一微分的定义DefinitionofDifferential

f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x,
令 x0 0, x x.
f ( x) f (0) f (0) x (7)
应用(7)式可以推得一下几个在工程上常用的 近似公式 (假定 x 很小时) :
(1) n 1 x 1 1 x; n
(2) sin x x ( x为弧度);
如 果x0
6
,则f
( )
6
sin
6
1 2
,
f
( )
6
3 2
并 且x 比 较 小,应 用(5)得 :
360
sin30030 sin( ) sin cos
6 360
6
6 360
1 3 0.5000 0.0076
2 2 360
0.5076 下面我们来推导一些常用的近似公式
函数 y f ( x)在任意点x的微分, 称为函数的
微分, 记作 dy或 df ( x), 即 dy f ( x)x.
例2 求函数 y x3 当 x 2, x 0.02时的微分.
解
dy ( x3 )x 3x2x.
dy x2 3 x 2x x2 0.24.
x 0.02
x 0.02
例5 设 y e13x cos x, 求dy.
解 应用积的微分法则,得
dy cos x d(e13x ) e13x d(cos x) (e13x ) 3e13x , (cos x) sin x. dy cos x (3e13x )dx e13x ( sin x)dx
e13x (3cos x sin x)dx.
可导，且当f(x)在点 x0 可微时，其微分一定是
dy f ( x0 )x
Theorem: A function is derivable at x0 if and only if it is differentiable at x0.
证明 (1) 必要性 f ( x)在点x0可微,
y A x o(x), y A o(x) ,
一、微分的定义(Definition of Differential )
问题的提出
一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长
由 x0 变到 x0 x（如图），问此薄片的面积
改变了多少？
设边长由x0变到x0 x, 正方形面积 A x02 ,
A ( x0 x)2 x02
x0
x0x
A x02
dy cos udu cos(2x 1)d(2x 1)
cos(2x 1) 2dx 2cos(2x 1)dx.
例4 设 y ln(1 ex2 ), 求dy.
解
dy
d
ln(1 e x2 )
1 1 ex2
d(1
e x2
)
1 1 ex2
ex2d(x2)
e x2
2xe x2
1 e x2 2xdx 1 e x2 dx
d(cos x) sin xdx
d(tan x) sec2 xdx d(cot x) csc2 xdx
d(sec x) sec x tan xdx d(csc x) csc x cot xdx
d(a x ) a x ln adx
d(e x ) e xdx
1
d (loga
x)
dx x ln a
(6)
如 果f ( x0 )与f ( x0 )都 容易 计算, 那 么可 利用(4)来 近似 计算 y,利 用(5)来 近似 计算f ( x0 x),或 利用(6)式 来近 似计 算 f (x)
例8 利用微分计算sin30030的近似值
解 30030
6 360 取f ( x) sin x,则f ( x) cos x
y
几何意义:(如图)
T
当y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标
N
P
o(x)
M
dy y
y f (x)
x
对应的增量.
）
o
x0 x0 x
x
当 x 很小时, 在点M的附近,
切线段 MP可近似代替曲线段MN .
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三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则
The Differential Formulas of the Basic Elementary Funtiond and the Rules for Differentiation

设 y f (u) 及u ( x) 都可导, 则复合函数y f [( x)]的
微分为 dy f (u)( x)dx f (u)du
上式说明无论是u自变量还是中间变量其微分形式不变, 这一 性质称为微分形式不变性.
例3 设 y sin( 2x 1), 求dy.
解 y sin u, u 2x 1.
例6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使等式成立.
(1) d( ) xdx
(2) d( ) costdt
解 (1)我们知道
d( x2 ) 2xdx
可见 xdx 1 d( x2 ) d( x2 )
2
2
即
x2 d( ) xdx
2
一般地,有
x2 d(
C)
xdx
(C为任意常数)
2
(2) d(sint) costdt,
f ( x0 ) x o(x),
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
可导 可微. A f ( x0 ).
例1 求函数y x2在x 1和x 3处的微分 解 函数y x2在x 1处的微分
dy ( x2 ) x1x 2x;
在x 3处的微分
dy ( x2 ) x3 x 6x
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小;
y dy
1 o(x) A x
1
(x 0).
(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x)和x0有关;
(5) 当x 很小时,y dy (线性主部).
定理：y=f(x)在 x0 可微的充分必要条件是f(x)在 x0 处
(3) tan x x ( x为弧度);
(4) e x 1 x;
(5) ln(1 x) x.
证明: (1) 设 f ( x) n 1 x,
f
( x)
1
(1
1 1
x)n ,
n
f (0) 1, f (0) 1 .
f (x)
f (0)
n
f (0)x
1
x.
n
其它几个近似公式可用类似方法证明,这里从略了
通常把自变量x的增量x称为自变量的微分, 记作dx, 即dx x.
dy f ( x)dx.
dy f ( x). dx
即 函 数 的 微 分dy与 自 变 量 的 微 分dx之 商 等 于 该函数的导数. 导数也叫"微商".
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二、微分的几何意义
The Geometric Meaning of Differential
dependent variable y=f( x0 x )－f(x0 ) can be
expressed as △y=A△x,where A is a constant which is independent of △x ,then we say that f(x) is differentiable
at x0 ,and A△x is called the differential of y=f(x) at x0
corresponding to the increment A△x of the independent varable,denoted by dy,i.e.dy= A△x .
由定义知:
y 之差
y Ax o(x)
是比 x高阶的无穷小,所以,当 A 0 ,且 x 很小时,我们就可 以近似地用 Ax 来代替y
定义 设函数y=f(x)在某区间内有定义，x0 及 x0 x 在
这区间内，如果函数的增量
y f ( x0 x) f ( x0 )
可表示为
y Ax o(x)
其中A是不依赖于 x 的常数，而 o(x) 是比x 高阶的无穷小，那么称y=f(x)在点 x0 是可微的，
costdt
1
d (s int
)
d
(1
sint
);
即 d( 1 sint) costdt
d( 1 sint C ) costdt.(C为任意常数)
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四、微分在近似计算中的应用
Application of Differential in Approximation
1 函数的近似计算 若y f ( x)在点x0处的导数f ( x0 ) 0,且 x 很小时,我们有
y dy f ( x0 )x
这个式子也可以写为
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x (4)
或 f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x
(5)
令x x0 x,即x x x0 ,则有
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
d(u v) du dv
d(Cu) Cdu
d(uv) vdu udv
u vdu udv
d( ) v
v2
(v 0)
3. 复合函数的微分法则 The Differential Rules of Composite function
与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则 可推导如下:
例9 计算 1.05的近似值
解
1.05 1 0.05
这里x=0.05,其值较小,利用近似公式,便得: 1.05 1 1 (0.05) 1.025 2
如果直接开方,可得
1.05 1.02470
将两个结果比较一下,可以看出,用1.025作为 1.05 的
近似值,其误差不超过0.001,这样的误差在一般应用上 已经够精确了.
x
x
则 lim y A lim o(x) A.
x0 x
x0 x
即函数 f ( x)在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
x0 x
f ( x0 ),
即 y x
f ( x0 ) ,
从而 y f ( x0 ) x (x), 0 (x 0),
而 Ax叫做函数y=f(x)在点 x0 相应于自变量增
量 x 的微分，记作dy，即 dy Ax
Definition Let y=f(x) be a function defined on some interval I, x0∈I, x0 x ∈I ,if the increment of the
1
d(arcsinx)
dx
1 x2
d(ln x) 1 dx x
d(arccos x)
1 dx
1 x2
d(arctan x)
1 1 x2
dx
d (arc
cot
x)
1
1 x2
dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则(The Differential Rules of the Sum,Difference,Product,Quotient of Functions)
函数的微分的表达式 dy f ( x)dx
求法: 计算函数的导数,乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式
The Differential Formulas of the Basic Elementary Functions
d(C) 0
d ( x ) x1dx
d(sin x) cos xdx
2x0 x (x)2 .
(1)
(2)
x (x)2
x
x0x x0
(1) : x的线性函数,且为A的主要部分; (2) : x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
一般地,如果函数y=f(x)满足一定条件,则函数的增量y 可表示 为
y Ax o(x)
其中A是不依赖于x 的常数,因此 Ax 是x 的线性函数,且它与