考研数学复习教程答案详解高数部分

第一篇高等数学
第一章函数、极限与连续
强化训练（一）
一、选择题
1.
2.提示：参照“例1.1.5”求解。

3.
4.解因选项(D)中的 不能保证任意小，故选(D)
5.
6.
7.
8.
9.
10.
二、
填空题
11.提示：由2
cos 12sin 2
x
x =-可得。

12.
13.提示：由1 未定式结果可得。

14.提示：分子有理化，再同除以n即可。

15.提示：分子、分母利用等价无穷小代换处理即可。

16.
17.提示：先指数对数化，再利用洛必达法则。

18.
19.解因
()2
0001
22(1cos )22cos 2lim lim lim lim lim 1x x x x x x x x
x f x x x
x
x --
---→→→→→⋅---=====- ()0
lim lim x
x x f x ae a --
→→==， 而()0f a =，故由()f x 在 0x =处连续可知，1a =-。

20.提示：先求极限（1∞
型）得到()f x 的表达式，再求函数的连续区间。

三、 解答题 21.(1)
(2)提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式处理12sin ,sin x x。

(3)
(4)
(5)提示：先指数对数化，再用洛必达法则。

(6)提示：请参照“例1.2.14（3）”求解。

22.
23.解 由题设极限等式条件得
2
1
()
ln(cos )20
1()lim ,lim
ln(cos )1f x x x
x
x x f x e e x x x
+
→→=+=， 即 22
01()1()
lim
ln(cos )lim ln(1cos 1)1x x f x f x x x x x x x
→→+=+-+=， 利用等价无穷小代换，得
2
01()lim
(cos 1)1x f x x x x →-+=，即230cos 1()
lim()1x x f x x x
→-+=， 故 3
0()3
lim 2
x f x x →=。

24.提示：先指数对数化，再由导数定义可得。

25.
26.
28.提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式求解。

30.
31.
第二章一元函数微分学强化训练（二）
一、选择题
1.
2.
3.
4.
5.解 设曲线在0x x =处与x 轴相切，则 ()()000,0,y x y x '==即
300200,30,
x ax b x a ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩ 由第二个方程得03a x =±-，代入第一个方程可知选（A ）.
6.
7.
8.
9.提示：由方程确定的隐函数求导法则求解即可。

10.提示：请参阅例2.1.10求解。

11.解 由拉格朗日中值定理得
()()()()10(10),01f f f f ξξξ''-=-=<<
又由()0f x ''>知()f x '单调增加，故有()()()10f f f ξ-+'''>>，应选（B ） 12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
二、填空题
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
三、解答题
36.
37.
38.
39.提示：请参阅例2.1.15求解。

40.
41.解 由题设极限等式条件可得 1()ln 130
lim f x x x x x e
e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
→=，从而01()lim ln 13x f x x x x →⎛⎫
++= ⎪⎝⎭。

进而可知 0
()lim 11x f x x x →⎛
⎫
++
= ⎪⎝
⎭
，0()lim 0x f x x →=，再由()f x 在0x =处连续可知， ()00f =，()0
0()(0)()
0lim
lim 00x x f x f f x f x x
→→-'===-。

又由 20001()1()()lim
ln 1lim lim 13x x x f x f x f x x x x x x x x →→→⎛⎫⎛⎫⎛
⎫++=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
得 2
0()
lim
2x f x x →=，故有
2000()()1()(0)
lim lim lim 222x x x f x f x f x f x x x
→→→'''-===， 即有()04f ''=。

2
1
1
()()ln 1lim
200()lim 1lim x f x f x x
x x x x x f x e e
e x →⎛
⎫
+ ⎪⎝⎭
→→⎛⎫+=== ⎪⎝
⎭。

42.提示：参阅例2.3.13方法可知，存在(,)c a b ∈，使得()()()f a f b f c ==。

在区间
[],a c ，[],c b 上分别应用罗尔定理知，存在1(,)a c ξ∈，2(,)c b ξ∈，使得
()()120f f ξξ''==，再在区间[]12,ξξ应用罗尔定理知，存在12(,)ξξξ∈，使得()0f ξ''=。

43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.解 令()x
f x xe
k -=-，(,)x ∈-∞+∞。

由()(1)0x f x x e -'=-=，得驻点1x =。

不
难看出()1
1f e k -=-是函数()f x 的唯一极大值，也是在区间(,)-∞+∞上的最大值。

当()1
10f e k -=-<，即1
k e ->时，函数()f x 没有零点，原方程没有实根；当
()110f e k -=-=，即1k e -=时，函数()f x 只有一个零点，原方程有一个实根；当()110f e k -=->，即1k e -<时，函数()f x 有两个零点，原方程有两个实根
52.
53.提示：求出曲线的曲率，再求曲率的最大值点坐标即可。

第三章 一元函数积分学 强化训练（三） 一、 选择题 1.
2.提示：请仿照例
3.1.9，利用分部积分法求解。

3.
4.解 利用导数定义求解。

()()()20
3
000
1()0()00lim lim
lim
x
x
x x x tf t dt tf t dt g x g x g x x
x
→→→--'===-⎰
⎰
()()()0
3
20
0()11
lim
lim
lim 0.333
x
x x x tf t dt xf x f x f x x x →→→'====⎰ 5.
6.解 因为a x b <<，所以
()()()()()()()()()x b
a
x
x x x x
a
a
b
b
F x f t x t dt f t t x dt
x f t dt tf t dt x f t dt tf t dt =-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰
()()()()()()()
()()x x
a
b
x x
a
b
F x f t dt xf x xf x f t dt xf x xf x f t dt f t dt
'=+-++-=+⎰⎰⎰⎰
()()2.F x f x ''=
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
二、
填空题
16.提示：令ln x t =，求得()f t '，再不定积分即可，请参阅例3.2.16. 17.
18.提示：先把分母的x 凑到微分中，再利用分部积分法即可。

19.提示：利用定积分的几何意义，此积分为上半圆的面积。

20.
21.提示：请参阅例3.2.15（1） 22.提示：令1
x t
=
，或三角代换。

23. 提示：请参阅例3.2.1方法。

24.
25.
26.解 ()22
22002()1()arctan arctan 0
1()1()2f x dx df x f x f f x f x π
π
ππ'⎛⎫
=== ⎪++⎝⎭
⎰⎰， 而 2202cos arctan(sin )arctan1021sin 4t f dt x t π
πππ⎛⎫
====
⎪+⎝⎭
⎰， 故 220
()arctan .1()4
f x dx f x π
π
'=+⎰
27.
28.
29.
30.
31.
三、解答题
32.
33.（1）
（2）
（3）
（4）
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
第四章向量代数与空间解析几何强化训练（四）
一、选择题
1.
2.
3.
4.
5.
6.
二、填空题
7.提示：只要求得所求平面的法向量，即为已知两个直线的方向向量的向量积。

8．提示：只要求得所求直线的方向向量，即为已知平面的法向量与直线的方向向量的向量积。

9.
10.提示：由点到直线的距离公式可得。

11.
12.
三、解答题
13.
14.
15.
16.
第五章多元函数微分学强化训练（五）
一、选择题
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.提示：利用多元函数极值的充分条件判定即可。

9.
10.
二、填空题
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
三、解答题
21.
22.提示：请参阅例5.1.9
23. 提示：请参阅例5.1.12
24.
25.
26. 提示：请参阅例5.1.13
27.
28.
29.
30.
31.
32.
第六章多元函数积分学
强化训练（六）
一、选择题
1.
2.提示：请参阅例6.1.4方法。

3.
4.
5.
6.
7. 8. 9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
二、填空题
16.
17.
18.提示：请参阅例6.1.12方法计算。

19.
20.
21.
22.解 圆的极坐标方程为2cos r θ=，其参数方程为2cos cos ,
2cos sin ,
x y θθθθ=⎧⎨
=⎩由于下半圆对应的
θ的变化范围是
2
π
θπ≤≤，故
2
2
2
2
22cos cos 24(cos ) 4.L
x y ds d d π
π
π
πθθθθθ+=⋅⋅=-=⎰
⎰⎰
注意，本题θ的变化范围容易搞错。

23.
24.
25.
26.
27.
28.解 显然曲面∑关于,xoz yoz 面都对称，由第一类曲面积分对称性结论可知，
()0x y dS ∑
+=⎰⎰，于是
222
222
2
2
2
2
222
3
()x y a x y a a x y z dS zdS a x y dxdy a x y
a
dxdy a π∑
∑
+≤+≤++==--⋅--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
29.
30.
31.
32.
三、解答题
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39．40.
41.
42.提示：要将积分曲面拆成两部分计算
22
2221
z z x y z dS z dS z dS ∑
==+=
+⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
43.
44.
45.
第七章无穷级数强化训练（七）一、选择题1.
2.
3. 4. 5. 6. 7. 8.。