2018届高考数学(理)一轮复习高频考点大突破学案：专题53圆锥曲线的综合问题

x0＋2y0－2
x0＋ 2y0 － 2
＝
x0－ 2
·
y0－ 1
x20＋ 4y20＋ 4x0y0－ 4x0－ 8y0＋ 4
＝
x0y0－ x0－ 2y0＋ 2
＝
4x0y0－ 4x0－ 8y0＋8 x0y0 －x0 －2y0＋ 2
＝ 4.
当 x0＝0 时， y0＝－ 1， |BM |＝ 2， |AN |＝2，
9－ 4k2 yH ＝ 12k .
因为直线
MH 的方程为
y＝－
1 kx＋
9－ 4k2 12k .
设 M (xM， yM )，由方程组
解得
xM
＝
12
20k2＋ （ k2＋
9 1）
.
y＝k（ x－ 2）， 1 9－4k2消去 y，
y＝－ kx＋ 12k
在△ MAO 中，∠ MOA ≤∠ MAO ? |MA |≤ |MO |，
1)(
y2－
1)
＝
(1
＋
k2
)x1x2－
4k 3(
x1＋
x2)
＋
16 9
＝
(1
＋
k2
)·
9
－ 16 ＋ 18k2－
43k·
9＋121k8k2＋
16 9
＝
0，
专题 53 圆锥曲线的综合问题
∴ Q→A⊥ Q→B，即以线段 AB 为直径的圆恒过点 Q(0 ，1).
高频考点二 定值问题
【例 2】 (2016·山东卷 )已知椭圆
所以 |AN|· |BM |＝ 4.故 |AN|· |BM|为定值 .
高频考点三 范围问题
【例
3】
(2016 ·天津卷
)设椭圆
x2 a2＋
y2＝ 3
1(
a＞
3)的右焦点为
F，右顶点为
A.已知 1 ＋ 1 ＝ 3e ，其中 O |OF | |OA| |FA|
为原点， e 为椭圆的离心率 .
(1) 求椭圆的方程；
【变式探究】
(2016 ·北京卷 )已知椭圆
C：
x2 a2＋
y2 b2＝
1(
a＞
b
＞
0)
的离心率为
23， A(a， 0)， B(0 ，b)， O(0，
0) ，△ OAB 的面积为 1.
(1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M ，直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证： |AN|· |BM |为定值 .
因为圆与椭圆有且只有两个公共点，
从而 b＝ 1，故 a＝ 2，所以所求椭圆方程为
x2 2
＋
y2＝
1.
(2) 因为直线 l： y＝ kx＋m 与圆 x2＋ y2＝ 1 相切，
所以原点 O 到直线 l 的距离为
|m| 12＋
k2＝
1，
y＝ kx＋ m， 即 m2＝ k2＋ 1.由 x22＋ y2＝ 1，
所以直线
PM 的斜率
k＝
2m－ x0
m
＝
m x0.
直线 QM 的斜率
k′＝
－ 2m－ x0
m ＝－
3m x0 .
此时
k′ k
＝－
3.所以
k′k 为定值－
3.
同理
x2＝
（2（18mk22＋－12））x0，
y2＝
－ 6k（m2－ 2 （ 18k2＋ 1）
） x0
＋
m
.
2（ m2－ 2） 2（ m2－ 2） 所以 x2－ x1＝ （ 18k2＋ 1） x0－ （ 2k2＋ 1）x0
(2) 设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上 )，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M ，与 y 轴交于点 H .若
BF ⊥ HF ，且∠ MOA ≤∠ MAO ，求直线 l 的斜率的取值范围 .
解
(1)设
F(
c，
0)，由
1 |OF
|＋|O1A
|＝
|F3Ae|，
即
1c＋
1a＝
a（
3c a－
c）
，可得
a2－ c2＝ 3c2.
又 a2－ c2＝ b2＝ 3，所以 c2＝ 1，因此 a2＝ 4.
所以椭圆的方程为 x2＋ y2＝ 1. 43
由 BF ⊥HF ，得 B→F · F→H ＝ 0，
专题 53 圆锥曲线的综合问题
所以
4k2－ 4k2＋
9 3＋
41k22k＋yH3＝
0，解得
专题 53 圆锥曲线的综合问题
专题 53 圆锥曲线的综合问题
高频考点一 圆锥曲线中的定点问题
【例
1】已知椭圆
x2 y2
2
a
＋
2
b
＝
1(
a＞
0
，
b
＞
0)
过点
(0
，
1)
，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列
.直
线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于 Q，P，与椭圆分别交于点
M ，N，各点均不重合且满足
(1) 解
由已知
c＝ a
23，12ab＝ 1.
又 a2＝ b2＋ c2，解得 a＝ 2， b＝ 1， c＝ 3.
所以椭圆方程为 x2＋ y2＝ 1. 4
专题 53 圆锥曲线的综合问题
－ x0 令 y＝ 0 得 xN＝y0－1.
∴ |AN |＝ |2－ xN |＝
2
＋
x0 y0 －
1
.
x0
2y0
∴ |AN |· |BM |＝ 2＋ y0－ 1 · 1＋ x0－ 2
C
：
x2 a2＋
y2 b2＝
1(
a
＞
b＞
0)
的长轴长为
4，焦距为
2
2.
(1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 过动点 M (0， m)(m＞ 0)的直线交 x 轴于点 N，交 C 于点 A， P(P 在第一象限 )，且 M 是线段 PN 的中点 . 过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q，延长 QM 交 C 于点 B. ①设直线 PM ， QM 的斜率分别为 k， k′，证明 k′为定值 .
得 l 方程为 x＝ ty＋ 1，过定点 (1，0)，即 Q 为定点 .
22
【举一反三】已知椭圆
C：ax2＋
y b
2＝
1(
a
＞
b
＞
0)
的两焦点在
x 轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成
斜边长为 2 的等腰直角三角形 .
(1) 求椭圆的方程； 1
(2) 过点 S 0，－ 3 的动直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 线段 AB 为直径的圆恒过点 Q？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 .
即 (xM－ 2)2＋ y2M ≤ x2M＋ y2M ，化简得
xM
≥
1，即
20k2＋ 12（ k2＋
9 1）≥
1，
解得
k≤－
6或 4
k≥
6 4.
所以直线 l 的斜率的取值范围为
－∞，－
6 4
或
46，＋∞
.
【变式探究】已知圆
x2＋ y2＝ 1
过椭圆
x2 y2 a2＋ b2＝ 1(a＞ b＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线
3
∴由题意知 Δ ＝ 4m2t4－ 4(t2＋ 3)( t2m2－ 3)＞0，②
且有
y1＋
y2＝
2mt2 t2＋ 3
，
y1y2
＝
t
2m2 － t 2＋ 3
3 ，③
将③代入①得
t2
m2－
3＋
2m
2
t
2＝
0
，
∴ (mt) 2＝ 1.
由题意 mt＜ 0，
∴ mt＝－ 1，满足②，
专题 53 圆锥曲线的综合问题
专题 53 圆锥曲线的综合问题
解 (1) 由题意，椭圆 C 的标准方程为 x42＋ y22＝ 1. 所以 a2＝ 4， b2＝2，从而 c2＝a2－ b2 ＝2.
因此 a＝ 2， c＝
2.故椭圆 C 的离心率
e＝ac＝
2 2.
故线段 AB 长度的最小值为 2 2. 高频考点五 圆锥曲线中的探索性问题
k ②求直线 AB 的斜率的最小值 .
解 (1) 设椭圆的半焦距为 c.
由题意知 2a＝ 4， 2c＝ 2 2.
所以 a＝ 2， b＝ a2－c2＝ 2.
22
所以椭圆
C
的方程为
x 4
＋
y 2
＝
1.
(2) ①证明 设 P(x0，y 0)(x0＞ 0， y0＞ 0).
由 M (0 ，m)，可得 P(x0， 2m)， Q(x0，－ 2m).
专题 53 圆锥曲线的综合问题
由 23≤ λ ≤34，得 12≤ k2≤ 1，
即 k 的取值范围是 －1，－ 2 ∪ 2， 1 .
2
2
(3)|
AB
|2＝
(
x1－
x2)2＋
(y1
－
y2)2＝
(1
＋
k2)[(
x1＋
x2)2
－
4x1x2]
＝
2－
（
2 2k2＋
1
）
2，
由 1≤ k2≤ 1，得 2
26≤
|AB
专题 53 圆锥曲线的综合问题
－ 32k2（m2－ 2） ＝ （18k2＋ 1）（ 2k2 ＋1） x0，
y2
－
y1＝
－ 6k（ m2－ 2 （ 18k2＋1）
） x0
＋
m－
2（k（2km2＋2－1）2）x0－
m
－ 8k（ 6k2＋ 1）（ m2－2） ＝ （ 18k2＋ 1）（ 2k2＋ 1） x0 ，
－2
t2－
1 2
2 ＋ 2≤
2 2.
当且仅当 t2＝ 1时，等号成立 . 2
故△ AOB 面积的最大值为
2 2.
【变式探究】 已知椭圆 C： x2＋ 2y2＝ 4. (1) 求椭圆 C 的离心率； (2) 设 O 为原点 .若点 A 在直线 y＝ 2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OA⊥OB，求线段 AB 长度的最小值 .
所以
kAB
＝
y2－ x2－
yx11＝
6k 2＋ 4k
1 ＝
1 4
1 6k＋ k
，
由 m＞0， x0＞ 0，可知 k＞ 0，
所以 6k＋ 1k≥ 2 6，
当且仅当 k＝ 66时取“＝” .
故此时
2m－ m 4 － 8m 2－
＝ 0
66，
即 m＝ 14，符合题意 . 7
所以直线 AB 的斜率的最小值为
6 2.
圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：
(1) 探索点是否存在； (2) 探索曲线是否存在； (3)探索命
题是否成立．涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题．
例 5、如图，设椭圆
x2 y2 a2＋b2＝1( a＞ b＞ 0)的左、右焦点分别为
F1 ，F2，点 D 在椭圆上， DF 1⊥ F 1F 2， ||FD1FF12||＝
Q，使得以
解 (1) ∵椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴
b＝c.又斜边长为 2，即 2c＝ 2，故
c＝ b＝ 1， a＝ 2，椭圆方程为 x22＋ y2＝ 1.
(2) 当 l 与 x 轴平行时，以线段
AB 为直径的圆的方程为
x2＋
1 y＋ 3
2 ＝
16；
9
当 l 与 y 轴平行时，以线段 AB 为直径的圆的方程为 x2＋ y2＝ 1.
由
x2＋
1 y＋ 3
2 ＝
16 9
，
得
x＝0，
x2＋y2＝ 1，
y＝1，
故若存在定点 Q，则 Q 的坐标只可能为 Q(0， 1).
下面证明 Q(0， 1)为所求：
若直线 l 的斜率不存在，上述已经证明 .
若直线 l 的斜率存在，设直线 l： y＝ kx－13，
A(x1 ， y1)， B(x2， y2)，
|≤
4 3.
设△ OAB 的 AB 边上的高为 d，
则
S＝
1 2|AB|d＝
1 2|AB|，所以
6≤ 4
S≤23.
即△ OAB 的面积 S 的取值范围是
46，
2 3
.
高频考点四 最值问题
2
【例 4】 已知椭圆 x ＋ y2＝1 上两个不同的点 A， B 关于直线 y＝mx＋1对称 .
2
2
(1) 求实数 m 的取值范围；
(2) 求△ AOB 面积的最大值 (O 为坐标原点 ).
(2) 令
t＝
1∈ m
－
26，0Leabharlann ∪0，6 2
，则
|AB|＝ t2＋ 1·
－2t 4＋ 2t2＋ 3
2
t2
＋
1 2
.
t2＋
1 2
且 O 到直线 AB 的距离为 d＝
t
2＋
. 1
设△ AOB 的面积为 S(t)，
所以
S(t
)＝12|AB|·
1 d＝2
P→M
＝
λ
→ 1MQ
，P→N
＝
λ
→ 2NQ
.
(1) 求椭圆的标准方程； (2) 若 λ 1＋λ 2＝－ 3，试证明：直线 l 过定点并求此定点 . 解 (1) 设椭圆的焦距为 2c，由题意知 b＝ 1，且 (2a)2＋(2 b)2＝ 2(2c)2， 又 a2＝ b2＋ c2，所以 a2 ＝3. 所以椭圆的方程为 x2＋ y2＝ 1.
由
y＝
kx－
1， 3
得 (9＋ 18k2)x2－12kx－ 16＝ 0，
x2＋2y2－2＝ 0，
Δ ＝ 144k2＋ 64(9＋18k2)＞ 0，
x1
＋
x2＝
12k
2
18k
＋
9，
x1x2＝
－ 16 18k2＋
9，
→ QA
＝
(
x1，
y1－
1)
，
Q→B＝
(
x2，
y2－
1)
，
→ QA
·
Q→B
＝
x1x2＋
(y1－
2
2，△ DF 1F 2 的面积为
2 2.
(1) 求该椭圆的标准方程；
(2) 是否存在圆心在 y 轴上的圆，使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相
互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)设 F1(－ c， 0)， F2(c， 0)，其中 c2＝ a2－ b2.
得 (1＋ 2k2) x2＋ 4kmx＋ 2m2－ 2＝ 0.
设 A(x1， y1) ，B(x2， y2 )，
则
x1＋
x2＝
－ 4km 1＋ 2k2，
x1x2＝
2 m2－ 2 1＋ 2k2
.
λ
＝
O→A·
O→B＝
x1x2＋
y1y2＝
(1
＋