高一数学平面向量同步练习

第二章平面向量
一、选择题
1．如下图，ABCD 中， AB－ BC＋CD等于() ．
A． BC B． DA
C． CB D． BD
2．在矩形 ABCD中，| AB|＝ 3 ，| BC | ＝1，则向量 (AB＋ AD ＋ AC)的长等于() ．
A ． 2B． 23
(第 2题) C．3D．4
3．如图， D， E， F 是△ ABC 的边 AB， BC， CA 的中点，则 AF － DB 等于 () ．
A． FD
B． FC
C． FE D． BE
4．以下说法中正确的选项是() ．
A ．向量 a 与非零向量 b 共线，向量 b 与向量 c 共线，则向量 a 与 c 共线
B．随意两个模长相等的平行向量必定相等
C．向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 所在直线的夹角为锐角
D．共线的两个非零向量不平行
5．下边有四个命题，此中真命题的个数为() ．
①向量的模是一个正实数．
②两个向量平行是两个向量相等的必需条件．
③若两个单位向量相互平行，则这两个向量相等．
④模相等的平行向量必定相等．
A ． 0B． 1C． 2D． 3 6．以下说法中，错误的选
项是
() ．
A ．零向量是没有方向的
C．零向量与任一直量平行
7．在△ ABC 中， AD ，BE，CF分别是
B．零向量的长度为0
D．零向量的方向是随意的
BC，CA ，AB 边上的中线， G 是它们的交点，则
以下等式中不正确的选
项是
() ．
A． BG＝2 BE 3
B．DG＝1
AG
2
C． CG ＝－ 2FG
D．1
DA＋
2
FC＝
1
BC 332
8．以下向量组中能组成基底的是() ．
A ． e1＝ ( 0， 0) ， e2＝( 1， 2)B． e1＝(- 1， 2) ，e2＝( 5， 7)
C．e1＝ ( 3， 5) ，e2＝ ( 6， 10)D．e1＝ ( 2， - 3) ， e2＝ ( 1
， -3 ) 24
9．已知 a＝ (-1， 3) ， b＝( x，－ 1) ，且 a∥ b，则 x 等于 () ．
A ． 3B．－ 2C．1
D．－
1 33
10．设 a， b， c 是随意的非零平面向量，且相互不共线，则
①( a·b) · c－ ( c· a) · b＝0；② | a| － | b| ＜ | a－ b| ；③ ( b· c) · a－ ( c· a) ·b 不与 c 垂直；④ ( 3a＋ 2b) ·( 3a－ 2b) ＝ 9| a| 2－ 4| b| 2中，是真命题的是 () ．
A ．①②B．②③C．③④D．②④
二、填空题：
11．若非零向量，知足|＋|＝|－|，则与所成角的大小为．12．在ABCD 中， AB ＝ a， AD ＝ b， AN ＝ 3 NC ， M 为 BC
的中点，则MN ＝ _______． ( 用 a， b 表示 )
13．已知 a＋b＝ 2i － 8j，a－ b＝－ 8i ＋ 16j ，那么 a·b＝．
(第 12题) 14．设 m，n 是两个单位向量，向量a＝ m－ 2n ，且 a＝ ( 2， 1) ，
则 m，n 的夹角为．
15．已知 AB ＝ ( 6， 1) ． BC ＝ ( x，y) ． CD ＝ (- 2， - 3) ．则向量AD 的坐标为 ______．
三、解答题：
16．如图，四边形ABCD 是一个梯形， AB∥ CD ，且 AB＝ 2CD，M， N 分别是 DC 和AB 的中点，已知AB ＝ a， AD ＝ b，试用 a， b 表示 BC 和 MN ．
(第 16 题) 17．已知 A( 1， 2) ， B( 2， 3) ，C( －2， 5) ，求证△ ABC 是直角三角形．
18．己知 a＝ ( 1， 2) ， b＝( － 3， 2) ，当 k 为什么值时，
( 1) ka＋ b 与 a－ 3b 垂直？
( 2) ka＋ b 与 a－ 3b 平行？平行时它们是同向仍是反向？
19．已知 | m| ＝ 4， | n| ＝ 3，m 与 n 的夹角为60°， a＝ 4m－ n ， b＝ m＋ 2n ，
c＝2m－ 3n ．求：
( 1) a2＋ b2＋c2．
( 2) a·b＋ 2b· c－ 3c· a．
第二章平面向量
参照答案
一、选择题
1．答案：C
分析：从图上可看出AD＝BC，则 AB－BC＝AB－AD＝
DB，而 DB＋CD＝CD－BD＝CB．
2． D
分析：如图
∵AB＋AD＋AC
＝AB＋BC＋AC
＝AC＋AC
＝2AC．
3． D
分析：向量能够自由平移是此题的解题重点，平移的目的是便于按向量减法法例进行运算，由图可知．∴AF－DB＝AF－AD＝DF＝BE．
4． A
(第1题)
(第2题) (第 3题)
分析：向量共线即方向同样或相反，故非零向量间的共线关系是能够传达的．
模长相等的平行向量可能方向相反，故 B 不正确．向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角，故 C 不对．而选项 D 中向量共线属于向量平行．5． B
分析：正确解答此题的重点是掌握住向量的两个因素，并从这两个因素下手划分其余有关观点．
①向量的模应是非负实数．
②是对的
③两个单位向量相互平行，方向可能同样也可能相反，所以，这两个向量不必定相等．
④模相等且方向同样的向量才相等．
6． A
分析：零向量是规定了模长为0 的向量，其方向是随意的，它和任一直量共线，所以，0 绝不是没有方向.
7． B
分析：如图，G 是重心， DG ＝1
GA ，所以 B 错．2
1
DA＋2
FC ＝DG ＋GC＝DC ＝
1
BC，所以不可以选 D．
332
8． B
(第7题)
分析：利用 e121221
∥ ex y － x y ＝ 0，
可得只有 B 中 e1， e2不平行，故应选 B ．
9． C
分析：由 a∥ b，得 3x＝ 1，∴ x＝1．3
10． D
分析：①平面向量的数目积不知足联合律．故①假；
②由向量的减法运算可知 | a| ，| b| ，| a－ b| 恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边” ，故②真；
③由于［ ( b·c) ·a－ ( c·a) ·b］·c＝ ( b·c) ·a·c－ ( c·a) ·b·c＝ 0，所以垂直．故③假；
④( 3a＋ 2b) · ( 3a－ 2b) ＝9· a· a－ 4b· b＝9| a| 2－ 4| b| 2建立．故④
真．二、填空题
11．答案： 90°．
分析：由 |＋| ＝ |－|，可画出几何图形，如图，
| － | 表示的是线段AB 的长度，|＋ | 表示线段 OC 的长度，由｜
AB｜＝｜ OC｜，( 第 11题)∴平行四边形 OACB 为矩形，故向量与所成的角为 90°．
11
12．答案：a＋b．
44
解：如图，由AN ＝ 3 NC ，得 4 AN ＝ 3 AC ＝ 3( a＋ b) ， AM
＝a＋1
b，2
所以 MN ＝3
( a＋b) － ( a＋
1
b) ＝－
1
a＋
1
b．
4244
(第 12 题)
13．答案：－ 63．
a＝－ 3i ＋4 j＝( －3，4)
分析：解方程组得
b＝5i－12 j＝( 5，－12)
∴a· b=( － 3) ×5＋ 4× ( －12) ＝－ 63．
14．答案：90°．
分析：由a＝ ( 2， 1) ，得 | a|＝ 5 ，
∴ a2＝ 5，于是( m－ 2n) 2＝ 5m2＋ 4n 2－ 4m· n＝5．
∴ m· n＝ 0．
∴ m， n的夹角为90°．
15．答案：( x＋ 4， y－ 2) ．
分析：AD AB BC CD＝ ( 6， 1) ＋ ( x， y) ＋ ( － 2，－ 3) ＝( x＋ 4， y－ 2) ．三、解答题
16．答案：BC＝ b－
1 a， MN= 1 a－ b
24
解：如图，连接CN，则AN DC ．
∴四边形ANCD是平行四边形．
(第 16题)
CN ＝－ AD =－ b，又∵ CN ＋ NB ＋ BC ＝ 0，
∴BC ＝－ CN － NB ＝b－
1
a． 2
∴MN ＝ CN － CM ＝ CN ＋1
AN ＝－ b＋
1
a＝
1
a－b．244
17．分析：∵AB ＝( 2－1， 3－2) ＝ ( 1，1) ， AC ＝( －2－1， 5－2) ＝ ( －3，3) ．∴AB · AC ＝1×(－ 3) ＋1× 3＝0．
∴AB⊥AC．
∴△ ABC 是直角三角形．
18．答案： ( 1) 当 k＝ 19 时， ka＋ b 与 a－ 3b 垂直；
( 2) 当 k＝－1
时， ka＋ b 与 a－ 3b 平行，反向．3
分析： ( 1) ka＋ b＝ k( 1， 2) ＋( － 3， 2) ＝ ( k－ 3，2k＋ 2) ，a－ 3b＝ ( 1， 2) － 3( － 3， 2) ＝ ( 10，－ 4) ．
当 ( ka ＋ b) · ( a －3b) ＝ 0 ， 两个向量垂直．
由 ( k －3， 2k ＋ 2) · ( 10，－ 4) ＝ 0，得 10( k － 3) ＋ ( 2k ＋ 2)( － 4) ＝ 0．
解得 k ＝19，即当 k ＝ 19 ， ka ＋ b 与 a － 3b 垂直．
( 2) 当 ka ＋ b 与 a － 3b 平行 ，存在 数 ，使 ka ＋ b ＝ ( a －3b) ，
由 ( k －3， 2k ＋ 2) ＝ ( 10，－ 4) ，
得 k －3＝10 2k
＋2＝－ 4
＝－
1
k
解得
3
＝－
1
3
即当 k ＝－ 1
， ka ＋ b 与 a － 3b 平行，此 ka ＋b ＝－
1
，
3
3 a ＋ b
∵ ＝－ 1 ＜ 0，∴－ 1
a ＋
b 与 a － 3b 反向．
3 3
19．答案： ( 1) 366， ( 2) － 157．
分析：∵｜ m ｜＝ 4，｜ n ｜＝ 3， m 与 n 的 角 60°，
∴ m · n ＝ | m|| n| cos 60°＝ 4× 3× 1
＝
6． 2
( 1) a 2＋ b 2＋ c 2
＝ ( 4m － n) 2 ＋( m ＋ 2n) 2＋ ( 2m － 3n) 2
＝ 16｜m ｜2－8m · n ＋｜ n ｜2＋｜ m ｜2＋4m ·n ＋4｜n ｜2＋4｜ m ｜2－12m ·n ＋ 9｜n ｜2
＝ 21｜m ｜2－ 16m · n ＋ 14｜ n ｜ 2
＝ 21×16－ 16×6＋ 14× 9
＝ 366．
( 2) a ·b ＋ 2b · c － 3c · a
＝ ( 4m － n) · ( m ＋ 2n) ＋2( m ＋ 2n) · ( 2m － 3n) －3( 2m － 3n) · ( 4m － n)
＝－ 16｜ m ｜ 2＋ 51m · n －23｜ n ｜ 2
＝－ 16× 16＋ 51× 6－ 23× 9
＝－ 157．
另解： a · b ＋ 2b · c － 3c · a ＝ b · ( a ＋2c) － 3c · a ＝⋯＝－ 157．。