多元统计分析人大何晓群第一章ppt课件
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维随机向量，它们之间的协方差阵定义为一个 np矩
阵，其元素是 covX(i,Yj )，即 cX o , Y ) ( v c X i , ( Y j ) o ,i ) v 1 , , n ; ( j 1 , ,p( 1 . 1 ) 若covX(,Y)0，称 X和Y是不相关的。
当A、B为常数矩阵时，由定义可推出协差阵有如下性质：
后者是从概率角度上来考虑的，因而更为合理些，它是用坐标
差平方除以方差（或说乘以方差的倒数），从而化为无量纲数，
推广到多维就要乘以协方差阵∑的逆矩阵
，这1 就是马氏
x(/1)
,xp)
x(/2)
xn1 xn2
xnp
x(/n)
若无特别说明，本书所称向量均指列向量
定义1.1 设 x1,x2, ,xp为p个随机变量，由它们组成 的向量 (x1,x2, ,xp) 称为随机向量。
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§1.1.2 分布函数与密度函数
在数据处理时，为了克服由于指标的量纲不同对统计分 析结果带来的影响，往往在使用某种统计分析方法之前，常 需将每个指标“标准化”，即做如下变换
X
j
X j E(X j)
(var
X
)1/ 2
j
j 1, , p
X
(
X
1
,
X
2
,,Xp)于是(1.12)
E(X) 0
D(X) corr(X) R
数，G(x)和H(y)分别为X和 Y的分布函数，则 X与 Y独立
当且仅当 F f(x (,xy ,)y ) G (g x()H x)(h y ()y)
（1.4）
若 (X ,Y)有密度 f (x,y)，用g(x)和h(y)分别表示 X和 Y
的分布密度，则X和Y 独立当且仅当 (1.5)
注意:在上述定义中，X和 Y 的维数一般是不同的。
D(AX)AD (X)A' AA' coA v(X,BY)AcoX v,(Y)B'
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§1.1.4 随机向量的数字特征
（3）设X为n维随机向量，期望和协方差存在记
E(X),D(X),A为 nn常数 则 阵
E (X A ) ' X t(r A Σ ) μ 'A μ
(1.14)
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§1.2 统计距离和马氏距离
但就大部分统计问题而言，欧氏距离是不 能令人满意的。这里因为，每个坐标对欧氏距 离的贡献是同等的。当坐标轴表示测量值时， 它们往往带有大小不等的随机波动，在这种情 况下，合理的办法是对坐标加权，使得变化较 大的坐标比变化小的坐标有较小的权系数，这 就产生了各种距离。
§1.1.4 随机向量的数字特征
2、随机向量X自协方差阵
Σ C ( X , O X ) E ( X V E X )X (E X ) / D ( X )
D(X1)
CO(VX1,X2) CO(VX1,XP)
CO (VX2,X1)
D(X2)
CO(VX2,
XP)
CO(VXP,X1) CO(VXP,X2) D(X P)
对于任何随机向量 X(X1,X2, ,Xp)'来说， 其协差阵∑都是对称阵，同时总是非负定（也称 半正定）的。大多数情形下是正定的。
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§1.1.4 随机向量的数字特征
4、随机向量X 的相关阵
若随机向量 X(X1,X2, ,Xp)的' 协差阵存在,且每
结果CD反而比AB长！这显然是不够合理的。
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§1.2 统计距离和马氏距离
因此，有必要建立一种距离，这种距离要能够 体现各个变量在变差大小上的不同，以及有时存 在着的相关性，还要求距离与各变量所用的单位 无关。看来我们选择的距离要依赖于样本方差和 协方差。因此，采用“统计距离” 这个术语，以 区别通常习惯用的欧氏距离。最常用的一种统计
距离是印度统计学家马哈拉诺比斯（Mahalanobis
）于1936年引入的距离，称为“马氏距离”。
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§1.2 统计距离和马氏距离
下面先用一个一维的例子说明欧氏距离与马氏距离在概 率上的差异。
设有两个一维正态总体 G 1:(1 ,1 2 )和 G 2:(2 , 。2 2 )若有
F (x ) x 1 x p f(t1 , tp)d t1 dp,t
(1.2)
对一切xRp 成立，则称 X（或 FX ）有分布
密度 f 并称 X为连续型随机向量。
一个p维变量的函数f(·)能作为R P 中某个随机向
量的分布密度，当且仅当
(i) f(x)0 xRp
(ii) f(x)dx1 Rp
个分量的方差大于零，则X的相关阵定义为:
R(co(rXri,Xj))(rij)PP
rij
CO(X Vi,Xj) ,i,j1,2, ,p D(Xi) D(Xj)
(1.11)
rij 也称为分量X i 与 X j之间的（线性）相关系数。
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§1.1.4 随机向量的数字特征
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§1.1.4 随机向量的数字特征
1、随机向量 X的均值
设 X(X1,X2, ,Xp)有P个分量。若 E(Xi) i (i1,2, p)
存在，我们定义随机向量X的均值为:
E ( X1 ) 1
E
(
X )p E
(
X2
)
2
(i j)
(1.9)
称它为 p 维随机向量 X 的协方差阵，简称为 X的协
方差阵。称covX( , X)为 X的广义方差，它是协差阵的行
列式之值。
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§1.1.4 随机向量的数字特征
3、随机向量X 和Y 的协差阵
设 X ( X 1 ,X 2 , ,X n )和 'Y ( Y 1 ,Y 2 , ,Y p )分'别为 n维和 p
第一章 多元正态分布
• 一元正态分布在统计学的理论和实际应 用中都有着重要的地位。同样，在多变 量统计学中，多元正态分布也占有相当 重要的位置。原因是：
• 许多随机向量确实遵从正态分布，或近 似遵从正态分布；
• 对于多元正态分布，已有一整套统计推 断方法，并且得到了许多完整的结果。
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多元统计分析
何晓群
中国人民大学出版社
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1
第一章 多元正态分布
§1.1 多元分布的基本概念 §1.2 统计距离和马氏距离 §1.3 多元正态分布 §1.4 均值向量和协方差阵的估计 §1.5 常用分布及抽样分布
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一个样品，其值在A处，A点距离哪个总体近些呢？由
图1-2
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图1-2
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§1.2 统计距离和马氏距离
由图1-2可看出,从绝对长度来看,A点距左面总体G1近些,
即A点到
比A点到
1
要“近一些”（这里用的是欧氏距离，比
1
较的是A点坐标与 1 到 2 值之差的绝对值），但从概率观点来 看，A点在 1 右侧约4 1 处，A点在 2 的左侧约3 2 处，若以标 准差的观点来衡量，A点离 2 比A点离 1 要“近一些”。显然，
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第一章 多元正态分布
多元正态分布是最常用的一种多元 概率分布。除此之外，还有多元对数正 态分布，多项式分布，多元超几何分布， 多元 分χ布2 、多元 分布 、多元指数 分布等。本章从多维变量及多元分布的 基本概念开始，着重介绍多元正态分布 的定义及一些重要性质。
据是同时观测 p个指标（即变量），又进行了 n次
观测得到的，把这 p个指标表示为 X1,X2,,Xp常 用向量
X(X1,X2, ,Xp)'
表示对同一个体观测的 p个变量。若观测了 n
个个体，则可得到如下表1-1的数据，称每一个个
体的 p个变量为一个样品，而全体 n个样品形成一
个样本。
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μ
E ( X P )
P
是一个p维向量，称为均值向量.
1.6
当 A、B为常数矩阵时，由定义可立即推出如下性质：
( 1 )E (A ) X A (X ) E
1 .7
( 2 )E (A) X A ( X B ) E B
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( 1 .8 )
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§1.1多元分布的基本概念
§1.1.1 随机向量 §1.1.2 分布函数与密度函数 §1.1.3 多元变量的独立性 §1.1.4 随机向量的数字特征
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§1.1.1 随机向量
假定所讨论的是多个变量的总体，所研究的数
即 标 准 化 数 据 的 协 差 阵 正 好 是 原 指 标 的 相 关 阵.
R 1 X/X n 1
(1.13)
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§1.2 统计距离和马氏距离
欧氏距离 马氏距离
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§1.2 统计距离和马氏距离
描述随机变量的最基本工具是分布函数，类似地描述 随机向量的最基本工具还是分布函数。
定义1.2 设 X(x1,x2, ,xp)是以随机向量，它的多元分布 函数是
F ( X ) F ( x 1 , x 2 , , x p ) P ( X 1 x 1 , , X p x p ) 1 . 1
式中：
欧氏距离
在多指标统计分析中,距离的概念十分重要,样品间的不 少特征都可用距离去描述。大部分多元方法是建立在简单 的距离概念基础上的。即平时人们熟悉的欧氏距离,或称
直线距离.如几何平面上的点p=(x1,x2)到原点O=(0,0)的
欧氏距离,依勾股定理有
d (0 ,p ) (x 1 2 x 2 2)1 /2
j
序号
变量
X1
X2
…
Xp
1
x x np 11
x12
…
x1 p
2
x 21
x 22
…
x2 p
n
x n1
xn2
…
x np
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§1.1.1 随机向量
• 因此,样本资料矩阵可用矩阵语言表示为:
x11 x12 Xx21 x22
x1p
x2p
(x1,x2,
x (x 1 ,x 2 , ,x p ) R P ， 并 记 为 X F 。
多元分布函数的有关性质此处从略。
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§1.1.2 分布函数与密度函数
定义1.3：设 X~F(X)= F(x1,x2,,xp),若存在一个 非负的函数 f ,使得
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§1.1.1 随机向量
横看表1-1，记 X ()(x1,x2, ,xp)'， 1,2,n
它表示第 个样品的观测值。竖看表1-1,第 j 列的元素
X j(x 1j,x2j, ,xn)j', j 1,2,p
表示对
j 第个变量
x
的n次观测数值。下面为表1-1
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x2
§1.2 统计距离和马氏距离
这时
AB 52 102 125 CD 102 12 101
显然AB比CD要长。
现在，如果 x 2 用mm作单位，x 1 单位保持不变，
此时A坐标为（0，50），C坐标为（0，100），则
AB 502 102 2600 CD 1002 12 10001
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§1.1.3 多元变量的独立性
定义1.4：两个随机向量 X和 Y称为是相互独立的，若
P (X x ,Y y ) P (X x )P ( Y y ) (1.3
对一切(X , Y)成立。若 F(x, y)为(X ,Y)的联合分布函
欧氏距离还有一个缺点，这就是当各个分量 为不同性质的量时，“距离”的大小竟然与指 标的单位有关。
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§1.2 统计距离和马氏距离
例如，横轴 X1代表重量（以kg为单位），纵轴 X2 代表长度（以cm为单位）。有四个点A、B、C、D见 图1.1，它们的坐标如图1.1所示
阵，其元素是 covX(i,Yj )，即 cX o , Y ) ( v c X i , ( Y j ) o ,i ) v 1 , , n ; ( j 1 , ,p( 1 . 1 ) 若covX(,Y)0，称 X和Y是不相关的。
当A、B为常数矩阵时，由定义可推出协差阵有如下性质：
后者是从概率角度上来考虑的，因而更为合理些，它是用坐标
差平方除以方差（或说乘以方差的倒数），从而化为无量纲数，
推广到多维就要乘以协方差阵∑的逆矩阵
，这1 就是马氏
x(/1)
,xp)
x(/2)
xn1 xn2
xnp
x(/n)
若无特别说明，本书所称向量均指列向量
定义1.1 设 x1,x2, ,xp为p个随机变量，由它们组成 的向量 (x1,x2, ,xp) 称为随机向量。
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§1.1.2 分布函数与密度函数
在数据处理时，为了克服由于指标的量纲不同对统计分 析结果带来的影响，往往在使用某种统计分析方法之前，常 需将每个指标“标准化”，即做如下变换
X
j
X j E(X j)
(var
X
)1/ 2
j
j 1, , p
X
(
X
1
,
X
2
,,Xp)于是(1.12)
E(X) 0
D(X) corr(X) R
数，G(x)和H(y)分别为X和 Y的分布函数，则 X与 Y独立
当且仅当 F f(x (,xy ,)y ) G (g x()H x)(h y ()y)
（1.4）
若 (X ,Y)有密度 f (x,y)，用g(x)和h(y)分别表示 X和 Y
的分布密度，则X和Y 独立当且仅当 (1.5)
注意:在上述定义中，X和 Y 的维数一般是不同的。
D(AX)AD (X)A' AA' coA v(X,BY)AcoX v,(Y)B'
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§1.1.4 随机向量的数字特征
（3）设X为n维随机向量，期望和协方差存在记
E(X),D(X),A为 nn常数 则 阵
E (X A ) ' X t(r A Σ ) μ 'A μ
(1.14)
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§1.2 统计距离和马氏距离
但就大部分统计问题而言，欧氏距离是不 能令人满意的。这里因为，每个坐标对欧氏距 离的贡献是同等的。当坐标轴表示测量值时， 它们往往带有大小不等的随机波动，在这种情 况下，合理的办法是对坐标加权，使得变化较 大的坐标比变化小的坐标有较小的权系数，这 就产生了各种距离。
§1.1.4 随机向量的数字特征
2、随机向量X自协方差阵
Σ C ( X , O X ) E ( X V E X )X (E X ) / D ( X )
D(X1)
CO(VX1,X2) CO(VX1,XP)
CO (VX2,X1)
D(X2)
CO(VX2,
XP)
CO(VXP,X1) CO(VXP,X2) D(X P)
对于任何随机向量 X(X1,X2, ,Xp)'来说， 其协差阵∑都是对称阵，同时总是非负定（也称 半正定）的。大多数情形下是正定的。
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§1.1.4 随机向量的数字特征
4、随机向量X 的相关阵
若随机向量 X(X1,X2, ,Xp)的' 协差阵存在,且每
结果CD反而比AB长！这显然是不够合理的。
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§1.2 统计距离和马氏距离
因此，有必要建立一种距离，这种距离要能够 体现各个变量在变差大小上的不同，以及有时存 在着的相关性，还要求距离与各变量所用的单位 无关。看来我们选择的距离要依赖于样本方差和 协方差。因此，采用“统计距离” 这个术语，以 区别通常习惯用的欧氏距离。最常用的一种统计
距离是印度统计学家马哈拉诺比斯（Mahalanobis
）于1936年引入的距离，称为“马氏距离”。
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§1.2 统计距离和马氏距离
下面先用一个一维的例子说明欧氏距离与马氏距离在概 率上的差异。
设有两个一维正态总体 G 1:(1 ,1 2 )和 G 2:(2 , 。2 2 )若有
F (x ) x 1 x p f(t1 , tp)d t1 dp,t
(1.2)
对一切xRp 成立，则称 X（或 FX ）有分布
密度 f 并称 X为连续型随机向量。
一个p维变量的函数f(·)能作为R P 中某个随机向
量的分布密度，当且仅当
(i) f(x)0 xRp
(ii) f(x)dx1 Rp
个分量的方差大于零，则X的相关阵定义为:
R(co(rXri,Xj))(rij)PP
rij
CO(X Vi,Xj) ,i,j1,2, ,p D(Xi) D(Xj)
(1.11)
rij 也称为分量X i 与 X j之间的（线性）相关系数。
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§1.1.4 随机向量的数字特征
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§1.1.4 随机向量的数字特征
1、随机向量 X的均值
设 X(X1,X2, ,Xp)有P个分量。若 E(Xi) i (i1,2, p)
存在，我们定义随机向量X的均值为:
E ( X1 ) 1
E
(
X )p E
(
X2
)
2
(i j)
(1.9)
称它为 p 维随机向量 X 的协方差阵，简称为 X的协
方差阵。称covX( , X)为 X的广义方差，它是协差阵的行
列式之值。
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§1.1.4 随机向量的数字特征
3、随机向量X 和Y 的协差阵
设 X ( X 1 ,X 2 , ,X n )和 'Y ( Y 1 ,Y 2 , ,Y p )分'别为 n维和 p
第一章 多元正态分布
• 一元正态分布在统计学的理论和实际应 用中都有着重要的地位。同样，在多变 量统计学中，多元正态分布也占有相当 重要的位置。原因是：
• 许多随机向量确实遵从正态分布，或近 似遵从正态分布；
• 对于多元正态分布，已有一整套统计推 断方法，并且得到了许多完整的结果。
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第一章 多元正态分布
§1.1 多元分布的基本概念 §1.2 统计距离和马氏距离 §1.3 多元正态分布 §1.4 均值向量和协方差阵的估计 §1.5 常用分布及抽样分布
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一个样品，其值在A处，A点距离哪个总体近些呢？由
图1-2
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§1.2 统计距离和马氏距离
由图1-2可看出,从绝对长度来看,A点距左面总体G1近些,
即A点到
比A点到
1
要“近一些”（这里用的是欧氏距离，比
1
较的是A点坐标与 1 到 2 值之差的绝对值），但从概率观点来 看，A点在 1 右侧约4 1 处，A点在 2 的左侧约3 2 处，若以标 准差的观点来衡量，A点离 2 比A点离 1 要“近一些”。显然，
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第一章 多元正态分布
多元正态分布是最常用的一种多元 概率分布。除此之外，还有多元对数正 态分布，多项式分布，多元超几何分布， 多元 分χ布2 、多元 分布 、多元指数 分布等。本章从多维变量及多元分布的 基本概念开始，着重介绍多元正态分布 的定义及一些重要性质。
据是同时观测 p个指标（即变量），又进行了 n次
观测得到的，把这 p个指标表示为 X1,X2,,Xp常 用向量
X(X1,X2, ,Xp)'
表示对同一个体观测的 p个变量。若观测了 n
个个体，则可得到如下表1-1的数据，称每一个个
体的 p个变量为一个样品，而全体 n个样品形成一
个样本。
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μ
E ( X P )
P
是一个p维向量，称为均值向量.
1.6
当 A、B为常数矩阵时，由定义可立即推出如下性质：
( 1 )E (A ) X A (X ) E
1 .7
( 2 )E (A) X A ( X B ) E B
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§1.1多元分布的基本概念
§1.1.1 随机向量 §1.1.2 分布函数与密度函数 §1.1.3 多元变量的独立性 §1.1.4 随机向量的数字特征
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§1.1.1 随机向量
假定所讨论的是多个变量的总体，所研究的数
即 标 准 化 数 据 的 协 差 阵 正 好 是 原 指 标 的 相 关 阵.
R 1 X/X n 1
(1.13)
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§1.2 统计距离和马氏距离
欧氏距离 马氏距离
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§1.2 统计距离和马氏距离
描述随机变量的最基本工具是分布函数，类似地描述 随机向量的最基本工具还是分布函数。
定义1.2 设 X(x1,x2, ,xp)是以随机向量，它的多元分布 函数是
F ( X ) F ( x 1 , x 2 , , x p ) P ( X 1 x 1 , , X p x p ) 1 . 1
式中：
欧氏距离
在多指标统计分析中,距离的概念十分重要,样品间的不 少特征都可用距离去描述。大部分多元方法是建立在简单 的距离概念基础上的。即平时人们熟悉的欧氏距离,或称
直线距离.如几何平面上的点p=(x1,x2)到原点O=(0,0)的
欧氏距离,依勾股定理有
d (0 ,p ) (x 1 2 x 2 2)1 /2
j
序号
变量
X1
X2
…
Xp
1
x x np 11
x12
…
x1 p
2
x 21
x 22
…
x2 p
n
x n1
xn2
…
x np
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§1.1.1 随机向量
• 因此,样本资料矩阵可用矩阵语言表示为:
x11 x12 Xx21 x22
x1p
x2p
(x1,x2,
x (x 1 ,x 2 , ,x p ) R P ， 并 记 为 X F 。
多元分布函数的有关性质此处从略。
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§1.1.2 分布函数与密度函数
定义1.3：设 X~F(X)= F(x1,x2,,xp),若存在一个 非负的函数 f ,使得
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§1.1.1 随机向量
横看表1-1，记 X ()(x1,x2, ,xp)'， 1,2,n
它表示第 个样品的观测值。竖看表1-1,第 j 列的元素
X j(x 1j,x2j, ,xn)j', j 1,2,p
表示对
j 第个变量
x
的n次观测数值。下面为表1-1
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x2
§1.2 统计距离和马氏距离
这时
AB 52 102 125 CD 102 12 101
显然AB比CD要长。
现在，如果 x 2 用mm作单位，x 1 单位保持不变，
此时A坐标为（0，50），C坐标为（0，100），则
AB 502 102 2600 CD 1002 12 10001
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§1.1.3 多元变量的独立性
定义1.4：两个随机向量 X和 Y称为是相互独立的，若
P (X x ,Y y ) P (X x )P ( Y y ) (1.3
对一切(X , Y)成立。若 F(x, y)为(X ,Y)的联合分布函
欧氏距离还有一个缺点，这就是当各个分量 为不同性质的量时，“距离”的大小竟然与指 标的单位有关。
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§1.2 统计距离和马氏距离
例如，横轴 X1代表重量（以kg为单位），纵轴 X2 代表长度（以cm为单位）。有四个点A、B、C、D见 图1.1，它们的坐标如图1.1所示