80); [y,t]=step(sys); line(t,y),grid; xlabel('time');ylabel('y');
d
因此，根据频率 ω趋于无穷时实验所得 相频特性的相角变化率，即可确定延迟环 节的延迟时间τ 。但在高频时相频特性的实 验数据难以测量，所以工程上采用下列方 法确定系统的纯延迟。
如图1所示，图中实线为实验得到的对数相频曲
线，虚线为拟合的传递函数 G's 所决定的对数相
频特性。如果虚线和实线很接近，则系统不含延
第5章 传递函数的时域和频域辨识
在控制系统研究中经常会遇到这样的问题，即用户没有办 法从物理上得出所研究系统的数学模型，但可以通过适当的实 验手段测试出系统的某种响应信息，如可以通过频率响应测试 仪来测试出系统的频率响应数据，或通过数据采集系统来测试 出系统时间响应的输入与输出数据，有了系统的某种响应数据 ，就可以根据它来获得系统的数学模型，这种获得系统模型的 过程称为系统辨识。
4. 测试响应曲线的步骤
（1）将响应曲线化为无延迟无量纲的标准形式；
（2）求取 y*(t) 分别为0.4和0.8所对应的 t1、t 2 ，根据 t1 t2
的值来确定n。
（3）若 0.32 t1 t2 0.46，则可选用二阶惯性环节加纯延 迟传递函数。
（4）若 t1 t2 0.46，则根据表一找其相近的数据对应的n

n
即可作为系统的纯延迟。
图1 对数频率特性曲线
例 设一个系统的实验频率响应曲线如图2所示，试确定系统 的传递函数。
• 图2 被测试系统的对数相频特性曲线
（1）根据近似对数幅频曲线低频下的斜率
为 20dB/dec. ，则由表1可知被测对象包含一
个积分环节 sn n 1 。
（2）近似对数幅频曲线有3个转折频率，即 0.1rad/sec,1 rad/sec和10 rad/sec，按转折频率 处的斜率变化和转折频率10rad/sec附近的谐振 峰值来确定传递函数的阻尼比和时间常数。
二阶惯性环节加纯滞后传递函数：
G(s)

(T1s
Ke s 1)(T2s
1)
,
T1

T2
增益K值按下式计算：
K y() y(0) y()
u
u
时间延迟 可根据阶跃响应曲线脱离起始的毫无反应
的阶段到开始变化的时刻来确定，见图5。
首先将其转化为无量纲形式y*(t),即
y* t
且T 可由 1/ T 求得。
表1 基本环节频率响应渐进特性
被测对象按最小相位系统处理，得到的 传递函数是 G(s)，如果所求得G(s)的相角 与实验结果不符，且两者相差一个恒定的 角频变化率，则说明被控对象包含延迟环
节。若被控对象传递函数为 Gses ，则有
lim d G s e j
Amplitude
3 2.5
2 1.5
1 0.5
0
0
Step Response
K y
y
u
u
T5
10
15
Time (sec.)
图3 用作图法确定参数T和
参数 和 T 的这种求解方法也可称为图解法，其优点
是特别简单。但对于一些实际响应曲线，寻找该曲线的最 大斜率处并非易事，主观因素也比较大。
对应标准形式
由于 1 0.1, 1, 2 10
T1

1 1
10,T

1
1.0,T2

1 2
0.10
由图可以计算出超调量为16%，由公式% e/ 12 ,则
0.5
则可写出被测系统的传递函数为
Gs
K s 1
s
10s
1
G

j

Y U
s s

Y U

j j
s j
式中Y s是辨识对象输出量的拉式变换，U s 是
辨识对象输入量的拉式变换。
5.2.1 利用Bode图特性求传递函数
• 如果实验测得了系统的频率响应数据，则可按
频率特性作出对数频率特性曲线，从而求得传递 函数。最小相位系统通常可以用以下式来描述：
G
s

K
p i 1
Βιβλιοθήκη Baidu
T1is 1
q i 1
T22i s2 2T2i1is 1
•
s
n
r i 1
T3is 1
l i 1
T42i s2 2T4i2is 1
其中 T1i 和 T3i是一阶微分环节和惯性环节的时间常数， 1i 和 2i 是二阶微分环节和振荡环节的阻尼比， T2i 和T4i 是二阶微分环节和振荡环节的时间常数。
t1/t2
8
0.685
9
10
0.71
11
12 0.735
13
14
0.75
3.用n阶惯性加纯迟延的传递函数拟合
若 t1 t2 0.46，需用高阶环节近似
G(s)

K (Ts 1)n
取 y*(t)为0.4和0.8，再从曲线上定出 t1, t2 ，然后可从
表1中得到n,再根据下式确定T。
nT (t1 t2 ) 2.16
K y y y 0
u
u
如果初始值取零，则
y Ku
（1） 切线法 阶跃响应曲线如图3所示，在其S型曲线的变化速率
最快处作一切线，分别与时间轴t及阶跃相应的渐近线 y()
相交于 0, 和 t0, y() ,这样便得到时滞 和时间
常数 T t0 。
（2）两点法
在 yt 上选取两个坐标值 t1, y(t1)和 t2, y(t2) ， 只
要求0，y(t1) ，y(t2 ) 这三个数值之间有明显的差异即 可，如图4所示。则
图4 根据阶跃曲线上的两个点确定T1和T2
针对如图3所示的被控对象
G(s) Kes Ts 1
由于 G(s) Ke s y y Ts 1 u u
迟环节。如果虚线和实线相差较多，则系统存在
纯延迟。选取若干个频率 k k 1, 2, , n，对
应于每一个 k 可找出其实测曲线与拟合曲线的
相差角 k 'k ，k 于是
k

k k
'k k k
,
k 1, 2,
,n
再求平均值得 ，


1 n
1
2
出 G(s) Ke s 的传递函数的阶次 ，其关系见表1。 (Ts 1)n
一般来说，二阶对象满足：
0.32 t1 t2 0.46
表1
高阶惯性对象
(Ts
1 1)n
中阶数n与比值t1/t2的关系
n
t1/t2
1
0.32
2
0.46
3
0.53
4
0.58
5
0.62
6
0.65
7
0.67
n
值选用传递函数
K G(s) (Ts 1)n
，式中T由
nT (t1 t2)
2.16
求得。
5.2 传递函数的频率辨识
5.2 传递函数的频率辨识
• 频率特性是描述动态系统的非参数模型，可通
过实验方法测取。本节讨论在频率特性的已经测 取的情况下，求系统传递函数的方法。
• 被控对象用频率特性描述时，一般表达式为
t
)]
2
t
1
出 t 2 和 ，然后可得：
T1 e t1 / T1 T2 et1 / T2 0.4
T1 T2
T1 T2
T1 e t2 / T1 T2 et2 / T2 0.8
T1 T2
T1 T2
将 y*(t)所取两点对应的 t1 、t 2 代入上式可得所需的T1 、T2 。
t

1
exp


t

T

t
则得
y*(t1) 1 exp
t1 T

y*(t2 ) 1 exp
t2 T
解得
T


ln
t 2 t1
1 y* t1 ln
1 y* t 2
阶跃响应如图2所示。
Step Response 1
0.9
0.8
0.7
0.6
y
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
time (sec)
图2 阶跃响应
1、一阶惯性滞后环节的辨识
Kes G(s)
Ts 1
设系统的输入u的变化量为 u ，则放大倍数为
通过实验测定系统的频率响应之后，就 可以利用表1 中各种基本环节频率特性的渐 进特性，获得相应的基本环节特性，从而 得到传递函数。具体方法是用一些斜率为 0， 20dB/dec，. 40dB/de…c. …的直线来逼 近幅频特性，并设法找到频率拐点，就可 以求式 的传递函数。
以表1的第三行为例， 如果低频下幅频 和相频分别为0dB 和0度 ，高频下幅频和 相频分别为 20dB和90度 ，且相频为45度 时，幅频为 3dB，则说明基本环节为 Ts+1，
T 2(t2 t1)
显然这时的计算非常简单。 对于所计算的 T 和 ，还可在
t3
y* (t3 ) 0
t4 0.8T y*(t4 ) 0.55
t5 2T y*(t5 ) 0.87
这几点上对实际曲线的拟合精度进行检验。
2.由二阶惯性加纯迟延的传递函数拟合

s 10
2


s 10
1

（3）根据 0.01 时 ，幅频为 60dB，即 ，
20lg G j 60 0.01
则可得
K 0.01 j 1
20 lg
60
0.010.1
j
1

0.01 10
j
2

0.01 10
j
1

则被测系统的比例环节可近似为 K=10。通过
以上分析，可得实际模型的传递函数为
Gs
10s 1
s
10s
1

s 10
2


s 10
1

上式只是根据幅频特性得出的传递函数，因此