最新-北京市2021学年高二数学下册选修221.2.3 导数的计算课件 精品

1.2 导数的计算 1.2.2 复合函数的求导
复习 1.求函数的导数的方法是:
(1)求函数的增量y f (x x) f (x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 :
y f (x x) f (x) ;
x
x
说明:上面的方法中 把x换x0即为求函数
在点x0处的导数.
(3)求极限，得导函数y f (x) lim y . x0 x
对于（2）式你是如何求导的？ 你能求出（3）式的导函数吗？
观察与思考
1.复合函数现象
y=u2 , u=2x+1 ① y (2x 1)2
y ln u, u x 2 ② y ln(x 2)
y sin u,u 3v 1, v ex
③ y=sin(3ex 1)
象①②③这样的函数就是复合函数.
且 yx yu ux，或 yx f (u) (x)
即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量 求导,乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法则 )
问题:2 2：将复合函数分解成最简单函数
(1) y 2x1 (2) y sin(ln x 1)
解 (1) y 2u ,u x 1. (2) y sin u,u v 1,v ln x.
法则3:
f (x)
g(
x)
f
(
x)
g
(x) f (
g ( x)2
x)
g
(
x)
(
g
(
x)
0)
问题:1 1.求下列函数的导数:
(1) y x3 (2) y (x 2)3 (3) y (x 2)5
(1) y 3x2 (2) y 3(x 2)2 (3) y 5(x 2)4
想一想
1)中间变量的选取应是基本函数结构． 2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是
哪个变量对哪个变量的求导． 3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导． 4)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后就
不必再写中间步骤．
做一做 (2) y e0.05 x1 求：y'.
解 (2) 函数y e0.05x1可以看作 函数y eu和u 0.05x 1的复合函数。 根据复合函数求导法则有
yx ' yu ' ux ' (eu ) ' (0.05 x 1) ' eu 0.05 0.05e0.05x1
做一做 3) y sin( x ) 求：y'.
解：(1)函数y sin( x )可以看作函数y sin u 和u x 的复合函数。
根据复合函数求导法则有
yx ' yu ' ux' (sin u) ' ( x ) '
复习
基本初等函数的导数公式
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn ,则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x, 则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
公式5.若f (x) a x ,则f '(x) a x ln a(a 0);
cos u cos( x )
课堂小结
1.复合函数
2.复合函数求导法则：
复合函数 y=f( (x)) .则导函数为：
yx f (u)(x)
作业
P18 A组 第 4, 8题 B组 第 2, 3题
挑战一下
1.求函数 y lncos2x 的导数.
解 y (ln cos 2x) 1 (cos 2x) cos 2x
概念解析
1.复合函数的定义
对于两(多)个函数y=f(u)和u=g(x),如果 通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这 个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，
记作 : y f [g(x)].
概念解析 2．复合函数求导法则
定理： 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x
【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算， 要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数， 应注意不漏步．
1
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下课
例题解析 例1. 已知 y = (2x + 1)5，求 y .
解 把 2x + 1 看成中间变量 u， 将 y = (2x + 1)5 看成是由
y = u5，u = 2x + 1 复合而成，
由于 yu (u5 ) 5u4 ,
所以
ux (2x 1) 2. yx yu ux 5u4 2 10(2 x 1)4 .
公式6.若f (x) ex ,则f '(x) ex ;
公式7.若f
(x)
log a
x, 则f
'( x)
1 x ln a
(a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
复习
导数的运算法则
法则1:
f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2:
f (x) • g(x) f (x)g(x) f (x)g(x) 2. c f (x) c f (x)
1 (sin 2x) (2x) cos 2x
1 (sin 2x) 2 cos 2x
2 tan 2x
挑战一下 2. 设 y = sin2 x，求 y .
解 这个函数可以看成是 y = sin x ·sin x, 可利 用乘法的导数公式，这里，我们用复合函数求导法. 将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成.而
yu (u2 ) 2u , ux (sin x) cos x. 所以 yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
挑战一下 3.求 y sin4 x cos4 x 的导数．
【解法一】
y sin4 x cos4 x (sin2 x cos2 x)2 2sin2 xcos2 x 1 1 sin2 2x 2
做一做 （1）.y ln sin x, 求：y'.
解： y合而成的. 因为
y (lnu) 1 , u (sinx) cos x,
u
u
x
所以
y'
yu
ux
1 u
cos x
cos x sin x
归纳总结 复合函数的求导需注意以下几点：
y (1 1 sin2 2x) 2sin 2xcos 2x sin 4x 2
．
【解法二】y′＝(sin 4 x)′＋(cos 4 x)′＝4 sin 3 x(sin x)′＋4 cos 3x (cos x)′
＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x)
＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x)