5.1.7无套利定价应用4--期权不等式讲义

第五章金融工程在交易策略设计中的应用
第一节金融工程的定价原理
5.1.7无套利定价应用4——期权不等式
一、期权价格曲线的形状
1.看涨期权价格曲线
2.看跌期权价格曲线
二、期权价格的上、下限
1.符号表示
S：股票现价；
X：期权执行价格；
T：期权的到期时间；
S T：在T时刻股票的价格；
r：在T时刻到期的无风险利率；
C A：美式看涨期权的价值；
P A：美式看跌期权的价值；
c：欧式看涨期权的价值；
p：欧式看跌期权的价值；
2.期权价格的上限
1)看涨期权价格的上限
对于美式和欧式看涨期权来说，标的资产价格就是看涨期权价格的上限：
c≤S,C A≤S
其中，c代表欧式看涨期权价格，C A代表美式看涨期权价格，S代表标的资产价格。

因为当c>S,C A>S，可以在市场上面去卖看涨期权，同时去买一份标的资
产，在t等于0的时候，就能获得一个正的收益，对于无套利市场是不合理的。

2)看跌期权价格的上限
美式看跌期权价格PA 的上限为X：P A≤X
欧式看跌期权的上限为：p≤Xe−r(T−t)
其中，r代表T时刻到期的无风险利率，t代表现在时刻。

3.期权价格的下限
1)无收益资产欧式看涨期权价格的下限
c≥max(S−Xe−r(T−t),0)
方法一：
我们考虑如下两个组合：
组合A：一份欧式看涨期权多头加上金额为Xe−r(T−t)的现金
组合B：一单位标的资产
在T时刻，组合A的价值为max(S T,X)
在T时刻，组合B的价值为S T。

由于max(S T,X)≥S T
因此，在t时刻组合A的价值也应大于等于组合B，即:
c+Xe−r(T−t)≥S
c≥S−Xe−r(T−t)
由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为：
c≥max(S−Xe−r(T−t),0)
方法二：
我们考虑如下两个组合：
组合A：一单位标的资产+一份欧式看涨期权空头
组合B：银行存入Xe−r(T−t)
由于C A≥c
可得无收益资产美式看涨期权在t时刻的价格下限：
C A≥max[S−Xe−r(T−t),0]
小结：
无收益资产欧式看涨期权价格的上，下限
max(S−Xe−r(T−t),0)≤c≤S
无收益资产美式看涨期权价格的上，下限
max(S−Xe−r(T−t),0)≤C A≤S
2)无收益资产欧式看跌期权价格的下限：
p≥max(Xe−r(T−t)−S,0)
考虑以下两种组合：
组合C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产
组合D：金额为Xe−r(T−t)的现金
在T时刻，组合C的价值为：max(S T，X)，组合D的价值为X。

由于组合C的价值在T时刻大于等于组合D，因此组合C的价值在t时刻也应大于等于组合D，即：p+S≥Xe−r(T−t)
由于期权价值一定为正，故有前面的结果
p≥Xe−r(T−t)−S
无收益资产欧式看跌期权价格的上，下限
max(Xe−r(T−t)−S,0)≤p≤Xe−r(T−t)
无收益资产美式看跌期权价格的上，下限
max(X−S,0)≤P A≤X。