第四节 测量结果的评定

第四节测量结果的评定
在对物理量进行测量后，应对测量结果作出正确的、合理的评定与表述，在给出最后结果时，不仅要给出被测物理量的最佳值，还要指出其具有一定置信水平的测量值对真值的取值范围，这是很重要的。

至今为止，已建立的评定方法有两种，可称之为传统方法和现代方法。

传统方法讨论的是已定系统误差已被尽可能地消除了或减少了或修正了，主要是估算随机误差，不考虑未定系统误差——如由观测对象引起的误差；现代方法——不确定度，则能全面地分析各种因素对误差的影响，进而进行统一评定。

下面首先讨论上述两种评定方法，其后再介绍测量结果的表述和相应的置信水平。

一、传统的评定方法
评定测量结果的传统方法，通常是用精密度、准确度和精确度三个概念来说明。

1．精密度：描述测量可重复性的程度，是指重复测量所得结果相互接近的程度。

它反映了随机误差的大小，测量的精密度高，是指测量数据比较集中，则测量的重复性好，各次测量结果误差的分布密集，随机误差较小。

因此，精密度反映了随机误差对测量影响的大小。

可由测量仪器的最小测量单位确定。

2．准确度：是指测量值与真值之间符合的程度。

它反映了系统误差的大小，测量的准确度高，是指测量数据的平均值偏离真值较小，测量结果与真值接近的程度好，测量结果的系统误差较小。

因此，准确度反映的是系统误差对测量影响的大小。

由于可知的系统误差可以修正，因此准确度一般表示仪器误差的大小，测量仪器和测量方法一经选定，测量的准确度就确定了。

用同一台仪器对同一物理量进行多次测量，只能确定其重复性的好坏，而不能确定其准确度；一台仪器的精密度高不一定准确度高，如果是一台比较粗糙的仪器，也能做到测量的精密度高，但仪器本身和测量方法限制了测量的准确度；使用准确度高的仪器，有时即使测量的精密度较低，其测量结果也有可能是准确的。

3．精确度：是对测量的随机误差与系统误差的综合评定，是综合评定测量结果的重复性与接近真值的程度的。

测量的精确度高，是指测量数据比较集中在真值附近，即测量的系统误差和随机误差都比较小。

精密度高，不一定准确度高。

反之，准确度高，不一定精密度高。

而精确度高就是精密度和准确度都高。

以上定义都与真值相连，但是，由于真值是一个理想化的概念，无法直接定义操作，而且上述评价方式都为定性概念，在应用上准确度很难定量化。

二、不确定度的评定方法
关于测量的不确定度，国内外早就有人使用，只是因为对其概念和计算没有形成统一规定，处于混乱状态，无法进行交流。

为了解决这一问题，一九八零年国际计量局召集了十一个国家标准实验室的专家进行合作研究，讨论提出了《实验不确定度的规定建议书》，经过进一步研究后，又于1993年提出了“测量不确定度表示指南”。

现在，
国际上已开始广泛使用。

（一）不确定度的概念
1.不确定度：用于表示测量结果可能出现的具有一定置信水平的误差范围的量。

常记为σ。

由定义可见，此概念是一个更全面、更准确的概念。

其实，我们后面将要讨论的X ∆，X ∆，X S 等都部分地具有这样的作用和含义。

2.说明：
(1)σ的大小反映了测量结果的可信赖的程度。

σ小，表明测量更接近真值，可信程度高。

测量误差在所确定的范围内出现的可能性是很大的，但不一定为100%。

(2)不确定度的产生原因不仅涉及测量仪器、测量装置、测量方法、环境和观测者，还包括测量对象的影响。

即涉及整个测量系统。

(3)不确定的数值一般包含几个分量，按照它们的数值评定方式，可分为两类，常称为A 类和B 类。

即，A 类——用统计方法确定的分量； B 类——用其他方法确定的分量。

可见，要计算不确定度，首先要求出所有的A 类和B 类分量，然后再合成不确定度σ。

3.不确定度与误差的关系
不确定度是在误差理论的基础上发展起来的。

不确定度和误差既是两个不同的概念，有时相互联系的。

误差是一个理想化的概念。

根据传统的误差定义，由于真值是未知的，则误差也是未知的，是不可能准确求得的。

因此，一般无法表示测量结果的误差。

不确定度则是表示由于误差的存在而对被测量值不能确定的程度，反映了可能存在的误差分布范围，表征被测量的真值所处的量值范围的评定，所以不确定度能够更准确的用于测量结果的表示。

误差和不确定度都是由测量过程的不完善引起的，不确定度概念和体系是在现代误差理论的基础上建立和发展起来的，在估算不确定度时，用到了描述误差分布的一些特征参量，因此两者不是割裂的。

不确定度的引入并不意味着误差需放弃使用。

实际上，误差仍可用于定性的描述理论和概念的场合；不确定度则用于给出具体数值或进行定量运算、分析的场合。

（二）不确定度的计算
1．A 类分量的计算
按照国际计量局发布的“实验不确定度的规定建议书”第2条规定，用标准误差来表征A 类分量的数值，相应的计算公式前面已讨论了。

2．B 类分量的计算
按照“建议书”第3条之规定，B 类分量的数值用近似标准差j U 来表征。

规定为测量的极限误差j B ∆与已知的或假定的测量误差的统计分布规律所对应的分布因子
j B K 之商。

即 j j
B B j K U ∆=。

那么，j B ∆和j B K 如何确定呢?
(1)j B K 的确定
j B K 的意义为，
对一组测量{}i x 并知道其分布规律，如果取误差范围为（x B S K j ），则落在此误差范围的测量的几率(置信水平)为P%。

可见，要确定j B K ，应先知道测量的
误差分布规律，还要确定测量所要求的置信水平。

对具体实验，j B K 的一般确定方法为：
a.如果某组测量的次数很多，而误差的数值相差不大，可将其分布视为正态分布，则当j B K =1时，P=68.3；当j B K =2时，P=95.4；当j B K =3时，P=99.7。

一般取j B K =2或j B K =3。

b.如果测量在一定范围内各处出现的几率差不多，可近似为均匀分布。

例如，用数字式仪表、带传动齿轮的仪器测量时，其读数在一定区间为一个定值，故其误差分布为均匀分布。

只要取j B K =3，就可使P 100≈
c ．对于不能确切掌握的误差分布(如测量次数不多时)，可近似为均匀分布。

如果
取j B K =3，也可使置信水平达到较高程度。

可见，均匀分布是物理实验中的一种重要
(2)
j B ∆
j B ∆是指实验中所涉及仪器引起的最大误差，其具体计算通常是很复杂的。

一般
a.可直接取仪器出厂检定书或仪器上注明的仪器的误差。

即
j B ∆=仪∆。

b.对量具仪表可取其最小刻度的一半。

即
j B ∆=最小刻度/2。

C ．对电子类仪表可由其准确度级别K 和量程确定为
j B ∆=量程×K%。

其中K 的值标在仪器上，有0.1、0.5、1.0、1.5、2.0、2.5等。

3.合成不确定度σ
合成方法：不同类分量按方和根合成；同类独立分量按方和根合成，否则还需计算协方差。

下面讨论简单情况下的计算方法。

设测量结果的不确定度的A 分量和B 分量的表征值分别为
S 1、S 2、S 3、……；
U 1、U 2、U 3、……；
且彼此独立，则
S 2=∑S i 2。

U 2=∑U j 2。

合成不确定度为
σ=∑∑+2
2
j i U S 。

σ=22U S +。

当进行的测量只有一次时，取S i =0，则
σ=U j =j B ∆/j B K 。

4.应用条件
不考虑规律性变化的系统误差。

（三）
设待测量为f ，平均值为f ，算术平均差为f ∆，标准差为f S ，不确定度为f σ，总不确定度为f Q ，则测量结果表示为
f =f ±f ∆ （57.5%）
f =f ±f S （68.3%）
f =f ±f σ 一般情况下，计算f 和不确定度时，不确定度的数值只保留1位，最多不超过两位。

例1：用毫米刻度的米尺，测量物体长度l (cm)十次，其测量值分别为
53.27，53.25，53.23，53.29，53.24，53.28，53.26，53.20，53.24，53.21 试计算合成不确定度，并写出测量结果。

[解]：
1.计算l 的近真值l
)(24.53)21.5323.5325.5327.53(10
11101cm l n l i =+⋅⋅⋅+++==∑ 2.计算A 类不确定度 ()1
10)24.5321.53()24.5325.53()24.5327.53(1122212--+⋅⋅⋅+-+-=--=∑=n
i i l l l n S
=0.03(cm) 3.计算B 类不确定度
305.032/==∆=
最小刻度j j B B l K U =0.03(cm)
4.合成不确定度 )(04.003.003.02222cm U S l l l =+=+=σ
5.测量结果的标准式为
l =53.24±0.04(cm)。