两条直线的位置关系及曲线和方程

两条直线的位置关系及曲线和方程
知识要点：
1、两条直线的位置关系: 平行、相交、重合有两种判断方法。

一是几何方
法——l 1、l 2的倾斜角αα
π12
2
=≠
, 即K 1 = K 2且纵截距b b 1
2
≠时l 1∥l 2; l 1、l 2的倾
斜角αα
π1
2
2
==
且横截距a a 12≠时l 1∥l 2。

l 1、l 2的倾斜角αα12
≠, 即K K 1
2
≠或K 1,
K 2中一个存在一个不存在时, l 1与l 2相交。

l 1、l 2的倾斜角ααπ12
2
=≠
, 即K 1 = K 2
且纵截距b 1 = b 2时, l 1与l 2重合; l 1、l 2的倾斜角αα
π12
2
==
且横截距a 1 = a 2时, l 1
与l 2重合。

另一种是代数方法,
(
)(
)l A x B y C A B l A x B y C A B 11111212
222222
22
0000::++=+≠++=+≠、通过方程组
A x
B y
C A x B y C 1112
220
0++=++=⎧⎨
⎩解的情况判断两条直线的位置关系, 即: A 2、B 2、C 2均不为零时:
A A
B B
C C 12
12
12
=≠有l 1∥l 2;
A A
B B 12
12
≠
有l 1与l 2相交;
A A
B B
C C 12
12
12
=
=有l 1与l 2重合。

若
A 2、
B 2、
C 2有为零时, 可以更容易判断。

另外, 将上述分式变形一下便可得出更普通的结论。

A 1B 2 = A 2B 1且A C A C 1221≠时l 1∥l 2;
A B A B A C A C 12211221==且时l 1与l 2重合;
A B A B 1221≠时l 1与l 2相交。

2、两条直线的平行与垂直:
①斜率互为负倒数⇒两条直线互相垂直; ②两条直线互相垂直
斜率互为负倒数;
③两条有斜率的直线互相垂直⇔斜率互为负倒数;
④A B A B 12210+=⇔两条直线A 1x + B 1y + C 1 = 0, A 2x + B 2y + C 2 = 0互直垂直。

⑤斜率相等
两条直线平行;
⑥两条直线平行斜率相等;
⑦两条有斜率且不重合的直线平行⇔它们的斜率相等。

3、两条直线的数量关系:
①两条直线的交点——通过方程组求解:
A x
B y
C A x B y C x x y y 11122200
00
++=++=⎧⎨
⎩==⎧⎨
⎩有,
两条直线交点为P (x 0, y 0)。

②两条直线所成的角:
Ⅰ、直线l 1: A 1x + B 1y + C 1 = 0的倾斜角为α1, l 2: A 2x + B 2y + C 2 = 0的倾斜角为
α
2, l1到l2的角θ有tgθ=-
+
K K
K K
21
21
1
, 其中ααθ
12
,,均不为直角, 0≤<
θπ。

Ⅱ、直线l1: A1x + B1y + C1 = 0的倾斜角为α
1
, l2: A2x + B2y + C2 = 0的倾斜角为
α
2, l1与l2的夹角θ有: tgθ=-
+
K K
K K
21
21
1
, 其中ααθ
12
,,均不为直角, 0
2
≤<
θ
π。

③点到直线的距离:
Ⅰ、点P(x0, y0)到直线l: Ax + By + C = 0的距离d Ax By C
A B
=
++
+
00
22。

证明: 设直线l上任意一点为Q(x, y), 则()()
PQ x x y y
=-+-
2
2,
若直线l中B = 0, 则x C
A
=-
d x
C
A
x
C
A
Ax C
A
=--
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪=+=
+
00
此时, Ax By C
A B
Ax C
A
00
22
++
+
=
+
公式d Ax By C
A B
=
++
+
00
22
成立。

若直线l中B y A
B
x
C
B
≠=--
0，则
∴PQ x x x x y y y y
=-++-+
2
00
22
00
2
22
=-+++++++
=
+
+
+-
+
+++
x x x x
A
B
x
AC
B
x
C
B
A
B
y x
C
B
y y
A B
B
x
AC ABy B x
B
x
C B x BC y B y
B
2
00
2
2
2
2
2
2
2000
2
22
2
20
2
2
22
2
2
2
2
2
222
2222
当x
AC ABy B x
B
A B
B
B x ABy AC
A B
=-
+-
⨯
+
=
--
+
222
2
2
2
22
2
2
00
22
时
() PQ
A B
B
C B x BCy B y
B
AC
ABy B x
B
A B
B
最小
=
⨯
+
⨯
+++
-
+-
⨯
+
4
2222
4
22
2
22
2
2
2
2
2
2
4
22
2
分子继续--++
B x A BCy AB Cx AB x y
4
22
2
3
00
222)
()
=
+++++
+
A B x B C B C y B y AB C x AB x y
B A B
22
2223
4
22
3
00
222
222
()=
++++++=
+++=
+++A x C
BC y B y AC x ABx y A
B
Ax By C A
B
Ax By C
A
B
2022
0202
000
2
2
002
2
2
002
2
222
∴d
PQ
Ax By C
A
B
==
+++最小
002
2
,
因此,
d Ax By C
A
B
=
+++002
2
成立。

Ⅱ、两条平行线l 1: Ax + By + C 1 = 0, l 2: Ax + By + C 2 = 0的距离d C C A
B
=
-+212
2
证明: 设l 1: Ax + By + C 1 = 0上任意一点为P (x 0, y 0) 则P 点到l 2: Ax + By + C 2 = 0的距离为:d Ax By C A
B
=
+++002
2
2
∵P (x 0, y 0)在l 1: Ax + By + C 1 = 0上, ∴Ax 0 + By 0 + C 1 = 0故Ax 0 + By 0 = －C 1 代入d
Ax By C A
B
C C A
B
C C A
B
=
+++=
-++=
-+002
2
2
122
2
212
2
4、曲线和方程:
(1)曲线的方程、方程的曲线的概念:
曲线: 符合某一特定条件的点的集合, 也可以定义为平面内按某一特定条件
运动的动点的轨迹; 平面直角坐标系下的二元方程的一般形式为F (x 1y ) = 0。

如果曲线上的点的坐标都是方程的解, 并且以这个方程的解为坐标的点都在曲线上。

那么这条曲线叫这个方程的曲线, 这个方程叫这条曲线的方程。

(2)求曲线方程的步骤:
Ⅰ、恰当建立平面直角坐标系, 设定点、动点坐标——使图形上的点尽可能
多地落在坐标轴上, 尽量考虑图形的对称性。

Ⅱ、依题意, 列方程或方程组——方程的个数 = 未知数的个数－1。

Ⅲ、化简方程, 得F (x 1y ) = 0 。

Ⅳ、考虑曲线与方程的一致性。

(3)充要条件问题: Ⅰ、四种命题: 原命题A B ⇒
逆命题B A ⇒ 否命题A B ⇒
逆否命题B
A ⇒
其中, 原命题与逆否命题等价; 逆命题与否命题互为逆否命题亦等价。

另外, A
B 并不是A B ⇒的否命题, 而是一对矛盾不相容命题, 确切地讲, A B 并不是
A B ⇒的否命题,
而是另一个新的命题。

Ⅱ、充要条件问题:
对于命题A B
⇒, 在初中我们通常把A叫条件, B叫结论。

在充要条件问题中, 把A、B均称为条件。

若A B
⇒且B A, 则称A为B的充分非必要条件;
若A B且B A
⇒, 则称A为B的必要非充分条件;
若A B
⇒, 则称A为B的充要条件;
⇒且B A
若A B且B A, 则称A为B的既不充分也不必要条件;
若A B
⇒, 则称A为B的充分条件;
若B A
⇒, 则称A为B的必要条件。

(4)曲线的交点
Ⅰ、两条曲线的交点: 解二元一次方程组
Ⅱ、直线与曲线的交点: 解方程组, 判别式法
Ⅲ、两条非直线的曲线的交点: 通过方程组, 用判别式, 并结合图形考虑。