【师说】2017高考数学(理)二轮专题复习 课时巩固过关练(六)导数的简单应用及定积分 Word版含解析
【师说】2017高考数学(理)二轮专题复习 课时巩固过关练(十一)数列求和及综合应用 Word版含解析
一、选择题
1．(2016·广东惠州二调)数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且 ＝ (n≥2)，则数列{an}的第100项为()
A. B.
C. D.
解析： ＝ (n≥2)两边取倒数可得 － ＝ － ，所以 是等差数列，首项 ＝ ，公差d＝ － ＝1－ ＝ ，所以 ＝ ＋ ×(100－1)＝50⇒a100＝ ，故选D.
答案：D
2．(2016·山东济宁期中)已知在数列{an}中，an＝ ，其前n项和为 ，则在平面直角坐标系中，直线nx＋y＋(n＋1)＝0在y轴上的截距是()
A．－10 B．－9
C．10 D．9
解析：an＝ ＝ － ，前n项和为Sn＝1－ ＋ － ＋…＋ － ＝1－ ，由题意可得1－ ＝ ，解得n＝9，直线nx＋y＋(n＋1)＝0，即为9x＋y＋10＝0，令x＝0，可得y＝－10.故选A.
A. B.
C. D.
解析：∵an＝ ＝ ，
∴bn＝ ＝ ＝
4 ，
∴Sn＝4
＝4 ＝ .
答案：B
6．已知在等差数列{an}中，a2＝3，a6＝11，记数列 的前n项和为Sn，若Sn≤ 对n∈N*恒成立，则正整数m的最小值为()
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a2＝3，a6＝11，
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＋ ＝λ(λ为常数)．令cn＝b2n(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Rn.
解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得
解得a1＝1，d＝2.因此an＝2n－1，n∈N*.
(2)由题意知Tn＝λ－ ，所以n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝－ ＋ ＝ .故cn＝ ＝(n－1) n－1，n∈N*.
【师说】2017高考数学(理科)二轮专题复习 课时巩固过关练七 导数的综合应用 含解析
2e⎣⎭x)＝e x(2x－1)，由题知存在唯一的整数x0，使得所以f(x)单调递增，且至少存在一个数使f(x)<0，至少存在一个数使f(x)>0，所以f(x)＝x3＋ax＋b必有一个零点，即方程x3＋ax＋b＝0仅有一根，故④⑤正确；当a<0时，若a＝－3，则f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)·(x－1)，易知，f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在[－1,1]上单调递减，所以f(x)极大值＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)最小值＝f(1)＝1－3＋b ＝b－2，要使方程仅有一根，则f(x)极大值＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2<0或者f(x)极小值＝f(1)＝1－3＋b＝b－2>0，解得b<－2或b>2，故①③正确，所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤.答案：①③④⑤三、解答题kG(x0)<G(0)＝0，显然所要证不等式不恒成立，综上所述可知k的最大值为10．(2015·福建高考)已知函数有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围．解：(1)f′(x)＝m(e mx－1)＋2x.若m≥0，则当x∈(－∞，0)时，e mx －1≤0，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，e mx－1≥0，f′(x)>0.若m<0，则当x∈(－∞，0)时，e mx －1>0，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，e mx－1<0，f′(x)>0.所以，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知，对任意的m，f(x)在[－1，0]单调递减，在[0,1]单调递增，故f(x)在x＝0处取得最小值．所以对于任意x1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)－f (0)≤e －1，f (－1)－f (0)≤e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧e m －m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1.① 设函数g (t )＝e t－t －e ＋1，则g ′(t )＝e t－1. 当t <0时，g ′(t )<0；当t >0时， g ′(t )>0.故g (t )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e<0， 故当t ∈[－1,1]时，g (t )≤0.当m ∈[－1,1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立；当m>1时，由g(t)的单调性知，g(m)>0，即e m－m>e－1；当m<－1时，g(－m)>0，即e－m＋m>e－1.综上，m的取值范围是[－1,1]．When you are old and grey and full of sleep,And nodding by the fire, take down this book,And slowly read, and dream of the soft lookYour eyes had once, and of their shadows deep;How many loved your moments of glad grace,And loved your beauty with love false or true,But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face;And bending down beside the glowing bars,Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.。
【师说】2017届高考数学(文)二轮复习 课时巩固过关练(七) Word版含解析
课时巩固过关练(七) 导数的综合应用一、选择题1．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( ) A ．x ＝12为f (x )的极大值点 B ．x ＝12为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2， 令f ′(x )＝0，则x ＝2.当x <2时，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2<0； 当x >2时，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2>0. 即当x <2时，f (x )是单调递减的；当x >2时，f (x )是单调递增的．所以x ＝2是f (x )的极小值点，故选D.答案：D2．(2015·湖南卷)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数解析：函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，函数的定义域为(－1,1)，函数f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，所以函数是奇函数．f ′(x )＝11＋x ＋11－x ＝21－x 2，在(0,1)上f ′(x )>0，所以f (x )在(0,1)上单调递增，故选A.答案：A3．(2015·福建卷)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1k <1kB ．f ⎝⎛⎭⎫1k >1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1<1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1>k k －1解析：∵f ′(x )＝li m x →0f (x )－f (0)x －0，f ′(x )>k >1，∴f (x )－f (0)x >k >1，即f (x )＋1x >k >1， 当x ＝1k －1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＋1>1k －1×k ＝k k －1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>k k －1－1＝1k －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>1k －1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1<1k －1一定错误．故选C. 答案：C4．(2016·吉林四模)设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x )，对任意的x ∈R ，有f (－x )＋f (x )＝x 2，且x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>x .若f (2－a )－f (a )≥2－2a ，则实数a 的取值范围为( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)解析：∵f (－x )＋f (x )＝x 2，∴f (x )－12x 2＋f (－x )－12x 2＝0， 令g (x )＝f (x )－12x 2，∵g (－x )＋g (x )＝f (－x )－12x 2＋f (x )－12x 2＝0， ∴函数g (x )为奇函数．∵x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>x .∴x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＝f ′(x )－x >0，故函数g (x )在(0，＋∞)上是增函数，故函数g (x )在(－∞，0)上也是增函数，由f (0)＝0，可得g (x )在R 上是增函数．f (2－a )－f (a )≥2－2a ，等价于f (2－a )－(2－a )22≥f (a )－a 22， 即g (2－a )≥g (a )，∴2－a ≥a ，解得a ≤1，故选B.答案：B5．(2015·新课标全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－32e ，1B.⎣⎡⎭⎫－32e ，34 C.⎣⎡⎭⎫32e ，34 D.⎣⎡⎭⎫32e ，1 解析：设g (x )＝e x (2x －1)，y ＝ax －a ，由题知存在唯一的整数x 0，使得g (x 0)在直线y ＝ax －a 的下方．因为g ′(x )＝e x (2x ＋1)，所以当x <－12时， g ′(x )<0，当x >－12时， g ′(x )>0，所以当x ＝－12时， (g (x ))min ＝－2e －12， 当x ＝0时，g (0)＝－1，当x ＝1时，g (1)＝e>0，直线y ＝ax －a 恒过(1,0)，斜率为a ，故－a >g (0)＝－1，且g (－1)＝－3e －1≤－a －a ，解得32e≤a <1，故选D.答案：D二、填空题6．设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________.解析：(1)当a ＝1时，代入题中不等式显然不恒成立．(2)当a ≠1时，构造函数f (x )＝(a －1)x －1，g (x )＝x 2－ax －1，由它们都过定点P (0，－1)，如图所示．设函数f (x )＝(a －1)x －1与x 轴的交点M 坐标为(x 0,0)，即0＝(a －1)·x 0－1，x 0＝1a －1， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0.易知a <1时不符合题意，∴a >1. ∵x >0时，f (x )·g (x )≥0，∴g (x )过点M ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －12－a a －1－1＝0， 解得a ＝32或a ＝0(舍去)． 答案：327．(2015·安徽卷)设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是__________．(写出所有正确条件的序号)①a ＝－3，b ＝－3 ②a ＝－3，b ＝2③a ＝－3，b >2 ④a ＝0，b ＝2⑤a ＝1，b ＝2.解析：令f (x )＝x 3＋ax ＋b ，求导得f ′(x )＝3x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0，所以f (x )单调递增，且至少存在一个数使f (x )<0，至少存在一个数使f (x )>0，所以f (x )＝x 3＋ax ＋b 必有一个零点，即方程x 3＋ax ＋b ＝0仅有一根，故④⑤正确；当a <0时，若a ＝－3，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)·(x －1)，易知，f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在[－1,1]上单调递减，所以f (x )极大值＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2，f (x )极小值＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2，要使方程仅有一根，则f (x )极大值＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2<0或者f (x )极小值＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2>0，解得b <－2或b >2，故①③正确，所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤.答案：①③④⑤8．(2016·河南南阳期中)已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x ·g (x )(a >0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (n )g (n )的前n 项和大于62，则n 的最小值为__________．解析：∵f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x )，∴f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0，∴⎝⎛⎭⎫f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )>0， 从而可得f (x )g (x )＝a x 单调递增，从而可得a >1， ∵f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝a ＋a －1＝52， ∴a ＝2.故f (1)g (1)＋f (2)g (2)＋…＋f (n )g (n )＝a ＋a 2＋…＋a n ＝2＋22＋…＋2n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2>62. ∴2n ＋1>64，即n ＋1>6，n >5，n ∈N *.∴n min ＝6.答案：6三、解答题9．已知函数f (x )＝ln x ＋k e k (k 为常数，e ＝2.718 28……是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数．证明：对任意x >0，g (x )<1＋e －2.解：(1)由f (x )＝ln x ＋k e x ，得f ′(x )＝1－kx －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞)， 由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(2)由(1)得f ′(x )＝1x e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0.又e x >0，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.因此f (x )的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)．(3)因为g (x )＝xf ′(x )，所以g (x )＝1e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)． 由(2)中h (x )＝1－x －x ln x ，求导得h ′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －lne －2)，所以当x ∈(0，e －2)时， h ′(x )>0，函数h (x )单调递增；当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减．所以当x ∈(0，＋∞)时，h (x )≤h (e －2)＝1＋e －2.又当x ∈(0，＋∞)时，0<1e x <1， 所以当x ∈(0，＋∞)时，1e x h (x )<1＋e －2，即g (x )<1＋e －2. 综上所述，结论成立．10．已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值；(2)证明：当x >0时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x . 解：解法一：(1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a .又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2.所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2.令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.当x <ln2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >ln2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以当x ＝ln2时，f (x )有极小值，且极小值为f (ln2)＝e ln2－2ln2＝2－ln4，f (x )无极大值．(2)令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x .由(1)，得g ′(x )＝f (x )≥f (ln2)＝2－ln4>0，即g ′(x )>0.所以g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0，所以当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x .(3)对任意给定的正数c ，取x 0＝1c， 由(2)知，当x >0时，x 2<e x .所以当x >x 0时，e x >x 2>1cx ，即x <c e x . 因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .解法二：(1)同解法一．(2)同解法一．(3)令k ＝1c(k >0)，要使不等式x <c e x 成立，只要e x >kx 成立． 而要使e x >kx 成立，则只需x >ln(kx )，即x >ln x ＋ln k 成立．①若0<k ≤1，则ln k ≤0，易知当x >0时，x >ln x ≥ln x ＋ln k 成立．即对任意c ∈[1，＋∞)，取x 0＝0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .②若k >1，令h (x )＝x －ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x， 所以当x >1时，h ′(x )>0，h (x )在(1，＋∞)内单调递增．取x 0＝4k ，h (x 0)＝4k －ln(4k )－ln k ＝2(k －ln k )＋2(k －ln2)，易知k >ln k ，k >ln2，所以h (x 0)>0.因此对任意c ∈(0,1)，取x 0＝4c， 当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .解法三：(1)同解法一．(2)同解法一．(3)①若c ≥1，取x 0＝0，由(2)的证明过程知e x >2x ，所以当x ∈(x 0，＋∞)时，有c e x ≥e x >2x >x ，即x <c e x .②若0<c <1，令h (x )＝c e x －x ，则h ′(x )＝c e x －1，令h ′(x )＝0，得x ＝ln 1c， 当x >ln 1c时，h ′(x )>0，h (x )单调递增． 取x 0＝2ln 2c ，h (x 0)＝c e2ln 2c －2ln 2c＝2⎝⎛⎭⎫2c －ln 2c ， 易知2c －ln 2c>0，又h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增， 所以当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有h (x )>h (x 0)>0，即x <c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .11．(2016·山东淄博期中)设函数f (x )＝12x 2－2ax ＋(2a －1)ln x ，其中a ∈R . (1)a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)讨论函数y ＝f (x )的单调性；(3)当a >12时，证明：对∀x ∈(0,2)，都有f (x )<0. 解：(1)a ＝1时，f (x )＝12x 2－2x ＋ln x ，f ′(x )＝x －2＋1x， ∴f ′(1)＝0.又f (1)＝－32， ∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＋32＝0. (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －2a ＋2a －1x＝x 2－2ax ＋2a －1x＝(x －1)[x －(2a －1)]x， 令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝2a －1，①当2a －1≤0，即a ≤12时，若x ∈(0,1)，f ′(x )<0； 若x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0.②当0<2a －1<1，即12<a <1时，若x ∈(0,2a －1)，f ′(x )>0； 若x ∈(2a －1,1)，f ′(x )<0；若x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0.③当2a －1＝1，即a ＝1时，f ′(x )＝(x －1)2x≥0. ④当2a －1>1，即a >1时，若x ∈(0,1)，f ′(x )>0；若x ∈(1,2a －1)，f ′(x )<0；若x ∈(2a －1，＋∞)，f ′(x )>0.综上所述：当a ≤12时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)； 当12<a <1时，f (x )的单调递增区间为(0,2a －1)和(1，＋∞)，单调递减区间为(2a －1,1)； 当a ＝1时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a >1时，f (x )的单调递增区间为(0,1)和(2a －1，＋∞)，单调递减区间为(1,2a －1)．(3)①当12<a <1时，由(2)知f (x )在(0,2a －1)上单调递增，在(2a －1,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，∴f (x )≤max{f (2a －1)，f (2)}．而f (2)＝2－4a ＋(2a －1)ln2＝(2a －1)(ln2－2)<0，f (2a －1)＝12(2a －1)2－2a (2a －1)＋(2a －1)ln(2a －1)＝ (2a －1)·⎣⎡⎦⎤－a －12＋ln (2a －1)，记g (a )＝－a －12＋ln(2a －1)， a ∈⎝⎛⎭⎫12，1，g ′(a )＝－1＋22a －1＝－2⎝⎛⎭⎫a －322⎝⎛⎭⎫a －12， 又12<a <1，∴g ′(a )>0. ∴g (a )在a ∈⎝⎛⎭⎫12，1上单调递增．∴当a ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，g (a )<g (1)＝－32<0， 即－a －12＋ln(2a －1)<0成立．又a >12， ∴2a －1>0.∴f (2a －1)<0.∴当12<a <1，x ∈(0,2)时，f (x )<0. ②当a ＝1时，f (x )在(0,2)上单调递增，∴f (x )<f (2)＝ln2－2<0.③当a >1时，由(2)知，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1,2a －1)上单调递减，在(2a －1,2)上单调递增．故f (x )在(0,2)上只有一个极大值f (1)，∴当x ∈(0,2)时，f (x )≤max{f (1)，f (2)}．而f (1)＝12－2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a －14<0，f (2)＝2－4a ＋(2a －1)ln2＝(2a －1)(ln2－2)<0，∴当a>1，x∈(0,2)时，f(x)<0.时，对∀x∈(0,2)，都有f(x)<0. 综合①②③知：当a>12。
【师说】2017高考数学(理)二轮专题复习 课时巩固过关练(一)集合、常用逻辑用语 Word版含解析
7．(2016·黑龙江大庆期中)给出下列命题：(1)等比数列{a n}的公比为q，则“q>1”是“a n＋1>a n(n∈N*)”的既不充分也不必要条件；(2)“x≠1”是“x2≠1”的必要不充分条件；(3)函数y＝lg(x2＋ax＋1)的值域为R，则实数－2<a<2；(4)“a＝1”是“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充要条件．其中真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：若首项为负，则公比q>1时，数列为递减数列，a n＋1<a n(n∈N*)，当a n >a n(n∈N*)时，包含首项为正，公比q>1＋1和首项为负，公比0<q<1两种情况，故(1)正确；“x≠1”时，“x2≠1”在x＝－1时不成立，“x2≠1”时，“x≠1”一定成立，故(2)正确；函数y＝lg(x2＋ax ＋1)的值域为R，则x2＋ax＋1＝0的Δ＝a2－4≥0，解得a≥2或a≤－2，故(3)错误；“a＝1”时，“函数y＝cos2x－sin2x＝cos2x的最小正周期为π”，但“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”时，“a＝±1”，故“a＝1”是“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件，故(4)错误．故选B.答案：B8．(2016·广东惠州模拟)下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝0C．∀x∈R,2x>0 D．∀x∈R，x2>0解析：对于A，x＝1时，lg1＝0，∴A是真命题；对于B，x＝0时，tan0＝0，∴B是真命题；对于C，∀x∈R,2x>0，∴C是真命题；对于D，当x＝0时，x2＝0，∴D是假命题．故选D.答案：D9．(2016·山东济南期中)下列有关命题的叙述错误的是()10．(2016·辽宁实验中学期中)已知△ABC为钝角三角形，命题p：“对△ABC的任意两个内角α，β，都有cosα＋cosβ>0”，下列结论正确的是() A．綈p：对△ABC的任意两个内角α，β，cosα＋cosβ≤0；假命题B．綈p：△ABC中存在两个内角α，β，cosα＋cosβ≤0；真命题C．綈p：对△ABC的任意两个内角α，β，cosα＋cosβ≤0；真命题D．綈p：△ABC中存在两个内角α，β，cosα＋cosβ≤0；假命题解析：∵p：对△ABC的任意两个内角α，β，都有cosα＋cosβ>0，∴綈p：在△ABC中存在两个内角α，β，有cosα＋cosβ≤0；假命题，理由是α＋β<180°，α<180°－β，∴cosα>cos(180°－β)，∴cosα＋cosβ>0，故选D.答案：D11．(2016·山西怀仁期中)已知命题则“m＝n＝1”是“m2－1－2n i＝－2i”的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析：由m，n∈R，m2－1－2n i＝－2i，可得m2－1＝0且－2n＝－2，解得n＝1，m＝±1.∴“m＝n＝1”是“m2－1－2n i＝－2i”的充分不必要条件．答案：充分不必要14．(2016·浙江绍兴期中)已知“命题p：(x－m)2>3(x－m)”是“命题q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为__________．解析：由命题p中的不等式(x－m)2>3(x－m)，变形，得(x－m)(x－m－3)>0，解得x>m＋3或x<m；由命题q中的不等式x2＋3x－4<0，变形，得(x－1)(x ＋4)<0，解得－4<x<1，因为命题p是命题q的必要不充分条件，所以m＋3≤－4或m≥1，解得m≤－7或m≥1.所以m 的取值范围为{m|m≥1或m≤－7}．答案：{m|m≥1或m≤－7}5．(2016·广东东莞期中)下列有关命题的说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”B．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题C．命题“存在x∈R，使得x2＋x ＋1<0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”D．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件解析：A.命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，A 错误；B.命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为“若sin x≠sin y，则x≠y”，为真命题，B正确；C.对于特称命题的否定，存在改为任意，同时也要否定结论，则命题的否定为“对任意x ∈R，均有x2＋x＋1≥0”，C错误；D.“x2－5x－6＝0”⇔“x＝－1或x＝6”，“x ＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，D错误．故选B.C．(綈p)∨q D．(綈p)∨(綈q)解析：对于命题p，由平面向量数量积a·b＝0易得a⊥b，则命题p为真命题；对于命题q，∵a，b，c为非零向量，则q为真命题，故(綈p)∨(綈q)为假命题，故选D.答案：D9．(2016·吉林长春期中)下列命题中正确的个数是()(1)命题“任意x∈(0，＋∞)，2x>1”的否定是“任意x∉(0，＋∞)，2x≤1”；(2)命题“若cos x＝cos y，则x＝y”的逆否命题是真命题；(3)若命题p为真，命题綈q为真，则命题p且q为真；(4)命题“若x＝3，则x2－2x－3＝0”的否命题是“若x≠3，则x2－2x－3≠0”．A．1 B．2C．3 D．4解析：①命题“任意x∈(0，＋∞)，河北邯郸模拟；命题q：＋2)e x＋3x－4在(1,2)上存在零点．故∃x0∈(1,2)，使得(x20－3x0＋2)e x0＋3x0－4＝0成立，故④正确．故答案为①④.答案：①④。
【师说】2017高考数学(理)二轮专题复习 专题能力提升练(一) Word版含解析
⎛ωx)＝sin⎝答案：C8．函数f(x)＝e x－e x，x∈R的单调递增区间是()A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)解析：由题意知，f′(x)＝e x－e，令f′(x)＞0，解得x＞1，故选D.答案：D9．已知函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x ∈R，t＞0)，若f(x)的最小值为g(t)，且g(t)＜－2t＋m对任意的t∈(0,2)恒成立，则实数m的取值范围是()A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]C．(1，＋∞) D．(－∞，1)解析：∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x ∈R，t＞0)，∴f(x)min＝f(－t)＝－t3＋t－1(t＞0)，即g(t)＝－t3＋t－1.由g(t)＜－2t＋m对任意的t∈(0,2)恒成立，知g(t)＋2t＜m对任意的t∈(0,2)恒成立，令h(t)13．若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，则该函数的最大值为________．解析：由函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，可得b＝0，且－1－a＋2a＝0，解得a＝1，所以函数f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2]，故该函数的最大值为5.答案：514．若函数y＝log a(x2－ax＋1)(a＞0，a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是________．解析：当a>1时，若函数y＝log a(x2－ax＋1)(a＞0，a≠1)有最小值，则(－a)2－4＜0，得1＜a＜2；当0＜a＜1时，函数y＝x2－ax＋1没有最大值，从而不能使得函数y＝log a(x2－ax＋1)有最小值，不符合题意．综上可知，实数a的取值范围是(1,2)．答案：(1,2)15．在平面直角坐标系xOy中，点M在曲线C：y＝x3－x上，且在y轴左侧，已知曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，则点M 的坐标为________．解析：由y ′＝3x 2－1＝2，得x ＝±1，又点M 在第二象限内，故x ＝－1，此时y ＝0，故点M 的坐标为(－1,0)．答案：(－1,0)三、解答题(第16,17,18,19题每题12分，第20题13分，第21题14分)16．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1＜f (1)＜1，求实数a 的取值范围．解：(1)当x ＜0时，－x ＞0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴当x ＜0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a (x ＋1)，x ≥0log a (－x ＋1)，x ＜0.。
【师说】2017高考数学(理)二轮专题复习 课时巩固过关练(十九)统计 统计案例 Word版含解析
乙两地某月状况，随机选取该月中的5
岁B．32.6岁
由频率分布直方图可知：×0.01×5＝1，[5,10)
×5＝1，[10,15)的
＝4，[15,20)的频
8.493；
④y与x正相关且y^＝－4.326x－
4.578.
其中一定不正确的结论的序号是()
A．①②B．②③
C．③④D．①④
解析：①y与x负相关且y^＝2.347x －6.423，此结论错误，由线性回归方程知，此两变量的关系是正相关；②y与x 负相关且y^＝－3.476x＋5.648，此结论正确，线性回归方程符合负相关的特征；
③y与x正相关且y^＝5.437x＋8.493，此结论正确，线性回归方程符合正相关的特征；④y与x正相关且y^＝－4.326x－4.578，此结论不正确，线性回归方程符合负相关的特征．综上判断知，①④一定不正确，故选D.
答案：D
9．通过随机询问110名性别不同的人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意
走人行天桥进行抽样调查，得到如下的列联表：
的相关系数为直线
设平均值为X，X＝＋65×0.3＋75。
【师说】2017高考数学(理)二轮专题复习 课时巩固过关练(十)等差数列、等比数列 Word版含解析
答案：D2．(2016·云南玉溪一中月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1(x ≤0)，f (x －1)＋1(x >0)，把函数g (x )＝f (x )－x ＋1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n 项的和为S n ，则S 10＝( )A ．45B ．55C ．210－1D ．29－1解析：当x ≤0时，g (x )＝f (x )－x ＋1＝x ，故a 1＝0；当0<x ≤1时，有－1<x －1≤0，则f (x )＝f (x －1)＋1＝2(x －1)－1＋1＝2x －2，g (x )＝f (x )－x ＋1＝x －1，故a 2＝1；当1<x ≤2时，有0<x －1≤1，则f (x )＝f (x －1)＋1＝2(x －1)－2＋1＝2x －3，g (x )＝f (x )－x ＋1＝x －2，故a 3＝2；当2<x ≤3时，有1<x －1≤2，则f (x )＝f (x －1)＋1＝2(x －1)－3＋1＝2x －4，g (x )＝f (x )－x ＋1＝x －3，故a 4＝3；…，以此类推，当n <x ≤n ＋1(其中n ∈N )时，则f (x )＝2x －(n ＋2)，故数列的前n 项构成一个以0为首项，以1为公差的等差解析：由S n ＝n 2－6n ，得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2，∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7，∴当n ≤3时，a n <0；当n ≥4时，a n >0，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n ≥4. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧ 6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n ≥4三、解答题9．(2016·北京海淀期末)等差数列{a n }的首项a 1＝1，其前n 项和为S n ，且a 3＋a 5＝a 4＋7.(1)求{a n }的通项公式；(2)求满足不等式S n <3a n －2的n 的值．解：(1)设数列{a n }的公差为d .因为a 3＋a 5＝a 4＋7，所以2a 1＋6d ＝a 1＋3d ＋7.因为a 1＝1，所以3d ＝6，即d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)因为a 1＝1，a n ＝2n －1，所以S n。
【师说】高考数学(理)二轮专题复习练习：专题能力提升练(4)
专题能力提升练(四) 立体几何一、选择题(每小题5分) 1．下列结论正确的是( )A ．过一点有且只有一个平面与已知平面垂直B ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D ．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直解析：过一点如果有两条直线与已知平面垂直，根据直线与平面垂直的性质定理可知，这两条直线平行，矛盾，所以选项D 中的结论正确；过一点有无数个平面与已知平面垂直，选项A 中的结论不正确；当直线与平面垂直时，过该直线的任意平面即与已知平面垂直，选项B 中的结论不正确；在空间，过一点与已知直线垂直的直线有无数条，选项C 中的结论不正确．答案：D2．正四面体ABCD 中，AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，设M 是线段AO 上一点，且∠BMC ＝90°，则AMMO的值为( )A ．1B ．2 C.12 D.23解析：如图，连接OB ，设正四面体的棱长为a ，则OB ＝33a ，MB ＝22a ，故OM ＝66a ＝12AO ，则AM MO＝1.答案：A3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列四个命题正确的是( ) A ．m ，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β B ．m ⊂α，α∥β，则m ∥βC ．若m ⊥α，α⊥β，n ∥β，则m ⊥nD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β解析：对于A ，根据面面平行的判定定理可知缺少条件“m 与n 相交”，故A 不正确；对于B ，若α∥β，则α，β无交点，又m ⊂α，所以m ，β无交点，即m ∥β，故B 正确；对于C ，若α⊥β，n ∥β，则n 可以垂直于α，又m ⊥α，所以m 可以平行于n ，故C 不正确；对于D ，α⊥γ，β⊥γ时，α，β也可能平行，故D 不正确．答案：B4．已知三棱柱的三个侧面均垂直于底面，底面为正三角形，且侧棱长与底面边长之比为，顶点都在一个球面上，若该球的表面积为16π3，则此三棱柱的侧面积为( )A. 3B.32C ．8D ．6解析：如图，根据球的表面积可得球的半径为r ＝43，设三棱柱的底面边长为x ，则⎝⎛⎭⎫432＝x 2＋⎝⎛⎭⎫33x 2，解得x ＝1，故该三棱柱的侧面积为3×1×2＝6.答案：D 5.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知M ，N 分别是A 1B 1，BB 1的中点，过点M ，N ，C 1的截面截正方体所得的几何体如图所示，那么该几何体的侧视图是( )解析：C 1N 的投影线为虚线，该几何体的侧视图是选项B 中的图．答案：B6．已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为( )A.16B.13C.12D.23解析：该几何体的直观图如图，为单位正方体中的三棱锥B －A ′C ′D ′，其体积为正方体体积的16，即该几何体的体积为16.答案：A7．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB 1与平面AB 1C 1所成角的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，连接AD ，DD 1，AD 1.显然DD 1⊥B 1C 1，AD 1⊥B 1C 1，故B 1C 1⊥平面ADD 1，故平面AB 1C 1⊥平面ADD 1，故DD 1在平面AB 1C 1内的射影在AD 1上，∠AD 1D 即为直线DD 1与平面AB 1C 1所成的角．在Rt △AD 1D 中，AD ＝3，DD 1＝3，所以tan ∠AD 1D ＝33，所以∠AD 1D ＝π6.因为BB 1∥DD 1，所以直线BB 1与平面AB 1C 1所成角的大小为π6.答案：A8．在三棱锥S －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，SA ＝SC ＝2，二面角S －AC －B 的余弦值是－33，若S ，A ，B ，C 都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A ．22π B ．4π C ．6π D ．8π解析：取AC 的中点D ，连接SD ，BD ，∵AB ＝BC ＝2，∴BD ⊥AC ，∵SA ＝SC ＝2，∴SD ⊥AC ，∴∠SDB 为二面角S －AC －B 的平面角．在△ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，∴AC ＝2.取等边△SAC 的中心E ，作EO ⊥平面SAC ，过D 作DO ⊥平面ABC ，则O 为外接球球心，∴ED ＝33.又二面角S －AC －B 的余弦值是－33， ∴cos ∠EDO ＝63，OD ＝22，∴BO ＝BD 2＋OD 2＝62，∴外接球的半径为62，其表面积为6π.答案：C9．在四面体ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则下列命题正确的是( )A ．E ，F ，G ，H 四点不共面B ．四边形EFGH 是梯形C ．EG ⊥FHD ．四边形EFGH 是矩形解析：如图，显然，四边形EFGH 是平行四边形．取BD 的中点P ，连接CP ，AP ，因为AB ＝AD ，CB ＝CD ，所以AP ⊥BD ，CP ⊥BD ，根据直线与平面垂直的判定定理，可得BD ⊥平面APC ，所以BD ⊥AC ，又FG ∥BD ，EF ∥AC ，所以FG ⊥EF ，所以四边形EFGH 是矩形．答案：D10．正三角形ABC 的边长为23，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体ABCD 的外接球的半径为( )A.13B.132C ．2 3 D. 3解析：球心O 一定在与平面BCD 垂直且过底面正三角形中心O ′的直线上，也在平面ADO 中AD 的垂直平分线上，如图，OE ＝O ′D ＝3×32×23＝1，DE ＝12AD ＝12×23×32＝32，故所求外接球的半径r ＝12＋⎝⎛⎭⎫322＝132.答案：B二、填空题(每小题5分)11．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．解析：由题可知该几何体由两个相同的半圆柱和一个长方体拼接而成，因此该几何体的体积V ＝1×2×4＋π×12×2＝8＋2π.答案：8＋2π12．如图，四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△P AB 和△P AD 都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为__________．解析：如图，取BC 的中点E ，连接AE ，ED ，BD ，PE .设BD ∩AE ＝O ，连接PO . 设AB ＝a ，则OA ＝OB ＝22a .又PB ＝P A ＝PD ，O 为BD 的中点，所以BD ⊥PO ，所以PO ＝a 2－⎝⎛⎭⎫22a 2＝22a ，所以PO ⊥OA ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥AE .由已知可得四边形ABED 为正方形，所以BD ⊥AE ，所以AE ⊥平面PBD ，所以AE ⊥PB .又CD ∥AE ，所以CD ⊥PB ，即异面直线CD 与PB 所成角的大小为90°.答案：90°13．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则三棱锥S －ABC 的体积为__________．解析：如图，设球心为O ，△ABC 的外心为O ′，根据球的性质得OO ′⊥平面ABC ，且∠SBC ＝∠SAC ＝90°，所以BC ＝AC ＝2.在△ABC 中，根据余弦定理得cos ∠ACB ＝4＋4－32×2×2＝58，所以sin ∠ACB ＝398.根据正弦定理得3398＝2r (r 为△ABC 外接圆的半径)，所以r ＝413，所以OO ′＝4－1613＝3613＝613.△ABC 的边AB 上的高为4－34＝132.所以三棱锥S －ABC 的体积为13×12×3×132×1213＝ 3.答案： 314．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点．若平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ＝PD ＝AD ＝2，点M 在线段PC 上，且PM ＝2MC ，则四棱锥P －ABCD 与三棱锥P －QBM 的体积之比是__________．解析：过点M 作MH ∥BC 交PB 于点H .∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PQ ⊥AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD .∵P A ＝PD ＝AD ＝AB ＝2，∠BAD ＝60°， ∴PQ ＝BQ ＝ 3.∴V P －ABCD ＝13PQ ·S 菱形ABCD ＝13×3×2×3＝2。
【师说】2017届高考数学(人教版文科)二轮专项训练：课时巩固过关练(二)
如图，在△ABC 中，已知BD ＝
AC
AC →
AB 于点E .由AN →＝
a·b＝0，|a|＝2，|b|＝
4
由程序框图得：第一次运行i＝1，a＝4；第二次运行
整除，结束运行，输出a＝12，i
i
在复平面上对应的点位于
2－i
2i
＝2；第二次运行：S＝
＋…＋2×7＝56，故m 的取值范围是(42,56]．
黑龙江大庆实验中学期末)化简2＋4i
(1＋i)2
的结果是
的外接圆半径为
，c 的最大值．∵输出的结果是
≠π2
，
)
＋44＋46＋47＋48)＝44对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是
z ＝－2＋i ，所以z ＋1＝－1＋i ，则复数z ＋1所对应的向量的坐标为安徽三校联考)已知复数3＋i
x －i
(x ∈R )在复平面内对应的点位于以原点为半径的圆周上，则x 的值为( )
如图，在△ABC 中，AM →＝λAB →，AN →＝μ
填一个数字)．
由题意知判断框中的条件需在i ＝4，即S ＝9时执行此判断框后的”．
定义一种运算如下：⎣⎢⎡a c
i )－(－1)×2＝－1＋3i ，其共轭复数为－答案：－1－3i。
【师说】2017届高考数学(文)二轮复习 课时巩固过关练(六) Word版含解析
课时巩固过关练(六) 导数的简单应用一、选择题 1．(2016·广东六校联考)曲线y ＝ln x －2x 在点(1，－2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是( )A.12B.34 C ．1 D ．2解析：由题意得y ′＝1x －2，则在点M (1，－2)处的切线斜率k ＝－1，故切线方程为y＋2＝－(x －1)，即y ＝－x －1.令x ＝0，得y ＝－1；令y ＝0，得x ＝－1，∴切线与坐标轴围成三角形的面积S ＝12×1×1＝12，故选A.答案：A 2．(2016·安徽安庆期中)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝2x 3＋x 2f ′(1)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－72 B.72C ．－7D ．7解析：由题意，f ′(x )＝6x 2＋2xf ′(1)＋1x，则f ′(1)＝6＋2f ′(1)＋1，∴f ′(1)＝－7，故f ′(2)＝24＋2×2×(－7)＋12＝－72，故选A.答案：A 3．(2016·河北期中)函数f (x )＝2x log 2e －2ln x －ax ＋3的一个极值点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：因为f ′(x )＝2x －2x －a ，若函数的一个极值点在区间(1,2)内，则f ′(1)f ′(2)<0，即(－a )(3－a )<0，解得0<a <3，所以选C.答案：C4．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内单调递增 ②函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，3内单调递减 ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增 ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④⑤D ．③解析：当x ∈(－3，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，①错；当x ∈⎝⎛⎭⎫－12，2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(2,3)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，②错；当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极大值，④错；当x ＝－12时，函数y ＝f (x )无极值，⑤错．故选D.答案：D 5．(2016·山东东营一中期中)设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( )A ．f (1)与f (－1)B ．f (－1)与f (1)C ．f (－2)与f (2)D ．f (2)与f (－2)解析：由y ＝x ·f ′(x )的图象知，x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0；x ∈(－2,2)时，f ′(x )≤0；x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，∴当x ＝－2时，f (x )有极大值f (－2)；当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)，故选C. 答案：C 二、填空题6．(2015·湖北枣阳一中月考)函数y ＝1x在x ＝4处的导数是__________． 解析：∵y ′＝－12x 3，∴y ′|x ＝4＝－1243＝－116，故答案为－116. 答案：－1167．(2016·四川眉山中学期中改编)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，点P 处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是__________．解析：∵y ′＝3x 2－3≥－3，∴tan α≥－ 3.又0≤α<π，∴0≤α<π2或2π3≤α<π.则角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 答案：⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π 8．设方程x 3－3x ＝k 有3个不等的实根，则实数k 的取值范围是__________． 解析：设f (x )＝x 3－3x ，对函数求导，f ′(x )＝3x 2－3＝0，x ＝－1或x ＝1.当x <－1时，f (x )单调递增；当－1<x <1时，f (x )单调递减；当x >1时，f (x )单调递增，f (－1)＝2，f (1)＝－2.方程x 3－2x －k 要有三个不等实根，则直线y ＝k 与f (x )的图象有三个交点，∴－2<k <2，故答案为(－2,2)．答案：(－2,2) 三、解答题9．(2016·北京海淀期中)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1.(1)若曲线y ＝f (x )在点(0,1)处切线的斜率为－3，求函数f (x )的单调区间； (2)若函数f (x )在区间[－2，a ]上单调递增，求a 的取值范围． 解：(1)因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )经过点(0,1)，又f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ，曲线y ＝f (x )在点(0,1)处切线的斜率为－3，所以f ′(0)＝a ＝－3，所以f ′(x )＝x 2＋2x －3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递减区间为(－3,1)．(2)因为函数f (x )在区间[－2，a ]上单调递增， 所以f ′(x )≥0对x ∈[－2，a ]成立，只要f ′(x )＝x 2＋2x ＋a 在[－2，a ]上的最小值大于等于0即可． 因为函数f ′(x )＝x 2＋2x ＋a 的对称轴为直线x ＝－1， 当－2≤a ≤－1时，f ′(x )在[－2，a ]上的最小值为f ′(a )， 解f ′(a )＝a 2＋3a ≥0，得a ≥0或a ≤－3，所以此种情形不成立； 当a >－1时，f ′(x )在[－2，a ]上的最小值为f ′(－1)， 解f ′(－1)＝1－2＋a ≥0，得a ≥1，所以a ≥1. 综上，实数a 的取值范围是{a |a ≥1}．10．(2016·湖南株洲统测)设函数f (x )＝a ln x ＋b (x 2－3x ＋2)，其中a ，b ∈R . (1)若a ＝b ，讨论f (x )极值(用a 表示)；(2)当a ＝1，b ＝－12，函数g (x )＝2f (x )－(λ＋3)x ＋2，若x 1，x 2(x 1≠x 2)满足g (x 1)＝g (x 2)且x 1＋x 2＝2x 0，证明：g ′(x 0)≠0.解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， ∵a ＝b ，∴f (x )＝a ln x ＋a (x 2－3x ＋2)， ∴f ′(x )＝ax ＋a (2x －3)＝a (x －1)(2x －1)x.①a ＝0时，f (x )＝0，所以函数f (x )无极值；②当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减， ∴f (x )的极大值为f ⎝⎛⎭⎫12＝－a ln2＋34a ，f (x )的极小值为f (1)＝0； ③当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12和(1，＋∞)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递增， ∴f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝－a ln2＋34a ，f (x )的极大值为f (1)＝0. 综上所述：当a ＝0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )的极大值为－a ln2＋34a ，函数f (x )的极小值为0；当a <0时，函数f (x )的极小值为－a ln 2＋34a ，函数f (x )的极大值为0.(2)g (x )＝2ln x －x 2－λx ，g ′(x )＝2x－2x －λ.假设结论不成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧2ln x 1－x 21－λx 1＝2ln x 2－x 22－λx 2，①x 1＋x 2＝2x 0，②2x 0－2x 0－λ＝0，③由①，得2ln x 1x 2－(x 21－x 22)－λ(x 1－x 2)＝0，∴λ＝2ln x 1x 2x 1－x 2－2x 0， 由③，得λ＝2x 0－2x 0，∴lnx 1x 2x 1－x 2＝1x 0，即lnx 1x 2x 1－x 2＝2x 1＋x 2，即ln x 1x 2＝2x 1x 2－2x 1x 2＋1④.令t ＝x 1x 2，不妨设x 1<x 2，u (t )＝ln t －2t －2t ＋1(0<t <1)，则u ′(t )＝(t －1)2t (t ＋1)2>0， ∴u (t )在0<t <1上是增函数，u (t )<u (1)＝0，则ln x 1x 2<x 1x 2－2x 1x 2＋1，∴④式不成立，与假设矛盾． ∴g ′(x 0)≠0.11．(2016·北京朝阳期末)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a ∈R . (1)若f (x )在区间[1,2]上为增函数，求a 的取值范围； (2)当a ＝－e 时． ①证明：f (x )＋2≤0；②试判断方程|f (x )|＝ln x x ＋32是否有实数解，并说明理由．解：函数f (x )的定义域为x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x.(1)因为f (x )在区间[1,2]上为增函数，所以f ′(x )≥0在x ∈[1,2]上恒成立，即f ′(x )＝a＋1x ≥0，a ≥－1x 在x ∈[1,2]上恒成立，则a ≥－12.故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. (2)当a ＝－e 时，f (x )＝－e x ＋ln x ，f ′(x )＝－e x ＋1x .①令f ′(x )＝0，得x ＝1e.令f ′(x )>0，得x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递增； 令f ′(x )<0，得x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递减． 所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－e·1e ＋ln 1e ＝－2.所以f (x )＋2≤0成立． ②由①知，f (x )max ＝－2，所以|f (x )|≥2.设g (x )＝ln x x ＋32，x ∈(0，＋∞)，所以g ′(x )＝1－ln x x 2.令g ′(x )＝0，得x ＝e.令g ′(x )>0，得x ∈(0，e)，所以函数g (x )在(0，e)上单调递增； 令g ′(x )<0，得x ∈(e ，＋∞)，所以函数g (x )在(e ，＋∞)上单调递减．所以g (x )max ＝g (e)＝lne e ＋32＝1e ＋32<2，即g (x )<2. 所以|f (x )|>g (x )，即|f (x )|>ln x x ＋32.所以方程|f (x )|＝ln x x ＋32没有实数解．。
【师说】2017高考数学(理)二轮专题复习 课时巩固过关练(十一)数列求和及综合应用
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
解：(1)设数列{an}的公差为d，依题意，2,2＋d,2＋4d成等比数列，所以(2＋d)2＝2(2＋4d)，解得d＝0或d＝4.当d＝0时，an＝2；当d＝4时，an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，所以数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＋ ＝λ(λ为常数)．令cn＝b2n(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Rn.
解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得
解得a1＝1，d＝2.因此an＝2n－1，n∈N*.
(2)由题意知Tn＝λ－ ，所以n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝－ ＋ ＝ .故cn＝ ＝(n－1) n－1，n∈N*.
答案：D
2．(2016·山东济宁期中)已知在数列{an}中，an＝ ，其前n项和为 ，则在平面直角坐标系中，直线nx＋y＋(n＋1)＝0在y轴上的截距是()
A．－10 B．－9
C．10 D．9
解析：an＝ ＝ － ，前n项和为Sn＝1－ ＋ － ＋…＋ － ＝1－ ，由题意可得1－ ＝ ，解得n＝9，直线nx＋y＋(n＋1)＝0，即为9x＋y＋10＝0，令x＝0，可得y＝－10.故选A.
(1)∵b7＝2a7＝2－2＋6d，∴4×2－2＋6d＝2－2＋7d，∴d＝2，∴Sn＝－2n＋n(n－1)＝n(n－3)．
(2)将f(x)＝2x求导得f′(x)＝2xln2，∴f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－b2＝2a2(x－a2)ln2，令y＝0，得－b2＝(2a2ln2)×(x－a2)，x＝a2－ ，∴a2＝2，∴d＝2－1＝1，∴an＝n，bn＝2n，∴ ＝ ，其前n项和Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ①，两边同乘2得2Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ②，②－①得2Tn－Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ － ＝2－ － ，∴Tn＝ .
【师说】2017届高考数学(人教版文科)二轮专项训练：课时巩固过关练(六)
当a>－1时，f′(x)在[－2，a]上的最小值为f′(－1)，
解f′(－1)＝1－2＋a≥0，得a≥1，所以a≥1.
综上，实数a的取值范围是{a|a≥1}．
10．(2016·湖南株洲统测)设函数f(x)＝alnx＋b(x2－3x＋2)，其中a，b∈R.
∴f′(x)＝ ＋a(2x－3)＝ .
①a＝0时，f(x)＝0，所以函数f(x)无极值；
②当a>0时，f(x)在 和(1，＋∞)上单调递增，在 上单调递减，
∴f(x)的极大值为f ＝－aln2＋ a，f(x)的极小值为f(1)＝0；
③当a<0时，f(x)在 和(1，＋∞)上单调递减，在 上单调递增，
答案：C
4．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间 内单调递增
②函数y＝f(x)在区间 内单调递减
③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增
④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值
⑤当x＝－ 时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断中正确的是()
A．①②B．②③
答案：C
二、填空题
6．(2015·湖北枣阳一中月考)函数y＝ 在x＝4处的导数是__________．
解析：∵y′＝－ ，∴y′|x＝4＝－ ＝－ ，故答案为－ .
答案：－
7．(2016·四川眉山中学期中改编)设点P是曲线y＝x3－ x＋ 上的任意一点，点P处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是__________．
C．③④⑤D．③
解析：当x∈(－3，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，①错；当x∈ 时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，②错；当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值，④错；当x＝－ 时，函数y＝f(x)无极值，⑤错．故选D.
2017届高三数学(理)二轮复习课时巩固过关练八1.3.1含解析
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关闭Word文档返回原板块.课时巩固过关练八三角函数的图象与性质(35分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分）1。
(2016·太原一模)已知函数f（x）=2sin(ωx−π6)（ω>0)的最小正周期为π,则f(x)的单调递增区间为( ）A。
[kπ+π3,kπ+5π6]（k∈Z)B。
[2kπ−π6,2kπ+π3](k∈Z）C.[kπ−π3,kπ+π6]（k∈Z）D.[kπ−π6,kπ+π3](k∈Z）【解析】选D。
根据已知得2πω=π,得ω=2。
由不等式2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2(k∈Z），解得kπ—π6≤x≤kπ+π3(k∈Z），所以函数f(x）的单调递增区间是[kπ−π6,kπ+π3]（k∈Z).2。
（2016·郑州一模)将函数y=sin(x+π6)(x∈R)的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为( ）A。
y=sin(2x+5π12)(x∈R）B.y=sin(x2+5π12)(x∈R）C。
y=sin(x2−π12)(x∈R)D 。
y=sin (x 2+5π24)（x ∈R)【解析】选B 。
原函数图象向左平移π4个单位后得y=sin (x +π6+π4)=sin (x +5π12)(x ∈R)的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍得y=sin (x2+5π12)（x ∈R)的图象.3.（2016·山东高考）函数f(x ）=(√3sinx+cosx)(√3cosx —sinx)的最小正周期是（ ）A.π2 B 。
π C 。
3π2D.2π 【解析】选B 。
f(x ）=（√3sinx+cosx)（√3cosx —sinx) =3sinxcosx —√3sin 2x+√3cos 2x —sinxcosx =sin2x+√3cos2x =2sin (2x +π3).所以，最小正周期是π.4。
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C. D. －
4．(2016·重庆开县月考一)已知函数f(x)＝ x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈(0，＋∞)时，实数b的最大值是()
A. e6B. e6
C. e D. e
答案：D
5．(2016·安徽马鞍山模拟)在x∈ 上，函数f(x)＝x2＋px＋q与g(x)＝ ＋ 在同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在 上的最大值是()
答ห้องสมุดไป่ตู้：A
2．(2016·辽宁师大附中期中)定积分 dx的值为()
A. B.
C．πD．2π
解析：∵y＝ ，∴(x－1)2＋y2＝1表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，∴定积分 dx所围成的面积就是该圆的面积的四分之一，∴定积分 dx＝ ，故选A.
答案：A
3．(2016·河南安阳一中月考)如图是函数y＝cos 在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是()
当x∈(1，＋∞)时，y′>0，则函数在(1，＋∞)上为增函数，
∴当x＝1时，ymin＝1－ln1＋2＝3，即|2a－b－3|的最小值为3.
答案：3
三、解答题
11．(2016·江西高安二中段考)已知函数f(x)＝(x－1)ln(x－1)．
(1)设函数g(x)＝－a(x－1)＋f(x)在区间[2，e2＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
解析：由eb＝2a－3，取对数，得b＝ln(2a－3)，则2a－3>0.
则|2a－b－1|＝|2a－ln(2a－3)－1|＝|(2a－3)－ln(2a－3)＋2|(*)，
令2a－3＝x(x>0)，(*)式化为|x－lnx＋2|，
令y＝x－lnx＋2，则y′＝1－ ，令y′＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，y′<0，则函数在(0,1)上为减函数；
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∵a＝b，∴f(x)＝alnx＋a(x2－3x＋2)，∴f′(x)＝ ＋a(2x－3)＝ .①a＝0时，f(x)＝0，所以函数f(x)无极值；②当a>0时，f(x)在 和(1，＋∞)上单调递增，在 上单调递减，
∴f(x)的极大值为f ＝－aln2＋ a，f(x)的极小值为f(1)＝0；
课时巩固过关练(六)导数的简单应用及定积分
一、选择题
1．(2016·湖北襄阳期末)设函数f(x)＝x3－ax2＋x－1在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y－3＝0垂直，则实数a等于()
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：函数f(x)＝x3－ax2＋x－1的导数为f′(x)＝3x2－2ax＋1，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线斜率为4－2a，由切线与直线x＋2y－3＝0垂直，可得4－2a＝2，解得a＝1.故选A.
③当a<0时，f(x)在 和(1，＋∞)上单调递减，在 上单调递增，∴f(x)的极小值为f ＝－aln2＋ a，f(x)的极大值为f(1)＝0.综上所述：当a＝0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)的极大值为－aln2＋ a，函数f(x)的极小值为0；当a<0时，函数f(x)的极小值为－aln2＋ a，函数f(x)的极大值为0.
A. B．4
C．8D.
解析：∵g(x)＝ ＋ ，且x∈ ，则g(x)≥3，当且仅当x＝1时，g(x)min＝3，当x＝－ 时，f(x)取得最小值f ，则－ ＝1，得p＝－2，∴f(x)＝x2－2x＋q，
又f(x)min＝f(1)＝3，∴1－2＋q＝3，∴q＝4，
∴f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，x∈ ，∴f(x)max＝f(2)＝4.
(2)若k∈Z，且f(x＋1)＋x－k(x－1)>0对x>1恒成立，求k的最大值．
解：(1)∵g(x)＝－a(x－1)＋(x－1)ln(x－1)，则g′(x)＝－a＋1＋ln(x－1)在(1，＋∞)上递增；又g(x)在[2，e2＋1]上不单调，等于g′(x)在[2，e2＋1]上有零点．由已知，有 解得1<a<3.∴a的取值范围为(1,3)．
∴u(t)在0<t<1上是增函数，u(t)<u(1)＝0，则ln < ，∴④式不成立，与假设矛盾．
∴g′(x0)≠0.
答案：D
二、填空题
8．(2016·广东佛山联考)已知点P在曲线y＝ 上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是__________．
解析：因为y′＝ ＝ ＝ ，
∵ex＋e－x≥2 ＝2，∴ex＋e－x＋2≥4，
∴y′∈[－1,0)，即tanα∈[－1,0)，
∵0≤α<π，∴ ≤α<π.
答案： ≤α<π
答案：B
6．(2016·重庆一中期中)定义在 上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有sinx·f′(x)>cosx·f(x)成立，则()
A. f >f B. f >f
C. f >2f D. f <f
解析：由f′(x)sinx>f(x)cosx，
则f′(x)sinx－f(x)cosx>0，构造函数g(x)＝ ，则g′(x)＝ ，当x∈ 时，g′(x)>0，即函数g(x)在 上单调递增，∴g <g ，∴ f <f ，故选D.
答案：D
7．(2016·重庆月考)若对∀x，y∈[0，＋∞)，不等式ax≤ex＋y－2＋ex－y－2＋2恒成立，则实数a的最大值是()
A. B.
C．1D．2
解析：因为ex＋y－2＋ex－y－2＋2≥2ex－2＋2，所以“不等式ax≤ex＋y－2＋ex－y－2＋2恒成立”等价于不等式ax≤2ex－2＋2恒成立，当x＝0时，该不等式成立，当x>0时，“不等式ax≤2ex－2＋2恒成立”等价于“不等式a≤ 恒成立”，令f(x)＝ ，则f′(x)＝ ，令h(x)＝2xex－2－2ex－2－2，则f′(x)与函数h(x)的符号一致，又因为h′(x)＝2xex－2>0，所以h(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，因为h(2)＝2×2×e2－2－2×e2－2－2＝0，所以在区间(0,2)上，h(x)<0，即f′(x)<0，所以函数f(x)在区间(0,2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上，h(x)>0，即f′(x)>0，所以函数f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增，所以在区间[0，＋∞)，函数f(x)的最小值为f(x)min＝f(2)＝2，所以a≤2，故选D.
12．(2016·湖南株洲统一测)设函数f(x)＝alnx＋b(x2－3x＋2)，其中a，b∈R.
(1)若a＝b，讨论f(x)极值(用a表示)；
(2)当a＝1，b＝－ ，函数g(x)＝2f(x)－(λ＋3)x＋2，若x1，x2(x1≠x2)满足g(x1)＝g(x2)且x1＋x2＝2x0，证明：g′(x0)≠0.
9．(2016·云南师大附中月考)若函数f(x)＝－ x3＋ x2＋2ax在 上存在单调递增区间，则a的取值范围是__________．
解析：f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－ 2＋ ＋2a.当x∈ 时，f′(x)的最大值为
f′ ＝2a＋ ，
令2a＋ >0，解得a>－ ，所以a的取值范围是 .
答案：
10．(2016·河南信阳一模)已知实数a，b满足eb＝2a－3，则|2a－b－1|的最小值为__________．
(2)g(x)＝2lnx－x2－λx，g′(x)＝ －2x－λ.假设结论不成立，则有
由①，得2ln －(x －x )－λ(x1－x2)＝0，
∴λ＝2 －2x0，由③，得λ＝ －2x0，
∴ ＝ ，即 ＝ ，即ln ＝ ④.令t＝ ，不妨设x1<x2，u(t)＝lnt－ (0<t<1)，则u′(t)＝ >0，
(2)由题知k< 对x>1恒成立．令u(x)＝ ，则u′(x)＝ ，令v(x)＝－lnx＋x－2，v′(x)＝1－ ＝ .∵x>1，
∴v′(x)>0，即v(x)在(1，＋∞)上单调递增．又v(3)＝－ln3＋1<0，v(4)＝－2ln2＋2>0，
∴∃x0∈(3,4)，使得v(x0)＝0，即u′(x0)＝0，∴u(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增．∴[u(x)]min＝u(x0)＝ ＝ ＝x0∈(3,4)，k<[u(x)]min＝x0，又k∈Z，∴k的最大值为3.