2019-2020学年人教A版数学必修三课件：第3章 概率 章末整合提升3
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第二十四页，编辑于星期六：二十三点 四分。
典例 5
空气污染，又称为大气污染，是指由于
人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的
时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关
注环境保护问题．
当空气污染指数(单位：μg/m3)为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量
[思路分析] (1)先由已知条件求得污染指数在[0,50]内的频率，再求得监测点的总 个数，由此求得x的值及另外三组污染指数范围内的频率，进而补全频率分布直方 图；(2)将事件A中的基本事件一一列举出来，再求事件A发生的概率．
第二十七页，编辑于星期六：二十三点 四分。
[解析] (1)由统计表，得[0,50]内的监测点有 15 个， 由频率分布直方图，得[0,50]内的频率为 0.003×50＝0.15， ∴1x5＝0.15，解得 x＝100， ∴y＝100－15－40－10＝35， 则1004×0 50＝0.008， 1003×5 50＝0.007， 1001×0 50＝0.002， 补全频率分布直方图如图：
求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件 的和，应用互斥事件的概率加法公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解；二是先求其对 立事件的概率，然后再应用公式 P(A)＝1－P( A )求解．
第十页，编辑于星期六：二十三点 四分。
典例 1
据统计，某储蓄所一个窗口等候的人数
及相应的概排率如队下人：数 0 1 2 3 4 5 人及 5 人以上
第七页，编辑于星期六：二十三点 四分。
事
件
随机数
整 均数 匀随 随机 机数 数产生方法：用计算器或计算机
随机模拟→应用→估计概率、求图形面积等
第八页，编辑于星期六：二十三点 四分。
专题突破
第九页，编辑于星期六：二十三点 四分。
专题一 ⇨互斥事件与对立事件问题
互斥和对立都是反映事件相互关系的重要概念．互斥事件、对立事件的概率 公式是基本公式，必须学会正确运用．应用互斥事件的概率加法公式时，首先要 确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．
(1)至多2人排队等候的概率是 P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)至少3人排队等候的概率是：1－P(A∪B∪C)＝1－0.56＝0.44.
第十二页，编辑于星期六：二十三点 四分。
专题二 ⇨古典概型问题
古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础．在高考 题中，经常出现此种概率模型的题目．解题时要抓住古典概型的两个基本特征， 即有限性和等可能性．在应用公式 P(A)＝mn 时，关键是正确理解基本事件与事件 A 的关系，求出 n、m.在求较为复杂的事件的概率时通常有两种方法：一是将所 求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件 的概率，再利用公式 P(A)＝1－P(－A )就可以求出所求事件的概率．
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1
0.04
(1)至多 2 人排队等候的概率是多少？
(2)至少 3 人排队等候的概率是多少？
[分析] 第(1)问用互斥事件的概率加法公式可简单求解，第(2)问属于“至 少”问题，用对立事件的概率公式比较简单．
第十一页，编辑于星期六：二十三点 四分。
[解析] 记在窗口等候的人数为0、1、2分别为事件A、B、C，则A、B、C彼 此互斥．
当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重 度污染；
当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严 重污染．
2016年12月某日某省x个监测点数据统计如下：
空气污染指 数(单位：μg/m3)
监测点个数
[0,50] 15
(50,100] 40
(100,150] y
(150,200] 10
第二十六页，编辑于星期六：二十三点 四分。
(1)根据所给统计表和频率分布直方 图中的信息求出x，y的值，并补全频率 分布直方图；
(2)若A市共有5个监测点，其中有3 个监测点为轻度
污染，2个监测点为良，从中任意选 取2个监测点，事件A“其中至少有一个为 良”发生的概率是多少？
新课标导学
数学
必修③ ·人教A版
第一页，编辑于星期六：二十三点 四分。
第三章
概率
章末整合提升
第二页，编辑于星期六：二十三点 四分。
1
知识网络
2
专题突破
第三页，编辑于星期六：二十三点 四分。
知识网络
第四页，编辑于星期六：二十三点 四分。
事
件
分类必 随 不然 机 可事 事 能件 件 事： ： 件在 在 ：条 条 在件 件 条件SS下 下S一 可 下定 能 一会 发 定发 生 不生 也 发的 可 生事 能 的件 不 事发 件生的事件
典例 4
随 机 抽 取 某 中 学 甲 、 乙 两 班 各 10 名 同
学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示(图中两边的数
字分别表示甲、乙两班同学身高的个位数)．
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差； (3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为 176 cm的同学被抽中的概率．
第十三页，编辑于星期六：二十三点 四分。
典例 2
袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，
标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的
概率；
(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这
两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
第二十三页，编辑于星期六：二十三点 四分。
(3)设“身高为 176 cm 的同学被抽中”为事件 A. 从乙班 10 名同学中抽取两名身高不低于 173 cm 的同学有{181,173}， {181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}， {178,176}，{176,173}，共 10 个基本事件．而事件 A 包含 4 个基本事件， 所以 P(A)＝140＝25.
第十六页，编辑于星期六：二十三点 四分。
专题三 ⇨几何概型问题 若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特征，则 此试验为几何概型．由于基本事件的个数和结果的无限性，其概率就不能应用 P(A)＝mn 求解，因此需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解． 几何概型是新增内容，在高考中很少考查随机模拟，主要涉及几何概型的概 率求解问题，难度不会太大，题型可能较灵活，涉及面可能较广．几何概型的三 种类型分别为长度型、面积型和体积型，在解题时要准确把握，要把实际问题作 合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型解题．
l2 所以 P(A)＝SSΩA＝l82＝14.
2
第二十页，编辑于星期六：二十三点 四分。
专题四 ⇨概率与统计的综合问题 概率与统计相结合，是新课标数学高考试题的一个亮点，其中所涉及的统计 知识是基础知识，所涉及的概率是古典概型，虽然是综合题，但是难度不大，属 于中档以下难度．
第二十一页，编辑于星期六：二十三点 四分。
状况属于优；
当 空 气 污 染 指 数 为 50 ～ 100 时 ， 空 气 质 量 级 别 为 二 级 ， 空 气 质 量 状 况 属 于
良；
当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻
度污染；
第二十五页，编辑于星期六：二十三点 四分。
当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中 度污染；
第十七页，编辑于星期六：二十三点 四分。
当一随机试验的可能结果有无数个，并且每个结果的出现都是等可能的，我 们把这样的试验称为几何概型．由于试验的结果不能一一列举出来，所以在计算 概率时可利用试验的全部结果构成的区域和所求事件的结果构成的区域的几何度 量的比值来计算．常用的几何度量有长度，面积，体积和角度等，解题时要适当 选择．
第十四页，编2,3 的三张红色卡片分别记为 A，B，C，标号为 1,2 的两 张蓝色卡片分别记为 D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C， E)，(D，E)共 10 种．
第六页，编辑于星期六：二十三点 四分。
事 概概 率古典概型定 计算 义：：P结A果＝为A有包限基含个本的且事基每件本个的事结总件果数个发数生的可能性相同的概率模型 件 率型模几何概型定 计算 义：：P结A果＝为试无验限的个构全且成部每事结个件果结A所果的构发区成生域的的长区可度域能面长性积度相或同面体的积积概或 率体模积型
第二十二页，编辑于星期六：二十三点 四分。
[解析] (1)由茎叶图可知，甲班身高集中在 162 cm～179 cm，而乙班身高集 中在 170 cm～179 cm.因此乙班的平均身高高于甲班．
(2) x 甲＝158＋162＋163＋168＋168＋10170＋171＋179＋179＋182＝170(cm)． 甲班的样本方差为110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2 ＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－ 170)2]＝57.2(cm2)．
第十八页，编辑于星期六：二十三点 四分。
典例 3
将长为l的绳子随机剪成三段，求三段
能构成[解三析角] 形记的事概件率．A 为“三段能构成三角形”，如图．
设 x、y 分别表示其中两段的长度，则第三段的长度为 l－x－y. 则试验的全部结果可构成区域 Ω：{(x，y)|0<x<l,0<y<l,0<x＋y<l}，区域 Ω 的 面积为 SΩ＝l22.
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的结 果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共 3 种． 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的概率为130.
第十五页，编辑于星期六：二十三点 四分。
频率：事件A出现的比例fnA＝nnA称为事件A的频率
第五页，编辑于星期六：二十三点 四分。
定义：随着试验次数的增加，频率的稳定值 意义：反映事件发生的可能性的大小 事 件概 率质性包 相 互 对并 交含 等 斥 立事 事事 事 事 事件 件件 件 件 件： ：： ： ： ：若 若若 若 若 若事 事事AAA件 件⊆ ∩ ∩件AABBB∪ ∩A且 ＝ ＝发BBB∅∅发 发生， ，⊆生 生，则 AA当 当∪，则A且 且与 B则事为仅 仅BA件必 是＝当 当B然 互B一 事 事事 斥定 件 件件 事发AA发 发， 件生生 生则 ，，或 且且A称与事 事PAB⊆ 件 件A是∪BBB对发 发B立＝生 生事P件A，＋且PPBA＋PB＝1
(2)记 F 为标号为 0 的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果 为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B， F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共 15 种．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能 的．从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的结 果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)， 共 8 种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的概率为185.
第十九页，编辑于星期六：二十三点 四分。
若能构成三角形，则有任意两边之和大于第三边． 即 x＋y>l－x－y⇒x＋y>2l ， x＋l－x－y>y⇒y<2l ，y＋l－x－y>x⇒x<2l . 故事件 A“三段能构成三角形”所构成的区域为 {(x，y)|x＋y>2l ，y<2l ，x<2l }(即图中阴影部分)，其面积为 SA＝12·(2l )2＝l82.
典例 5
空气污染，又称为大气污染，是指由于
人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的
时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关
注环境保护问题．
当空气污染指数(单位：μg/m3)为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量
[思路分析] (1)先由已知条件求得污染指数在[0,50]内的频率，再求得监测点的总 个数，由此求得x的值及另外三组污染指数范围内的频率，进而补全频率分布直方 图；(2)将事件A中的基本事件一一列举出来，再求事件A发生的概率．
第二十七页，编辑于星期六：二十三点 四分。
[解析] (1)由统计表，得[0,50]内的监测点有 15 个， 由频率分布直方图，得[0,50]内的频率为 0.003×50＝0.15， ∴1x5＝0.15，解得 x＝100， ∴y＝100－15－40－10＝35， 则1004×0 50＝0.008， 1003×5 50＝0.007， 1001×0 50＝0.002， 补全频率分布直方图如图：
求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件 的和，应用互斥事件的概率加法公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解；二是先求其对 立事件的概率，然后再应用公式 P(A)＝1－P( A )求解．
第十页，编辑于星期六：二十三点 四分。
典例 1
据统计，某储蓄所一个窗口等候的人数
及相应的概排率如队下人：数 0 1 2 3 4 5 人及 5 人以上
第七页，编辑于星期六：二十三点 四分。
事
件
随机数
整 均数 匀随 随机 机数 数产生方法：用计算器或计算机
随机模拟→应用→估计概率、求图形面积等
第八页，编辑于星期六：二十三点 四分。
专题突破
第九页，编辑于星期六：二十三点 四分。
专题一 ⇨互斥事件与对立事件问题
互斥和对立都是反映事件相互关系的重要概念．互斥事件、对立事件的概率 公式是基本公式，必须学会正确运用．应用互斥事件的概率加法公式时，首先要 确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．
(1)至多2人排队等候的概率是 P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)至少3人排队等候的概率是：1－P(A∪B∪C)＝1－0.56＝0.44.
第十二页，编辑于星期六：二十三点 四分。
专题二 ⇨古典概型问题
古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础．在高考 题中，经常出现此种概率模型的题目．解题时要抓住古典概型的两个基本特征， 即有限性和等可能性．在应用公式 P(A)＝mn 时，关键是正确理解基本事件与事件 A 的关系，求出 n、m.在求较为复杂的事件的概率时通常有两种方法：一是将所 求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件 的概率，再利用公式 P(A)＝1－P(－A )就可以求出所求事件的概率．
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1
0.04
(1)至多 2 人排队等候的概率是多少？
(2)至少 3 人排队等候的概率是多少？
[分析] 第(1)问用互斥事件的概率加法公式可简单求解，第(2)问属于“至 少”问题，用对立事件的概率公式比较简单．
第十一页，编辑于星期六：二十三点 四分。
[解析] 记在窗口等候的人数为0、1、2分别为事件A、B、C，则A、B、C彼 此互斥．
当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重 度污染；
当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严 重污染．
2016年12月某日某省x个监测点数据统计如下：
空气污染指 数(单位：μg/m3)
监测点个数
[0,50] 15
(50,100] 40
(100,150] y
(150,200] 10
第二十六页，编辑于星期六：二十三点 四分。
(1)根据所给统计表和频率分布直方 图中的信息求出x，y的值，并补全频率 分布直方图；
(2)若A市共有5个监测点，其中有3 个监测点为轻度
污染，2个监测点为良，从中任意选 取2个监测点，事件A“其中至少有一个为 良”发生的概率是多少？
新课标导学
数学
必修③ ·人教A版
第一页，编辑于星期六：二十三点 四分。
第三章
概率
章末整合提升
第二页，编辑于星期六：二十三点 四分。
1
知识网络
2
专题突破
第三页，编辑于星期六：二十三点 四分。
知识网络
第四页，编辑于星期六：二十三点 四分。
事
件
分类必 随 不然 机 可事 事 能件 件 事： ： 件在 在 ：条 条 在件 件 条件SS下 下S一 可 下定 能 一会 发 定发 生 不生 也 发的 可 生事 能 的件 不 事发 件生的事件
典例 4
随 机 抽 取 某 中 学 甲 、 乙 两 班 各 10 名 同
学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示(图中两边的数
字分别表示甲、乙两班同学身高的个位数)．
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差； (3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为 176 cm的同学被抽中的概率．
第十三页，编辑于星期六：二十三点 四分。
典例 2
袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，
标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的
概率；
(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这
两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
第二十三页，编辑于星期六：二十三点 四分。
(3)设“身高为 176 cm 的同学被抽中”为事件 A. 从乙班 10 名同学中抽取两名身高不低于 173 cm 的同学有{181,173}， {181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}， {178,176}，{176,173}，共 10 个基本事件．而事件 A 包含 4 个基本事件， 所以 P(A)＝140＝25.
第十六页，编辑于星期六：二十三点 四分。
专题三 ⇨几何概型问题 若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特征，则 此试验为几何概型．由于基本事件的个数和结果的无限性，其概率就不能应用 P(A)＝mn 求解，因此需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解． 几何概型是新增内容，在高考中很少考查随机模拟，主要涉及几何概型的概 率求解问题，难度不会太大，题型可能较灵活，涉及面可能较广．几何概型的三 种类型分别为长度型、面积型和体积型，在解题时要准确把握，要把实际问题作 合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型解题．
l2 所以 P(A)＝SSΩA＝l82＝14.
2
第二十页，编辑于星期六：二十三点 四分。
专题四 ⇨概率与统计的综合问题 概率与统计相结合，是新课标数学高考试题的一个亮点，其中所涉及的统计 知识是基础知识，所涉及的概率是古典概型，虽然是综合题，但是难度不大，属 于中档以下难度．
第二十一页，编辑于星期六：二十三点 四分。
状况属于优；
当 空 气 污 染 指 数 为 50 ～ 100 时 ， 空 气 质 量 级 别 为 二 级 ， 空 气 质 量 状 况 属 于
良；
当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻
度污染；
第二十五页，编辑于星期六：二十三点 四分。
当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中 度污染；
第十七页，编辑于星期六：二十三点 四分。
当一随机试验的可能结果有无数个，并且每个结果的出现都是等可能的，我 们把这样的试验称为几何概型．由于试验的结果不能一一列举出来，所以在计算 概率时可利用试验的全部结果构成的区域和所求事件的结果构成的区域的几何度 量的比值来计算．常用的几何度量有长度，面积，体积和角度等，解题时要适当 选择．
第十四页，编2,3 的三张红色卡片分别记为 A，B，C，标号为 1,2 的两 张蓝色卡片分别记为 D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C， E)，(D，E)共 10 种．
第六页，编辑于星期六：二十三点 四分。
事 概概 率古典概型定 计算 义：：P结A果＝为A有包限基含个本的且事基每件本个的事结总件果数个发数生的可能性相同的概率模型 件 率型模几何概型定 计算 义：：P结A果＝为试无验限的个构全且成部每事结个件果结A所果的构发区成生域的的长区可度域能面长性积度相或同面体的积积概或 率体模积型
第二十二页，编辑于星期六：二十三点 四分。
[解析] (1)由茎叶图可知，甲班身高集中在 162 cm～179 cm，而乙班身高集 中在 170 cm～179 cm.因此乙班的平均身高高于甲班．
(2) x 甲＝158＋162＋163＋168＋168＋10170＋171＋179＋179＋182＝170(cm)． 甲班的样本方差为110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2 ＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－ 170)2]＝57.2(cm2)．
第十八页，编辑于星期六：二十三点 四分。
典例 3
将长为l的绳子随机剪成三段，求三段
能构成[解三析角] 形记的事概件率．A 为“三段能构成三角形”，如图．
设 x、y 分别表示其中两段的长度，则第三段的长度为 l－x－y. 则试验的全部结果可构成区域 Ω：{(x，y)|0<x<l,0<y<l,0<x＋y<l}，区域 Ω 的 面积为 SΩ＝l22.
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的结 果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共 3 种． 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的概率为130.
第十五页，编辑于星期六：二十三点 四分。
频率：事件A出现的比例fnA＝nnA称为事件A的频率
第五页，编辑于星期六：二十三点 四分。
定义：随着试验次数的增加，频率的稳定值 意义：反映事件发生的可能性的大小 事 件概 率质性包 相 互 对并 交含 等 斥 立事 事事 事 事 事件 件件 件 件 件： ：： ： ： ：若 若若 若 若 若事 事事AAA件 件⊆ ∩ ∩件AABBB∪ ∩A且 ＝ ＝发BBB∅∅发 发生， ，⊆生 生，则 AA当 当∪，则A且 且与 B则事为仅 仅BA件必 是＝当 当B然 互B一 事 事事 斥定 件 件件 事发AA发 发， 件生生 生则 ，，或 且且A称与事 事PAB⊆ 件 件A是∪BBB对发 发B立＝生 生事P件A，＋且PPBA＋PB＝1
(2)记 F 为标号为 0 的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果 为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B， F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共 15 种．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能 的．从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的结 果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)， 共 8 种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的概率为185.
第十九页，编辑于星期六：二十三点 四分。
若能构成三角形，则有任意两边之和大于第三边． 即 x＋y>l－x－y⇒x＋y>2l ， x＋l－x－y>y⇒y<2l ，y＋l－x－y>x⇒x<2l . 故事件 A“三段能构成三角形”所构成的区域为 {(x，y)|x＋y>2l ，y<2l ，x<2l }(即图中阴影部分)，其面积为 SA＝12·(2l )2＝l82.