2022年最新浙教版初中数学七年级下册第四章因式分解专题练习试题(无超纲)

初中数学七年级下册第四章因式分解专题练习
（2021-2022学年 考试时间：90分钟，总分100分）
班级：__________ 姓名：__________ 总分：__________
一、单选题（15小题，每小题3分，共计45分）
1、对于①3(13)x xy x y -=-，②2(3)(1)23x x x x -+=--，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解，②是乘法运算
D.①是乘法运算，②是因式分解
2、下列各式由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A.22()()x y x y x y -+=-
B.241254(3)5x x x x +-=+-
C.22()()x y x x y x y x -+=+-+
D.2224484()x y xy x y +-=- 3、下列因式分解正确的是（ ）
A.2p +2q +1＝2（p +q ）+1
B.m 2﹣4m +4＝（m ﹣2）2
C.3p 2﹣3q 2＝（3p +3q ）（p ﹣q ）
D.m 4﹣1＝（m ²+1）（m ²﹣1） 4、对于①()()2212+-=+-x x x x ，②()233x xy x x y -=-，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解，②是乘法运算
D.①是乘法运算，②是因式分解
5、下列式子的变形是因式分解的是（ ）
A.() m x y mx my +=+
B.()2
2 21441x x x -=-+
C.()()2 1343x x x x ++=++
D.()3 11x x x x x -=+-（）
6、下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A.2323824a b a b =⋅
B.()()311x x x x x -=+-
C.2211x x x x ⎛
⎫+=+ ⎪⎝⎭ D.()a x y ax ay -=-
7、下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A.ax ＋bx ＋c ＝（a ＋b ）x ＋c
B.（a ＋b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2
C.（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2
D.a 2﹣5a ﹣6＝（a ﹣6）（a ＋1） 8、若()()223x x x a x b --=-+，则-a b 的值为（ ）
A.3
B.3-
C.2
D.2-
9、多项式3254812x y x y -的公因式是（ ）
A.x 2y 3
B.x 4y 5
C.4x 4y 5
D.4x 2y 3
10、如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：2＝13﹣
（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数.那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A.6858
B.6860
C.9260
D.9262 11、把多项式x 3﹣9x 分解因式，正确的结果是（ ）
A.x （x 2﹣9）
B.x （x ﹣3）（x ＋3）
C.x （x ﹣3）2
D.x （3﹣x ）（3＋x ） 12、对于任何整数a ，多项式()2255a +-都能（ ）
A.被3整除
B.被4整除
C.被5整除
D.被a 整除
13、下列分解因式的变形中，正确的是（ ）
A.xy （x ﹣y ）﹣x （y ﹣x ）＝﹣x （y ﹣x ）（y ＋1）
B.6（a ＋b ）2﹣2（a ＋b ）＝（2a ＋b ）（3a ＋b ﹣1）
C.3（n ﹣m ）2＋2（m ﹣n ）＝（n ﹣m ）（3n ﹣3m ＋2）
D.3a （a ＋b ）2﹣（a ＋b ）＝（a ＋b ）2（2a ＋b ）
14、下列各组式子中，没有公因式的是（ ）
A.﹣a 2+ab 与ab 2﹣a 2b
B.mx +y 与x +y
C.(a +b )2与﹣a ﹣b
D.5m (x ﹣y )与y ﹣x
15、下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是 （ ）
A.（a +1）（a -1）=a 2-1
B.ab +ac +1=a （b +c ）+1
C. a 2-2a -3=（a -1）（a -3）
D.a 2-8a +16=（a -4）2
二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）
1、如果9x y +=，3x y -=，那么222x 2y -的值为______．
2、分解因式：22654x y xy -=________；
3、因式分解：()()11x m y m -+-=____________．
4、若多项式x 2+ax +b 可分解为(x +1)(x +4)，则a ＝________，b ＝________．
5、由多项式乘法：（x +a ）（x +b ）＝x 2+（a +b ）x +ab ，将该式子从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x 2+（a +b ）x +ab ＝（x +a ）（x +b ），请用上述方法将多项式x 2﹣5x +6因式分解的结果是 _____________．
6、因式分解：22416a b _______．
7、分解因式：()()m n a b b a -+-=_________．
8、已知x 2﹣y 2
＝21，x ﹣y ＝3，则x +y ＝___．
9、因式分解：2242xy xy x ++=______．
10、因式分解：4811x -=__．
三、解答题（3小题，每小题5分，共计15分）
1、因式分解：22496m n mn ---．
2、教科书中这样写道：“我们把多项式a 2+2ab +b 2及a 2-2ab +b 2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求最值问题．例如：分解因式x 2+2x -3=(x 2+2x +1)-4=(x +1)2-4=(x +1+2)(x +1-2)=(x +3)(x -1)；
例如求代数式2x 2+4x -6=2(x +1)2-8，当x = -1时，2x 2+4x -6有最小值，最小值是-8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m 2-4m -5=
（2）当a ，b 为何值时，多项式2a 2+3b 2-4a +12b +18有最小值，求出这个最小值．
（3）当a ，b 为何值时，多项式a 2 - 4ab +5b 2 - 4a +4b +27有最小值，并求出这个最小值．
3、计算：
（1）（2a ）3﹣3a 5÷a 2；
（2）（12x 2y ﹣2xy +y 2
）•（﹣4xy ）．
因式分解：
（3）x 3﹣6x 2+9x ；
（4）a 2（x ﹣y ）﹣9（x ﹣y ）．
---------参考答案-----------
一、单选题
1、C
【分析】
根据因式分解和整式乘法的有关概念，对式子进行判断即可.
【详解】
解：①3(13)x xy x y -=-，从左向右的变形，将和的形式转化为乘积的形式，为因式分解；
②2(3)(1)23x x x x -+=--，从左向右的变形，由乘积的形式转化为和的形式，为乘法运算； 故答案为C.
【点睛】
此题考查了因式分解和整式乘法的概念，熟练掌握有关概念是解题的关键.
2、D
【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案.
【详解】
解：A 、是整式的乘法，故不符合；
B 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故不符合；
C 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故不符合；
D 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故符合；
故选：D.
【点睛】
本题考查因式分解的定义；掌握因式分解的定义和因式分解的等式的基本形式是解题的关键.
3、B
【分析】
利用提取公因式法、平方差公式和完全平方公式法分别因式分解分析得出答案.
【详解】
解：A 、2p +2q +1不能进行因式分解，不符合题意；
B 、m 2-4m +4=（m -2）2
，符合题意；
C 、3p 2-3q 2=3（p 2-q 2）=3（p +q ）（p -q ），不符合题意；
D 、m 4-1=（m 2+1）（m 2-1）=m 4-1=（m 2+1）（m +1）（m -1），不符合题意；
故选择：B
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
4、D
【分析】
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.根据因式分解的定义判断即可.
【详解】
解：①()()2212+-=+-x x x x ，属于整式乘法，不属于因式分解； ②()233x xy x x y -=-，等式从左到右的变形属于因式分解；
故选：D.
【点睛】
本题考查了整式的乘法和因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解.
5、D
【分析】
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，由此结合选项即可作出判断.
【详解】
解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
D、是因式分解，故本选项正确；
故正确的选项为：D
【点睛】
本题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，属于基础题.
6、B
【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案.
【详解】
解：A、是把一个单项式转化成两个单项式乘积的形式，故A错误；
B、把一个多项式转化成三个整式乘积的形式，故B正确；
C、是把一个多项式转化成一个整式和一个分式乘积的形式，故C错误；
D、是整式的乘法，故D错误；
故选：B.
【点睛】
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，注意因式分解与整式的乘法的区别.
7、D
【分析】
根据因式分解的定义对各选项进行逐一分析即可.
【详解】
解：A 、ax ＋bx ＋c ＝（a ＋b ）x ＋c ，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B 、（a ＋b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C 、（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D 、a 2﹣5a ﹣6＝（a ﹣6）（a ＋1），等式的右边是几个整式的积的形式，故是因式分解，故此选项符合题意；
故选：D.
【点睛】
本题考查了分解因式的定义.解题的关键是掌握分解因式的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.
8、C
【分析】
根据十字相乘法可直接进行求解a 、b 的值，然后问题可求解.
【详解】
解：()()22331x x x x --=-+，
∴3,1a b ==，
∴2a b -=；
故选C.
【点睛】
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.
9、D
【分析】
根据公因式的意义，将原式写成含有公因式乘积的形式即可.
【详解】
解：因为32542322328124243x y x y x y y x y x -=⋅-⋅，
所以3254812x y x y -的公因式为234x y ，
故选：D.
【点睛】
本题考查了公因式，解题的关键是理解公因式的意义是得出正确答案的前提，将各个项写成含有公因式积的形式.
10、B
【分析】
根据“和谐数”的概念找出公式：(2k +1)3﹣(2k ﹣1)3＝2(12k 2
+1)（其中k 为非负整数），然后再分析计算即可.
【详解】
解：(2k +1)3﹣(2k ﹣1)3＝[(2k +1)﹣(2k ﹣1)][(2k +1)2+(2k +1)(2k ﹣1)+(2k ﹣1)2]＝2(12 k 2+1)（其中 k 为非负整数），由2(12k 2+1)≤2019得，k ≤9，
∴k ＝0，1，2，…，8，9，即得所有不超过2019的“和谐数”，
它们的和为[13﹣(﹣1)3]+(33﹣13)+(53﹣33)+…+(173﹣153)+(193﹣173)＝193+1＝6860.
故选：B.
【点睛】
本题考查了新定义，以及立方差公式，有一定难度，重点是理解题意，找出其中规律是解题的关键所
在.
11、B
【分析】
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
【详解】
解：x 3﹣9x
＝x （x 2
﹣9）
＝x （x ＋3）（x ﹣3）.
故选：B.
【点睛】
本题考查了提公因式和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键.
12、B
【分析】
多项式利用完全平方公式分解，即可做出判断.
【详解】
解：原式()22420255455a a a a =++-=++ 则对于任何整数a ，多项式()2255a +-都能被4整除.
故选：B.
【点睛】
此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
13、A
【分析】
按照提取公因式的方式分解因式，同时注意分解因式后的结果，一般而言每个因式中第一项的系数为正.
【详解】
解：A 、xy （x -y ）-x （y -x ）=-x （y -x ）（y +1），故本选项正确；
B 、6（a +b ）2
-2（a +b ）=2（a +b ）（3a +3b -1），故本选项错误；
C 、3（n -m ）2+2（m -n ）=（n -m ）（3n -3m -2），故本选项错误；
D 、3a （a +b ）2-（a +b ）=（a +b ）（3a 2+3ab -1），故本选项错误.
故选：A.
【点睛】
本题考查提公因式法分解因式.准确确定公因式是求解的关键.
14、B
【分析】
公因式的定义：多项式ma mb mc ++中，各项都含有一个公共的因式m ，因式m 叫做这个多项式各项的公因式.
【详解】
解：A 、因为2()a ab a b a -+=-，22()ab a b ab b a -=-，所以2a ab -+与22ab a b -是公因式是()a b a -，故本选项不符合题意；
B 、mx y +与x y +没有公因式.故本选项符合题意；
C 、因为()a b a b --=-+，所以2()a b +与a b --的公因式是()a b +，故本选项不符合题意；
D 、因为5()5()m x y m y x -=--，所以5()m x y -与y x -的公因式是()y x -，故本选项不符合题意； 故选：B.
【点睛】
本题主要考查公因式的确定，解题的关键是先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式.
15、D
【分析】
分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式.因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定.
【详解】
解：A 、是多项式乘法，不是因式分解，原变形错误，故此选项不符合题意；
B 、右边不是整式的积的形式，不是因式分解，原变形错误，故此选项不符合题意；
C 、a 2
-2a -3=（a +1）（a -3）分解时出现符号错误，原变形错误，故此选项不符合题意；
D 、符合因式分解的定义，是因式分解，原变形正确，故此选项符合题意.
故选：D.
【点睛】
本题考查了因式分解.解题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式分解.
二、填空题
1、54
【分析】
先利用平方差公式分解因式，再代入求值，即可.
【详解】
解：222x 2y -=()222x y - =()()2x y x y +-
=2×9×3
=54，
故答案是：54.
【点睛】
本题主要考查代数式求值，掌握平方差公式，进行分解因式，是解题的关键.
2、()69xy x y -
【分析】
直接提取公因式6xy 即可得解.
【详解】
解：22654x y xy -
=6?6?
9xy x xy y - =6(9)xy x y -.
故答案为：6(9)xy x y -.
【点睛】
此题主要考查了因式分解，熟练运用提公因式，找出公因式是解答此题的关键.
3、()()1x y m --
【分析】
将y (1-m )变形为-y （m -1），再提取公因式即可.
【详解】
∵x （m -1）+ y (1-m )
= x （m -1）-y （m -1），
=（x -y ）（m -1），
故答案为：（x -y ）（m -1）.
【点睛】
本题考查了因式分解，熟练进行代数式的变形构造公因式是解题的关键.
4、5 4
【分析】
把(x +1)(x +4)展开，合并同类项，可确定a 、b 的值.
【详解】
解：∵(x +1)(x +4)，
=244x x x +++，
=254x x ++，
∴54a b ==，；
故答案为：5，4.
【点睛】
本题考查了因式分解和多项式乘多项式，解题关键是熟练运用多项式的乘法法则进行计算，取得字母的值.
5、(2)(3)x x --
【分析】
根据“十字相乘法”的方法进行因式分解即可.
【详解】
2256(23)(2)(3)(2)(3)x x x x x x +=+--+-⨯-=---
故答案为：(2)(3)x x --.
【点睛】
本题考查了十字相乘法因式分解，理解题目中的方法是解题的关键.
6、422a b a b
【分析】
先提公因式4，再利用平方差公式分解.
【详解】
解：22416a b -
=2244a b
=422a b a b
故答案为：422a b a b .
【点睛】
本题考查提公因式法和公式法进行因式分解，掌握提平方差公式是解题关键.
7、()()a b m n --
【分析】
根据提公因式因式分解求解即可.
【详解】
解：()()()()()()m n m n a b b a a b a b m n b a -----+==--，
故答案为：()()a b m n --.
【点睛】
本题考查了提公因式法因式分解，正确找出公因式是解本题的关键.
8、7
根据平方差公式分解因式解答即可.
【详解】
解：∵x 2﹣y 2
＝（x ﹣y ）（x +y ）＝21，x ﹣y ＝3，
∴3（x +y ）＝21，
∴x +y ＝7.
故答案为：7.
【点睛】
此题考查平方差公式分解因式，关键是根据平方差公式展开解答.
9、22(1)x y -
【分析】
先提取公因式2x ，然后运用完全平方公式因式分解即可.
【详解】
解：2242xy xy x ++ 22(21)x y y =-+
22(1)x y =-，
故答案为：22(1)x y -.
【点睛】
本题主要考查提公因式因式分解以及公式法因式分解，熟知完全平方公式的结构特点是解题关键. 10、2(91)(31)(31)x x x ++-
先把原式化为22
291,x 再利用平方差公式分解因式，再把其中一个因式按照平方差公式继续分解，
从而可得答案.
【详解】
解：原式22(91)(91)x x =+-
2(91)(31)(31)x x x =++-， 故答案为：2(91)(31)(31)x x x ++-.
【点睛】
本题考查的是利用平方差公式分解因式，注意分解因式一定要分解到每个因式都不能再分解为止.
三、解答题
1、(23)(23)m n m n ++--
【分析】
首先对后面三项利用完全平方公式进行因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可.
【详解】
解：原式224(96)m n mn =-++
222(3)m n =-+
(23)(23)m n m n =++--.
【点睛】
此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法.因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等.
2、（1）(1)(5)m m +-；（2）当1a =，2b =-时，最小值为4；（3）当6a =，2b =时，最小值为19.
【分析】
（1）根据阅读材料，先将245m m --变形为2449m m +--，再根据完全平方公式写成2(2)9m --，然后利用平方差公式分解即可；
（2）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答；
（3）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答.
【详解】
解：（1）22245449(2)9(23)(23)(1)(5)m m m m m m m m m --=-+-=--=-+--=+-.
故答案为(1)(5)m m +-；
（2）222223412182(2)3(4)18a b a b a a b b +-++=-+++
222(21)3(44)4a a b b =-+++++
222(1)3(2)4a b =-+++，
∴当1a =，2b =-时，222341218a b a b +-++有最小值，最小值为4；
（3）22454427a ab b a b -+-++
2224(1)4(1)(2)19a a b b b =-++++-+
22(22)(2)19a b b =--+-+，
∴当6a =，2b =时，多项式22222427a ab b a b -+--+有最小值19.
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，完全平方公式、以及非负数的性质，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法.
3、（1）5a 3；（2）﹣2x 3y 2+8x 2y 2﹣4xy 3；（3）x （x ﹣3）2
；（4）（x ﹣y ）（a +3）（a ﹣3）
【分析】
（1）利用积的乘方和同底数幂的除法法则进行运算；
（2）利用单项式乘多项式法则进行运算；
（3）先提取公因式，再用完全平方公式进行分解；
（4）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解.
【详解】
解：（1）原式＝8a3﹣3a3＝5a3；
（2）原式＝﹣2x3y2+8x2y2﹣4xy3；
（3）x3﹣6x2+9x
＝x（x2﹣6x+9）
＝x（x﹣3）2；
（4）a2（x﹣y）﹣9（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣9）
＝（x﹣y）（a+3）（a﹣3）.
【点睛】
本题主要考查了因式分解、积的乘方、同底数幂的除法、单项式乘多项式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.。