平面力系-PPT课件
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力偶：两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成 的力系。 记作（F，F′） d 称为力偶臂 力偶所在的平面称为力偶的作用面。
2.4 平面力偶
（1）力偶不能合成为一个力，力偶也不能用一个力来平衡。因 此，力和力偶是静力学的两个基本要素
（2）力偶对作用面内任一点的矩，与矩心的位置无关。 力偶对点O的矩为Mo（F，F′）,则 M o (F ,F ) M o (F ) M o (F ) F (x d ) F xF d 力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的 大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的 转向：一般以逆时针转向为正，反之为负。
合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点之 矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。
n
MO(FR) MO(Fi) i1
上式适用于任何有合力存在的力系。
2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算
力矩的解析表达式 已知力F，作用点A（x,y）及夹角θ。 力F 对坐标原点O之矩
M O (F ) M O (F y) M O (F x)
Fx 0 FBAF1sin30F2sin60 0 Fy 0 FBC F1co3s0F2co6s0 0
F 1F2P2k0N 4.解方程
F B A 0 .3P 6 6 7 .3k 2N 1F BC 1.36 P 62.3 7k 2N FBC为正值，表示这力的假设方向与实际方向相同， 即杆BC受压。 FBA为负值，表示这力的假设方向与实际 方向相反，即杆AB也受压力。
结论:平面汇交力系可简化为一合力,其合力的大小与方向
等于各分力的矢量和(几何和),合力的作用线通过汇交点。
特殊情况：如力系中各力的作用线都沿同一直线，则
此力系称为共线力系它是平面汇交力系的特殊情况，该力
系合力的大小与方向决定于各分力的代数和，即
n
FR Fi
i1
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
例：如图所示，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮 上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并 以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略 摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
解：1.取滑轮B为研究对象 2.画研究对象的受力图 3.列平衡方程
Fx 0 FBAcos FBCcos 0 Fy 0 FBAsinFBCsinF 0
解得 FBAFBC2sFin11.35kN
再取压块C为研究对象
Fx 0 FCx FCBcos 0
Fy 0 FCBsin FCy 0
解得
FCxF 2scio nsF 2cot
Fl 2h
1
1.2
5kN
FCyFCBsin
F 2
1.5kN
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
[例] 已知：P =20 kN ，不计杆 重和滑轮尺寸，求：杆AB与BC 所受的力。
A C
30
B
30 30
P
解： ①以滑轮为研究对象
②画受力图
y
③列平衡方程求解
Fx 0 F B A F Bc C 3 o 0 F s T s3 in 0 0 F A B
力多边形
FR2=FR1+F3=F1+F2+F3 作力多边形时，不必画出 FR1.FR2
FR=FR2+F4=F1+F2+F3+F4 可任意变换各分力矢的次序
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
推广:设平面汇交力系包含n个力,以FR表示合力矢，则有
n
F R F 1 F 2 F n F i i1
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
例：如图所示的压榨机中，杆AB和BC的长度相等，自 重不计。A、B、C处为铰链连接。已知活塞D上受到油缸 内的总压力为F=3kN，h=200mm，l=1500mm。试求压块 C对工件与地面的压力，以及AB杆所受的力。
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
解：先取活塞杆DB为研究对象
欢迎
2 平面力系
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算 2.4 平面力偶 2.5 平面任意力系合成与平衡
按照力系中各力的作用线是否在同一平面 来分，力系可分为：
平面力系和空间力系
按照力系中各力的作用线是否相交、平行来 分，力系可分为：
三、平面汇交力系平衡的解析法
该力系平衡的必要和充分条件是: 该力系的合力FR 等于零。
F R( F i)x2( F i)y20
欲使上式成立，必须同时满足
F ix 0
F iy 0
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：
各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
Fix 0 称为平面汇交力系的平衡方程。 Fiy 0
cosF(R,i)FFRRx
F ix FR
cosF(R,j)FFRRy
F iy FR
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
例：F1=2kN，F2=3kN，F3=1kN，F4=2.5kN，用解析法求合力。
解： 取坐标系Axy。
4
FRx Fix F1co3s0F2co6s0 F3co4s5F4co4s51.29kN i 1 4
于轮心O之矩。
h
解：（1）应用力矩计算公式
MO(Fn)Fnh
0.16
Fn
D cos
2
10 00 co2s0Nm7.2 5Nm
2
（2）应用合力矩定理
Ft Fncos Fr Fnsin
M O (F n ) M O (F t) M O (F r)
(Fn
cos)
D0 2
7.5 2Nm
2.4 平面力偶 一、力偶与力偶矩
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出 负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般 先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。
2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算
一、力对点之矩（力矩） 点O：矩心 距离h:力臂
力对点之矩是一个代数量， 它的绝对值等于力的大小与力 臂的乘积，其正负按下法确定：
力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。
力F 对于点O的矩以MO(F )表示，即 M O (F )F h 2S OAB
显然，当力的作用线通过矩心，即力臂等于零时，它 对矩心的力矩等于零。
力矩的单位常用 N·m 或 kN·m 。
2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算
二、合力矩定理与力矩的解析表达式
或
xF sinyF co s
MO(F)xF yyF x
上式为平面内力对点的矩的解析表达式。
合力FR对坐标原点之矩的n 解析表达式
MO(FR) (xiFyi yiFxi ) i1
2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算
例：作用于齿轮的啮合力Fn=1000N，节圆
直径D=160mm，压力角α=20º。求啮合力Fn对
记为M（F，F′） 简记为M。
MFd2AABC
力偶矩的单位：N·m。
2.4 平面力偶
二、同平面内力偶的等效定理 定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则
两力偶彼此等效。
已知：M（Fo,Fo'）=M（F,F'）
证明:（Fo,Fo'）与（F,F'）等效 证明：分别将Fo，Fo'移到点A，B。 然后分解。显然，F1，F1'，F2，F2' 与（Fo,Fo'）等效。F1,F1 '是一对平衡力 可以除去，F2,F2'组成一新力偶，且 与（Fo,Fo'）等效。
[例] 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力FND=？
解：研究球，受力如图. 列平衡方程为
Fx 0 F T 2co sF T 10 ①
Fy 0 F T 2sin Q F N D0 ②
而
由①得
F T1 P; F T2 2P
cosFT1 P 1
FT2 2P 2
600
FT1
y A Q
FT2
二、平面汇交力系平衡的几何法
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是： 该力系的合力等于零。即
n
Fi 0
i 1
在平衡时，力多边形最后一个力的终点与第一个力的 起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。
于是，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系 的力多边形自行封闭，这是平衡的几何条件。
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
例：门式刚架，在B点受一水平力F=20kN，不计刚架 自重。求支座 A、D 的约束力。
解：
FD
a
F
b
1.取刚架为研究对象 2.画受力图 3.按比例作力三角形 4.量得
arctan1226.5
F D 1 0 k NF A 2 2 .5 k N
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
例 三铰刚架受力如图示 求:A, B , C处的约束反力
力F沿轴 分解: Fx和F y 为矢 量 F x F xi F y F yj FFxiFyj
称为力的解析表达式
如已知投影Fx和Fy，则力F的大小和方向余弦为
F Fx2 Fy2
co F ,s i) (F x co F ,s j) (F y
F
F
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
二、平面汇交力系合成的解析法
FRy Fiy F1sin30F2sin60F3sin45F4sin451.12kN i1 合力大小:
FR
Hale Waihona Puke FR FR2xFR2y ( Fix)2( Fiy)2
θ
1.2921.122 1.71kN
合力方向:
arctanFRy arctan1.12 41 (第象限）
FRx
1.29
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
C
a
a
A
P
a B
FC C
C
45°
45°
P
解:（1）以AC为研究对象, A
FC B
画受力图
FA
(2) 以CB为研究对象, 画受力图， （3）画力多边形
FB
45°
FB
45°P FC
所以 FB = FC = Pcos45o = 0.707P FA= FC= 0.707P
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
已知：F1，F2，F3，…Fn。求合力nFR。
FR
由上节知：F R F 1 F 2 F n F i
根据合矢量投影定理
i1
n
FRx F 1 x F 2 x F nx Fix
i 1
n
FRy F 1yF 2y F ny Fiy
i 1
FR FR2xFR2y ( Fix)2( Fiy)2
FNB= 0时为 球离开地面
PF Nsin
FR RhP h(2Rh) R
F(Rh) h(2Rh)
FP
h(2Rh) Rh
当FP
h(2Rh)时球方能离开地面 Rh
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
一、力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式
F xF co s F yF co s
力在轴上的投影:Fx和Fy为代数量
30
B
3 0 3 0
x
F y 0 F Bs C 3 i n 0 F 1 c3 o 0 s F 0
FT F
其中
FFT P
F BC
解得 FBC74.64kN（压） FAB54.64kN（拉）
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
[例] 已知 P=2kN ，求CD所受的力和A处的约束反力。 解：①以AB杆为研究对象 ②画受力图 ③列平衡方程求解
[例] 求当F力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h 解：研究物块,受力如图，
解力三角形：
FN
F
cos
又： co s R 2R (Rh)2R 1 h(2Rh)
FN
FR h(2Rh)
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
再研究球，受力如图： 作力三角形
解力三角形：
PF N sin
又 si nRR h FN FN
Fx 0 R AcosSC Dcos4500
F y 0 P R A si n S Cs D 4 i0 n 5 0
tanEB0.41
AB 1.2 3
解得：
SCD si4n05cPo40 s5tg 4.2k 4N ； RASCDccoo4ss503.16kN
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
x
FND
由②得
F N D Q -F T 2 si n Q 2 P s-6 i0 n 0 Q 3 P
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特 殊时用几何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，都用解析法。
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只 有一个未知数。
汇交力系、平行力系和任意力系
平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面 内且汇交于一点的力系。
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、平面汇交力系合成的几何法
F2
F1
FR
F3 F4
已知：平面汇交力系 F1，F2，F3，F4
F3
求：合力 FR
F2 FR1
F4
FR2
F4
F2
F1
F1
FR
FR F3
FR1=F1+F2
2.4 平面力偶
（1）力偶不能合成为一个力，力偶也不能用一个力来平衡。因 此，力和力偶是静力学的两个基本要素
（2）力偶对作用面内任一点的矩，与矩心的位置无关。 力偶对点O的矩为Mo（F，F′）,则 M o (F ,F ) M o (F ) M o (F ) F (x d ) F xF d 力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的 大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的 转向：一般以逆时针转向为正，反之为负。
合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点之 矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。
n
MO(FR) MO(Fi) i1
上式适用于任何有合力存在的力系。
2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算
力矩的解析表达式 已知力F，作用点A（x,y）及夹角θ。 力F 对坐标原点O之矩
M O (F ) M O (F y) M O (F x)
Fx 0 FBAF1sin30F2sin60 0 Fy 0 FBC F1co3s0F2co6s0 0
F 1F2P2k0N 4.解方程
F B A 0 .3P 6 6 7 .3k 2N 1F BC 1.36 P 62.3 7k 2N FBC为正值，表示这力的假设方向与实际方向相同， 即杆BC受压。 FBA为负值，表示这力的假设方向与实际 方向相反，即杆AB也受压力。
结论:平面汇交力系可简化为一合力,其合力的大小与方向
等于各分力的矢量和(几何和),合力的作用线通过汇交点。
特殊情况：如力系中各力的作用线都沿同一直线，则
此力系称为共线力系它是平面汇交力系的特殊情况，该力
系合力的大小与方向决定于各分力的代数和，即
n
FR Fi
i1
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
例：如图所示，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮 上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并 以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略 摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
解：1.取滑轮B为研究对象 2.画研究对象的受力图 3.列平衡方程
Fx 0 FBAcos FBCcos 0 Fy 0 FBAsinFBCsinF 0
解得 FBAFBC2sFin11.35kN
再取压块C为研究对象
Fx 0 FCx FCBcos 0
Fy 0 FCBsin FCy 0
解得
FCxF 2scio nsF 2cot
Fl 2h
1
1.2
5kN
FCyFCBsin
F 2
1.5kN
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
[例] 已知：P =20 kN ，不计杆 重和滑轮尺寸，求：杆AB与BC 所受的力。
A C
30
B
30 30
P
解： ①以滑轮为研究对象
②画受力图
y
③列平衡方程求解
Fx 0 F B A F Bc C 3 o 0 F s T s3 in 0 0 F A B
力多边形
FR2=FR1+F3=F1+F2+F3 作力多边形时，不必画出 FR1.FR2
FR=FR2+F4=F1+F2+F3+F4 可任意变换各分力矢的次序
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
推广:设平面汇交力系包含n个力,以FR表示合力矢，则有
n
F R F 1 F 2 F n F i i1
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
例：如图所示的压榨机中，杆AB和BC的长度相等，自 重不计。A、B、C处为铰链连接。已知活塞D上受到油缸 内的总压力为F=3kN，h=200mm，l=1500mm。试求压块 C对工件与地面的压力，以及AB杆所受的力。
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
解：先取活塞杆DB为研究对象
欢迎
2 平面力系
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算 2.4 平面力偶 2.5 平面任意力系合成与平衡
按照力系中各力的作用线是否在同一平面 来分，力系可分为：
平面力系和空间力系
按照力系中各力的作用线是否相交、平行来 分，力系可分为：
三、平面汇交力系平衡的解析法
该力系平衡的必要和充分条件是: 该力系的合力FR 等于零。
F R( F i)x2( F i)y20
欲使上式成立，必须同时满足
F ix 0
F iy 0
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：
各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
Fix 0 称为平面汇交力系的平衡方程。 Fiy 0
cosF(R,i)FFRRx
F ix FR
cosF(R,j)FFRRy
F iy FR
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
例：F1=2kN，F2=3kN，F3=1kN，F4=2.5kN，用解析法求合力。
解： 取坐标系Axy。
4
FRx Fix F1co3s0F2co6s0 F3co4s5F4co4s51.29kN i 1 4
于轮心O之矩。
h
解：（1）应用力矩计算公式
MO(Fn)Fnh
0.16
Fn
D cos
2
10 00 co2s0Nm7.2 5Nm
2
（2）应用合力矩定理
Ft Fncos Fr Fnsin
M O (F n ) M O (F t) M O (F r)
(Fn
cos)
D0 2
7.5 2Nm
2.4 平面力偶 一、力偶与力偶矩
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出 负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般 先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。
2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算
一、力对点之矩（力矩） 点O：矩心 距离h:力臂
力对点之矩是一个代数量， 它的绝对值等于力的大小与力 臂的乘积，其正负按下法确定：
力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。
力F 对于点O的矩以MO(F )表示，即 M O (F )F h 2S OAB
显然，当力的作用线通过矩心，即力臂等于零时，它 对矩心的力矩等于零。
力矩的单位常用 N·m 或 kN·m 。
2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算
二、合力矩定理与力矩的解析表达式
或
xF sinyF co s
MO(F)xF yyF x
上式为平面内力对点的矩的解析表达式。
合力FR对坐标原点之矩的n 解析表达式
MO(FR) (xiFyi yiFxi ) i1
2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算
例：作用于齿轮的啮合力Fn=1000N，节圆
直径D=160mm，压力角α=20º。求啮合力Fn对
记为M（F，F′） 简记为M。
MFd2AABC
力偶矩的单位：N·m。
2.4 平面力偶
二、同平面内力偶的等效定理 定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则
两力偶彼此等效。
已知：M（Fo,Fo'）=M（F,F'）
证明:（Fo,Fo'）与（F,F'）等效 证明：分别将Fo，Fo'移到点A，B。 然后分解。显然，F1，F1'，F2，F2' 与（Fo,Fo'）等效。F1,F1 '是一对平衡力 可以除去，F2,F2'组成一新力偶，且 与（Fo,Fo'）等效。
[例] 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力FND=？
解：研究球，受力如图. 列平衡方程为
Fx 0 F T 2co sF T 10 ①
Fy 0 F T 2sin Q F N D0 ②
而
由①得
F T1 P; F T2 2P
cosFT1 P 1
FT2 2P 2
600
FT1
y A Q
FT2
二、平面汇交力系平衡的几何法
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是： 该力系的合力等于零。即
n
Fi 0
i 1
在平衡时，力多边形最后一个力的终点与第一个力的 起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。
于是，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系 的力多边形自行封闭，这是平衡的几何条件。
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
例：门式刚架，在B点受一水平力F=20kN，不计刚架 自重。求支座 A、D 的约束力。
解：
FD
a
F
b
1.取刚架为研究对象 2.画受力图 3.按比例作力三角形 4.量得
arctan1226.5
F D 1 0 k NF A 2 2 .5 k N
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
例 三铰刚架受力如图示 求:A, B , C处的约束反力
力F沿轴 分解: Fx和F y 为矢 量 F x F xi F y F yj FFxiFyj
称为力的解析表达式
如已知投影Fx和Fy，则力F的大小和方向余弦为
F Fx2 Fy2
co F ,s i) (F x co F ,s j) (F y
F
F
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
二、平面汇交力系合成的解析法
FRy Fiy F1sin30F2sin60F3sin45F4sin451.12kN i1 合力大小:
FR
Hale Waihona Puke FR FR2xFR2y ( Fix)2( Fiy)2
θ
1.2921.122 1.71kN
合力方向:
arctanFRy arctan1.12 41 (第象限）
FRx
1.29
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
C
a
a
A
P
a B
FC C
C
45°
45°
P
解:（1）以AC为研究对象, A
FC B
画受力图
FA
(2) 以CB为研究对象, 画受力图， （3）画力多边形
FB
45°
FB
45°P FC
所以 FB = FC = Pcos45o = 0.707P FA= FC= 0.707P
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
已知：F1，F2，F3，…Fn。求合力nFR。
FR
由上节知：F R F 1 F 2 F n F i
根据合矢量投影定理
i1
n
FRx F 1 x F 2 x F nx Fix
i 1
n
FRy F 1yF 2y F ny Fiy
i 1
FR FR2xFR2y ( Fix)2( Fiy)2
FNB= 0时为 球离开地面
PF Nsin
FR RhP h(2Rh) R
F(Rh) h(2Rh)
FP
h(2Rh) Rh
当FP
h(2Rh)时球方能离开地面 Rh
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
一、力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式
F xF co s F yF co s
力在轴上的投影:Fx和Fy为代数量
30
B
3 0 3 0
x
F y 0 F Bs C 3 i n 0 F 1 c3 o 0 s F 0
FT F
其中
FFT P
F BC
解得 FBC74.64kN（压） FAB54.64kN（拉）
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
[例] 已知 P=2kN ，求CD所受的力和A处的约束反力。 解：①以AB杆为研究对象 ②画受力图 ③列平衡方程求解
[例] 求当F力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h 解：研究物块,受力如图，
解力三角形：
FN
F
cos
又： co s R 2R (Rh)2R 1 h(2Rh)
FN
FR h(2Rh)
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
再研究球，受力如图： 作力三角形
解力三角形：
PF N sin
又 si nRR h FN FN
Fx 0 R AcosSC Dcos4500
F y 0 P R A si n S Cs D 4 i0 n 5 0
tanEB0.41
AB 1.2 3
解得：
SCD si4n05cPo40 s5tg 4.2k 4N ； RASCDccoo4ss503.16kN
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
x
FND
由②得
F N D Q -F T 2 si n Q 2 P s-6 i0 n 0 Q 3 P
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特 殊时用几何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，都用解析法。
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只 有一个未知数。
汇交力系、平行力系和任意力系
平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面 内且汇交于一点的力系。
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、平面汇交力系合成的几何法
F2
F1
FR
F3 F4
已知：平面汇交力系 F1，F2，F3，F4
F3
求：合力 FR
F2 FR1
F4
FR2
F4
F2
F1
F1
FR
FR F3
FR1=F1+F2