山西省晋城市陵川第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题

陵川一中2017年高二期中考试
理科数学试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数231i
z i
-=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2.设函数()y f x =在0x x =处可导，且000
(3)()
lim 1x f x x f x x ∆→-∆-=∆，则0'()f x 等于
（ ） A ．1
B ．1-
C ．13-
D ．13
3.为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ） A ．150 B ．180
C ．200
D ．280
4.证明
21111
11(1)22342
n n n n +<+++++<+>…，当2n =时，中间式子等于（ ） A ．1 B ．112+ C ．11123++ D ．111
1234
+++
5.如图，5个(,)x y 数据，去掉(3,10)D 后，下列说法错误的是（ ）
A ．相关系数r 变大
B ．残差平方和变大
C ．相关指数2
R 变大
D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强
6.设2
(12)a x dx =
-⎰，则二项式261()2a x x
+的常数项是（ ） A ．240
B ．240-
C ．60-
D ．60
7.利用数学归纳法证明：不等式11112321
n n +
+++<-…（2n ≥，n N +∈）的过程中，
由n k =变为1n k =+时，左边增加了（ ） A ．1项
B ．k 项
C ．1
2
k -项
D ．2k
项
8.函数2sin y x x =-，,22x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦的大致图象是（ ）
9.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如表：
根据表中数据可得回归方程 y bx
a =+ 中的
b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ） A ．63.6万元
B ．65.5万元
C ．67.7万元
D ．72.0万元
10.设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，(1)P p ξ>=，则(10)P ξ-<<等于（ ） A ．
1
2
p B ．1p - C ．12p -
D ．
1
2
p - 11.已知()cos()f x x ωϕ=+（0ω>），'()f x 是()f x 的导函数，若()0f α=，'()0f α>，
且()f x 在[,)απα+上没有最小值，则ω的取值范围是（ ） A ．1
(0,)2
B ．3(0,]2
C ．3(1,]2
D ．(1,)+∞
12.设复数(1)z x yi =-+（x ，y R ∈），若||1z ≤，则y x ≥的概率为（ ） A ．
31
42π
+ B ．
112π
+ C ．
1142π
- D ．
112π
- 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若1+是关于x 的实系数方程2
0x bx c ++=的一个复数根，则b = ，
c = ．
14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没有去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为 ．
15.求由抛物线28y x =（0y >）与直线60x y +-=及0y =所围成图形的面积 ．
16.设函数'()f x 是奇函数()f x （x R ∈）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，
'()()0xf x f x -<成立的x 的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.证明下列不等式：
（Ⅰ）用综合法证明：若0a >，0b >，求证：1
1()()4a b a b
++≥；
>
18.已知57
56n n
A C =，且230123(12)n n n x a a x a x a x a x -=+++++…． （Ⅰ）求n 的值；
（Ⅱ）求123n a a a a ++++…的值．
19.第十二届全国人民代表大会第五次会议和政协第十二届全国委员会第五次会议（简称两会）分别于2017年3月5日和3月3日在北京开幕，某高校学生会为了解该校学生对全国两会的关注情况，随机调查了该校200名学生，并将这200名学生分为对两会“比较关注”与“不太关注”两类，已知这200名学生中男生比女生多20人，对两会“比较关注”的学生中男生人数比女生人数之比为
4
3
，对两会“不太关注”的学生中男生比女生少5人． （Ⅰ）根据题意建立的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为男生与女生对两会的关注有差异？
（Ⅱ）该校学生会从对两会“比较关注”的学生中根据性别进行分层抽样，从中抽取7人，再从这7人中随机选出2人参与两会宣传活动，求这2人全是男生的概率．
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++
20.一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）． （Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．
21.某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元． （Ⅰ）求该场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；
（Ⅱ）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时，其价格可享受八五折优惠（即原价为85%）．问：该场是否应考虑利用此优惠条件？请说明理由． 22.已知函数1()x
x
f x e -=
． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程和函数()f x 的极值； （Ⅱ）若对任意的1x ，2[,)x a ∈+∞，都有1221
()()f x f x e
-≥-成立，求实数a 的最小值．
陵川一中2017年高二期中考试理科数学试卷答案
一、选择题
1-5:CCADB 6-10:DDDBD 11、12：CC
二、填空题
13.2-，3 14.A 15.
40
3
16.(,1)(0,1)-∞- 三、解答题
17.（Ⅰ）证明,20,0ab b a b a ≥+∴>>
∴
ab
b a 12
11≥+，∴()11
()4a b a b ++≥．
> 只需证
(
)()
2
2
522
7
6+>+， 即证1041342213+>+，
只需证10242>，即证4042>显然为真， 故原式成立.
18.解：（Ⅰ）由57
56n n
A C =， 得(1)(2)(3)(4)(5)(6)
(1)(2)(3)(4)567654321
n n n n n n n n n n n n ----------=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，
即(5)(6)90n n --=，
解得15n =或4n =-（舍去），所以15n =．
（Ⅱ）当15n =时，由已知，得152315012315(12)x a a x a x a x a x -=+++++…， 令1x =，得012151a a a a ++++=-…， 令0x =，得01a =-，
所以0123152a a a a a +++++=-…．
19.解：（Ⅰ）设男生比较关注和不太关注的人分别为x ，y ，则女生比较关注和不关注的为
85y -，5y +，,由题意可得：100x y +=，
4
853
x y =-，可得100x =，10y =，由此
可得22⨯
2
2
200(100157510)20597 6.6351109017525
K ⨯-⨯==<⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为男生与女生对
两会的关注有差异．
（Ⅱ）由题意得男生抽4人，女生3人，24272
7
C P C ==．
20．解：（Ⅰ）设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则
132
225254
76
()7
C C C C P A C +==， 所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为6
7
． （Ⅱ）设随机变量X 的所有可能取值为1，2,3,4,．
33471(1)35C P X C ===，34474(2)35C P X C ===，35472(3)7C P X C ===，3
6474
(4)7
C P X C ===．
所以随机变量X 的分布列是：
随机变量X 的数学期望为()12343535775
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．解：（Ⅰ）设该场x （*x N ∈）天购买一次饲料平均每天支付的总费用最少，平均每
天支付的总费用为1y ，
因为饲料的保管费用与其他费用每天比前一天少3000.036⨯=（元），
所以x 天饲料的保管费与其他费用一共是2
6(1)6(2)6(33)x x x x -+-++=-…（元）．
从而有211300(33300)200 1.83357417y x x x x x =
-++⨯=++≥， 当且仅当300
3x x
=，即10x =时，1y 有最小值． 故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
（Ⅱ）设该场利用此优惠条件，每隔x 天（25x ≥）购买一次饲料，平均每天支付的总费
用为2y ，
则221300(33300)200 1.80.853303(25)y x x x x x x =-++⨯⨯=++≥． 令300
()3(25)f x x x x
=+≥， 因为2300
'()3f x x
=-+，所以当25x ≥时，'()0f x >，即函数()f x 与2y 在25x ≥时是增
函数，
所以当25x =时，2y 取得最小值，最小值为390， 因为390417< 22.解：，所以(0)2f '=-， 又(0)1f =，所以曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y +-=.
若1a <，令122,[,1)x x a =∈，则12,[,)x x a ∈+∞，
显然不符合题设要求.
若1a ≥，对1212,[,),()0,()0x x a f x f x ∀∈+∞≤≤，
.
综上可知，a 的最小值为1．。