人教A版高中数学必修三第一轮复习强化训练几何概型新人教

11.3 几何概型
【考纲要求】
1、了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.
2、了解几何概型的意义.
【基础知识】
1、几何概型
（1）定义：如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积等）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。

（2）特点：①结果的无限性②每个结果发生的等可能性
（3）几何概型的解题步骤
首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件A构成的区域长度（角度、弧长等），
最后代公式
构成事件A的区域长度
P(A)=
试验的全部结果所构成的区域长度
；如果是二维、三维的问题，先设
出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件A分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式。

2、求事件的概率
计算概率首先是读题审题，然后是概率定性（六大概型：古典、几何、互斥、独立、独立重复试验、条件），再代公式。

3、温馨提示
求几何概型时，注意首先寻找到一些重要的临界位置，再解答。

一般与线性规划知识有联系。

【例题精讲】
例1 在区间[0,1]上任意取两个实数a，b，则函数f(x)＝1
2
x3＋ax－b在区间[－1,1]
上有且仅有一个零点的概率为________．
解析：f′(x)＝3
2
x2＋a，故f(x)在x∈[－1,1]上单调递增，又因为函数f(x)＝
1
2
x3＋ax
－b在[－1,1]上有且仅有一个零点，即有f(－1)·f(1)<0成立，即(－1
2
－a－b)(
1
2
＋a－
b)<0，则(1
2
＋a＋b)(
1
2
＋a－b)>0，可化为
⎩⎪
⎨
⎪
⎧0≤a≤1
0≤b≤1
1
2
＋a－b>0
1
2
＋a＋b>0
或
⎩⎪⎨⎪⎧
0≤a ≤1
0≤b ≤11
2＋a －b <0，12
＋a ＋b <0由线性规划知识在平面直角坐标系aOb 中画出这两个不等式组
所表示的可行域，再由几何概型可以知道，函数f (x )＝1
2
x 3＋ax －b 在[－1,1]上有且仅有
一个零点的概率为可行域的面积除以直线a ＝0，a ＝1，b ＝0，b ＝1围成的正方形的面积，
计算可得面积之比为7
8
.
例2 将长为1的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过a (1
3
≤a ≤1)的概率．
解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ，第三段的长度为1－x －y ，
则基本事件组所对应的几何区域可表示为Ω＝{(x ，y ) |0＜x ＜1,0＜y ＜1,0＜x ＋y
＜1}，此区域面积为1
2
.
事件“三段的长度都不超过a (1
3
≤a ≤1)”所对应的几何区域可表示为A ＝{(x ，
y )|(x ，y )∈Ω，x ＜a ，y ＜a,1－x －y ＜a }．
即图中六边形区域，此区域面积：当13≤a ≤1
2
时，为(3a －1)2/2，此时事件“三段的
长度都不超过a (13≤a ≤1)”的概率为P ＝(3a －1)2/2
1/2
＝(3a －1)2；
当12≤a ≤1时，为12－3(1－a )2
2.此时事件“三段的长度都不超过a (13≤a ≤1)”的概率为P ＝1－3(1－a )2.
11.3 几何概型强化训练 【基础精练】
1.如图所示，在一个边长分别为a ，b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边分别为a 3，a
2，且高为b .现向该矩形内随机投一点，则该点落在
梯形内部的概率是
( )
A.
710 B.57 C.512 D.58
2.如图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接
AA ′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为 ( )
A.12
B.32
C.13
D.14
3．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的
面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为 ( ) A.
116 B.18 C.14 D.12
4．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于1
2的概率为
( )
A.14
B.12
C. 34
D.78
5.如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为
( ) A.
235 B.215 C.195 D.165
6.如图，有一圆盘，其中阴影部分的圆心角为45°，向圆盘内投镖，如果某人每次都投入圆盘内，那么他投中阴影部分的概率为 ( )
A.18
B.14
C.12
D.34 7．已知平面区域U ＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，
y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域U 内随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率
为________．
8．向面积为9的△ABC 内任投一点P ，那么△PBC 的面积小于3的概率是__________． 9．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为9
10
，那么该台每小时约有________分钟的广告．
10．设不等式组⎩⎨
⎧
0≤x ≤6，
0≤y ≤6.
表示的区域为A ，不等式组⎩⎨
⎧
0≤x ≤6，
x －y ≥0.
表示的区域为
B .
(1)在区域A 中任取一点(x ，y )，求点(x ，y )∈B 的概率；
(2)若x ，y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x ，y )在区域B 中的概率．
11．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)在复平面上对应的点为M .
(1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机取一个数作为
x ，从集合Q 中随机取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；
(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组：
⎩⎨⎧
x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0
所表示的平面区域内的概率．
【拓展提高】
已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .
(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；
(2)实数m ，n 满足条件⎩⎨⎧
m ＋n －1≤0
－1≤m ≤1
－1≤n ≤1
，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过一、二、
三象限的概率．
【基础精练参考答案】
1.C[【解析】：S 梯形＝12(a 3＋a 2)·b ＝5
12ab ，S 矩形＝ab .
∴P ＝
S 梯形S 矩形＝5
12
. 2.C 【解析】：当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′=
3
π ，由圆的对称性及几何概型得P =21
3.23
π
π=
3.C 【解析】：正方形的面积介于36 cm 2
与81 cm 2
之间，所以正方形的边长介于6 cm 到9 cm 之间．线段AB 的长度为12 cm ，则所求概率为9－612＝1
4.
4.C 【解析】：设任取两点所表示的数分别为x ，y ，则0≤x ≤1且0≤y ≤1.
由题意知|x -y |＜12，所以所求概率为P =
111
123222.14
-⨯⨯⨯= 5.A 【解析】：据题意知：S 阴S 矩＝S 阴2×5＝138300，∴S 阴＝23
5
. 6.A 【解析】：P ＝45360＝18
. 7.
2
9
解析】：依题意可在平面直角坐标系中作出集合U 与A 所表示的平面区域(如
图)，由图可知S U =18，S A =4，则点P 落入区域A 的概率为
29
A U S S =. 8.
5
9【解析】：如图，由题意，△PBC 的面积小于3，则点P 应落在梯形BCED 内，
∵2
113ABC ADE S S ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
， ∴S △ADE =4，∴S 梯形BCED =5，∴P =5
9
. 9.6【解析】：60×(1－
9
10
)＝6分钟．
10.解：(1)设集合A 中的点(x ， y )∈B 为事件M ，区域A 的面积为S 1＝36，区域
B 的面积为S 2＝18， ∴P (M )＝S 2S 1＝1836＝1
2
.
(2)设点(x ，y )在集合B 中为事件N ，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数的结果为36个，其中在集合B 中的点有21个，故P (N )＝2136＝7
12.
11.解：(1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .
∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，
其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ， ∴所求事件的概率为P (A )＝212＝1
6
.
(2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域{(x ，y )|⎩⎨⎧⎭
⎬
⎫
0≤x ≤30≤y ≤4内，属于几何概型．该平面区域的图形为下图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.
而所求事件构成的平面区域为{(x ，y )|
2300,0x x x y +-⎧⎫⎪
⎪
⎨⎬⎪⎪⎩⎭
≤≥≥其图形如图中的三角形OAD (阴影部分) 又直线x +2y -3=0与x 轴、y 轴的交点分别为A (3,0)、D (0，2
3
)， ∴三角形OAD 的面积为S 1=1343.229
⨯⨯
= ∴所求事件的概率为P =193
4.1216
S S ==
【拓展提高参考答案】
(2)m 、n 满足条件⎩⎨⎧
m ＋n －1≤0
－1≤m ≤1
－1≤n ≤1
的区域如图所示：
要使函数的图象过一、二、三象限，则m ＞0，n ＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m ，n )的区域为第一象限的阴影部分，
∴所求事件的概率为P =1
1
2772
=.。