高三数学一轮总复习 98曲线与方程同步练习 理 北师大版

9-8曲线与方程(理)
基 础 巩 固
一、选择题
1．到点F (0,4)的距离比它到直线y ＝－5的距离小1的动点M 的轨迹方程为( ) A ．y ＝16x 2
B ．y ＝－16x 2
C ．x 2
＝16y D ．x 2
＝－16y
[答案] C
[解析] ∵动点M 到点F (0,4)的距离比它到直线y ＝－5的距离小1，∴动点M 到点
F (0,4)的距离与它到直线y ＝－4的距离相等．根据抛物线的定义可得点M 的轨迹是以F (0,4)
为焦点，以直线y ＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x 2
＝16y ，故选C.
2．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →
·PN →
＝0，则点P 的轨迹方程为( ) A.
x 2
16
＋y 2
＝1
B ．x 2＋y 2
＝4 C ．y 2
－x 2
＝8 D ．x 2
＋y 2
＝8
[答案] B
[解析] 设点P 的坐标为(x ，y )，即PM →·PN →
＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝－4＋x 2
＋y 2
＝0，即得点P 的轨迹为x 2
＋y 2
＝4.
3．(2012·郑州模拟)方程(x ＋y －1)x 2
＋y 2
－4＝0，表示的曲线是( ) A ．一直线与一圆 B ．一直线与一半圆 C ．两射线与一圆 D ．两射线与一半圆
[答案] C
[解析] 由式可知⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1＝0
x 2＋y 2
－4≥0，或x 2＋y 2
－4＝0，前者表示直线x ＋y －1＝0在
圆x 2
＋y 2
＝4上及圆外的部分，后者表示圆x 2
＋y 2
＝4，所以选C.
4．(2012·西安调研)已知圆x 2
＋y 2
＝4，过点A (4,0)作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程为( )
A ．(x －1)2＋y 2
＝4(－1≤x <12)
B ．(x －1)2
＋y 2
＝4(0≤x <1) C ．(x －2)2＋y 2
＝4(－1≤x <12)
D ．(x －2)2
＋y 2
＝4(0≤x <1) [答案] D
[解析] 由圆的几何性质知，BC 的中点到A 与圆心连线的中点的距离为2，即方程为(x －2)2
＋y 2
＝4，又中点在圆内，∴0≤x <1.
5．(2012·本溪调研)一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 的一个定点，点A 是圆周上一动点，把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后展开纸片，折痕CD 与OA 交于点P ，当点A 运动时，点P 轨迹为( )
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．圆
[答案] A
[解析] ∵折痕所在的直线是AQ 的垂直平分线， ∴|PA |＝|PQ |，
又∵|PA |＋|OP |＝r ，∴|PQ |＋|OP |＝r >|OQ |. 由椭圆的定义知点P 的轨迹是椭圆．
6．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )
A.x 23－y 26＝1
B.x 24－y 25＝1
C.x 26－y 2
3＝1 D.x 25－y 2
4
＝1 [答案] B
[解析] ∵k AB ＝0＋15
3＋12＝1，
∴直线AB 的方程为y ＝x －3.
由于双曲线的焦点为F (3,0)，∴c ＝3，c 2
＝9.
设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，
则x 2a 2－x －2
b 2
＝1.
整理，得(b 2
－a 2
)x 2
＋6a 2
x －9a 2
－a 2b 2
＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝6a 2
a 2－
b 2＝2×(－12)．
∴a 2
＝－4a 2
＋4b 2
，∴5a 2
＝4b 2
. 又a 2
＋b 2
＝9，∴a 2
＝4，b 2
＝5. ∴双曲线E 的方程为x 24－y 2
5＝1.
二、填空题
7．(2012·江西理，13)椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点
分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为________.
[答案]
55
[解析] 本题考查了椭圆的定义与离心率的求法，由已知|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝a －c ，|BF 1|＝a ＋c ，因|F 1F 2|2
＝|AF 1||BF 1|，所以(2c )2
＝(a －c )(a ＋c )，∴5c 2
＝a 2
，∴e ＝
5
5. 8．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C (x ，y )满足AC →
＝2CB →
，则动点C 的轨迹方程是________．
[答案] x 2
＋y 2
4
＝1
[解析] 由题意设A (x A,0)，B (0，y B )，AC →
＝(x －x A ，y )，CB →
＝(－x ，y B －y )， ∵AC →
＝2CB →
，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x －x A ＝－2x ，y ＝y B －y ⇒⎩
⎪⎨⎪
⎧
x A ＝3x ，y B ＝3
2y .
由x 2
A ＋y 2
B ＝9⇒9x 2
＋94y 2＝9⇒x 2
＋y 2
4
＝1.
三、解答题
9．(2012·辽宁文，20)如图，动圆C 1：x 2
＋y 2
＝t 2,
1<t <3，与椭圆C 2：x 2
9
＋y 2
＝1相交于
A ，
B ，
C ，
D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．
(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．
[解析] (1)设A (x 0，y 0)，则矩形ABCD 的面积S ＝4|x 0|·|y 0|. 由x 20
9＋y 2
0＝1得y 20
＝1－x 20
9
，从而 x 20y 20
＝x 20
(1－x 20
9
)＝－19(x 20－92)2＋94
. 当x 2
0＝92，y 20＝12
时，S max ＝6，
从而t ＝5时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6.
(2)由A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)知直线AA 1的方程为y ＝y 0
x 0＋3
(x ＋
3)． ①
直线A 2B 的方程为y ＝
－y 0
x 0－3
(x －3)． ② 由①②得y 2
＝－y 2
0x 20－9
(x 2
－9)． ③
又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 20
＝1－x 20
9. ④
将④代入③得x 2
9－y 2
＝1(x <－3，y <0)．
因此点M 的轨迹方程为x 2
9
－y 2
＝1(x <－3，y <0).
能 力 提 升
一、选择题
1．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )
A.x 29－y 216＝1
B.x 216－y 29
＝1 C.x 2
9－y 2
16＝1(x >3) D.
x 2
16－y 2
9
＝1(x >4) [答案] C
[解析] 如图|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2， |CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 2
9－
y 2
16
＝1(x >3)． 2．|y |－1＝1－x －
2
表示的曲线是( )
A ．抛物线
B ．一个圆
C ．两个圆
D ．两个半圆
[答案] D
[解析] 原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧
|y |－1≥01－x －
2
≥0y |－2＝1－x －
2
⇔⎩⎪⎨⎪⎧
|y |－1≥0
x －2
＋y |－
2
＝1
⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ≥1x －2
＋y －
2
＝1
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ≤－1x －2
＋y ＋2
＝1
.
二、填空题
3．点P 在以F 1、F 2为焦点的椭圆x 23＋y 2
4＝1上运动，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程是________．
[答案]
x 213
＋y 2
49
＝1(x ≠0) [解析] F 1(0，－1)、F 2(0,1)，设P (x 0，y 0)，G (x ，y )， ∵G 为△PF 1F 2的重心，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0
3y ＝y
3
，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0＝3x
y 0＝3y ，
代入x 23＋y 24＝1中得x 213＋y 2
4
9
＝1
构成三角形时，三点P 、F 1、F 2不共线，∴x ≠0.
4．(2011·北京理，14)曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2
(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；
③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2
.
其中，所有正确结论的序号是________． [答案] ②③
[解析] 设曲线C 上任一点P (x ，y )，由|PF 1|·|PF 2|＝a 2
，可得
x ＋
2
＋y 2
·
x －
2
＋y 2＝a 2
(a >1)，将原点(0,0)代入等式不成立，故①不正确．
∵点P (x ，y )在曲线C 上，点P 关于原点的对称点P ′(－x ，－y )，将P ′代入曲线C 的方程等式成立，故②正确．设∠F 1PF 2＝θ，则S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝12a 2sin θ≤
1
2
a 2，故③正确．
[点评] 本题考查曲线的轨迹方程的求法，考查考生运用所学知识分析问题、解决问题的能力，难度适中．
三、解答题
5．(2011·湖北理，20)平面内与两定点A 1(－a,0)、A 2(a,0)(a >0)连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上A 1、A 2两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线．求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系．
[解析] 设动点为M ，其坐标为(x ，y )， 当x ≠±a 时，由条件可得kMA 1·kMA 2＝
y x －a
·
y x ＋a
＝
y 2x 2
－a
2
＝m ，即mx 2－y 2
＝
ma 2(x ≠±a )，
又A 1(－a,0)、A 2(a,0)的坐标满足mx 2
－y 2
＝ma 2
， 故依题意，曲线C 的方程为mx 2
－y 2
＝ma 2.
当m <－1时，曲线C 的方程为x 2a 2－y 2
ma
2＝1，C 是焦点在y 轴上的椭圆；
当m ＝－1时，曲线C 的方程为x 2
＋y 2
＝a 2
，C 是圆心在原点的圆；
当－1<m <0时，曲线C 的方程为x 2a 2＋y 2
－ma 2＝1，C 是焦点在x 轴上的椭圆；
当m >0时，曲线C 的方程为x 2a 2－y 2
ma
2＝1，C 是焦点在x 轴上的双曲线．
6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 2
5＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点
为F .设过点T (t ，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m >0，
y 1>0，y 2<0.
(1)设动点P 满足PF 2
→
－PB 2
→
＝4，求点P 的轨迹； (2)设x 1＝2，x 2＝1
3
，求点T 的坐标．
[解析] 本主要考查求简单曲线的方程，考查直线与椭圆的方程等基础知识，考查运算求解能力和探究问题的能力．
由题设得A (－3,0)，B (3,0)，F (2,0)．
(1)设点P (x ，y )，则PF 2
→
＝(x －2)2
＋y 2
，PB 2
→
＝(x －3)2
＋y 2
.
由PF 2→
－PB 2→
＝4，得(x －2)2＋y 2－(x －3)2－y 2
＝4，化简得x ＝92.故所点P 的轨迹为直线
x ＝9
2
.
(2)由x 1＝2，x 219＋y 21
5＝1及y 1>0，得y 1＝53，则点M (2，53)，从而直线AM 的方程为y ＝1
3x
＋1；由x 2＝13，x 2
29＋y 2
25＝1，及y 2<0，得y 2＝－209，则点N (13，－20
9
)，从而直线BN 的方程为
y ＝56x －52
.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝1
3x ＋1，y ＝56x －5
2，
解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝7，y ＝10
3.所以点T 的坐标为(7，10
3
)．
7．设椭圆方程为x 2
＋y 2
4＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，
点P 满足OP →
＝12(OA →＋OB →)，点N 的坐标为(12，1
2
)，当直线l 绕点M 旋转时，求：
(1)动点P 的轨迹方程；
(2)|NP →
|的最大值，最小值．
[解析] (1)直线l 过定点M (0,1)，设其斜率为k ， 则l 的方程为y ＝kx ＋1.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，A 、B 的坐标满足方程组⎩
⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋1，x 2＋y 2
4＝1.消去y
得(4＋k 2
)x 2
＋2kx －3＝0.
则Δ＝4k 2
＋12(4＋k 2
)>0. ∴x 1＋x 2＝－2k 4＋k 2，x 1x 2＝－3
4＋k 2.
设P (x ，y )是AB 的中点，则 OP →
＝1
2(OA →＋OB →
)，得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12x 1＋x 2＝－k
4＋k
2，y ＝12
y 1＋y 2
＝44＋k
2；
消去k 得4x 2
＋y 2
－y ＝0.
当斜率k 不存在时，AB 的中点是坐标原点，也满足这个方程， 故P 点的轨迹方程为4x 2
＋y 2
－y ＝0. (2)由(1)知4x 2
＋(y －12)2＝14，
∴－14≤x ≤1
4
.
而|NP |2
＝(x －12)2＋(y －12)2
＝(x －12)2＋1－16x
2
4
＝－3(x ＋16)2＋712
，
∴当x ＝－16时，|NP →|取得最大值21
6，
当x ＝14时，|NP →|取得最小值14
.。