高考数学一轮复习 第十一章 统计与统计案例 第3讲 变量间的相关关系、统计案例教学案 理

A．月收入的中位数是 15，x 与 y 有正线性相关关系
B．月收入的中位数是 17，x 与 y 有负线性相关关系
C．月收入的中位数是 16，x 与 y 有正线性相关关系
D．月收入的中位数是 16，x 与 y 有负线性相关关系
解析：选 C.月收入的中位数是15＋2 17＝16，收入增加，
支出增加，故 x 与 y 有正线性相关关系．
A．r2<r1<0
B．0<r2<r1
C．r2<0<r1
D．r2＝r1
解析：选 C.对于变量 Y 与 X 而言，Y 随 X 的增大而增大，
故 Y 与 X 正相关，即 r1>0；对于变量 V 与 U 而言，V 随 U 的 增大而减小，故 V 与 U 负相关，即 r2<0，故选 C.
判断相关关系的 2 种方法
附：线性回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分
n
∑
（xi－－x ）（yi－－y ）
i＝1
别为 b＝
n
∑
（xi－－x ）2
,a＝－y －b－x
i＝1
【解】 (1)依题意得，m，n 的所有情况有{23，25}，
{23，30}，{23，26}，{23，16}，{25，30}，{25，26}，{25，
16}，{30，26}，{30，16}，{26，16}，共 10 个．
A．94，72
B．52，50
C．52，74
D．74，52
解析：选 C.因为 a＋21＝73，所以 a＝52.又 a＋22＝b，
所以 b＝74.
3．某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行
统计分析，所得数据如表：
x 6 8 10 12 y23 5 6
则 y 对 x 的线性回归直线方程为( )
再对被选取的 2 组数据进行检验．
(i)若选取的是 3 月 2 日与 30 日的两组数据，请根据 3
月 7 日、15 日和 22 日这三天的数据，求出 y 关于 x 的线性
回归方程；
(ii)若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验
数据的误差均不超过 2 个，则认为得到的线性回归方程是可
靠的，试问(i)中所得的线性回归方程是否可靠？
B．若某人吸烟，那么他有 95%的可能性患肺病
C．有 95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”
D．只有 5%的把握认为“患肺病与吸烟有关”
解析：选 C.由已知数据可得，有 1－0.05＝95%的把握
认为“患肺病与吸烟有关”．故选 C.
3．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花
费的时间，为此进行了 5 次试验法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲
线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在
某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．
(2)相关系数法：利用相关系数判定，当|r|越趋近于 1
时，相关性越强．
回归分析(多维探究)
角度一 线性回归方程及其应用
(2020·福建福州模拟)随着我国中医学的发展，药
眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力
()
A．回归分析
B．均值与方差
C．独立性检验 D．概率
解析：选 C.“近视”与“性别”是两类变量，其是否有
关，应用独立性检验判断．
2．下面是 2×2 列联表：
y1
y2
合计
x1
a 21 73
x2
22 25
47
合计 b 46 120
则表中 a，b 的值分别为( )
某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬 菜．过去 50 周的资料显示，该地周光照量 X(单位：小时) 都在 30 小时以上，其中不足 50 小时的有 5 周，不低于 50 小时且不超过 70 小时的有 35 周，超过 70 小时的有 10 周．根 据统计，该基地的西红柿增加量 y(千克)与使用某种液体肥 料的质量 x(千克)之间的对应数据为如图所示的折线图．
A．y＝2.3x－0.7
B．y＝2.3x＋0.7
C．y＝0.7x－2.3
D．y＝0.7x＋2.3
4
解析：选 C.因为 xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝
i＝1
158， x ＝6＋8＋410＋12＝9， y ＝2＋3＋4 5＋6＝4.所以 b＝ 36＋641＋581－004＋×194×4－4 4×81＝0.7，a＝4－0.7×9＝－2.3.故 线性回归直线方程为 y＝0.7x－2.3.故选 C.
则是不相关，所以应该是①③②.
2．某医疗机构通过抽样调查(样本容量 n＝1 000)，利
用 2×2 列联表和 χ2 统计量研究患肺病是否与吸烟有关．计
算得 χ2＝4.453，经查阅临界值表知 P(χ2≥3.841)≈0.05，
现给出四个结论，其中正确的是( )
A．在 100 个吸烟的人中约有 95 个人患肺病
的观测值越大．( )
(5)通过线性回归方程 y＝bx＋a 可以估计和观测变量的
取值和变化趋势．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√
二、易错纠偏
常见误区|Ｋ(1)混淆相关关系与函数关系；
(2)对独立性检验 χ2 值的意义不清楚；
(3)不知道线性回归直线必过样本点中心．
1．两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不
【第 3 讲 变量间的相关关系、统 计案例】之小船创作
一、知识梳理 1．相关性 (1)线性相关 若两个变量 x 和 y 的散点图中，所有点看上去都在一条 直线附近波动，则称变量间是线性相关的，此时可用一条直 线来拟合． (2)非线性相关 若两个变量 x 和 y 的散点图中，所有点看上去都在某条 曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关为非线性相关， 此时可用一条曲线来拟合． (3)不相关 如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量 间是不相关的． 2．最小二乘法 (1)最小二乘法 如果有 n 个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以 用下面的表达式来刻画这些点与直线 y＝a＋bx 的接近程度：
相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系
是( )
A．①②③
B．②③①
C．②①③
D．①③②
解析：选 D.第一个散点图中，散点图中的点是从左下角
区域分布到右上角区域，则是正相关；第三个散点图中，散
点图中的点是从左上角区域分布到右下角区域，则是负相
关；第二个散点图中，散点图中的点的分布没有什么规律，
[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2，使 得上式达到最小值的直线 y＝a＋bx 即为所求直线，这种方
法称为最小二乘法．
(2)线性回归方程
线 性 回 归 方 程 为 y ＝ bx ＋ a ， 其 中 b ＝
n
∑
（xi－－x ）（yi－－y ）
∑n xiyi－n－x ·－y
用昆虫的使用相应愈来愈多．每年春暖以后至寒冬前，是昆
虫大量活动与繁殖的季节，易于采集各种药用昆虫．已知一
只药用昆虫的产卵数 y(单位：个)与一定范围内的温度 x(单
位：℃)有关，于是科研人员在 3 月份的 31 天中随机挑选了
5 天进行研究，现收集了该种药用昆虫的 5 组观测数据如表：
日期
2 日 7 日 15 日 22 日 30 日
3．变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，
2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量 U 与 V 相对应
的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，
(13，1)．r1 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数，r2 表示变 量 V 与 U 之间的线性相关系数，则( )
i＝1
i＝1
a＝－y －b－x ＝27－52×12＝－3， 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y＝52x－3. (ii)由(i)知，y 关于 x 的线性回归方程为 y＝52x－3， 当 x＝10 时，y＝52×10－3＝22，且|22－23|<2， 当 x＝8 时，y＝52×8－3＝17，且|17－16|<2. 所以所得到的线性回归方程y^＝52x－3 是可靠的． 角度二 相关系数及其应用
温度 x/℃
10
11
13
12
8
产卵数 y/个 23
25
30
26
16
(1)从这 5 天中任选 2 天，记这两天药用昆虫的产卵数
分别为 m，n，求事件“m，n 均不小于 25”的概率；
(2)科研人员确定的研究方案是：先从这五组数据中任
选 2 组，用剩下的 3 组数据建立 y 关于 x 的线性回归方程，
因
为
样
本
点
的
中
心
在
线
性
回
归
直
线
上
，
所
以
m＋307 5
＝
0.67×30＋54.9，解得 m＝68.
答案：68
相关关系的判断(自主练透)
1．对变量 x，y 有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)， 得散点图如图①，对变量 u，v 有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，
10)，得散点图如图②.由这两个散点图可以判断( )
充分利用线性回归直线过样本中心点(－x ，－y )．
2．根据 χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，
若χ2 越大，则两分类变量有关的把握越大．
3．根据线性回归方程计算的 y 值，仅是一个预报值，
不是真实发生的值．
二、教材衍化
1．为调查中学生近视情况，测得某校男生 150 名中有
80 名近视，在 140 名女生中有 70 名近视．在检验这些学生
i＝1
i＝1
(2)当 r＞0 时，称两个变量正相关． 当 r＜0 时，称两个变量负相关． 当 r＝0 时，称两个变量线性不相关．
r 的绝对值越接近于 1，表明两个变量之间的线性相关
程度越高；r 的绝对值越接近 0，表明两个变量之间的线性
相关程度越低．
4．独立性检验
设 A，B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变
设“m，n 均不小于 25”为事件 A，则事件 A 包含的基本
事件有{25，30}，{25，26}，{30，26}，共 3 个．
所以 P(A)＝130，即事件 A 的概率为130.
(2)(i)由数据得 x ＝12， y ＝27，
3
3
(xi－ x )(yi－ y )＝5， (xi－ x )2＝2，
关联，可以认为变量 A，B 是没有关联的；
②当 χ2＞2.706 时，有 90%的把握判定变量 A，B 有关
联；
③当 χ2＞3.841 时，有 95%的把握判定变量 A，B 有关
联；
④当 χ2＞6.635 时，有 99%的把握判定变量 A，B 有关
联．
常用结论
1．求解线性回归方程的关键是确定回归系数 a，b，应
2．某公司在 2019 年上半年的月收入 x(单位：万元)与
月支出 y(单位：万元)的统计资料如表所示：
月份 1 月份 2 月份
收入 x 12.3
14.5
支出 y 5.63
5.75
根据统计资料，则(
3 月份 15.0 5.82
)
4 月份 17.0 5.89
5 月份 19.8 6.11
6 月份 20.6 6.18
量 A：A1，A2＝A1；变量 B：B1，B2＝B1，通过观察得到下表所 示数据：
B
B1
B2
A
总计
A1
a
b
a＋b
A2
c
d
c＋d
总 计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
则
χ2
＝
n（ad－bc）2 （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），用它的
大小来检验变量之间是否独立．
①当 χ2≤2.706 时，没有充分的证据判定变量 A，B 有
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是
一种因果关系．( )
(2)利用散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以
用线性关系表示．( )
(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有
预测价值．( )
(4)事件 X，Y 的关系越密切，由观测数据计算得到的 χ2
i＝1
n
∑
（xi－－x ）2
＝i＝1 ∑n x2i－n－x 2 ，a＝－y －b－x ．
i＝1
i＝1
3．相关系数 r
(1)r ＝
n
（xi－－x ）（yi－－y ）
i＝1
＝
n
（xi－－x ）2
n
（yi－－y ）2
i＝1
i＝1
n xiyi－n－x －y
i＝1
.
n x2i－n－x 2
n y2i－n－y 2
A．变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关
B．变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关
C．变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关
D．变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关
解析：选 C.由散点图可得两组数据均线性相关，且图①
的线性回归方程斜率为负，图②的线性回归方程斜率为正，
则由散点图可判断变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关．
表)，由最小二乘法求得线性回归方程为 y＝0.67x＋54.9.
零件数 x/个 10
20
30 40 50
加工时间 y/min 62
○
75 81 89
现发现表中有一个数据模糊看不清，则该数据为
________．
解析：设表中那个模糊看不清的数据为 m.由表中数据得
x ＝30， y ＝m＋5307，所以样本点的中心为30，m＋5307，