湖北省武汉市2015届高三9月调考数学(理)试题

武汉市2015届高三9月调研测试
数 学（理科）
2014.9.5
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．1＋2i (1－i)2
＝ A ．－1－12i B ．－1＋12i C ．1＋12i D ．1－1
2i
2．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x -＝3，y -＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是 A ．y ^＝0.4x ＋2.3 B ．y ^＝2x －2.4 C ．y ^＝－2x ＋9.5 D ．y ^＝－0.3x ＋4.4 4．已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝ A ． 2 B ．2 2 C ．3 2 D ．4 2 5．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为
A ．112
B ．5
C ．92
D ．4
6．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于
A ．
32 B ．33
2 C ．3＋62 D ．3＋394
7．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，
2x －y ＋2≥0．若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a
的值为
A ．12或－1
B ．2或1
2 C ．2或1 D ．2或－1
8．如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则a 9＝
A ．19
B ．22
C ．5
D ．27
9．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，→OA ·→
OB ＝2（其中O 为坐标原点），则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是
A ．
28 B ．24 C ．2
2
D ． 2 10．已知函数f (x )＝x 2＋e x －1
2
（x ＜0）与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，
则a 的取值范围是
A ．(－∞，1e )
B ．(－∞，e)
C ．(－1e ，e)
D ．(－e ，1
e )
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．
的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．设二项式(x －1
3x
)5的展开式中常数项为A ，则A ＝ ．
12．如果执行如图所示的程序框图，输入x ＝－1，n ＝3，则输出的数S ＝ ．
13．正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1，1)
分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 ． 14．已知椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的
焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝ ．
15．平面几何中有如下结论：如图1，设O 是等腰Rt △ABC 底边BC 的
中点，AB ＝1，过点O 的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q ，
R ，则有1AQ ＋1
AR ＝2．类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，
设O 是正三棱锥A-BCD 底面BCD 的中心，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB ＝1，过点O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q ，R ，P ，则有 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－1
2
．
（Ⅰ）若sin(π4＋α)＝2
2，且0＜α＜π，求f (α)的值；
（Ⅱ）当f (x )取得最小值时，求自变量x 的集合．
17．（本小题满分12分）
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． （Ⅰ）证明：a n ＋2－a n ＝λ；
（Ⅱ）当λ为何值时，数列{a n }为等差数列？并说明理由． 18．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P-ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连结GH ．
（Ⅰ）求证：AB ∥GH ；
（Ⅱ）求平面P AB 与平面PCD 所成角的正弦值．
19．（本小题满分12分）
在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
（Ⅰ）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；
（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元的概率． 20．（本小题满分13分）
如图，动点M 与两定点A (－1，0)，B (2，0)构成△MAB ，且∠MBA ＝2∠MAB ．设动点M 的轨迹为C ．
（Ⅰ）求轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设直线y ＝－2x ＋m （其中m ＜2）与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ |＜|PR |，求|PR |
|PQ |
的取值范围．
21．（本小题满分14分）
已知函数f (x )＝ax ＋x ln x 的图象在点x ＝e （e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3． （Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）若f (x )≤kx 2对任意x ＞0成立，求实数k 的取值范围；
（Ⅲ）当n ＞m ＞1（m ，n ∈N *
）时，证明：n
m m n
＞m
n ．
武汉市2015届高三9月调研测试 数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题
1．B 2．A 3．A 4．C 5．D 6．B 7．D 8．C 9．B 10．B 二、填空题
11．－10 12．－4 13．23 14．8 15．1AQ ＋1AR ＋1
AP ＝3
三、解答题
16．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵0＜α＜π，∴π4＜π4＋α＜5π4
． …………………2分
∵sin(π4＋α)＝22，∴π4＋α＝3π4，即α＝π
2． …………………4分
∴f (α)＝cos α(sin α＋cos α)－12＝cos π2(sin π2＋cos π2)－12＝－1
2．……………………6分
（Ⅱ）f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝1
2sin2x ＋1＋cos2x 2－12 …………………7分
＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin(2x ＋π
4
)． …………………8分 当2x ＋π4＝2k π－π
2
，k ∈Z ，
即x ＝k π－3π
8，k ∈Z 时，f (x )取得最小值， …………………10分
此时自变量x 的集合为{x |x ＝k π－3π
8
，k ∈Z }．………………………………12分
17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1． …………………2分
两式相减，得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1． …………………3分 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ．…………………………………………………4分 （Ⅱ）由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1． …………………5分
由（Ⅰ）知，a 3＝λ＋1．
令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4． …………………6分 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得
{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；…………………7分 {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1．…………………8分 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2． …………………10分
因此当λ＝4时，数列{a n }为等差数列．………………………………………12分
18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，…………………1分
∴EF ∥AB ，DC ∥AB ， …………………2分
∴EF ∥DC ．
又EF ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ，
∴EF ∥平面PCD ． …………………3分 又EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ，…………………4分 ∴EF ∥GH ． 又EF ∥AB ， ∴AB ∥GH ．…………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）在△ABQ 中，∵AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，∴∠ABQ ＝90°，即AB ⊥BQ ．
又PB ⊥平面ABQ ，∴BA ，BQ ，BP 两两垂直．
以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则B (0，0，0)，Q (0，2，0)，D (1，1，0)，C (0，1，0)，P (0，0，2)，(注：坐标写对给2分)
∴→DP ＝(－1，－1，2)，→
CP ＝(0，－1，2)．…………………8分 设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，
由n ·→DP ＝0，n ·→
CP ＝0，得
⎩
⎪⎨⎪⎧
－x －y ＋2z ＝0，－y ＋2z ＝0．取z ＝1， 得n ＝(0，2，1)．…………………10分 又→
BQ ＝(0，2，0)为平面P AB 的一个法向量， ∴cos ＜n ，→
BQ ＞＝n ·→BQ |n ||→BQ |＝2×25×2＝255．
故平面P AB 与平面PCD 所成角的正弦值为
5
5
．………………………………12分 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设A 表示事件“作物产量为300kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”，
由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4．（注：基本事件叙述各1分）2分 ∵利润＝产量×市场价格－成本， ∴X 所有可能的取值为
500×10－1000＝4000，500×6－1000＝2000，
300×10－1000＝2000，300×6－1000＝800． …………………4分
P (X ＝4000)＝P (A -)P (B -)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，
P (X ＝2000)＝P (A -)P (B )＋P (A )P (B -)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2． ∴X 的分布列为
……………………………………………………………6分（注：每个概率1分）
（Ⅱ）设C i 表示事件“第i 季利润不少于2000元”（i ＝1，2，3），…………8分
由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由（Ⅰ）知，
P (C i )＝P (X ＝4000)＋P (X ＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8（i ＝1，2，3）． ∴这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为
P ＝C 33×0.83＋C 23×0.82
×0.2＝0.512＋0.384＝0.896．…………………………12分
20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设M 的坐标为(x ，y )，显然有x ＞0，且y ≠0．…………………1分
当∠MBA ＝90°时，点M 的坐标为(2，±3)．…………………2分 当∠MBA ≠90°时，x ≠2，由∠MBA ＝2∠MAB ，有
tan ∠MBA ＝2tan ∠MAB 1－tan 2∠MAB ，即－|y |
x －2＝2
|y |
x ＋11－(|y |x ＋1
)
2
，…………………4分
化简可得，3x 2－y 2－3＝0．
而点(2，±3)在曲线3x 2－y 2－3＝0上，…………………5分
综上可知，轨迹C 的方程为x 2
－y 2
3
＝1（x ＞1）．………………………………6分
（Ⅱ）由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝－2x ＋m ，x 2－y 23＝1．
消去y 并整理，得x 2－4mx ＋m 2＋3＝0．（*）…………7分
由题意，方程（*）有两根且均在(1，＋∞)内．设f (x )＝x 2－4mx ＋m 2＋3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
－－4m 2＞1，f (1)＝12
－4m ＋m 2
＋3＞0，△＝(－4m )2
－4(m 2
＋3)＞0．
解得m ＞1，且m ≠2．……………9分
∵m ＜2，∴1＜m ＜2． …………………10分 设Q ，R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )，由|PQ |＜|PR |及方程（*）有 x R ＝2m ＋3(m 2－1)，x Q ＝2m －3(m 2－1)， ∴|PR ||PQ |＝x R x Q ＝2m ＋3(m 2
－1)2m －3(m 2－1)
＝2＋
3(1－1m
2)
2－
3(1－1m
2)＝－1＋42－
3(1－1m
2)
．
由1＜m ＜2，得1＜－1＋
42－
3(1－1m
2)
＜7．…………………12分
故|PR ||PQ |
的取值范围是(1，7)．……………………………………………………13分 21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）求导数，得f ′(x )＝a ＋ln x ＋1． …………………1分
由已知，得f ′(e)＝3，即a ＋lne ＋1＝3
∴a ＝1．……………………………………………………………………………2分 （Ⅱ）由（Ⅰ），知f (x )＝x ＋x ln x ，
∴f (x )≤kx 2对任意x ＞0成立⇔k ≥1＋ln x
x 对任意x ＞0成立，……………4分
令g (x )＝1＋ln x
x
，则问题转化为求g (x )的最大值．
求导数，得g ′(x )＝－ln x
x
2，令g ′(x )＝0，解得x ＝1．…………………5分
当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0，∴g (x )在(0，1)上是增函数；
当x ＞1时，g ′(x )＜0，∴g (x )在(1，＋∞)上是减函数．…………………6分 故g (x )在x ＝1处取得最大值g (1)＝1．
∴k ≥1即为所求．…………………………………………………………………8分 （Ⅲ）令h (x )＝x ln x
x －1，则h ′(x )＝x －1－ln x (x －1)2
．…………………9分
由（Ⅱ），知x ≥1＋ln x （x ＞0），∴h ′(x )≥0，…………………10分
∴h (x )是(1，＋∞)上的增函数．
∵n ＞m ＞1，∴h (n )＞h (m )，即n ln n n －1＞m ln m
m －1，…………………11分
∴mn ln n －n ln n ＞mn ln m －m ln m ，…………………12分 即mn ln n ＋m ln m ＞mn ln m ＋n ln n ， 即ln n mn ＋ln m m ＞ln m mn ＋ln n n ，
即ln(mn n )m ＞ln(nm m )n ， …………………13分 ∴(mn n )m ＞(nm m )n ，
∴n
m m n
＞m n ．…………………………………………………………………………14分。