湖南省长沙市麓山国际共同体2023-2024学年高二上学期12月学情检测数学试卷含答案

2023-2024-1麓山共同体高二12月学情检测试卷
高二年级数学试卷（答案在最后）
命题人：易畅审题人：张景鑫总分：150分时量：120分钟
一､单项选择题（共8个小题，每题5分，共40分）
1.直线10y --=的倾斜角为（）
A .
30
B.60
C.120
D.150
【答案】B 【解析】
【分析】首先将直线方程化为斜截式，即可求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可得解.
【详解】直线l 10y --=，即1y =
-，
所以直线的斜率k =α，则tan α=，因为0180α≤< ，所以60α= .故选：B.
2.已知等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5的值为（）
A.10
B.15
C.20
D.40
【答案】B 【解析】
【分析】利用等差数列的性质求出a 6+a 5=22即得解.【详解】解：在等差数列{a n }中，由题得a 3+a 8=a 6+a 5=22，又a 6=7，所以a 5=15.故选：B
3.用01234､､
､､这五个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（）A.18 B.24
C.30
D.48
【答案】D 【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理计算即可.
【详解】由题意可知，首位数字有4种选择，则中间的数位有4种选择，末尾数字有3种选择.
由分步乘法计数原理可知，可以组成没有重复数字的三位数的个数44348⨯⨯=.故选:D .
4.若函数()2
ln f x x x bx =+-在[
)1,+∞上单调递增，则b 的最大值是（
）A.3
B. C.2
D.【答案】A 【解析】
【分析】函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，等价为()0f x '≥在[
)1,+∞上恒成立，通过构造函数，利用导数求最值解决恒成立问题.
【详解】函数()2
ln f x x x bx =+-在[
)1,+∞上单调递增，等价为()1
20f x x b x
'=
+-≥在[)1,+∞上恒成立，即1
2b x x
≤
+在[)1,+∞上恒成立，令()12,1g x x x x =+≥，则()222
121
20x g x x x
-'=-=>在[)1,+∞上恒成立，故()g x 在[)1,+∞上单调递增，
则()()13g x g ≥=，故3b ≤，则b 的最大值是3.故选：A.
5.已知过点()1,1M 的直线l 与椭圆22
184
x y
+=交于,A B 两点，且满足,AM BM =则直线l 的方程为
（）
A.30x y -+=
B.230
x y +-= C.2230
x y -+= D.230
x y +-=【答案】D 【解析】
【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 斜率为k ，根据AM BM =，即点M 为AB 中点，由
22
1122
22184
18
4x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，利用点差法求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 斜率为k ，
则有22
1122
22184
18
4x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①-②得
()()()()1212121208
4
x x x x y y y y +-+-+=，
因为AM BM =，
所以点M 为AB 中点，则12122,2x x y y +=+=，
1212
042
x x y y --+=，即12121
2
y y k x x -=
=--，
所以直线l 的方程为()1
112
y x -=--，整理得230x y +-=故选：D
6.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x '+>，且有()33f =，则()33e x
f x ->的解集为（
）
A.
()
3,+∞ B.
()
1,+∞ C.
()
,3-∞ D.
()
,1-∞【答案】A 【解析】
【分析】构造()()e x
F x f x =⋅，应用导数及已知条件判断()F x 的单调性，而题设不等式等价于
()()3F x F >即可得解.
【详解】设()()e x
F x f x =⋅，则()()()()()e e e 0x x x F x f x f x f x f x '''=⋅+⋅=+>⎡⎤⎣⎦，
∴()F x 在R 上单调递增.
又()33f =，则()()3333e 3e F f =⋅=.
∵()33e
x
f x ->等价于()3
e 3e x
f x ⋅>，即()()3F x F >，
∴3x >，即所求不等式的解集为()3,+∞.故选：A.
7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
1n S n =+，若1
1
n n n b a a +=
⋅，则数列{}n b 的前10项和10T =（
）
A.
27
B.
1342
C.
13 D.
514
【答案】B 【解析】
【分析】根据n a 与n S 的关系式得到通项公式，进而求出1
1
n n n b a a +=⋅的通项公式，利用裂项相消法求和.
【详解】当1n =时，11112a S ==+=，当2n ≥，2
2
1(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，2112n -=≠，所以2,1
21,2n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩，
所以1
1
,161111,222121n n n n b a a n n n +⎧=⎪⎪=
=⎨⋅⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪-+⎝
⎭⎩，
则101111111113
623557192142
T ⎛⎫=
+-+-++-= ⎪⎝⎭ .故选：B
8.已知1F ，2F 分别是椭圆22
22:1x y C a b
+=（0a b >>）的左，右焦点，M ，N 是椭圆C 上两点，且
112MF F N = ，20MF MN ⋅=
，则椭圆C 的离心率为（
）
A.
34
B.
23
C.
53
D.
74
【答案】C 【解析】
【分析】设1NF n =，结合椭圆的定义，在2Rt MNF △中利用勾股定理求得3
a
n =，12Rt MF F △中利用勾股定理求得223620c a =，可求椭圆C 的离心率.
【详解】连接2NF ，设1NF n =，则12MF n =，222MF a n =-，22NF a n =-，
在2Rt MNF △中22
2
2
2N M MF NF +=，即()()()2
2
2
3222n a n a n +-=-，
22222948444n a an n a an n ∴+-+=-+，2124n an ∴=，3
a
n =，123a MF ∴=
，243
a MF =，在12Rt MF F △中，2
2
2
1212
MF MF F F +=，即22
2
416499
a a c =+
，2
2
3620c a ∴=，2
205369e =
=，又()0,1e ∈ ，5
3
e ∴=.故选：C.
二､多项选择题（共4个小题，每题5分，共20分，部分选对得2分，错选得0分）
9.下列说法正确的是（
）
A.点()0,2到直线1y x =+的距离为
2
2
B.若两直线平行，则它们的斜率一定相等
C.直线240x y -+=与两坐标轴围成的三角形的面积是4
D.经过点()2,2且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为40x y +-=【答案】AC 【解析】
【分析】计算点到直线距离验证A 选项；直线斜率可能不存在判断B 选项；计算直线与两坐标轴围成的三角形面积验证C 选项；在x 轴和y 轴上截距都相等的直线分过原点和不过原点两种情况，计算后验证D 选项.
【详解】对于A ，点()0,2到直线1y x =+的距离为021
2
2
2
d -+=
=
，故A 选项正确；对于B ，当两条平行直线与x 轴垂直时，直线的斜率不存在，故B 选项错误；对于C ，令0x =，则2y =；令0y =，则4x =；
则直线240x y -+=与两坐标轴的交点为()4,0A -和()0,2B ，与两坐标轴围成的三角形面积1
4242
AOB S =
⨯⨯=△，故C 选项正确；对于D ，直线过原点时，过点()2,2且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为y x =，直线不过原点时，过点()2,2且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程的斜率为1-，则直线方程为()22y x -=--，即40x y +-=，故D 选项错误.故选：AC
10.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上一点P 作的垂线，垂足为Q ，则下列说法正确的是（
）
A.准线l 的方程为=1
x -B.若过焦点F 的直线交抛物线C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，且126x x +=，则||7AB =C.若(2,1)E ，则||||PE PF +的最小值为3D.延长PF 交抛物线C 于点M ，若4
||3
PF =，则16||3PM =
【答案】ACD 【解析】
【分析】由抛物线标准方程结合抛物线的性质，即可求焦点坐标、准线方程、焦点弦长、抛物线上的点到焦点和定点距离之和的最小值等.
【详解】因为抛物线C 的方程为24y x =，所以2p =，所以准线l 的方程为12
p
x =-=-，A 正确；由题意可知焦点弦长12||628AB x x p =++=+=，B 错误；
由抛物线C 上的点到焦点F 与到准线的距离相等可知||||||||PE PF PQ PE +=+，所以当Q ，P ，E 三点共线时，||||PE PF +取得最小值，即为点E 到准线的距离，所以最小值为3，C 正确；
如图所示，不妨设P 在第一象限，过P 作PH x ⊥轴于点H ，过M 作MN x ⊥轴于点N ，过M 作准线的垂线，垂足为D ，设准线与x 轴的交点为G ，则42||||,||2,||33
PF PQ FG FH ==
==，||||,||||||||2FM MD FN DM FG FM ==-=-，易知PHF MNF △△∽，则有
||||
||||
PF HF MF FN =，即42
33
||||2
MF MF =-，解得||4MF =，则16
||||||3MP MF PF =+=，D 正确，故选：ACD.
11.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n 层有n a 个球，从上往下n 层球的总数为n S ，则（
）
A.535
S = B.1n n n
a a +-=C.(1)
2
n n n a +=
D.
1231001111200101
a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】ACD 【解析】
【分析】根据已知条件求得1n n n a a +-=，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】依题意可知11n n a a n +-=+，11n n a a n +=++，B 选项错误.
123451,123,336,6410,10515a a a a a ==+==+==+==+=，
5136101535S =++++=，A 正确.
()111,2n n n n a a n n a n a +--=-=+≥，
()()()112211
n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ()()11212
n n n n +=+-+++=
，C 正确.
11121n a n n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭，121001111111121223100101a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 120021101101⎛⎫=-=
⎪⎝⎭
.D 选项正确.故选：ACD
12.已知()()e 211
x x f x x -=-，则下列结论正确的是（
）
A.不等式()0f x <的解集为1,12⎛⎫
⎪
⎝⎭
B.函数()f x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
单调递增C.函数()f x 在定义域上有且仅有一个零点
D.若关于x 的方程()f x m =有解，则实数m 的取值范围是(]3
,1,2
-∞+⎪∞⎡⎫⎢⎣⎭
【答案】AC 【解析】
【分析】解分式不等式验证选项A ；利用导数求函数单调区间验证选项B ；解方程得函数的零点验证选项C ；通过函数值域求实数m 的取值范围验证选项D.
【详解】对于A ，由()()e 2101
x x f x x -=<-，得()()e 2110x
x x --<，因为e 0x >，
所以()()2110x x --<，解得
112
x <<，所以不等式()0f x <的解集为1,12⎛⎫
⎪⎝⎭，所以A 正确；
对于B ，()f x 的定义域为{}1x x ≠，由()()e 211x x f x x -=-，得
()()()()2221212321e e e 1(1)(1)
x x x x x x x x f x x x x --'---=⋅
+⋅=⋅---，
令()0f x ¢>，得0x <或3
2x >，令()0f x '<，得01x <<或312
x <<，所以()f x 在(),0∞-和3,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
上递增，在()0,1和31,2⎛⎫
⎪⎝⎭上递减，所以B 错误；
对于C ，令()()e 2101x x f x x -==-，得12x =，所以()f x 在定义域内有且只有一个零点，所以C 正确；
对于D ，由选项B 可知()f x 在(),0∞-和3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上递增，在()0,1和31,2⎛⎫
⎪⎝⎭上递减，因()3
2301,4e 2f f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭，且当x 从1的左侧趋近于1时，()f x →-∞，当x 从1的右侧趋近于1时，
()f x →+∞，所以()f x 的值域为(]32,14e ,∞∞⎡⎫
-⋃+⎪⎢⎣⎭
，
所以若关于x 的方程()f x m =有解，则实数m 的取值范围是(]32,14e ,∞∞⎡⎫
-⋃+⎪⎢⎣⎭
，所以D 错误.
故选：AC
三､填空题（共4个小题，每题5分，共20分）
13.已知空间向量(2,1,3)a =- ，(4,2,)b x =- ，且a 与b
是共线向量，则实数x 的值为_______．
【答案】6-【解析】
【分析】根据向量共线得到a b λ=
，列出方程组，求出答案.
【详解】设a b λ= ，则24123x λλλ=-⎧⎪
-=⎨⎪=⎩
，解得：126x λ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩.
故答案为：-6
14.已知各项都为正数的等比数列{}n a ，若81210514a a a += ，则212223219log log log log a a a a +++⋯+=_______．
【答案】19【解析】
【分析】由各项都为正数的等比数列{}n a ，81210514a a a += ，解得102a =，再由
19212223219210log log log log a a a a log a +++⋯+=，能求出结果．
【详解】解： 各项都为正数的等比数列{}n a ，81210514a a a += ，
∴210101051400
a a a ⎧+-=⎨>⎩，解得102a =，212223219log log log log a a a a ∴+++⋯+212319log ()
a a a a =⨯⨯⨯⋯⨯19210log a =19
22log =19=．
故答案为：19．
【点睛】本题考查对数值的求法，考查等比数列的性质、对数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
15.已知椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点12F F ､，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，点P 为椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限的交点，且12π
3
F PF ∠=
，则1211e e +的最大值为___________.
【答案】43
3
【解析】
【分析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得222
1234a a c +=，
设122cos ,sin 3
a c a θθ==
⋅，利用三角换元求出
12
11
e e +的最大值即可.【详解】设椭圆()22
1112211:10x y C a b a b +=>>，双曲线()222222222
:1,0x y C a b a b -=>，
且设12,PF m PF n ==，由椭圆的定义得12m n a +=①，由双曲线的定义得22m n a -=②，22+①②得，(
)
2
2
22
122m n a a +=+，
22-①②得，22
12mn a a =-，
由余弦定理可得2
2
2
12(2)2cos c m n mn F PF ∠=+-，
所以222
1234a a c +=③，设1223
2cos ,sin 3
a c a θθ==
⋅，
所以
121211π2cos sin 333a a e e c c θθθ⎛⎫+=+=+=+ ⎪⎝
⎭，当()ππ2π32k k θ+=+∈Z 即π2π6k θ=+时，1211e e +
取最大值为3
.
故答案为：
3
.16.若函数3e 3()ln x f x a x x x ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭只有一个极值点，则a 的取值范围是___________.
【答案】32e e ,49 纟禳镲çú-¥睚çú镲棼铪
【解析】
【分析】对()f x 求导，利用导数与函数极值的关系，分类讨论3是否为极值点，结合2e x
y x
=的图像性质
即可求得a 的取值范围.
【详解】因为()3e 3()ln 0x f x a x x x x ⎛⎫
=-+> ⎪⎝⎭，
所以()()4222333e e x
x x x x f x a a x x x x -⎛⎫--=-=- ⎪⎝⎭
'，
因为()f x 只有一个极值点，所以若3是极值点，
因为23e 2e x x x x x '⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以当02x <<时，3e 0x x '⎛⎫< ⎪⎝⎭，当2x >时，3e 0x x '
⎛⎫> ⎪⎝⎭
，则2e x y x =在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故22
22e e e 24
x y x =≥=，
则2e x
a x ≤，所以22min
e e 4x a x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭；
当x 趋向于0时，e x 趋向于1，2
x 趋向于0，则2e
x
x
趋向于正无穷，
当x 趋向正无穷时，e x 趋向正无穷的速率远远大于2
x 趋向正无穷的速率，则2e
x x
趋向于正无穷，
若3不是极值点，则3是2e 0x a x -=即2e x
a x =的一个根，且存在另一个根02m <<，此时3e 9a =；
当3
e 9a =时，()()32
23e e 9x x f x x x
-⎛⎫=- ⎪⎝⎭'，令()0f x '<，解得0x m <<；令()0f x ¢>，解得x >m ；所以()f x 在()0,m 单调递减，在(,)m +∞单调递增，满足题意，
综上：2e 4a ≤或3
e 9a =，即32e e 9,4a 纟禳镲çúÎ
-¥睚
çú镲棼
铪.故答案为：32e e ,49 纟禳镲çú-¥睚çú镲棼铪
.四､解答题（本大题共6小题，共70.0分.第17题10分，其余各题各12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切.（1）求圆C 的标准方程.
（2）求直线l ：220x y -+=与圆C 相交的弦长.【答案】（1）22(2)4x y -+=；（2
）5
.【解析】
【分析】（1）根据直线与圆相切，应用点线距离公式求圆心坐标，写出圆C 的标准方程.
（2）根据相交弦、弦心距、半径之间的几何关系求弦长即可.【详解】（1）令圆心为(,0)x 且0x >，∴由圆与3440x y ++=相切，有
|34|
25
x +=，即可得2x =.∴圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=.（2）由（1）知：C (2,0)，2r =，∴C 到直线220x y -+=的距离为
d =
∴直线l 与圆C 相交的弦长为25
=⨯.18.已知函数32()61()f x x ax x a =+-+∈R ，且(1)6f '=-．（1）求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；
（2）若函数()()g x f x m =-在区间[2,4]-上有三个零点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）12210x y +-=（2）9
12
m -≤<【解析】
【分析】（1）利用(1)6f '=-可构造方程求得a 的值，结合11
(1)2
f =-
可求得切线方程；（2）利用导数可求得函数()f x 的单调性，结合区间端点值和极值可求得()f x 在区间[2,4]-上取值情况，进而求出实数m 的取值范围．【小问1详解】
∵2()326f x x ax +'=-，∴(1)236f a '=-=-，解得：32
a =-，∴3
23()612
f x x x x =-
-+，则311(1)16122f =--+=-，
∴()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为：11
6(1)2
y x +=--，即12210x y +-=．【小问2详解】由（1）知：3
2
3()612
f x x x x =-
-+，则2()3363(2)(1)f x x x x x '=--=-+，
∴当[2,1)(2,4]x ∈--⋃时，()0f x '>；当(1,2)x ∈-时，()0f x '<；
∴()f x 在[2,1)--，(2,4]上单调递增，在(1,2)-上单调递减，又(2)1f -=-，9
(1)2
f -=
，(2)9f =-，(4)17f =，∴max ()17f x =，min ()9f x =-，
由()()0g x f x m =-=，有()m f x =，即函数y m =与()y f x =的图像有三个交点，则有实数m 的取值范围为912
m -≤<．19.如图，在四棱台
1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1111,2AA A B AB ===，
160,ABC AA ∠=⊥ 平面ABCD ．
（1）若点M 是AD 的中点，求证：1C M 平面11AA B B ；
（2）棱BC 上是否存在一点E ，使得二面角1E AD D --的余弦值为1
?3
若存在，求线段CE 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析
（2）存在；12
CE =-【解析】
【分析】（1）连接1B A ，可得四边形11AB C M 是平行四边形，或11MC AB =
，从而11C M B A ∥，可证得1C M 平面11AA B B ；
（2）取BC 中点Q ，连接AQ ，分别以1,,AQ AD AA 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，假设点E 存在，
设点E 的坐标为
)
,0,11λλ-≤≤，可得平面1AD E 的一个法向量(,n λ=
，平面1ADD 的一
个法向量为)
AQ =
，由二面角1E AD D --的余弦值为1
3
，可得λ的值，可得CE 的长．
【小问1详解】
方法一：连接1B A ，由已知得，11B C BC AD ∥∥，且111
2
B C AM BC ==，所以四边形11AB C M 是平行四边形，即11C M B A ∥，又1C M ⊄平面111,AA B B B A ⊂平面11AA B B ，所以1C M 平面11AA B B ．
方法二：连接11,B A MD ，由已知得11AA MD ∥，且11AA MD =，
11111111MC MD D C AA A B AB =+=+=
，即11C M B A ∥，
又1C M ⊄平面111,AA B B B A ⊂平面11,AA B B 所以1C M 平面11.AA B B 【小问2详解】
取BC 中点Q ，连接AQ ，由题易得ABC 是正三角形，所以AQ BC ⊥，即AQ AD ⊥，由于1AA ⊥平面ABCD ，分别以1,,AQ AD AA 为,,x y z
轴，建立如图空间直角坐标系，
()()(
))
110,0,0,0,0,1,0,1,1,A A D Q
，
假设点E 存在，设点E
的坐标为
)
,0,11λλ-≤≤
，
)
()1,0,0,1,1AE AD λ=
=
，
设平面1AD E 的法向量
(),,n x y z =r ，则10
n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，
即00
y y z λ+=+=⎪⎩
，可取(,n λ= ，又平面1ADD
的法向量为)
AQ =
，
所以1
cos ,3
AQ n AQ n AQ n ==
=⋅
，解得：2λ=±，由于二面角1E AD D --为锐角，则点E 在线段QC
上，所以2
λ=
，即12CE =-．
故BC 上存在点E
，当12
CE =-
时，二面角1E AD D --的余弦值为13．
20.已知数列{}n a 满足*
111,32,N n n a a a n +==+∈，数列{}n b 满足11b =，11n n n S n S b n +-=+++，其
中n S 为数列{}n b 的前n 项和.
（1）证明数列{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）令()()
21n n n b n c n a +=
+，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1524
n T ≤<
.【答案】（1）证明见解析，1
231
n n a -=⋅-（2）11525
443
n n n T -+=-⋅，证明见解析【解析】
【分析】（1）由132n n a a +=+，有11
31
n n a a ++=+，可得数列{}1n a +为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公
式；
（2）由n S 和n b 的关系得数列{}n b 的递推公式，累加法求出{}n b 的通项，得数列{}n c 的通项，错位相减法求n T ，并确定范围.【小问1详解】
由132n n a a +=+，可得()1131n n a a ++=+，即
11
31
n n a a ++=+，又112a +=，所以数列{}1n a +是首项为2，公比为3的等比数列，则有1
123
n n a -+=⋅，可得数列{}n a 的通项公式为1
23
1n n a -=⋅-；
【小问2详解】
由11n n n S n S b n +-=+++，有121n n n S S b n +-=++，即121n n b b n +-=+，则当2n ≥时，有：
()()()()()112211212331n n n n n b b b b b b b b n n ---=-+-++-+=-+-+++ ()22112
n n
n -+=
=，
1n =时11b =也满足，所以数列{}n b 的通项公式为2
.
n b n =得()21
1
21233n
n n n n n c n --++==
⋅，
则01221234133333
n n n n n T --+=
+++++ ①，0013223341
333333
n n n n n T --⨯+=
+++++ ②，②-①得：1221111
11111115253261613333322313
n n n n n n n n n T ------
+++⎛⎫=+++++-=+-=- ⎪⋅⎝⎭- ，解得11525443n n n T -+=-⋅，由*N n ∈，125043n n -+>⋅，所以15
4
n
T <，又0n c >所以{}n T 递增，所以111152152443
n T T -⨯+≥=-=⋅，因此，15
24
n T ≤<.
21.已知焦点在x 轴上的椭圆C ：222210)x y
a b a b
+=>>（，
短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为1
．（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）如图，已知点2(,0)3
P ，点A 是椭圆的右顶点，直线l 与椭圆C 交于不同的两点,E F ，,E F 两点都在x 轴上方，且APE OPF ∠=∠．证明直线l 过定点，并求出该定点坐标．
【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）证明见解析，(6,0).【解析】
【分析】（1）利用已知和,,a b c 的关系，列方程组可得椭圆C 的标准方程；
（2）直线l 斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立，APE OPF ∠=∠可得0PE PF k k +=，利用根与系数的关系代入化简，可得直线l 所过定点．
【详解】（1
）由22221b a c a c b ⎧=⎪-=⎨⎪-=⎩
得21b a c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=.
（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 与椭圆C 交于不同的两点分布在x 轴两侧，不合题意.所以直线l 斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+.设11(,)E x y 、22(,)F x y ，
由22
143x y y kx m ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=，所以122834km x x k -+=+，2122
412
34m x x k
-=+.因为APE OPF ∠=∠，所以0PE PF k k +=，即
1
2
120
2
23
3
y y x x +
=-
-
，整理得1212242()()033
m kx x m k x x +-
+-=化简得6m k =-，
所以直线l 的方程为6(6)y kx k k x =-=-，所以直线l 过定点(6,0).
22.已知函数()()()2ln 2f x x x =++，()()2
g (3)21()x x a x a a R =+-+-∈.
（1）求函数()f x 的极值；
（2）若不等式()g()f x x ≤在(2,)x ∈-+∞上恒成立，求a 的取值范围；
（3）证明不等式：1
*
32311111+1+1+1+e ()4444n n N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅<∈ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
【答案】（1）极小值为1
e
-，无极大值
（2）(],0-∞（3）证明见解析【解析】
【分析】（1）对()f x 求导，借助()f x '的正负判断()f x 的单调性，进而求出()f x 的极值；（2）不等式()g()f x x ≤(2,)x ∈-+∞上恒成立，等价转化为()ln 21x x a +≤+-，然后分离参数得1ln(2)a x x ≤+-+，设()1ln(2),(2,)h x x x x =+-+∈-+∞，求min ()h x 即可.（3）由（2）知()+1ln 2x x >+在()1,-+∞上恒成立，令411n x =-，则有11
ln 14
4
n
n ⎛
⎫+< ⎪⎝⎭，然后借助不等式同向可加性及等比数列前n 项和公式求证.【小问1详解】
由()0f x '>可得(,)12e
x ∈-+∞，此时()f x 单调递增；由()0f x '<可得(,1
2)e
x ∈-∞-，此时()f x 单调递减；所以当2e
1x =
-时，()f x 有极小值，极小值为1
e -，无极大值
【小问2详解】
由不等式()g()f x x ≤(2,)x ∈-+∞上恒成立，
得()()()2
2ln 2(3)21x x x a x a ++≤+-+-，
因为(2,)x ∈-+∞，()ln 21x x a ∴+≤+-，所以1ln(2)a x x ≤+-+在(2,)x ∈-+∞上恒成立设()1ln(2),(2,)h x x x x =+-+∈-+∞，则()1
=2
x h x x ++'，由1
()=
=02
x x h x ++'得=1x -所以()h x 在(21)--，
上递减，在(1)-+∞，上递增，
所以min ()(1)0h x h =-=即0a ≤，所以(],0a ∈-∞【小问3详解】
证明：由（2）得()+1ln 2x x >+在()1,-+∞上恒成立，令411n x =
-，则有11
ln 14
4
n
n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，2211111111ln 1+ln 1++ln 1++=)
44443444n n n ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫∴++⋅⋅⋅+<⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1-2
1111
1ln 111)4344
4
n n ⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫∴++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(1-*2N 44411111111ln 11143433
n n n ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫≤<∴++⋅⋅⋅+< ∈∴⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1-，，
1
32311111+1+1+1+e 4444n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⋅⋅⋅< ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.【点睛】关键点点睛：
本题（2）考察不等式恒成立问题，可以分离参数，转化为求最值问题：
本题（3）的证明需要借助（2）的结论，即()+1ln 2x x >+在()1,-+∞上恒成立，然后令41
1n
x =-，则有11
ln 14
4
n
n ⎛
⎫+< ⎪⎝⎭，然后借助不等式同向可加性及等比数列前n 项和公式求证.。