全国高考理科数学试卷真题(江苏)参考答案解析

全国高考试卷真题(江苏) 数学理科参考答案
1．5【解析】{123}{245}{12345}5A
B ==，，，，，，，，，个元素．
2．6【解析】平均数为
465876
66
．
3
22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=．
4．7【解析】第一次循环：3,4S I ==；第二次循环：5,7S I ==；第三次循环：7,10S I ==；结束循环，输出7S =． 5．
5
6
【解析】从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只球颜色不同有5种结果，故所求概率为5
6
．
6．－3【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=- 7．(1,2)【解析】由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2)-． 8．3【解析】12
tan()tan 7tan tan()32
1tan()tan 17
αβαβαβααβα++-=+-===++-． 9
222211
45+28=4833
r r r ππππ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⇒
10．2
2
(1)
2x y 【解析】因为直线210()mx y m m R 恒过点(2,1)，所以当
点(2,1)为切点时，半径最大，此时半径2r ，故所求圆的标准方程为
2
2
(1)2x y ．
11．
20
11
【解析】由题意得：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+
(1)
1212
n n n n +=+-+
++=
所以101111220
2(),2(1),11111
n n n S S a n n n n =-=-==+++．
12
2
(,),(1)P x y x ≥，因为直线10x y -+=平行于渐近线0x y -=，所以c 的最大值为直线10x y -+=与渐近线0x y -=
=
13．4【解析】当01x ≤时，()ln f x x ，()0g x ，此时方程|()()|1f x g x 即为
ln 1x 或ln 1x
，故x e 或1
x
e ，此时1
x e
符合题意，方程有一个实根． 当12x
时，()ln f x x ，22()422g x x x ，方程|()()|1f x g x 即为
2ln 21x x 或2ln 21x x ，即2
ln 10x x 或2
ln 30x x ，令
2ln 1y x x ，则1
20y
x x
，函数2ln 1y x x 在(1,2)x 上单调递减，且1x 时0y
，所以当12x 时，方程2
ln 10x x 无解；令2ln 3y
x x ，
则120y
x x
，
函数2
ln 3y x x 在(1,2)x 上单调递减，且1x 时20y ，
2x 时ln 210y ，所以当12x 时，方程2
ln 30x x 有一个实根．
当2x ≥时，()ln f x x ，2()
6g x x ，方程|()()|1f x g x 即为2ln 61
x x 或2
ln 6
1x x
，即2ln 70x x 或2ln 50x x ，令2y ln 7x x ，则
1
20y
x x
，函数2y ln 7x x 在[2,)x 上单调递增，且2x 时
ln 230y ，3x 时ln320y ，所以当2x ≥时方程2ln 70x x 有1
个实根；同理2
ln 50x x 在[2,)x 有1个实根．故方程1|)()(|=+x g x f 实
根的个数为4个．
14．1(1)(1)(1)(cos
,sin cos )(cos ,sin cos )666666
k k k k k k k k a a ππππππ++++⋅=+⋅+
2(1)21(21)cos
sin
cos cos sin cos
6
666626
k k k k k π
πππππππ
++++=++=++
因此11
10
33
12k k k a a +=⋅=
=∑ 15．【解析】（1）由余弦定理知，
2221
C C 2C cos 4922372
B =AB
+A -AB⋅A ⋅A =+-⨯⨯⨯=，所以BC =
（
2）由正弦定理知，
C sin C sin AB B =A ，所以21
sin C sin C 7AB =⋅A
==B ．
因为C AB <B
，所以C 为锐角，则cosC 7
===
．
因此212743
sin 2C 2sin C cos C 2=⋅=⨯
⨯=
． 16．【证明】
（1）由题意知，E 为1B C 的中点， 又D 为1AB 的中点，因此D //C E A ．
又因为D E ⊄平面11C C AA ，C A ⊂平面11C C AA ， 所以D //E 平面11C C AA ．
（2）因为棱柱111C C AB -A B 是直三棱柱， 所以1CC ⊥平面C AB ．
因为C A ⊂平面C AB ，所以1C CC A ⊥．
又因为C C A ⊥B ，1CC ⊂平面11CC B B ，C B ⊂平面11CC B B ，1C CC C B =，
所以C A ⊥平面11CC B B ．
又因为1C B ⊂平面11CC B B ，所以1C C B ⊥A ．
因为1C CC B =，所以矩形11CC B B 是正方形，因此11C C B ⊥B ． 因为C A ，1C B ⊂平面1C B A ，1C
C C A B =，所以1C B ⊥平面1C B A ．
又因为1AB ⊂平面1C B A ，所以11C B ⊥AB ．
17．【解析】（1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为()5,40，()20,2.5．
将其分别代入2a y x b =+，得4025 2.5
400a
b
a b
⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得10000a b =⎧⎨=⎩．
（2）①由（1）知，21000y x =
（520x ≤≤），则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，3
2000
y x '=-， 则l 的方程为()23
10002000y x t t t -
=--，由此得3,02t ⎛⎫A ⎪⎝⎭，230000,t ⎛⎫
B ⎪⎝⎭
．
故(
)f t ==，[]5,20t ∈． ②设()62
4410g t t t ⨯=+，则()6
5
16102g t t t
⨯'=-．令()0g t '=
，解得t =
当(
t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；
当()
20t ∈时，()0g t '>，()g t 是增函数．
从而，当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =， 此时(
)min f t =
答：当t =l
的长度最短，最短长度为千米．
18．【解析】（1
）由题意，得2
c a =且23a c c +=，
解得a =1c =，则1b =，所以椭圆的标准方程为
2
2
2
x y ．
（2）当x AB ⊥
轴时，AB =
C 3P =，不合题意．
当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，()11,x y A ，()22,x y B ， 将AB 的方程代入椭圆方程，得(
)()2
2
22124210k
x
k x k +-+-=，
则
1,2
x
=
C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫
- ⎪++⎝⎭
，且
)22
112k k
+AB =
=
=
+．
若0k =，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．
从而0k ≠，故直线C P 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫
+=-- ⎪++⎝⎭
，
则P 点的坐标为()22522,12k k k ⎛⎫
+ ⎪- ⎪+⎝
⎭，从而(()22231C 12k k k +P =+． 因为2PC AB
=，所以
(
()
)222
2
23111212k k k
k k
++=
++，解得1k =±．
此时直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+．
19．【解析】：（1）()2
32f x x ax '=+，令()0f x '=，解得10x =，223
a
x =-
． 当0a =时，因为()2
30f x x '=>（0x ≠），所以函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增； 当0a >时，()2,0,3a x ⎛
⎫∈-∞-
+∞ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>，2,03a x ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时，()0f x '<， 所以函数()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-
⎪⎝⎭，()0,+∞上单调递增，在2,03a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减；
当0a <时，()
2,0,3a x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，20,3a x ⎛
⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，
所以函数()f x 在(),0-∞，2,3a ⎛⎫-
+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭上单调递减．
（2）由（1）知，函数()f x 的两个极值为()0f b =，3
24327a f a b ⎛⎫-
=
+ ⎪⎝⎭
，则函数()f x 有三个零点等价于()32400327a f f b a b ⎛⎫⎛⎫
⋅-=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而3
4027a a b >⎧⎪⎨-<<⎪⎩或30
4027a b a <⎧⎪
⎨<<-⎪⎩．又b c a =-，所以当0a >时，34027a a c -+>或当0a <时，
34027a a c -+<．设()3427
g a a a c =-+，因为函数()f x 有三个零点时，a 的取值范围恰好是()
33,31,,22⎛⎫⎛⎫
-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则在(),3-∞-上()0g a <，且在331,,22⎛⎫⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
上()0g a >均恒成立，从而()310g c -=-≤，且3102g c ⎛⎫
=-≥ ⎪⎝⎭
，因此1c =．此时，()()()322
1111f x x ax a x x a x a ⎡⎤=++-=++-+-⎣⎦，
因函数有三个零点，则()2
110x a x a +-+-=有两个异于1-的不等实根，
所以()()22141230a a a a ∆=---=+->，且()()2
1110a a ---+-≠， 解得()
33,31,,22a ⎛⎫⎛⎫
∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．综上1c =． 20．【解析】（1）证明：因为1
12222n n n n
a a a d a ++-==（1n =，2，3）是同一个常数，
所以12a ，22a ，32a ，42a 依次构成等比数列．
（2）令1a d a +=，则1a ，2a ，3a ，4a 分别为a d -，a ，a d +，2a d +（a d >，2a d >-，0d ≠）
．假设存在1a ，d ，使得1a ，2
2a ，3
3a ，4
4a 依次构成等比数列， 则()()3
4a a d a d =-+，且()()6
422a d a a d +=+． 令d t a =
，则()()3111t t =-+，且()()64
112t t +=+（112
t -<<，0t ≠）， 化简得32220t t +-=（*），且21t t =+．将21t t =+代入（*）式，
()()21212313410t t t t t t t t +++-=+=++=+=，则14
t =-．
显然1
4
t =-
不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立， 因此不存在1a ，d ，使得1a ，2
2a ，3
3a ，4
4a 依次构成等比数列． （3）假设存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1n
a ，2
n k
a +，23
n k
a +，34
n k
a +依次构成等比数
列，则()
()
()
221112n k
n k n
a a d a d +++=+，且()
()
()
()
32211132n k
n k
n k a d a d a d +++++=+．
分别在两个等式的两边同除以()
21
n k a +及()
221
n k a
+，并令1d t a =
（1
3
t >-，0t ≠）， 则()
()
()
22121n k
n k t t +++=+，且()
()
()
()
32211312n k
n k
n k t t t +++++=+．
将上述两个等式两边取对数，得()()()()2ln 122ln 1n k t n k t ++=++， 且()()()()()()ln 13ln 1322ln 12n k t n k t n k t +++++=++． 化简得()()()()2ln 12ln 12ln 1ln 12k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，
且()()()()3ln 13ln 13ln 1ln 13k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 再将这两式相除，化简得
()()()()()()ln 13ln 123ln 12ln 14ln 13ln 1t t t t t t +++++=++（**）．
令()()()()()()()4ln 13ln 1ln 13ln 123ln 12ln 1g t t t t t t t =++-++-++，
则()()()()()()()()()()
222
213ln 13312ln 1231ln 111213t t t t t t g t t t t ⎡⎤
++-+++++⎣
⎦'=+++． 令()()()()()()()222
13ln 13312ln 1231ln 1t t t t t t t ϕ=++-+++++， 则()()()()()()()613ln 13212ln 121ln 1t t t t t t t ϕ'=++-+++++⎡⎤⎣⎦．
令()()1t t ϕϕ'=，则()()()()163ln 134ln 12ln 1t t t t ϕ'=+-+++⎡⎤⎣⎦．
令()()21
t t ϕϕ'=，则()()()()
212
011213t t t t ϕ'=>+++．
由()()()()1200000g ϕϕϕ====，()2
0t ϕ'>， 知()2t ϕ，()1t ϕ，()t ϕ，()g t 在1,03
⎛⎫- ⎪⎝⎭
和()0,+∞上均单调． 故()g t 只有唯一零点0t =，即方程（**）只有唯一解0t =，故假设不成立． 所以不存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1n
a ，2
n k
a +，23
n k
a +，34
n k
a +依次构成等比数列．
数学Ⅱ（附加题）
21．A ．【证明】 因为AC AB =，所以ABD C ∠=∠．
又因为C E ∠=∠，所以ABD E ∠=∠， 又BAE ∠为公共角，可知ABD ∆∽AEB ∆．
B ．B 【解析】 由已知，得2ααA =-，即1112012x x y y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则122x y -=-⎧⎨=⎩，即12x y =-⎧⎨=⎩，所以矩阵1120-⎡⎤
A =⎢⎥⎣⎦
．
从而矩阵A 的特征多项式()()()21f
λλλ=+-，所以矩阵A 的另一个特征值为1．
C ．【解析】 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建
立直角坐标系xoy ．
圆C
的极坐标方程为2
cos 4022ρθθ⎛⎫+--= ⎪
⎪⎝⎭
，
化简，得2
2sin 2cos 40ρρθρθ+--=．
则圆C 的直角坐标方程为2
2
2240x y x y +-+-=， 即()()2
2
116x y -++=，所以圆C
．
D ．【解析】：原不等式可化为3232x x ⎧<-⎪⎨⎪--≥⎩或32332
x x ⎧
≥-
⎪⎨⎪+≥⎩．
解得5x ≤-或13
x ≥-
． 综上，原不等式的解集是153x x x 或⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭
．
22．【解析】 以{}
,,AB AD AP 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，
则各点的坐标为()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P ．
A
（第21——A 题）
（1）因为AD ⊥平面PAB ，所以AD 是平面PAB 的一个法向量，()0,2,0AD =． 因为()1,1,2PC =-，()0,2,2PD =-．
设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则C 0m ⋅P =，D 0m ⋅P =，
即20
220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩
．
令1y =，解得1z =，1x =．所以()1,1,1m =是平面PCD 的一个法向量． 从而D 3
cos D,D m m m
A ⋅A =
=
A ，所以平面PA
B 与平面PCD 所成二面角的余弦值 （2）因为()1,0,2BP =-，设(),0,2BQ BP λλλ==-（01λ≤≤）， 又()0,1,0CB =-，则(),1,2CQ CB BQ λλ=+=--，又()0,2,2DP =-， 从而cos ,10CQ DP CQ DP CQ DP
⋅<>=
=
．
设12t λ+=，[]1,3t ∈，则
22
2
2229cos ,5109101520999t CQ DP t t t <>==-+⎛⎫-+
⎪⎝⎭
≤．
当且仅当95t
=
，即25λ=时，cos CQ,D P 的最大值为10
． 因为
cos y x =
在0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．
又因为BP ==255
BQ BP ==
． 23．【解析】（1）()613f =．
（2）当6n ≥时，()2,623112,61
2322,62
2
312,632
312,64
2
3122,65
23n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪
⎝⎭⎪
⎪--⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎪
⎪-⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪
-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪
--⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩
（t *∈N ）．
下面用数学归纳法证明： ①当6n =时，()66
6621323
f =++
+=，结论成立； ②假设n k =（6k ≥）时结论成立，那么1n k =+时，1k S +在k S 的基础上新增加的元素在()1,1k +，()2,1k +，()3,1k +中产生，分以下情形讨论： 1）若16k t +=，则()615k t =-+，此时有
()()12
132323
k k f k f k k --+=+=++++ ()11
1223
k k k ++=+++
+，结论成立； 2）若161k t +=+，则6k t =，此时有()()112123
k k
f k f k k +=+=++
++ ()()()1111122
3
k k k +-+-=+++
+，结论成立；
3）若162k t +=+，则61k t =+，此时有
()()11
122223
k k f k f k k --+=+=++
++ ()()12
11223
k k k +-+=++++
，结论成立； 4）若163k t +=+，则62k t =+，此时有
()()2
122223
k k f k f k k -+=+=++
++
()()1111223
k k k +-+=++++，结论成立； 5）若164k t +=+，则63k t =+，此时有 ()()1122223k k f k f k k -+=+=++
++ ()()1111223
k k k +-+=++++，结论成立； 6）若165k t +=+，则64k t =+，此时有 ()()1112123k k f k f k k -+=+=++
++ ()()()1112122
3k k k +-+-=++++，结论成立． 综上所述，结论对满足6n ≥的自然数n 均成立．。