2019年辽宁省大连市第三中学高三数学文测试题含解析

2019年辽宁省大连市第三中学高三数学文测试题含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知为偶函数，且，当时，；若
，则
（）乡村
参考答案：
D
2. 设等差数列满足：，公差
．若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是( )
A．B． C．
D．
参考答案：
B
【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2
由=1
得：
由积化和差公式得：
整理得：=∴sin（3d）=-1．
∵d∈（-1，0），∴3d∈（-3，0），则3d=-，d=-．
由S n=na1+= na1+ =-+
对称轴方程为n=(a1+)，由题意当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，
∴＜(a1+)＜，解得＜a1＜．
∴首项a1的取值范围是(,)．
【思路点拨】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a1取值范围．
3. 在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是．其中正确命题的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
C
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】对应思想；定义法；三角函数的求值．
【分析】①根据正弦定理判断得出sinA=＞1不成立；
②设边长，根据余弦定理得出最大角cosα==﹣＜0，
③设出角度，根据大边对大角，只需判断最大角为锐角即可．
【解答】解：在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，
由正弦定理可知，
，
所以sinA=＞1，故错误；
②若三角形的三边的比是3：5：7，
根据题意设三角形三边长为3x，5x，7x，最大角为α，
由余弦定理得：cosα==﹣，
则最大角为120°，故正确；
③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，设所对角分别为A，B，C，则最大角为B或C所对的角，
∴cosB=＞0，得是＜x，
cosC=＞0，得x＜．
则x的取值范围是，故正确；
故选：C．
【点评】考查了正弦定理和余弦定理的应用，根据题意，正确设出边或角．
4. 已知函数，若则实数的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案：
C
5. 已知△ABC三条边上的高分别为3，4，6，则△ABC最小内角的余弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
6. 甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，采取3局2胜制(即3局内谁先赢2局就算胜
出，比赛结束，每局比赛没有平局，每局甲获胜的概率为，则比赛打完3局且甲取胜的概率为
A． B． C． D．
参考答案：
B
7. 已知,是简单命题，则“是真命题”是“是假命题”的( )
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
参考答案：
A
8. 能够把椭圆C：+=1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f（x）称为椭圆C 的“亲和函数”，下列函数是椭圆C的“亲和函数”的是( )
A．f（x）=x3+x2 B．f（x）=ln C．f（x）=sinx+cosx D．f（x）=e x+e﹣x
参考答案：
B
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】关于原点对称的函数都可以等分椭圆面积，验证哪个函数不是奇函数即可．【解答】解：∵f（x）=x3+x2不是奇函数，
∴f（x）=x3+x2的图象不关于原点对称，
∴f（x）=x3+x2不是椭圆的“亲和函数”；
∵f（x）=ln是奇函数，
∴f（x）=ln的图象关于原点对称，
∴f（x）=ln是椭圆的“亲和函数”；
∵f（x）=sinx+cosx不是奇函数，
∴f（x）=sinx+cosx的图象不关于原点对称，
∴f（x）=sinx+cosx不是椭圆的“亲和函数”；
∵f（x）=e x+e﹣x不是奇函数，
∴f（x）=e x+e﹣x的图象关于原点不对称，
∴f（x）=e x+e﹣x不是椭圆的“亲和函数”．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的“亲和函数”的判断，是基础题，解题时要准确把握题意并合理转化，注意函数的奇偶性的合理运用．
9. （5分）已知集合M={x|x2≥4}，N={﹣3，0，1，3，4}，则M∩N=（）
A． {﹣3，0，1，3，4} B． {﹣3，3，4} C． {1，3，4} D．{x|x≥±2}
参考答案：
B
【考点】：交集及其运算．
【专题】：集合．
【分析】：求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可．
解：由M中不等式解得：x≥2或x≤﹣2，即M={x|x≥2或x≤﹣2}，
∵N={﹣3，0，1，3，4}，
∴M∩N={﹣3，3，4}，
故选：B．
【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．10. 命题：“所有梯形都是等腰梯形”的否定形式是（）
A．所有梯形都不是等腰梯形
B．存在梯形是等腰梯形
C．有梯形是等腰梯形，也有梯形不是等腰梯形
D．存在梯形不是等腰梯形
参考答案：
D
【考点】命题的否定．
【专题】整体思想；定义法；简易逻辑．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
【解答】解：命题所有梯形都是等腰梯形是全称命题，
则命题的否定是存在梯形不是等腰梯形，
故选：D
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (几何证明选做题)如图，直线与圆相切于点，割线
经过圆心，弦⊥于点，，，
则 .
参考答案：
略
12. 已知g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝(x≠0)，那么等于________．
参考答案：
15
略
13. 对于函数，若有六个不同的单调区间，则的取值范围为
参考答案：
（0，3）
14. 已知函数y=f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示，给出如下命题：
①0是函数y=f（x）的一个极值点；
②函数y=f（x）在x=﹣处切线的斜率小于零；
③f（﹣1）＜f（0）；
④当﹣2＜x＜0时，f（x）＞0．
其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）
参考答案：
①③
【考点】命题的真假判断与应用；函数的单调性与导数的关系；函数在某点取得极值的条件．
【分析】x＞0时，f'（x）＜0；x=0时，f'（x）=0；x＜0时，f'（x）＞0．所以0是函数y=f（x）的一个极值点．由f'（﹣）＞0，知函数y=f（x）在处切线的斜率大于0．由﹣2＜x＜0时，f'（x）＞0，知f（﹣1）＜f（0）．
【解答】解：∵x＞0时，f'（x）＜0；x=0时，f'（x）=0；x＜0时，f'（x）＞0．
∴0是函数y=f（x）的一个极值点．
∵f'（﹣）＞0，∴函数y=f（x）在处切线的斜率大于0．
∵﹣2＜x＜0时，f'（x）＞0，∴f（﹣1）＜f（0）．
﹣2＜x＜0时，f'（x）＞0．
故答案为：①③．
15. 如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成．
第15题图
若，，则正实数的取值范围为．
参考答案：
16. 已知正实数x，y满足2x+y=2，则+的最小值为．
参考答案：
【考点】基本不等式．
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵正实数x，y满足2x+y=2，
则+==≥=，当且仅当
x=y=时取等号．
∴+的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
17. 给出下列命题：
①若是奇函数，则的图像关于轴对称；②若函数对任意
满足，则8是函数的一个周期；③若，则；④若在上是增函数，则,其中正确命题的序号
是 .
参考答案：
①②④
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）若曲线在点（2，f(2)）处的切线的斜率小于0，求的单调区间；
（Ⅱ）对任意的，，恒有，求正数的取值范围。

参考答案：
见解析
【知识点】导数的综合运用
解：(Ⅰ)，
若曲线在点（2，f(2)）处的切线的斜率小于0，
则，即有，∴2a+1>2>1，
则由f(x)>0得0<x<1或x>2a+1；由得1<x<2a+1。

∴f(x)的单调递增区间为(0，1)，（2a+1，），单调递减区间为(1，2a+1)。

(Ⅱ)∵，∴(2a+1)[4，6]，由(Ⅰ)知f(x)在[1，2]上为减函数。

不妨设1≤x1<x2≤2，则f(x1)>f(x2)，，
∴原不等式即为：f(x1)-f(x2)<，
即，对任意的，x1，x2 [1，2]恒成立。

令g(x)=f(x)-，∴对任意的，x1，x2[1，2]有g(x1)<g(x2)恒成立，∴g(x)=f(x)-在闭区间[1，2]上为增函数，
∴对任意的，x[1，2]恒成立。

而，
化简得，
即，其中。

∵[1，2]，，只需，
即对任意x[1，2]恒成立，
令恒成立，
∴在闭区间[1，2]上为减函数，
则。

由，解得。

19. 已知数列中，且点在直线上.
（1）求数列的通项公式；
（2）若函数，求函数
的最小值；
（3）设表示数列的前项和．问：是否存在关于的整式
，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．
参考答案：
解：（1）由点P在直线上，
即，------------------------------------------------------------------------2分
且，数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列
，同样满足，所以---------------4分
（2）
---------------------6分
所以是单调递增，故的最小值是-----------------------10分
（3），可得，-------12分
，
……
，n≥2------------------14分
故存在关于n的整式g（x）=n,使得对于一切不小于2的自然数n恒成立----16分20. （本小题满分13分）
已知函数（）的周期为4。

（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）将的图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象，
、分别为函数图象的最高点和最低点（如图），求的大小。

参考答案：
（1）------------------1分
----------------------3分
---------------5分
----------6分
（2）将的图像沿轴向右平移个单位得到函数---------------------------7分
因为、分别为该图像的最高点和最低点，所以- -------------------9分
所以-----------------------------------------------10分
-----------------------------------12分
所以-----------------------------------------------------13分
21. 已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若对于任意都有成立，求实数的取值范围；参考答案：
解：（1）当时，，得．因为，
所以当时，，函数单调递增；
当或时，，函数单调递减．
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．（2）方法1：由，得，
因为对于任意都有成立，
即对于任意都有成立，
即对于任意都有成立，
令，
要使对任意都有成立，
必须满足或
即或
所以实数的取值范围为．
方法2：由，得，
因为对于任意都有成立，
所以问题转化为，对于任意都有．
因为，其图象开口向下，对称轴为．
①当时，即时，在上单调递减，
所以，
由，得，此时．
②当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
由，得，此时．
综上①②可得，实数的取值范围为．
略
22. (本小题满分14分)
为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．
（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为，求
的分布列与期望.
下面的临界值表供参考：
(参考公式：，其中)
参考答案：
解：(1) 列联表补充如下：----------------------------------------3分
（2）∵------------------------6分
∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.---------------------7分
（3）喜爱打篮球的女生人数的可能取值为.-------------------------9分
其概率分别为,,
--------------------------12分
故的分布列为:
--------------------------13分
的期望值为:---------------------14分。